2022全國乙卷理科數(shù)學(xué)試卷及答案

下載來源：高考試卷、大學(xué)資料預(yù)習(xí)群：704633017高中學(xué)習(xí)資料群：945115832，衡水中學(xué)資料群：491679660，絕密★啟用前絕密★啟用前理科數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)全集，集合M滿足，則A． B． C． D．2．已知，且，其中a，b為實數(shù)，則A． B． C． D．3．已知向量滿足，則A． B． C．1 D．24．嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則A． B． C． D．5．設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則A．2 B．C．3 D．6．執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的A．3 B．4C．5 D．67．在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點，則A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面8．已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則A．14 B．12 C．6 D．39．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為A． B． C． D．10．某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大11．雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的兩支交于M，N兩點，且，則C的離心率為A． B． C． D．12．已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從甲、乙等5名同學(xué)中隨機選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為____________．14．過四點中的三點的一個圓的方程為____________．15．記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．16．已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，求的周長．18．（12分）如圖，四面體中，，，，E為的中點．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．19．（12分）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山，為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積(單位：EQm\S(2))和材積量(單位：EQm\S(3))，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號12345678910總和根部橫截面積EQx\S\DO(i)0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量EQy\S\DO(i)0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得，，．（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0．01）；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關(guān)系數(shù)，．20．（12分）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．（1）求E的方程；（2）設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．(二)選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。并用2B鉛筆將所選題號涂黑，多涂、錯涂、漏涂均不給分．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出l的直角坐標(biāo)方程；（2）若l與C有公共點，求m的取值范圍．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：（1）；（2）．設(shè)全集，集合滿足，則B．C． D．解析：由題設(shè)，易知，對比選項，選擇A.已知，且，其中為實數(shù)，則 A． B． C． D．解析:由題設(shè)，，，代入有，故，選擇A.已知向量滿足，，，則B．C．D．解析：由題設(shè)，，得，代入，，有，故.選擇C．嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造衛(wèi)星.為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列:，，，，以此類推，其中其中，則A．B．C．D．解析：由已知，，，，故；同理可得,，又因為，故；于是得，排除A，，故，排除C，而，排除B.故選擇D.方法二：（取特殊值）取，于是有，，，，，分子分母分別構(gòu)成斐波那契數(shù)列，于是有，，，.于是得，，.對比選項，選D.5.設(shè)為拋物線的焦點，點在上，點，若，則A．B．C．D．解析：易知拋物線的焦點為，于是有，故，注意到拋物線通徑，通徑為拋物線最短的焦點弦，分析知必為半焦點弦，于是有軸，于是有.6.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】第一次循環(huán)：，，，第二次循環(huán)：，，，第三次循環(huán)：，，，故輸出故選B7.在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【解析】對于A選項：在正方體中，因為EF分別為AB，BC的中點，易知，從而平面，又因為平面，所以平面平面，所以A選項正確；對于B選項：因為平面平面,由上述過程易知平面平面不成立；對于C選項：由題意知直線與直線必相交，故平面平面有公共點，從而C選項錯誤；對于D選項：連接，，，易知平面平面，又因為平面與平面有公共點，故平面與平面不平行，所以D選項錯誤.8.已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則A．14B．12C．6D．3【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列首項，公比由題意，，即，即解得，，，所以故選D9.已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為A．B．C．D．【答案】C【解析】考慮與四棱錐的底面形狀無關(guān)，不是一般性，假設(shè)底面是邊長為a的正方形，底面所在圓面的半徑為r，則所以該四棱錐的高，所以體積當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立所以該四棱錐的高故選C10.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立。已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，且.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則A．p與該棋手和甲，乙，丙的比賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大【答案】D【解析】設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為，在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為，在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為由題意所以，所以最大，故選D.11．雙曲線的兩個焦點，，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與交于，兩點，且，則的離心率為 A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，點在雙曲線右支.記切點為點，連接，則，，又，則.過點作交直線于點，連接，則,又點為中點，則，.由，得，，所以，．故，由雙曲線定義，，則，即，所以.12．已知函數(shù)，的定義域均為,且，.若的圖像關(guān)于直線對稱，，則 A． B． C． D．【答案】D【解析】若的圖像關(guān)于直線對稱，則，因為，所以，故，為偶函數(shù).由，，得.由，得，代入，得，關(guān)于點中心對稱，所以.由，，得，所以，故，周期為.由，得，又，所以.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從甲、乙等名同學(xué)中隨機選名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．【答案】【解析】設(shè)“甲、乙都入選”為事件，則.過四點中的三點的一個圓的方程為___________【答案】或或或【解析】設(shè)點A，圓過其中三點共有四種情況，解決辦法是兩條中垂線的交點為圓心，圓心到任一點的距離為半徑。若圓過A、B、C三點，則圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為若圓過A、B、D三點，同（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為若圓過A、C、D三點，則線段AC的中垂線方程為，線段AD的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為若圓過B、C、D三點，則線段BD的中垂線方程為，線段BC中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為_________【答案】3【解析】，且，故，，又，故的最小值為3.已知和分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，若，則的取值范圍是___________【答案】【解析】至少要有兩個零點和，我們對其求導(dǎo)，，若，則在R上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，則，不符合題意。若，則在R上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且。此時若有和分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，且，則需滿足，即，可解得或，由于，取交集即得。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.（1）證明：；（2）若，，求的周長.【答案】（1）見證明過程；（2）；【解析】1.已知可化簡為，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，即證，（2）由（1）可知，，，，，，的周長為1418.（12分）如圖，四面體中為中點.證明：平面平面；設(shè)點在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成角的正弦值.解析：（1）..,.平面平面.（2）在中，.在中，,,..、、兩兩互相垂直.由點在上且，由于當(dāng)?shù)拿娣e最小時在中，如圖，以點為坐標(biāo)原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.、、、、、、=設(shè)平面的法向量為.可得設(shè)設(shè)與所成的角為，與平面所成角的為

所以與平面所成角的正弦值為.19．（12分）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山，為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號12345678910總和根部橫截面積0．040．060．040．080．080．050．050．070．070．060．6材積量0．250．400．220．540．510．340．360．460．420．403．9并計算得，，．（1）估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0．01）；（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關(guān)系數(shù)，．【答案】（1）0.06,0.39；（2）0.97；（3）1209【答案】（1）0.06,0.39；（2）0.97；（3）1209【解析】（1）設(shè)這種樹木平均一課的根部橫截面積為，平均一個的材積量為，則，.（2）（3）設(shè)從根部面積總和為，總材積量為，則，故（）.20．（12分）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為軸，軸，且過，兩點。（1）求的方程；（2）設(shè)過點的直線交于，兩點，過且平行于的直線與線段交于點，點滿足，證明：直線過定點．【答案】（1）；（2）直線過定點【解析】（1）設(shè)的方程為，將，兩點代入得，解得，，故的方程為。（2）由，可得直線=1\*GB3①若過的直線的斜率不存在，直線為。代入，可得，，將代入，可得，由，得。易求得此時直線。過點。=2\*GB3②若過的直線的斜率存在，設(shè)，，。聯(lián)立，得故有，，且（*）聯(lián)立，可得，，可求得此時將代入整理得將（*）式代入，得，顯然成立。綜上，可得直線過定點。21.（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍.【答案】