《 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式》（第2課時(shí)）示范課教學(xué)設(shè)計(jì)【青島版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)】

第十一章整式的乘除《多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式》教學(xué)設(shè)計(jì)第2課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.熟練運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算；2．整理多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的常見題型.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則的應(yīng)用．難點(diǎn)：題型的歸納整理．教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件、圖片.教學(xué)過(guò)程【復(fù)習(xí)引入】1.多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．2.計(jì)算：（1）(x-7y)(x+5y)=x2-2xy-12y2（2）(2x+5y)(3x?2y)=6x2+11xy?10y2（3）(x+4)(x-1)+(x-4)(x+1)=x2+3x-4+x2-3x-4=2x2-8設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)法則，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作鋪墊.【探究新知】做一做（1）(x+2)(x+3)=x2+x+5、6(x-2)(x+3)=x2+x+1、(-6)(x+2)(x-3)=x2+x+(-1)、-6(x-2)(x-3)=x2+x+（-5）、6根據(jù)上面的式子呈現(xiàn)的規(guī)律，表示(x+a)(x+b)=x2+x+(a+b)、ab（2）直接寫出結(jié)果：(x-7)(x+5)=x2-2x-12(y-5)(y-8)=y2-13y+40設(shè)計(jì)意圖：利用多項(xiàng)式法則運(yùn)算，觀察結(jié)果的規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律解決新的問題，在運(yùn)算中找規(guī)律，既提高學(xué)生運(yùn)算能力，又培養(yǎng)了觀察分析問題的能力.練一練計(jì)算：（1）(a+b)(a2-ab+b2)（2）(2x-1)·(-x2+3x-1)（3）(y+2)·(y2-2y+1)-y(y2+1)解：（1）(a+b)(a2-ab+b2)（2）(2x-1)·(-x2+3x-1)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=-2x3+6x2-2x+x2-3x+1=a3+b3=-2x3+7x2-5x+1（3）(y+2)·(y2-2y+1)-y(y2+1)=y3-2y2+y+2y2-4y+2-y3-y=-4y+2設(shè)計(jì)意圖：熟練運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，在乘的過(guò)程中要不重復(fù)、不遺漏，結(jié)果要合并同類項(xiàng)．挑戰(zhàn)自我小瑩說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)，無(wú)論n取怎樣的正整數(shù)，代數(shù)式(n+1)·(n2-n+2)+n·(2n2-1)+1”的值都是3的倍數(shù).解：(n+1)·(n2-n+2)+n·(2n2-1)+1=n3-n2+2n+n2-n+2+2n3-n+1=3n3+3=3(n3+1)對(duì)于任意正整數(shù)n，n3+1也是正整數(shù)，所以3(n3+1)能被3整除.設(shè)計(jì)意圖：解決整除問題就要把整式化簡(jiǎn)，能被幾整除就變?yōu)閹椎谋稊?shù).【應(yīng)用新知】典例精析例1.我們知道某些特殊形式的多項(xiàng)式相乘，可以寫成公式的形式，當(dāng)遇到相同形式的多項(xiàng)式相乘時(shí)，就可以直接運(yùn)用公式寫出結(jié)果，下面我們就來(lái)探究一個(gè)公式并應(yīng)用這個(gè)公式解決問題．（1）計(jì)算：（x+1）（x2-x+1）=；

（m+2）（m2-2m+4）=；

（2a+1）（4a2-2a+1）=．

（2）上面的乘法運(yùn)算結(jié)果很簡(jiǎn)潔，觀察上面運(yùn)算你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用字母a，b表示這個(gè)規(guī)律，并加以證明．

（3）已知x+y=2，xy=-3，求x3+y3．解析：利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，注意整體代入的思想的應(yīng)用．解：（1）（x+1）（x2-x+1）=x3-x2+x+x2-x+1=x3+1，（m+2）（m2-2m+4）=m3-2m2+4m+2m2-4m+8=m3+8，（2a+1）（4a2-2a+1）=8a3-4a2+2a+4a2-2a+1=8a3+1．故答案為x3+1、m3+8、8a3+1．（2）規(guī)律：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3．證明：（a+b）（a2-ab+b2）=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3．（3）∵x+y=2，xy=-3，∴x2+y2=（x+y）2-2xy=10，∴x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=26．例2.已知（x+3）（x2+ax+b）的積中不含有x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，求a，b的值．解析：先將多項(xiàng)式展開后合并同類項(xiàng)，然后含x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)的系數(shù)為0，構(gòu)建方程，可求a，b的值，即利用方程的思想解決問題．解：原式=x3+ax2+bx+3x2+3ax+3b=x3+ax2+3x2+3ax+bx+3b=x3+（a+3）x2+（3a+b）x+3b，由題意可知：a+3=0，3a+b=0，解得a=-3，b=9．例3.已知：A=1+2x，B=1-2x+4x2，C=1-4x3求：（1）A?B-C；（2）求當(dāng)x＝時(shí)，求A?B-C的值．解析：利用多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則結(jié)合整式的加減運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案，正確利用相關(guān)法則.解：（1）∵A=1+2x，B=1-2x+4x2，C=1-4x3，∴A?B-C=（1+2x）（1-2x+4x2）-1+4x3=1-2x+4x2+2x-4x2+8x3-1+4x3=12x3；（2）當(dāng)x＝時(shí)，A?B-C=12x3=12×（）3=-40.5．例4.如圖，在某住房小區(qū)的建設(shè)中，為了提高業(yè)主的居住環(huán)境，小區(qū)準(zhǔn)備在一個(gè)長(zhǎng)為（4a+3b）米，寬為（2a+3b）米的長(zhǎng)方形草坪上修建兩條寬為b米的通道．問剩余草坪的面積是多少平方米？解析：本題借助求草坪面積考查多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分割法求面積，熟練掌握多項(xiàng)式的混合運(yùn)算法則，要從多角度思考問題，歸納解題方法.解：方法一：（4a+3b）（2a+3b）-[b(2a+3b)-b(4a+3b)-b2]=（4a+3b）（2a+3b）-（6ab+5b2）=8a2+6ab+12ab+9b2-6ab-5b2=8a2+12ab+4b2（平方米）；方法二：如圖所示，

空白部分的面積為（4a+3b-b）（2a+3b-b）=（4a+2b）（2a+2b）=8a2+8ab+4ab+4b2=8a2+12ab+4b2，答：剩余草坪的面積是（8a2+12ab+4b2）平方米．例5.如圖所示：有邊長(zhǎng)為a的正方形A類卡片、邊長(zhǎng)為b的正方形B類卡片、長(zhǎng)和寬分別為a、b的長(zhǎng)方形C類卡片各若干張，如果要拼一個(gè)邊長(zhǎng)分別為（2a+b）、（a+2b）的大長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙），那么需要A類卡片張，B類卡片張，C類卡片張，并請(qǐng)畫出一種拼法．（每類卡片至少使用一張，并在畫圖時(shí)標(biāo)注好每類卡片的類型及邊長(zhǎng)）解析：先根據(jù)面積列出多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的算式，再根據(jù)法則求出即可．解：大長(zhǎng)方形的面積是（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，所以需要A類卡片2張，B類卡片2張，C類卡片5張，如圖：故答案為：2，2，5．設(shè)計(jì)意圖：利用多項(xiàng)式乘法的靈活運(yùn)用，掌握求面積的方法，滲透方程思想、整體代入思想及轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，鞏固所學(xué)知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解．課堂練習(xí)1.（1）計(jì)算的正確結(jié)果是（）．CA．B．C．D．（2）的乘積中不含項(xiàng)，則（）．CA．p=qB．p=±qC．p=－qD．無(wú)法確定2.計(jì)算：（1）（a+b）（a-2b）-a（a-b）+（3b）2（2）（x+y-2）（x-y）．（3）x(x2+x-1)+(2x2-1)(x-4)．2.試證明代數(shù)式（2x+3）（3x+2）-6x（x+3）+5x+16的值與x的值無(wú)關(guān)．解：（1）∵（2x+3）（3x+2）-6x（x+3）+5x+16=6x2+4x+9x+6-6x2-18x+5x+16=22，∴代數(shù)式（2x+3）（3x+2）-6x（x+3）+5x+16的值與x無(wú)關(guān).3．先化簡(jiǎn)，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1．4.說(shuō)明對(duì)于任意正整數(shù)n，式子n（n+5）-（n-3）（n+2）的值都能被6整除．5.若M=（a+3）（a-4），N=（a+2）（2a-5），其中a為有理數(shù)，請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)比較它們的大?。?.將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義＝ad－bc，上述記號(hào)就叫做2階行列式．若＝－20，求x的值．師生活動(dòng)：教師先找?guī)酌麑W(xué)生代表回答，然后講解出現(xiàn)的問題．參考答案：1．（1）C．（2）C．2.解：（1）（a+b）（a-2b）-a（a-b）+（3b）2（2）（x+y-2）（x-y）．=a2-ab-2b2-a2+ab+9b2=x2-xy+xy-y2-2x+2y=7b2．=x2-y2-2x+2y（3）x(x2+x-1)+(2x2-1)(x-4)=x3+x2-x+2x3-8x2-x+4=3x3-7x2-2x+4．3.解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2．當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)，原式＝－8＋2－15＝－21．4.解：n（n+5）-（n-3）（n+2）=n2+5n-n2+n+6=6n+6=6（n+1）∵n為任意正整數(shù)∴6（n+1）÷6=n+1∴n（n+7）-（n+3）（n-2）總能被6整除．5.解：∵M(jìn)-N=（a+3）（a-4）-（a+2）（2a-5）=a2-a-12-2a2+a+10=-a2-2≤-2＜0，∴M＜N，

∴M＜N．6.解：先根據(jù)定義，可化為（6x＋5）（6x－5）－（6x－1）2＝－20，去括號(hào)，得36x2－25－（36x2－12x＋1）＝－20，整理，得36x2－25－36x2＋12x－1＝－20．移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得12x＝6．系數(shù)化為1，得x＝．設(shè)計(jì)意圖：通