截面的幾何性質-面積矩（建筑力學）

截面的幾何性質截面的幾何性質構件在外力作用下產生的應力和變形，與截面的幾何性質有關。所謂截面的幾何性質是指與構件截面形狀和尺寸有關的幾何量。如在拉（壓）桿應力、變形和強度計算中遇到的截面面積Ａ，就是反映截面幾何性質的一個量。在下面討論扭轉和彎曲的強度和剛度計算時，還將用到另外一些幾何性質。本項目集中介紹這些幾何性質的定義和計算方法。一、面積矩的定義圖5-1為一任意截面的幾何圖形（以下簡稱圖形）。在圖形平面內選取直角坐標系如圖5-1所示。在圖形內任取一微面積dＡ，圖5-1其坐標為（ｙ，ｚ）。將乘積ｙdＡ和ｚdＡ分別稱為微面積dＡ對ｚ軸和ｙ軸的面積矩或靜矩，而把積分∫ＡｙdＡ和∫ＡｚdＡ分別定義為該圖形對ｚ軸

面積矩和ｙ軸的面積矩或靜矩，用符號Sｚ和Sｙ來表示，即：Sｚ＝∫ＡｙdＡ

Sｙ＝∫ＡｚdＡ由面積矩的定義可知，面積矩是對一定的軸而言的，同一平面圖形對不同的軸，面積矩不同。面積矩的數(shù)值可正、可負，也可為零。面積矩的量綱是長度的三次方，其單位為m3或mm3。（5-1）

截面的幾何性質二、面積矩與形心將式（5-1）代入平面圖形的形心坐標公式（4-7），得ｙｃ＝SｚＡｚｃ＝SｙＡ或改寫為Sｚ＝Ａ·ｙｃSｙ＝Ａ·ｚｃ面積矩的幾何意義：圖形的形心相對于指定的坐標軸之間距離的遠近程度。圖形形心相對于某一坐標距離愈遠，對該軸的面積矩絕對值愈大。當圖形對ｙ、ｚ軸的面積矩已知時，可用式（5-2）求圖形形心坐（5-2）（5-3）標；反之，若已知圖形形心坐標，即可根據式（5-3）計算圖形對ｙ、ｚ軸的面積矩。圖形對通過其形心的軸的面積矩等于零；反之，圖形對某一軸的面積矩等于零，則該軸一定通過圖形形心。三、組合截面面積矩的計算工程結構中有些構件的截面是由幾個簡單圖形組成的，如工字形、T形和槽形等。這類截面稱為組合截面。由面積矩的定義可知，組合截面對某一軸的面積矩等于其各簡單圖形對該軸面積矩的代數(shù)和，即Sｚ＝∑Sｚi＝∑ＡiｙiSｙ＝∑Sｙi＝∑Ａiｚi式中，Ａi和ｙi、ｚi分別為各簡單圖形的面積和形心坐標。（5-4）

截面的幾何性質標；反之，若已知圖形形心坐標，即可根據式（5-3）計算圖形對ｙ、ｚ軸的面積矩。圖形對通過其形心的軸的面積矩等于零；反之，圖形對某一軸的面積矩等于零，則該軸一定通過圖形形心。三、組合截面面積矩的計算工程結構中有些構件的截面是由幾個簡單圖形組成的，如工字形、T形和槽形等。這類截面稱為組合截面。由面積矩的定義可知，組合截面對某一軸的面積矩等于其各簡單圖形對該軸面積矩的代數(shù)和，即Sｚ＝∑Sｚi＝∑ＡiｙiSｙ＝∑Sｙi＝∑Ａiｚi式中，Ａi和ｙi、ｚi分別為各簡單圖形的面積和形心坐標。（5-4）【例5-1】T形截面如圖5-2所示，圖中各部分尺寸單位為m。試求陰影部分面積對通過形心且與對稱軸ｙ垂直的ｚ0軸的面積矩。解：因T形截面形心位置未知，故應首先確定形心位置，然后根據組合截面面積矩的計算公式，計算陰影部分對ｚ0軸的面積矩。（1）求T形截面形心位置。取正交參考坐標軸ｙ、ｚ，因ｙ軸為對稱軸，所以ｚｃ＝0，只須計算ｙｃ值。將圖形分成形心分別為ｃ1和ｃ2的兩個矩形，它們的面積和形心ｙ坐標為Ａ1＝0.6×0.12＝0.072（m2）Ａ2＝0.2×0.4＝0.08（m2）ｙ1＝0.06mｙ2＝0.12＋0.2＝0.32（m）

由式（4-12）得ｙｃ＝∑Ａiｙi/Ａ＝（Ａ1ｙ1＋Ａ2ｙ2）/（Ａ1＋Ａ2）＝（0.072×0.06＋0.08×0.32）/（0.072＋0.08）＝0.197（m）（2）計算陰影部分面積對ｚ0軸的面積矩。將陰影部分圖形分成形心分別為ｃ1和ｃ3的兩個矩形，應用式（5-4）計算面積矩時，應注意式中ｙi為各部分面積的形心在ｙOｚ0正交坐標系下的坐標Ａ1＝0.072m2Ａ3＝0.2×（0.197－0.12）＝0.0154（m2）ｙ1＝－（0.197－0.06）＝－0.137（m）ｙ3＝