中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《與圓相關(guān)的綜合題》專項(xiàng)測(cè)試卷(帶答案)

第頁(yè)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《與圓相關(guān)的綜合題》專項(xiàng)測(cè)試卷(帶答案)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．已知⊙O1和⊙O2的半徑都等于1，O1O2=5，在線段O1O2的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)O3，使O2O3=3，以O(shè)3為圓心，R=5為半徑作圓．（1）如圖1，⊙O3與線段O1O2相交于點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)P1分別作⊙O1和⊙O2的切線P1A1、P1B1（A1、B1為切點(diǎn)），連接O1A1、O2B1，求P1A1：P1B1的值；（2）如圖2，若過(guò)O2作O2P2⊥O1O2交O3于點(diǎn)P2，又過(guò)點(diǎn)P2分別作⊙O1和⊙O2的切線P2A2、P2B2（A2、B2為切點(diǎn)），求P2A2：P2B2的值；（3）設(shè)在⊙O3上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作⊙O1和⊙O2的切線PA、PB（A、B為切點(diǎn)），由（1）（2）的探究，請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)正確命題．（不要求證明）2．如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，且頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，2），（1）求該拋物線的解析式；（2）現(xiàn)將它向右平移m（m＞0）個(gè)單位，所得拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn)，與原拋物線交于點(diǎn)P，△CDP的面積為S，求S關(guān)于m的關(guān)系式；（3）如圖②，以點(diǎn)A為圓心，以線段OA為半徑畫圓，交拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸于點(diǎn)B，連接AB，若將拋物線向右平移m（m＞0）個(gè)單位后，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′點(diǎn)，且滿足四邊形BAA′B′為菱形，平移后的拋物線的對(duì)稱軸與菱形的對(duì)角線BA′交于點(diǎn)E，在x軸上是否存在一點(diǎn)F，使得以E、F、A′為頂點(diǎn)的三角形與△BAE相似？若存在，求出F點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．3．如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（3，0）為圓心，以6為半徑的圓分別交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，交y軸的正半軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D（﹣9，0）（1）求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：直線CD是⊙M的切線；（3）若拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)M，A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；（4）連接AC，若（3）中拋物線的對(duì)稱軸分別與直線CD交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F．如果點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得S△PAM：S△CEF=：3？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào)）4．如圖1，正方形ABCD中，有一直徑為BC=2cm的半圓O．兩點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A﹣D﹣C以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E離開(kāi)點(diǎn)的B時(shí)間為t（s），其中1≤t＜2．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段EF和BC平行？（2）EF能否與半圓O相切？如果能，求出t的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明原因．（3）如圖2，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，也請(qǐng)說(shuō)明理由，并求AP：PC的值．變式：如圖3，若將上題改為，正方形ABCD中，有一直徑為BC=2cm的半圓O．點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)E與圓O相切的直線交CD所在直線為點(diǎn)F，設(shè)EB=x，F(xiàn)D=y．（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（2）是否存在切線EF，把正方形ABCD的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？若存在，求出x的值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M交OC于D、E，連接AD、BD、BE．（1）在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖1中的兩對(duì)相似三角形．_________，_________；（2）直角梯形OABC中，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、D，且B為拋物線的頂點(diǎn)．①寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）_________；②求拋物線的解析式；③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P：過(guò)點(diǎn)P做PN⊥x軸于N，使得△PAN與△OAD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．6．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為A（4，4），且拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，和x軸相交于另一點(diǎn)B，以AB為一邊在直線AB的右側(cè)畫正方形ABCD．（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；（2）能否將此拋物線沿著直線x=4平移，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過(guò)正方形ABCD的另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D若能，寫出平移后拋物線的解析式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若以點(diǎn)A（4，4）為圓心，r為半徑畫圓，請(qǐng)你探究：①當(dāng)r=_________時(shí)，⊙A上有且只有一個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離等于2；②當(dāng)r=_________時(shí)，⊙A上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離等于2；③隨著r的變化，⊙A上到直線BD的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也隨著變化，請(qǐng)根據(jù)⊙A上到直線BD的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論相應(yīng)的r的值或取值范圍．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（，0）為圓心，以2為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)B、C，與y軸相交于點(diǎn)D、E．（1）若拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)，求出此拋物線的解析式；（2）在（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)F，使得△FBD的周長(zhǎng)最小；（3）設(shè)Q為（1）中拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（4）連接BD、CD，設(shè)P為（1）中拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△ABP與△DBC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．8．已知：如圖，直線交x軸于O1，交y軸于O2，⊙O2與x軸相切于O點(diǎn)，交直線O1O2于P點(diǎn)，以O(shè)1為圓心，O1P為半徑的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)，PB交⊙O2于點(diǎn)F，⊙O1的弦BE=BO，EF的延長(zhǎng)線交AB于D，連接PA、PO．（1）求證：∠APO=∠BPO；（2）求證：EF是⊙O2的切線；（3）EO1的延長(zhǎng)線交⊙O1于C點(diǎn)，若G為BC上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)1G為直徑作⊙O3交O1C于點(diǎn)M，交O1B于N．下列結(jié)論：①O1M?O1N為定值；②線段MN的長(zhǎng)度不變．只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你判斷出正確的結(jié)論，并證明正確的結(jié)論，以及求出它的值．9．如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線y=kx+8與直線AB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)C，過(guò)D作DE⊥x軸，E為垂足，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．（1）求直線CD的解析式；（2）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0），過(guò)P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)Q，邊Q點(diǎn)作x軸的平行線交直線CD于點(diǎn)M，設(shè)線段QM的長(zhǎng)為y，當(dāng)﹣6＜t＜2時(shí)，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，過(guò)P、Q、M三點(diǎn)的圓與直線AB和直線CD這兩條直線只有三個(gè)公共點(diǎn)．10．已知，如圖，點(diǎn)M在x軸上，以點(diǎn)M為圓心，2.5長(zhǎng)為半徑的圓交y軸于A、B兩點(diǎn)，交x軸于C（x1，0）、D（x2，0）兩點(diǎn)，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的兩根．（1）求點(diǎn)C、D及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若直線y=kx+b切⊙M于點(diǎn)A，交x軸于P，求PA的長(zhǎng)；（3）⊙M上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q、A、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出過(guò)A、C、Q三點(diǎn)的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F．（1）AB與AC的大小有什么關(guān)系？為什么？（2）按角的大小分類，請(qǐng)你判斷△ABC屬于哪一類三角形，并說(shuō)明理由．小明按下面的方法作出了∠MON的平分線：①反向延長(zhǎng)射線OM；②以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作圓，分別交∠MON的兩邊于點(diǎn)A、B，交射線OM的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)C；③連接CB；④以O(shè)為頂點(diǎn)，OA為一邊作∠AOP=∠OCB．（1）根據(jù)上述作圖，射線OP是∠MON的平分線嗎？并說(shuō)明理由．（2）若過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交射線OP于點(diǎn)F，連接AB交OP于點(diǎn)E，當(dāng)∠MON=60°、OF=10時(shí)，求AE的長(zhǎng)．12．已知如圖，過(guò)O且半徑為5的⊙P交x的正半軸于點(diǎn)M（2m，0）、交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D，弧OBM與弧OAM關(guān)于x軸對(duì)稱，其中A、B、C是過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與兩弧及圓的交點(diǎn)．（1）當(dāng)m=4時(shí)，①填空：B的坐標(biāo)為_(kāi)________，C的坐標(biāo)為_(kāi)________，D的坐標(biāo)為_(kāi)________；②若以B為頂點(diǎn)且過(guò)D的拋物線交⊙P于點(diǎn)E，求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；③除D點(diǎn)外，直線AD與②中的拋物線有無(wú)其它公共點(diǎn)并說(shuō)明理由．（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形組成菱形？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．已知：如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了t秒（t＞0）時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊AC相切于點(diǎn)D，與邊AB相交于E、F兩點(diǎn)．過(guò)E作EG⊥DE交射線BC于G．（1）若E與B不重合，問(wèn)t為何值時(shí)，△BEG與△DEG相似？（2）問(wèn)：當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)G在線段BC上當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)G在線段BC的延長(zhǎng)線上？（3）當(dāng)點(diǎn)G在線段BC上（不包括端點(diǎn)B、C）時(shí)，求四邊形CDEG的面積S（cm2）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并問(wèn)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了幾秒鐘時(shí)，S取得最大值最大值為多少？14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0）、B（6，）、C（0，），有兩點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿AB、BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)這兩個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)這兩點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒．（1）動(dòng)點(diǎn)P與Q哪一點(diǎn)先到達(dá)自己的終點(diǎn)？此時(shí)t為何值？（2）若⊙B的半徑為1，t為何值時(shí)以PQ為半徑的⊙P既與⊙B相切又與AD相切？（3）以PQ為直徑的圓能否與CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范圍，若不可能請(qǐng)說(shuō)明理由．15．如圖，已知拋物線m的解析式為y=x2﹣4，與x軸交于A、C兩點(diǎn)，B是拋物線m上的動(dòng)點(diǎn)（B不與A、C重合），且B在x軸的下方，拋物線n與拋物線m關(guān)于x軸對(duì)稱，以AC為對(duì)角線的平行四邊形ABCD的第四個(gè)頂點(diǎn)為D．（1）求證：點(diǎn)D一定在拋物線n上．（2）平行四邊形ABCD能否為矩形？若能為矩形，求出這些矩形公共部分的面積（若只有一個(gè)矩形符合條件，則求此矩形的面積）；若不能為矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若（2）中過(guò)A、B、C、D的圓交y軸于E、F，而P是弧CF上一動(dòng)點(diǎn)（不包括C、F兩點(diǎn)），連接AP交y軸于N，連接EP交x軸于M．當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形AEMN的面積是否改變？若不變，則求其面積；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．16．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0），⊙P和⊙Q的半徑分別為4和1．P從A開(kāi)始在線段AO上以3單位/秒的速度移動(dòng)，Q從OB的中點(diǎn)C開(kāi)始在線段CO上以1單位/秒的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．圓心移動(dòng)時(shí)，圓也跟著移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．如圖2，當(dāng)時(shí)，設(shè)四邊形APQB的面積為s．（1）求s與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖3，當(dāng)⊙P和⊙Q外切時(shí)，求s的值；（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，⊙P和⊙Q內(nèi)切，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．17．已知：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），頂點(diǎn)C（1，﹣3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（﹣1，0）．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，依次連接A，D，B，E，點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與A，B兩點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，請(qǐng)判斷是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)S是線段EP上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)S作FG⊥EP，F(xiàn)G分別與邊AE，BE相交于點(diǎn)F，G（F與A，E不重合，G與E，B不重合），請(qǐng)判斷是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．18．請(qǐng)閱讀下列材料：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．即如圖1，若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA?PB=PC?PD．請(qǐng)你根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題．已知⊙O的半徑為2，P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=1，過(guò)點(diǎn)P任作﹣弦AC，過(guò)A、C兩點(diǎn)分別作⊙O的切線m和n，作PQ⊥m于點(diǎn)Q，PR⊥n于點(diǎn)R．（如圖2）（1）若AC恰經(jīng)過(guò)圓心O，請(qǐng)你在圖3中畫出符合題意的圖形，并計(jì)算：的值；（2）若OP⊥AC，請(qǐng)你在圖4中畫出符合題意的圖形，并計(jì)算：的值；（3）若AC是過(guò)點(diǎn)P的任一弦（圖2），請(qǐng)你結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，猜想：的值，并給出證明．19．已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．（1）當(dāng)點(diǎn)E為DB上任意一點(diǎn)（點(diǎn)D、B除外）時(shí)，連接CE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，AF與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G（如圖①）．求證：AC2=AG?AF．（2）李明證明（1）的結(jié)論后，又作了以下探究：當(dāng)點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)A、D除外）時(shí)，連接CE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)與CD的延長(zhǎng)線在圓外交于點(diǎn)G，CG與⊙O相交于點(diǎn)H（如圖②）．連接FH后，他驚奇地發(fā)現(xiàn)∠GFH=∠AFC．根據(jù)這一條件，可證GF?GA=GH?GC．請(qǐng)你幫李明給出證明．（3）當(dāng)點(diǎn)E為AB的延長(zhǎng)線上或反向延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外）時(shí)，如圖③、④所示，還有許多結(jié)論成立．請(qǐng)你根據(jù)圖③或圖④再寫出兩個(gè)類似問(wèn)題（1）、（2）的結(jié)論（兩角、兩弧、兩線段相等或不相等的關(guān)系除外）（不要求證明）．20．如圖（1），已知圓O是等邊△ABC的外接圓，過(guò)O點(diǎn)作MN∥BC分別交AB、AC于M、N，且MN=a．另一個(gè)與△ABC全等的等邊△DEF的頂點(diǎn)D在MN上移動(dòng)（不與點(diǎn)M、N重合），并始終保持EF∥BC，DF交AB于點(diǎn)P，DE交AC于點(diǎn)Q．（1）試判斷四邊形APDQ的形狀，并進(jìn)行證明；（2）設(shè)DM為x，四邊形APDQ的面積為y，試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式；四邊形APDQ的面積能取到最大值嗎？如果能，請(qǐng)求出它的最大值，并確定此時(shí)D點(diǎn)的位置．（3）如圖（2），當(dāng)D點(diǎn)和圓心O重合時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形APDQ的形狀，并說(shuō)明理由；你能發(fā)現(xiàn)四邊形APDQ的面積與△ABC的面積有何關(guān)系嗎？為什么？21．如圖，已知一次函數(shù)y=x+2的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，圓O1過(guò)以O(shè)B為邊長(zhǎng)的正方形OBCD的四個(gè)頂點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)在四邊形ABCD上運(yùn)動(dòng)，其中動(dòng)點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C運(yùn)動(dòng)后停止，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→O→D→C→B運(yùn)動(dòng)，AO1交于y軸于E點(diǎn)，P、Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)是_________；（2）三角形ABE的面積是_________；（3）當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段AD上時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t（秒），使得S△APQ：S△ABE=3：4？若存在，請(qǐng)確定t的值和直線PQ所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？22．如圖，⊙A和⊙B是外離兩圓，⊙A的半徑長(zhǎng)為2，⊙B的半徑長(zhǎng)為1，AB=4，P為連接兩圓圓心的線段AB上的一點(diǎn)，PC切⊙A于點(diǎn)C，PD切⊙B于點(diǎn)D．（1）若PC=PD，求PB的長(zhǎng)．（2）試問(wèn)線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使PC2+PD2=4？如果存在，問(wèn)這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)并求出PB的值；如果不存在，說(shuō)明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到某處，使PC⊥PD時(shí)，就有△APC∽△PBD．請(qǐng)問(wèn)：除上述情況外，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到何處（說(shuō)明PB的長(zhǎng)為多少；或PC、PD具有何種關(guān)系）時(shí)，這兩個(gè)三角形仍相似；并判斷此時(shí)直線CP與⊙B的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論．23．已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（x1，0），D（x2，0）（x1＞x2）兩點(diǎn)，并且AD=1，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，1），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線y=x2+bx+c的函數(shù)關(guān)系式；（2）求點(diǎn)A及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖1，連接AB，在題1中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）如圖2，連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過(guò)A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．24．關(guān)于圖形變化的探討：（1）①例題1．如圖1，AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O有一個(gè)公共點(diǎn)C，過(guò)A、B分別作l的垂線，垂足為E、F，則EC=CF．②上題中，當(dāng)直線l向上平行移動(dòng)時(shí)，與⊙O有了兩個(gè)交點(diǎn)C1、C2，其它條件不變，如圖2，經(jīng)過(guò)推證，我們會(huì)得到與原題相應(yīng)的結(jié)論：EC1=C2F．③把直線1繼續(xù)向上平行移動(dòng)，使弦C1C2與AB交于點(diǎn)P（P不與A，B重合）．在其它條件不變的情況下，請(qǐng)你在圖3的圓中將變化后的圖形畫出來(lái)，標(biāo)好對(duì)應(yīng)的字母，并寫出與①②相應(yīng)的結(jié)論等式．判斷你寫的結(jié)論是否成立，若不成立，說(shuō)明理由，若成立，給以證明．結(jié)論_________．證明結(jié)論成立或說(shuō)明不成立的理由（2）①例題2．如圖4，BC是⊙O的直徑．直線1是過(guò)C點(diǎn)的切線．N是⊙O上一點(diǎn)，直線BN交1于點(diǎn)M．過(guò)N點(diǎn)的切線交1于點(diǎn)P，則PM2=PC2．②把例題2中的直線1向上平行移動(dòng)，使之與⊙O相交，且與直線BN交于B、N兩點(diǎn)之間．其它條件仍然不變，請(qǐng)你利用圖5的圓把變化后的圖形畫出來(lái)，標(biāo)好相應(yīng)的字母，并寫出與①相應(yīng)的結(jié)論等積式，判斷你寫的結(jié)論是否成立，若不成立，說(shuō)明理由，若成立，給以證明．結(jié)論_________．證明結(jié)論成立或說(shuō)明不成立的理由：（3）總結(jié)：請(qǐng)你通過(guò)（1）、（2）的事實(shí)，用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言，總結(jié)出某些幾何圖形的一個(gè)變化規(guī)律_________．25．如圖1，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（0，4）兩點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)D是第二象限內(nèi)點(diǎn)，以D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點(diǎn)E、F、H（如圖2），問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)一點(diǎn)P，使得|PH﹣PA|的值最大？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A為邊在第四象限內(nèi)作等邊△AOB，點(diǎn)C為x軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，直線DA交y軸于點(diǎn)E．（1）試問(wèn)△OBC與△ABD全等嗎？并證明你的結(jié)論；（2）隨著點(diǎn)C位置的變化，點(diǎn)E的位置是否會(huì)發(fā)生變化？若沒(méi)有變化，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若有變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，以O(shè)C為直徑作圓，與直線DE分別交于點(diǎn)F、G，設(shè)AC=m，AF=n，用含n的代數(shù)式表示m．27．如圖，半圓O的直徑AB=12cm，射線BM從與線段AB重合的位置起，以每秒6°的旋轉(zhuǎn)速度繞B點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至BP的位置，BP交半圓于E，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為ts（0＜t＜15），（1）求E點(diǎn)在圓弧上的運(yùn)動(dòng)速度（即每秒走過(guò)的弧長(zhǎng)），結(jié)果保留π．（2）設(shè)點(diǎn)C始終為的中點(diǎn)，過(guò)C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分別于G、F，過(guò)F作FN∥CD，過(guò)C作圓的切線交FN于N．求證：①CN∥AE；②四邊形CGFN為菱形；③是否存在這樣的t值，使BE2=CF?CB？若存在，求t值；若不存在，說(shuō)明理由．28．如圖，⊙O′經(jīng)過(guò)⊙O的圓心，E、F是兩圓的交點(diǎn)，直線OO′交⊙O′于點(diǎn)P，交EF于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)Q，且EF=2，sin∠P=．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）求⊙O和⊙O′的半徑的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)A在劣弧上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)Q、F不重合），連接PA交劣弧于點(diǎn)B，連接BC并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)G，設(shè)CG=x，PA=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．29．已知Rt△ABC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，AD=AC，BC=4，過(guò)A，D兩點(diǎn)作⊙O，交AB于點(diǎn)E，（1）求弦AD的長(zhǎng)；（2）如圖1，當(dāng)圓心O在AB上且點(diǎn)M是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接DM交AB于點(diǎn)N，求當(dāng)ON等于多少時(shí)，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形？（3）如圖2，當(dāng)圓心O不在AB上且動(dòng)圓⊙O與DB相交于點(diǎn)Q時(shí)，過(guò)D作DH⊥AB（垂足為H）并交⊙O于點(diǎn)P，問(wèn)：當(dāng)⊙O變動(dòng)時(shí)DP﹣DQ的值變不變？若不變，請(qǐng)求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1．已知⊙O1和⊙O2的半徑都等于1，O1O2=5，在線段O1O2的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)O3，使O2O3=3，以O(shè)3為圓心，R=5為半徑作圓．（1）如圖1，⊙O3與線段O1O2相交于點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)P1分別作⊙O1和⊙O2的切線P1A1、P1B1（A1、B1為切點(diǎn)），連接O1A1、O2B1，求P1A1：P1B1的值；（2）如圖2，若過(guò)O2作O2P2⊥O1O2交O3于點(diǎn)P2，又過(guò)點(diǎn)P2分別作⊙O1和⊙O2的切線P2A2、P2B2（A2、B2為切點(diǎn)），求P2A2：P2B2的值；（3）設(shè)在⊙O3上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作⊙O1和⊙O2的切線PA、PB（A、B為切點(diǎn)），由（1）（2）的探究，請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)正確命題．（不要求證明）解：（1）在圖1中，由已知A為切點(diǎn)，得O1A1⊥P1A1．∴△O1A1P1是直角三角形．同理可得△O2B1P1是直角三角形．∴P1A1=，P1B1=．∴P1A1：P1B1=：=2：．（2）在圖2中，連接O1A2，O2B2，P2O1，P2O3．在Rt△O2O3P2中，P2O2=4，P2B2=．同理可解，得P2O1=，P2A2=．∴P2A2：P2B2=：=：=2：．（3）提出的命題是開(kāi)放性的，只要正確都可以．如：1．設(shè)在⊙O3上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作⊙O1、⊙O2的切線PA、PB（A、B為切點(diǎn)）．則有PA：PB=2：或PA：PB是一個(gè)常數(shù)；2．在平面上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P分別作⊙O1、⊙O2的切線PA、PB（A、B為切點(diǎn)），若PA：PB=：，則點(diǎn)P在⊙O3上．2．如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，且頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，2），（1）求該拋物線的解析式；（2）現(xiàn)將它向右平移m（m＞0）個(gè)單位，所得拋物線與x軸交于C、D兩點(diǎn)，與原拋物線交于點(diǎn)P，△CDP的面積為S，求S關(guān)于m的關(guān)系式；（3）如圖②，以點(diǎn)A為圓心，以線段OA為半徑畫圓，交拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸于點(diǎn)B，連接AB，若將拋物線向右平移m（m＞0）個(gè)單位后，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′點(diǎn)，且滿足四邊形BAA′B′為菱形，平移后的拋物線的對(duì)稱軸與菱形的對(duì)角線BA′交于點(diǎn)E，在x軸上是否存在一點(diǎn)F，使得以E、F、A′為頂點(diǎn)的三角形與△BAE相似？若存在，求出F點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)可得，c=0，由頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，2），可得A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），將他們的坐標(biāo)值分別代入解析式可得，，解得，，故該拋物線的解析式為：y=﹣2x2+4x；（2）現(xiàn)將它向右平移m（m＞0）個(gè)單位，所得拋物線解析式為：y=﹣2（x﹣m）2+4（x﹣m），原拋物線與平移后的解析式交于P點(diǎn)，則有，解得，，即P點(diǎn)坐標(biāo)為：（，），那么△CDP的高為：，而CD=2，則S=×2×（），化簡(jiǎn)得，S=；（3）如圖，四邊形BAA′B′為菱形，則有菱形的邊長(zhǎng)就是圓的半徑為2，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：=，那么tan∠BA′A=，故∠BA′A=∠A′BA=30°，A′E=AE==，則=正好是tan30°的值，故∠BAE=90°而△BAE∽△A′EF，則∠A′EF=90°，A′F==，則AF=2﹣=，F(xiàn)橫坐標(biāo)為：2+=，故在x軸上存在一點(diǎn)F，F(xiàn)的坐標(biāo)為：（，0）．3．如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)M（3，0）為圓心，以6為半徑的圓分別交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，交y軸的正半軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D（﹣9，0）（1）求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：直線CD是⊙M的切線；（3）若拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)M，A兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式；（4）連接AC，若（3）中拋物線的對(duì)稱軸分別與直線CD交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F．如果點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得S△PAM：S△CEF=：3？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào)）解：（1）連接CM，由題意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6OA=OM+MA=3+6=9A（9，0）∵OC==3∴C（0，）（2）證法一：在Rt△DCO中，∵DC==6在△DCM中，∵CM2+DC2=144DM2=（DO+OM）2=（9+3）2=122=144∴CM2+DC2=DM2∴△DCM直角三角形．∴MC⊥DC，而MC是⊙M的半徑∴CD是⊙M的切線．證法二：在Rt△COM中，∵sin∠MCO==，∴∠MCO=30°在Rt△DOC中，∵tan∠DCO===，∴∠DCO=60°∴∠DCM=∠MCO+∠DCO=90°∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半徑．（3）由拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3，0）和點(diǎn)A（9，0），可得：解得：∴拋物線的解析式為：y=x2﹣12x+27．（4）存在設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)H在（2）中已證：∴∠DCO=60°，∠CDO=30°∵拋物線的對(duì)稱軸平行于y，∴∠CEF=∠DCO=60°∵OD=OA=9，∴CO垂直平分AD∴∠CAO=∠CDO=30°在Rt△AFH中，∠AFH=60°∴∠EFC=60°∴△CEF是等邊三角形過(guò)點(diǎn)C作CG⊥EF于點(diǎn)G，則CG=6可得：EF=4，S△CEF=EF?CG=×4×6=12；若點(diǎn)P在軸的上方，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），S△PAM=AM?y=3y，S△PAM：S△CEF=：3∴3y：12=：3，解得：y=4．當(dāng)y=4時(shí)，即x2﹣12x+27=4，解得x=6±∴P（6﹣，4）或（6+，4）．②若點(diǎn)P在x軸上，則點(diǎn)P與點(diǎn)M或與點(diǎn)A重合，此時(shí)構(gòu)不成三角形．③若點(diǎn)P在x軸下方，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）S△PAM=AM?（﹣y）=﹣3y，S△PAM：S△CEF=：3∴﹣3y：12=：3解得：y=﹣4當(dāng)y=﹣4時(shí)，即x2﹣12x+27=﹣4，解得x=6±．∴P（6﹣，﹣4）或（6+，﹣4）．∴這樣的點(diǎn)共有4個(gè)，∴P（6﹣，4）或（6+，4）或（6﹣，﹣4）或（6+，﹣4）．4．如圖1，正方形ABCD中，有一直徑為BC=2cm的半圓O．兩點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿折線A﹣D﹣C以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E離開(kāi)點(diǎn)的B時(shí)間為t（s），其中1≤t＜2．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，線段EF和BC平行？（2）EF能否與半圓O相切？如果能，求出t的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明原因．（3）如圖2，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，也請(qǐng)說(shuō)明理由，并求AP：PC的值．變式：如圖3，若將上題改為，正方形ABCD中，有一直徑為BC=2cm的半圓O．點(diǎn)E為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)E與圓O相切的直線交CD所在直線為點(diǎn)F，設(shè)EB=x，F(xiàn)D=y．（1）試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（2）是否存在切線EF，把正方形ABCD的周長(zhǎng)分成相等的兩部分？若存在，求出x的值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）如圖1，設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了ts時(shí)，有EF和BC平行．則BE=t，DF=2t﹣2．∴t=4﹣2t．解得t=．∴當(dāng)t=s時(shí)，線段EF和BC平行．（2）設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，EF與半圓相切．作OM⊥EF于點(diǎn)M，ON∥CF交EF于點(diǎn)N，KF∥BC交AB于點(diǎn)K，如圖2．則OM=1，BE=t，CF=4﹣2t，EK=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，ON=[t+（4﹣2t）]=2﹣t．在Rt△OMN中，MN2=ON2﹣OM2=4t2﹣8t+3．∵△OMN∽△FKE，∴，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式并整理，得2t2﹣4t+1=0解得t=．∵1＜t＜2，∴t=．∴當(dāng)t=s時(shí)，線段EF與半圓相切．（3）當(dāng)1≤t＜2時(shí)，點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化．證明：設(shè)1≤t＜2時(shí)，E、F出發(fā)后運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，EF位置如圖則BE=t，AE=2﹣t，CF=4﹣2t∴又∵AB∥DC∴△AEP∽△CFP∴，即點(diǎn)P的位置與t的取值無(wú)關(guān)．∴當(dāng)1≤t＜2時(shí)，點(diǎn)P的位置不會(huì)發(fā)生變化，且AP：PC的值為．變式題答案：（1）如圖（1），當(dāng)F點(diǎn)在CD的延長(zhǎng)線上，過(guò)E作EH⊥DC，交DC于F點(diǎn)，易證EB=EM=x，MF=FC=FD+DC=y+2，在Rt△EHF中，由勾股定理得EH2+FH2=EF2，即22+（y+2﹣x）2=（x+2+y）2，整理得xy+2x﹣1=0，∴∵1﹣2x＞0∴∴點(diǎn)F在DC上的函數(shù)關(guān)系式為（）如圖（2），當(dāng)E點(diǎn)重合于D點(diǎn)時(shí)，即FD=y=0，易求出EM=EB=HC=x，DM=DC=2，∴DH=DC﹣HC=2﹣x，即在Rt△EHD中，ED2=EH2+HD2，∴（x+2）2=22+（2﹣x）2，解得，如圖（3），當(dāng)F點(diǎn)在DC上，在Rt△EHF中，由勾股定理得EH2+FH2=EF2，即22+（y﹣2+x）2=（x+2﹣y）2，整理得xy=2x﹣1，∴，∵2x﹣1＞0，∴，∴點(diǎn)F在DC上的函數(shù)關(guān)系式為（）；（2）如圖（3），假設(shè)EF把正方形周長(zhǎng)分成相等兩部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF，∴2﹣x+2+y=x+2+2﹣y整理得x=y由上面可知，=x，解得x=1，∴存在切線EF，把正方形的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，此時(shí)x=1．5．已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M交OC于D、E，連接AD、BD、BE．（1）在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖1中的兩對(duì)相似三角形．△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；（2）直角梯形OABC中，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、D，且B為拋物線的頂點(diǎn)．①寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）（1，﹣4a）；②求拋物線的解析式；③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P：過(guò)點(diǎn)P做PN⊥x軸于N，使得△PAN與△OAD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；（4分）（2）①（1，﹣4a）（5分）②∵△OAD∽△CDB∴（6分）∵ax2﹣2ax﹣3a=0，可得A（3，0）（8分）又∵OC=﹣4a，OD=﹣3a，CD=﹣a，CB=1，∴∴a2=1，∵a＜0，∴a=﹣1；故拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3（10分）③存在，（11分）設(shè)P（x，﹣x2+2x+3）∵△PAN與△OAD相似，且△OAD為等腰三角形∴PN=AN當(dāng)x＜0（x＜﹣1）時(shí)，﹣x+3=﹣（﹣x2+2x+3），x1=﹣2，x2=3（舍去），∴P（﹣2，﹣5）（13分）當(dāng)x＞0（x＞3）時(shí)，x﹣3=﹣（﹣x2+2x+3），x1=0，x2=3；（都不合題意舍去）符合條件的點(diǎn)P為（﹣2，﹣5）．（14分）6．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為A（4，4），且拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，和x軸相交于另一點(diǎn)B，以AB為一邊在直線AB的右側(cè)畫正方形ABCD．（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；（2）能否將此拋物線沿著直線x=4平移，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過(guò)正方形ABCD的另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D若能，寫出平移后拋物線的解析式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若以點(diǎn)A（4，4）為圓心，r為半徑畫圓，請(qǐng)你探究：①當(dāng)r=2時(shí)，⊙A上有且只有一個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離等于2；②當(dāng)r=6時(shí)，⊙A上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線BD的距離等于2；③隨著r的變化，⊙A上到直線BD的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也隨著變化，請(qǐng)根據(jù)⊙A上到直線BD的距離等于2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論相應(yīng)的r的值或取值范圍．解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2+4，則有：a（0﹣4）2+4=0，解得a=﹣．∴y=﹣（x﹣4）2+4．根據(jù)A（4，4）可知，∠AOB=45°∵AO=AB，∴△AOB為等腰直角三角形．∴∠OAB=90°，即O、A、D三點(diǎn)共線，因此直線BD∥y軸，直線AC∥x軸，則有：C（12，4）D（8，8）．（2）設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=﹣（x﹣4）2+4+h（h＞0），將C點(diǎn)坐標(biāo)代入有：4=﹣（12﹣4）2+4+h，解得h=16∴平移后拋物線的解析式為y=﹣（x﹣4）2+20當(dāng)x=8時(shí)，y=12≠8，因此不能使平移后的拋物線恰好經(jīng)過(guò)正方形ABCD的另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D．（3）①2；②6；③當(dāng)0＜r＜2時(shí)0個(gè)；當(dāng)r=2時(shí)1個(gè)；當(dāng)2＜r＜6時(shí)2個(gè)；當(dāng)r=6時(shí)3個(gè)；當(dāng)r＞6時(shí)4個(gè)．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（，0）為圓心，以2為半徑的圓與x軸相交于點(diǎn)B、C，與y軸相交于點(diǎn)D、E．（1）若拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)，求出此拋物線的解析式；（2）在（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)F，使得△FBD的周長(zhǎng)最小；（3）設(shè)Q為（1）中拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（4）連接BD、CD，設(shè)P為（1）中拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P，使得△ABP與△DBC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）∵OA=，AD=AC=2，∴C（3，0）又在Rt△AOD中，OA=∴OD==3，∴D（O，﹣3），又∵D，C兩點(diǎn)在拋物線上，∴c=﹣3，∴b=﹣，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣3；（2）∵y=x2﹣x﹣3=（x﹣）2﹣4；∴拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=，∵BD的長(zhǎng)為定值，∴要使△FBD周長(zhǎng)最小，只需FB+FD最小，連接DC，則DC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使△FBD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，設(shè)直線DC的解析式為y=mx+n，有n=﹣3，得：m=，∴直線DC的解析式為y=x﹣3，由y=x﹣3，得x=，∴y=﹣2，∴F的坐標(biāo)為（，﹣2）；（3）存在，設(shè)Q（，t）為拋物線對(duì)稱軸x=上一點(diǎn)，M在拋物線上，要使四邊形BCQM為平行四邊形，則BC∥QM且BC=QM，①當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作直線L∥BC與拋物線交于點(diǎn)M（x，t），由BC=QM得QM=4，從而x=﹣3，t=12；故在拋物線上存在點(diǎn)M1（﹣3，12）使得四邊形BCQM為平行四邊形；②同理可知當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，在拋物線上存在M2（5，12）使得四邊形BCQM為平行四邊形；③當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)稱軸上時(shí)，在拋物線上存在M3（，﹣4）使得四邊形BMCQ為平行四邊形；（4）由（1）得B（﹣，0），BD=2，DC=6，AB=2∵BC為圓的直徑，∴△BDC是直角三角形，∴在Rt△BDC和Rt△PAB中當(dāng)，△BDC∽△P1AB，∴AP1==6，∴P1（，6）當(dāng)，△BDC∽△P2AB，∴AP2==2，∴P2（，2）根據(jù)對(duì)稱性可得P3（，﹣6）．P4（，﹣2）．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（，6），P2（，2），P3（，﹣6）．P4（，﹣2）．8．已知：如圖，直線交x軸于O1，交y軸于O2，⊙O2與x軸相切于O點(diǎn)，交直線O1O2于P點(diǎn)，以O(shè)1為圓心，O1P為半徑的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)，PB交⊙O2于點(diǎn)F，⊙O1的弦BE=BO，EF的延長(zhǎng)線交AB于D，連接PA、PO．（1）求證：∠APO=∠BPO；（2）求證：EF是⊙O2的切線；（3）EO1的延長(zhǎng)線交⊙O1于C點(diǎn)，若G為BC上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)1G為直徑作⊙O3交O1C于點(diǎn)M，交O1B于N．下列結(jié)論：①O1M?O1N為定值；②線段MN的長(zhǎng)度不變．只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你判斷出正確的結(jié)論，并證明正確的結(jié)論，以及求出它的值．解：（1）連接O2F．∵O2P=O2F，O1P=O1B，∴∠O2PF=∠O2FP，∠O1PB=∠O1BP，∴∠O2FP=∠O1BP．∴O2F∥O1B，得∠OO2F=90°，∴∠OPB=∠OO2F=45°．又∵AB為直徑，∴∠APB=90°，∴∠APO=∠BPO=45°．（2）延長(zhǎng)ED交⊙O1于點(diǎn)H，連接PE．∵BO為切線，∴BO2=BF?BP．又∵BE=BO，∴BE2=BF?BP．而∠PBE=∠EBF，∴△PBE∽△EBF，∴∠BEF=∠BPE，∴BE=BH，有AB⊥ED．又由（1）知O2F∥O1B，∴O2F⊥DE，∴EF為⊙O2的切線．（3）MN的長(zhǎng)度不變．過(guò)N作⊙O3的直徑NK，連接MK．則∠K=∠MO1N=∠EO1D，且∠NMK=∠EDO1=90°，又∵NK=O1E，∴△NKM≌△EDO1，∴MN=ED．而OO1=4，OO2=3，∴O1O2=5，∴O1A=8．即AB=16，∵EF與圓O2相切，∴O2F⊥ED，則四邊形OO2FD為矩形，∴O2F=OD，又圓O2的半徑O2F=3，∴OD=3，∴AD=7，BD=9．ED2=AD?BD，∴ED=3．故MN的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，其長(zhǎng)度為．9．如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，直線y=kx+8與直線AB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)C，過(guò)D作DE⊥x軸，E為垂足，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．（1）求直線CD的解析式；（2）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0），過(guò)P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)Q，邊Q點(diǎn)作x軸的平行線交直線CD于點(diǎn)M，設(shè)線段QM的長(zhǎng)為y，當(dāng)﹣6＜t＜2時(shí)，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，過(guò)P、Q、M三點(diǎn)的圓與直線AB和直線CD這兩條直線只有三個(gè)公共點(diǎn)．解：（1）如圖，∵，∴當(dāng)x=2時(shí)，y=4，∴D（2，4），把D（2，4）代入y=kx+8中，得4=2k+8，解得，k=﹣2，故直線CD的解析式為y=﹣2x+8；（2）∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0），∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，t+3），∵QM∥x軸，∴M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t+3，∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣t+，∴y=﹣t+﹣t，即y=﹣t+；（3）由直線AB、CD的解析式得：OB=3OA=6OC=4∵D（2，4）∴CE=2DE=4如圖1，tan∠BAO=tan∠CDE=∴∠BAO=∠CDE∴∠ADC=∠ADE+∠BAO=90°設(shè)過(guò)P、Q、M的三點(diǎn)的圓為⊙O′∵PQM為直角三角形∴PM為直徑設(shè)⊙O′與x軸交于H，MH⊥AC，四邊形PQMH為矩形如圖2，當(dāng)⊙O′與直線CD相切時(shí)PM⊥CD∴∠ADC=∠PMC=90°∴PM∥AB又∵QM∥AC∴四邊形AQMP為平行四邊形∴AP=QM即：﹣t+=t+6得：t=﹣∵QA=MP=QH∴∠O′QD=2∠QAC∵∠QAC≠45°∴∠O′QD≠90°，過(guò)O′作O′N⊥AD于N則O′Q＞O′N∴⊙O′與直線AB相交∴此時(shí)⊙O′與直線AB和直線CD這兩條直線只有三個(gè)公共點(diǎn)．如圖3，當(dāng)⊙O′與直線AB相切時(shí)，同理可得四邊形QMCH為平行四邊形，QM=CH=PH∴AP+2QM=10即t+6+2（﹣t+）=10解得：t=同理，過(guò)O′作O′T⊥CD于T，則O′Q=O′M＞OT∴此時(shí)⊙O′與直線CD相交，∴當(dāng)t=時(shí)，過(guò)P、Q、M三點(diǎn)的圓與直線AB和直線CD這兩天直線只有三個(gè)公共點(diǎn)；若⊙O′經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，∵PM是直徑，∴∠PDM=90°，∵﹣6＜t＜2∴PDM＜90°（不符合題意）∴⊙O′不經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，綜上所述：t=或t=時(shí)，過(guò)P、Q、M三點(diǎn)的圓與直線AB和直線CD這兩天直線只有三個(gè)公共點(diǎn)．10．已知，如圖，點(diǎn)M在x軸上，以點(diǎn)M為圓心，2.5長(zhǎng)為半徑的圓交y軸于A、B兩點(diǎn)，交x軸于C（x1，0）、D（x2，0）兩點(diǎn)，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的兩根．（1）求點(diǎn)C、D及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若直線y=kx+b切⊙M于點(diǎn)A，交x軸于P，求PA的長(zhǎng)；（3）⊙M上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q、A、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出過(guò)A、C、Q三點(diǎn)的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）x（2x+1）=（x+2）2整理得，x2﹣3x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴點(diǎn)C、D的坐標(biāo)是C（﹣1，0），D（4，0），=1.5，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1.5，0），故答案為：C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）；（2）如圖，連接AM，則AM=2.5，在Rt△AOM中，AO===2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），∵PA與⊙M相切，∴AM⊥PA，∴∠MAO+∠PAO=90°，又∵∠AMO+∠MAO，∴∠AMO=∠PAO，在△AOM與△POA中，，∴△AOM∽△POA，∴=，即=，解得PA=；（3）存在．如圖，連接AC、AD，∴∠CAD=90°，在△ACO與△DCA中，，∴△ACO∽△DCA，∴存在點(diǎn)Q，與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)Q、A、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOC相似，此時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A、C、Q的拋物線是y=ax2+bx+c，則，解得，∴過(guò)A、C、Q三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2．11．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC交⊙O于點(diǎn)F．（1）AB與AC的大小有什么關(guān)系？為什么？（2）按角的大小分類，請(qǐng)你判斷△ABC屬于哪一類三角形，并說(shuō)明理由．小明按下面的方法作出了∠MON的平分線：①反向延長(zhǎng)射線OM；②以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作圓，分別交∠MON的兩邊于點(diǎn)A、B，交射線OM的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)C；③連接CB；④以O(shè)為頂點(diǎn)，OA為一邊作∠AOP=∠OCB．（1）根據(jù)上述作圖，射線OP是∠MON的平分線嗎？并說(shuō)明理由．（2）若過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交射線OP于點(diǎn)F，連接AB交OP于點(diǎn)E，當(dāng)∠MON=60°、OF=10時(shí)，求AE的長(zhǎng)．解：（1）連接AD．∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∵BD=CD，∴AB=AC；（2）連接AD．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°．∴∠B＜∠ADB=90°∠C＜∠ADB=90°∴∠B、∠C為銳角，∵AC和⊙O交于點(diǎn)F，連接BF，∴∠A＜∠BFC=90°∴△ABC為銳角三角形；①∵∠AOF=∠OCB又∵∠BOA=2∠OCB∴∠AOF=∠BOF∴OP為∠BOA的角平分線②∵∠MON=60°∴△AOB為正三角形∵OP平分∠MON∴AE=BE=AB∵OP平分∠BOD∴∠BOF=30°又∵AF與⊙O相切∴AF⊥AO∵AO=5∴AB=AO=5∴AE=．12．已知如圖，過(guò)O且半徑為5的⊙P交x的正半軸于點(diǎn)M（2m，0）、交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D，弧OBM與弧OAM關(guān)于x軸對(duì)稱，其中A、B、C是過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與兩弧及圓的交點(diǎn)．（1）當(dāng)m=4時(shí)，①填空：B的坐標(biāo)為（4，﹣2），C的坐標(biāo)為（4，﹣8），D的坐標(biāo)為（0，﹣6）；②若以B為頂點(diǎn)且過(guò)D的拋物線交⊙P于點(diǎn)E，求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；③除D點(diǎn)外，直線AD與②中的拋物線有無(wú)其它公共點(diǎn)并說(shuō)明理由．（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形組成菱形？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）①B（4，﹣2）C（4，﹣8）D（0，﹣6）②設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣4）2﹣2，已知拋物線過(guò)D點(diǎn)，因此﹣6=a（x﹣4）2﹣2，解得a=﹣．拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣（x﹣4）2﹣2．根據(jù)對(duì)稱可知：E（8，﹣6）③直線AD：y=2x﹣6，把y=2x﹣6代入y=﹣（x﹣4）2﹣2，整理得：x2=0，得x1=x2=0∴除D點(diǎn)外，直線AD與②中的拋物線無(wú)其它公共點(diǎn)．（2）設(shè)A（m，h），則B的坐標(biāo)為（m，﹣h），C的坐標(biāo)為（m，h﹣10）．假設(shè)以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形組成菱形，則DE與BC互相垂直平分，設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)F，于是BF=CF=AB．∴10﹣3h=h，即h=∴AB=5∴B、P兩點(diǎn)重合∴OB=m===．13．已知：如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了t秒（t＞0）時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊AC相切于點(diǎn)D，與邊AB相交于E、F兩點(diǎn)．過(guò)E作EG⊥DE交射線BC于G．（1）若E與B不重合，問(wèn)t為何值時(shí)，△BEG與△DEG相似？（2）問(wèn)：當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)G在線段BC上當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)G在線段BC的延長(zhǎng)線上？（3）當(dāng)點(diǎn)G在線段BC上（不包括端點(diǎn)B、C）時(shí)，求四邊形CDEG的面積S（cm2）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)關(guān)系式，并問(wèn)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)了幾秒鐘時(shí)，S取得最大值最大值為多少？解：（1）連接OD，DF．∵AC切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴OD=OF=t，AD=OA?cosA=．又∵∠FOD=90°﹣30°=60°，∴∠AED=30°，∴AD=ED=．∵DE⊥EG，∴∠BEG=60°，△BEG與△DEG相似．∵∠B=∠GED=90°，①當(dāng)∠EGD=30°，CE=2BE=2（6﹣）則∠BGD=60°=∠ACB，此時(shí)G與C重合，DE==AD，CD=12﹣，BE=6﹣t，∵△BEG∽△DEC，∴=，∴=，t=；②當(dāng)∠EGD=60°．∴DG⊥BC，DG∥AB．在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=，∴DG=t．在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，∴AC=12，AB=6，∴CD=12﹣．∵DG∥AB，∴解得t=．答：當(dāng)t為或時(shí)，△BEG與△EGD相似；（2）∵AC切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，∴∠BEG=60°．在Rt△BC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=6，BE=6﹣t．Rt△BEG中，∠BEG=60°，∴BG=BE?tan60°=18﹣t．當(dāng)0≤18﹣t≤6，即≤t≤4時(shí)，點(diǎn)G在線段BC上；當(dāng)18﹣t＞6，即0＜t＜時(shí)，點(diǎn)G在線段BC的延長(zhǎng)線上；（3）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M．在Rt△ADM中，∠A=30°，∴DM=AD=t．∴S=S△ABC﹣S△AED﹣S△BEG=36﹣t2﹣27t=﹣（t﹣）2+（＜t＜4）．所以當(dāng)t=時(shí)，s取得最大值，最大值為．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0）、B（6，）、C（0，），有兩點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿AB、BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，當(dāng)這兩個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)這兩點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)了t秒．（1）動(dòng)點(diǎn)P與Q哪一點(diǎn)先到達(dá)自己的終點(diǎn)？此時(shí)t為何值？（2）若⊙B的半徑為1，t為何值時(shí)以PQ為半徑的⊙P既與⊙B相切又與AD相切？（3）以PQ為直徑的圓能否與CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范圍，若不可能請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）作BM⊥AD于M；∵B（6，），∴DM=6，BM=；∵A（8，0），∴AM=8﹣6=2，∴AB==4，∴P點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間為：t=（BC+AB）÷2=5秒，此時(shí)Q在距A點(diǎn)5個(gè)單位處，∴P點(diǎn)先到達(dá)，此時(shí)t=5秒；（2）∵由（1）可知∠BAM=30°；∵AP：AQ=2：1，∴PQ∥BM，∴△PMA為直角三角形；∵AB=4，∴PQ=t，AP=2t，BP=4﹣2t，∴t±1=4﹣2t，（5分）t=3（2﹣）（7分）或t=5（2﹣）；（8分）（3）t=時(shí)，以PQ為直徑的圓能與CD相切，（9分）設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，過(guò)M作MN⊥y軸于N，過(guò)P點(diǎn)作PH⊥x軸于H；依題意得：CP+OQ=2MN10﹣2t+8﹣t=PQ即（18﹣3t）2=PQ2=（2）2+[（8﹣t）﹣（10﹣2t）]2，化簡(jiǎn)得：2t2﹣26t+77=0，（10分）t=或，又t≤5，故取t=．（12分）15．如圖，已知拋物線m的解析式為y=x2﹣4，與x軸交于A、C兩點(diǎn)，B是拋物線m上的動(dòng)點(diǎn)（B不與A、C重合），且B在x軸的下方，拋物線n與拋物線m關(guān)于x軸對(duì)稱，以AC為對(duì)角線的平行四邊形ABCD的第四個(gè)頂點(diǎn)為D．（1）求證：點(diǎn)D一定在拋物線n上．（2）平行四邊形ABCD能否為矩形？若能為矩形，求出這些矩形公共部分的面積（若只有一個(gè)矩形符合條件，則求此矩形的面積）；若不能為矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若（2）中過(guò)A、B、C、D的圓交y軸于E、F，而P是弧CF上一動(dòng)點(diǎn)（不包括C、F兩點(diǎn)），連接AP交y軸于N，連接EP交x軸于M．當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形AEMN的面積是否改變？若不變，則求其面積；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：設(shè)n的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），∵n與x軸的交點(diǎn)為A（﹣2，0），C（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣4），m與n關(guān)于x軸對(duì)稱，∴m過(guò)A（﹣2，0），C（2，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4），∴∴a=﹣1，b=0，c=4，即n的解析式為y=﹣x2+4，設(shè)點(diǎn)B（m，n）為m：y=x2﹣4上任意一點(diǎn)，則n=m2﹣4，∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴B、D關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（﹣m，﹣n）．由式方程式可知，﹣n=﹣（m2﹣4）=﹣（﹣m）2+4，即點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足y=﹣x2+4，∴點(diǎn)D在n上．（2）解：?ABCD能為矩形．過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，由點(diǎn)B在m：y=x2﹣4上，可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x0，x02﹣4），則OH=|x0|，BH=|x02﹣4|．易知，當(dāng)且僅當(dāng)BO=AO=2時(shí)，?ABCD為矩形．在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x0|2+|x02﹣4|2=22，（x02﹣4）（x02﹣3）=0，∴x0=±2（舍去）、x0=±．（7分）所以，當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為B（，﹣1）或B′（﹣，﹣1）時(shí)，?ABCD為矩形，此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是D（﹣，1）、D′（，1）．因此，符合條件的矩形有且只有2個(gè)，即矩形ABCD和矩形AB′CD′．（3）解：設(shè)直線AB與y軸交于E，顯然，△AOE∽△AHB，∴=，∴．∴EO=4﹣2．由該圖形的對(duì)稱性知矩形ABCD與矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面積為S=2S△ACE=2××AC×EO=2××4×（4﹣2）=16﹣8．16．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0），⊙P和⊙Q的半徑分別為4和1．P從A開(kāi)始在線段AO上以3單位/秒的速度移動(dòng)，Q從OB的中點(diǎn)C開(kāi)始在線段CO上以1單位/秒的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．圓心移動(dòng)時(shí)，圓也跟著移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．如圖2，當(dāng)時(shí)，設(shè)四邊形APQB的面積為s．（1）求s與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖3，當(dāng)⊙P和⊙Q外切時(shí)，求s的值；（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，⊙P和⊙Q內(nèi)切，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）依題意，得AP=3t，CQ=t．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0），OB的中點(diǎn)C，∴OP=OA﹣AP=10﹣3t，OQ=OC﹣CQ=OB﹣CQ=×10﹣t=5﹣t，∴S四邊形APQB=S△OAB﹣S△OPQ=OA?OB﹣OP?OQ=×10×10﹣（10﹣3t）（5﹣t），∴S四邊形APQB=．（2）當(dāng)⊙P和⊙Q外切時(shí)，PQ=4+1=5．在Rt△OPQ中，OP2+OQ2=PQ2，∴（10﹣3t）2+（5﹣t）2=25，∴t=2或t=5（舍去），當(dāng)t=2時(shí)，s==44，當(dāng)⊙P和⊙Q外切時(shí)，s=44．（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在某一時(shí)刻，⊙P和⊙Q內(nèi)切．當(dāng)⊙P和⊙Q內(nèi)切時(shí)，PQ=4﹣1=3．在Rt△OPQ中，OP2+OQ2=PQ2，∴（10﹣3t）2+（5﹣t）2=9，解得t=，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）．17．已知：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），頂點(diǎn)C（1，﹣3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（﹣1，0）．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)D，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，依次連接A，D，B，E，點(diǎn)P為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與A，B兩點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，請(qǐng)判斷是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)S是線段EP上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)S作FG⊥EP，F(xiàn)G分別與邊AE，BE相交于點(diǎn)F，G（F與A，E不重合，G與E，B不重合），請(qǐng)判斷是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2﹣3（1分）將A（﹣1，0）代入：0=a（﹣1﹣1）2﹣3，解得a=（2分）所以，拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣3，即y=x2﹣x﹣（3分）（2）是定值，=1（4分）∵AB為直徑，∴∠AEB=90°，∵PM⊥AE，∴PM∥BE，∴△APM∽△ABE，所以①同理：②（5分）①+②：（6分）（3）∵直線EC為拋物線對(duì)稱軸，∴EC垂直平分AB，∴EA=EB，∵∠AEB=90°，∴△AEB為等腰直角三角形，∴∠EAB=∠EBA=45°（7分）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BE于H，由已知及作法可知，四邊形PHEM是矩形．∴PH=ME且PH∥ME．在△APM和△PBH中，∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°，∴PH=BH，且△APM∽△PBH，∴，∴①（8分）在△MEP和△EGF中，∵PE⊥FG，∴∠FGE+∠SEG=90°，∵∠MEP+∠SEG=90°，∴∠FGE=∠MEP，∵∠PME=∠FEG=90°，∴△MEP∽△EGF，∴②由①、②知：（9分）（本題若按分類證明，只要合理，可給滿分）18．請(qǐng)閱讀下列材料：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等．即如圖1，若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA?PB=PC?PD．請(qǐng)你根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題．已知⊙O的半徑為2，P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=1，過(guò)點(diǎn)P任作﹣弦AC，過(guò)A、C兩點(diǎn)分別作⊙O的切線m和n，作PQ⊥m于點(diǎn)Q，PR⊥n于點(diǎn)R．（如圖2）（1）若AC恰經(jīng)過(guò)圓心O，請(qǐng)你在圖3中畫出符合題意的圖形，并計(jì)算：的值；（2）若OP⊥AC，請(qǐng)你在圖4中畫出符合題意的圖形，并計(jì)算：的值；（3）若AC是過(guò)點(diǎn)P的任一弦（圖2），請(qǐng)你結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，猜想：的值，并給出證明．解：（1）AC過(guò)圓心O，且m，n分別切⊙O于點(diǎn)A，C，∴AC⊥m于點(diǎn)A，AC⊥n于點(diǎn)C．∴Q與A重合，R與C重合．∵OP=1，AC=4，∴+=1+=．（2）連接OA，∵OP⊥AC于點(diǎn)P，且OP=1，OA=2，∴∠OAP=30°．∴AP=．∵OA⊥直線m，PQ⊥直線m，∴OA∥PQ，∠PQA=90°．∴∠APQ=∠OAP=30°．∴AP=．∵OA⊥直線m，PQ⊥F直線m，∴OA∥PQ，∠PQA=90°．∴∠APQ=∠OAP=30°．在Rt△AQP中，PQ=，同理，PR=，∴．（3）猜想．證明：過(guò)點(diǎn)A作直徑交⊙O于點(diǎn)E，連接EC，∴∠ECA=90°．∵AE⊥直線m，PQ⊥直線，∴AE∥PQ且∠PQA=90°．∴∠EAC=∠APQ．∴△AEC∽△PAQ．∴①同理可得：②①+②，得：+=+∴=（）=?=．過(guò)P作直徑交⊙O于M，N，根據(jù)閱讀材料可知：AP?PC=PM?PN=3，∴=．19．已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D．（1）當(dāng)點(diǎn)E為DB上任意一點(diǎn)（點(diǎn)D、B除外）時(shí)，連接CE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，AF與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G（如圖①）．求證：AC2=AG?AF．（2）李明證明（1）的結(jié)論后，又作了以下探究：當(dāng)點(diǎn)E為AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)A、D除外）時(shí)，連接CE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)與CD的延長(zhǎng)線在圓外交于點(diǎn)G，CG與⊙O相交于點(diǎn)H（如圖②）．連接FH后，他驚奇地發(fā)現(xiàn)∠GFH=∠AFC．根據(jù)這一條件，可證GF?GA=GH?GC．請(qǐng)你幫李明給出證明．（3）當(dāng)點(diǎn)E為AB的延長(zhǎng)線上或反向延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外）時(shí)，如圖③、④所示，還有許多結(jié)論成立．請(qǐng)你根據(jù)圖③或圖④再寫出兩個(gè)類似問(wèn)題（1）、（2）的結(jié)論（兩角、兩弧、兩線段相等或不相等的關(guān)系除外）（不要求證明）．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．（1）證明：延長(zhǎng)CG交⊙O于H，∵CD⊥AB，∴AB平分CH，弧CA=弧AH，∴∠ACH=∠AFC，又∠CAG=∠FAC，∴△AGC∽△ACF，∴=，即AC2=AG?AF．（2）證明：∵CH⊥AB，∴弧AC=弧AH，∴∠AFC=∠ACG又∠AFC=∠GFH，∴∠ACG=∠GFH，又∠G=∠G，∴△GFH∽△GCA，∴=，∴GF?GA=GC?CH．（3）答：CD2=AD?DB，AC2=AD?AB；EF?EC=EA?EB，AF?GA=AD?AB．20．如圖（1），已知圓O是等邊△ABC的外接圓，過(guò)O點(diǎn)作MN∥BC分別交AB、AC于M、N，且MN=a．另一個(gè)與△ABC全等的等邊△DEF的頂點(diǎn)D在MN上移動(dòng)（不與點(diǎn)M、N重合），并始終保持EF∥BC，DF交AB于點(diǎn)P，DE交AC于點(diǎn)Q．（1）試判斷四邊形APDQ的形狀，并進(jìn)行證明；（2）設(shè)DM為x，四邊形APDQ的面積為y，試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式；四邊形APDQ的面積能取到最大值嗎？如果能，請(qǐng)求出它的最大值，并確定此時(shí)D點(diǎn)的位置．（3）如圖（2），當(dāng)D點(diǎn)和圓心O重合時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形APDQ的形狀，并說(shuō)明理由；你能發(fā)現(xiàn)四邊形APDQ的面積與△ABC的面積有何關(guān)系嗎？為什么？解：（1）可知四邊形APDQ為平行四邊形證明：由題知△ABC≌△DEF且△ABC△DEF為等邊三角形∴∠BAC=∠EDF=60°又∵EF∥BC，MN∥BC∴EF∥BC∥MN∴∠MDF=∠DFE=60°，∠FED=∠EDN=60°∠MNA=∠BCA=60°，∠QDN=∠QND=60°∴△DQN為等邊三角形∴∠DQN=∠PDQ=60°，∴PD∥AQ∴∠BAC=∠DQN=60°，∴AP∥DQ∴四邊形APDQ為平行四邊形．（2）y=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+a2∴當(dāng)x取時(shí)，即D點(diǎn)位于MN的中點(diǎn)位置時(shí)，四邊形APDQ的面積最大，且最大值為a2．（3）當(dāng)D點(diǎn)和圓心O重合時(shí)，四邊形APDQ為菱形，理由：由（1）、（2）可知，△MPO，△QON為等邊三角形，且MO=ON，所以△MPQ≌△QON．因此OP=OQ，又因?yàn)樗倪呅蜛PDQ為平行四邊形．所以可知四邊形APDQ為菱形，由題可知，S△ABC=a2，而由（2）知S四邊形APDQ=a2∴，∴S四邊形APDQ=S△ABC．21．如圖，已知一次函數(shù)y=x+2的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，圓O1過(guò)以O(shè)B為邊長(zhǎng)的正方形OBCD的四個(gè)頂點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)在四邊形ABCD上運(yùn)動(dòng)，其中動(dòng)點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C運(yùn)動(dòng)后停止，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→O→D→C→B運(yùn)動(dòng)，AO1交于y軸于E點(diǎn)，P、Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，）；（2）三角形ABE的面積是；（3）當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段AD上時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t（秒），使得S△APQ：S△ABE=3：4？若存在，請(qǐng)確定t的值和直線PQ所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？解：（1）對(duì)于y=x=2，令x=0，則y=2；令y=0，則x+2=0，解得x=﹣2∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），∵正方形OBCD是OB為邊長(zhǎng)的正方形，∴O1的坐標(biāo)為（1，1）設(shè)直線O1A的解析式為y=kx+b，把A（﹣2，0），O1（1，1）分別代入得，解得，∴直線O1A的解析式為y=x+，令x=0，則y=，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，）；（2）S△ABE=BE?OA=×（2﹣）×2=；故答案為（0，）；；（3）存在．理由如下：∵OA=OB=2，AD=4，∴△OAB為等腰直角三角形，則AB=OB=2，∵動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→O→D→C→B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C運(yùn)動(dòng)，而Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段AD上時(shí)，∴0≤t≤2，此時(shí)點(diǎn)P在AB上，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，如圖，∵S△APQ：S△ABE=3：4，∴S△APQ=S△ABE=×=1，∵AP=t，∴PF=AP=t，而AQ=2t，∴S△APQ=AQ?PF=×2t×t=1，∴t=1，∴AQ=2t=2×1=2，PF=1，∵AO=2，∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，0），OF=1，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1，1）設(shè)直線PQ的解析式為y=mx，把P（﹣1，1）代入得1=﹣m，即m=﹣1，∴直線PQ的解析式是y=﹣x．22．如圖，⊙A和⊙B是外離兩圓，⊙A的半徑長(zhǎng)為2，⊙B的半徑長(zhǎng)為1，AB=4，P為連接兩圓圓心的線段AB上的一點(diǎn)，PC切⊙A于點(diǎn)C，PD切⊙B于點(diǎn)D．（1）若PC=PD，求PB的長(zhǎng)．（2）試問(wèn)線段AB上是否存在一點(diǎn)P，使PC2+PD2=4？如果存在，問(wèn)這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)并求出PB的值；如果不存在，說(shuō)明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到某處，使PC⊥PD時(shí)，就有△APC∽△PBD．請(qǐng)問(wèn)：除上述情況外，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)到何處（說(shuō)明PB的長(zhǎng)為多少；或PC、PD具有何種關(guān)系）時(shí)，這兩個(gè)三角形仍相似；并判斷此時(shí)直線CP與⊙B的位置關(guān)系，證明你的結(jié)論．解：（1）∵PC切⊙A點(diǎn)于C，∴PC⊥AC，PC2=PA2﹣AC2，同理PD2=PB2﹣BD2，∵PC=PD，∴PA2﹣AC2=PB2﹣BD2設(shè)PB=x，PA=4﹣x代入得x2﹣12=（4﹣x）2﹣22，解得x=，1＜＜2，即PB的長(zhǎng)為（PA長(zhǎng)為＞2），（2）假定存在一點(diǎn)P使PC2+PD2=4，設(shè)PB=x，則PD2=x2﹣1PC2=（4﹣x）2﹣22，代入條件得（4﹣x）2﹣22+x2﹣1=4，代簡(jiǎn)得2x2﹣8x+7=0解得x=2±，∵P在兩圓間的圓外部分，∴1＜PB＜2即1＜x＜2，∴滿足條件的P點(diǎn)只有一個(gè)，這時(shí)PB=2﹣，（3）當(dāng)PC：PD=2：1或PB=時(shí)，也有△PCA∽△PDB，這時(shí)，在△PCA與△PDB中或，∠C=∠D=90°，∴△PCA∽△PDB，∴∠BPD=∠APC=∠BPE（E在CP的延長(zhǎng)線上），∴B點(diǎn)在∠DPE的角平分線上，B到PD與PE的距離相等，∵⊙B與PD相切，∴⊙B也與CP的延長(zhǎng)線PE相切．23．已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（x1，0），D（x2，0）（x1＞x2）兩點(diǎn)，并且AD=1，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，1），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線y=x2+bx+c的函數(shù)關(guān)系式；（2）求點(diǎn)A及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖1，連接AB，在題1中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）如圖2，連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過(guò)A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．解：（1）令y=0，則x2+bx+c=0，即x2+2bx+2c=0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，x1+x2=﹣2b，x1?x2=2c，AD===1，整理得，4b2﹣8c﹣1=0①，又∵點(diǎn)B（4，1）在拋物線上，∴8+4b+c=1，整理得，c=﹣4b﹣7②，把②代入①得，4b2+32b+55=0，解得b1=﹣，b2=﹣，由圖可知，拋物線x=﹣＜4，所以，b＞﹣4，∴b=﹣，把b=﹣代入②得，c=﹣4×（﹣）﹣7=10﹣7=3，所以，拋物線的解析式為y=x2﹣x+3；（2）令x=0，則x2﹣x+3=0，整理得，x2﹣5x+6=0，解得x1=3，x2=2，∵點(diǎn)A在點(diǎn)D的右邊，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），令x=0，則y=3，所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；（3）假設(shè)存在，分兩種情況：如圖1，①過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于點(diǎn)H，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴∠OCA=45°，∠BAH=45°，∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△ABC是直角三角形，點(diǎn)C（0，3）符合條件，所以，P1（0，3）；②當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BP∥AC交拋物線于點(diǎn)P，∵A（3，0），C（0，3），∴直線AC的解析式為y=﹣x+3，設(shè)直線BP的解析式為y=﹣x+b，則﹣4+b=1，解得b=5，∴直線BP：y=﹣x+5，聯(lián)立，解得，，又∵點(diǎn)B（4，1），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，6），綜上所述，存在點(diǎn)P1（0，3），P2（﹣1，6）；（4）如圖2，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），∴∠OAE=45°，∠OAF=∠BAH=45°，又∵∠OFE=∠OAE，∠OEF=∠OAF，∴∠OEF=∠OFE=45°，∴OE=OF，∠EOF=180°﹣45°×2=90°，∵點(diǎn)E在直線AC上：y=﹣x+3，∴設(shè)點(diǎn)E（x，﹣x+3），根據(jù)勾股定理，OE2=x2+（﹣x+3）2，=2x2﹣6x+9，所以，S△OEF=OE?OF=OE2=x2﹣3x+=（x﹣）2+，所以，當(dāng)x=時(shí)，S△OEF取最小值，此時(shí)﹣x+3=﹣+3=，所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)（，）．24．關(guān)于圖形變化的探討：（1）①例題1．如圖1，AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O有一個(gè)公共點(diǎn)C，過(guò)A、B分別作l的垂線，垂足為E、F，則EC=CF．②上題中，當(dāng)直線l向上平行移動(dòng)時(shí)，與⊙O有了兩個(gè)交點(diǎn)C1、C2，其它條件不變，如圖2，經(jīng)過(guò)推證，我們會(huì)得到與原題相應(yīng)的結(jié)論：EC1=C2F．③把直線1繼續(xù)向上平行移動(dòng)，使弦C1C2與AB交于點(diǎn)P（P不與A，B重合）．在其它條件不變的情況下，請(qǐng)你在圖3的圓中將變化后的圖形畫出來(lái)，標(biāo)好對(duì)