2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)章節(jié)真題匯編：第21章 一元二次方程（提優(yōu)卷）教師版

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)章節(jié)真題匯編檢測(cè)卷（提優(yōu)）

第21章一元二次方程

考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分難度系數(shù)：0.52

一.選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（2分）（2023?西安開學(xué)）關(guān)于代數(shù)式f-4x+5的判斷，下列正確的是（）

A.有最小值2B.有最大值1C.有最小值1D.有最大值2

解：/-4^+5

—X-4x+4+l

=（x+2）2+1,

（x+2）:0,

（x+2）2+1^0,

代數(shù)式？-4x+5有最小值1,

故選：C.

2.（2分）（2023?召陵區(qū)二模）一元二次方程6=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.有一個(gè)實(shí)數(shù)根為0D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

解：?/A=Z）2-4ac=（-2）2-4X（-6）=28>0,

一元二次方程/-2x-6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：A.

3.（2分）（2022秋?龍華區(qū)校級(jí)期末）用配方法解方程V+2x-3=0,下列變形正確的是（）

A.（x+1）=4B.（x+1）2=2C.（x+1）三3D.（x+1）2=-3

解：'：x+2x-3=0,

：.x+2x=3,

貝ljV+2x+l=3+l,即（A+1）2=4,

故選：A.

4.（2分）（2022秋?龍巖期末）某開發(fā)公司2021年投入的研發(fā)資金為100億元，為了擴(kuò)大產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)力,

該公司不斷增加研發(fā)投資，計(jì)劃2023年投入400億元研發(fā)資金.若2021年到2023年投入的研發(fā)資金年

平均增長(zhǎng)率均為x,則下列方程中正確的是（）

A.100(1+x)=400

B.100(l+2x)=400

C.100(1+x)+100(1+x)2=400

D.100(1+x)2=400

解：根據(jù)題意得,100(1+x)2=400,

故選：D.

5.(2分)(2023?永年區(qū)校級(jí)開學(xué))已知關(guān)于x的方程(4-3)f-4x+2=0有實(shí)數(shù)根，則次的取值范圍是

()

A.AW5B.“<5且孑W3C.AW5且A#3D.425

解：當(dāng)左-3=0,即4=3時(shí)，方程化為-4x+2=0,解得x=丄；

2

當(dāng)A-3W0時(shí)，B-4ac=(-4)2-4(A-3)X2>0,解得AW5且23.

綜上所述，次的取值范圍為Z5.

故選：A.

6.(2分)(2023?從江縣校級(jí)開學(xué))下列方程是一元二次方程的是()

,1

A.3?-3=2x+lB.—-3^=2

2

x

C.-7=2XD.(2x-7)(x+2)=2/

解：A.方程3/-3=2戶1是一元二次方程，選項(xiàng)/符合題意；

B.方程±-3x=2不是整式方程，選項(xiàng)8不符合題意；

X

C.方程J彳-7=2x的最高次數(shù)為1,選項(xiàng)C不符合題意；

D.原方程可整理得3x+14=0,該方程為一元一次方程，選項(xiàng)〃不符合題意.

故選：A.

7.(2分)(2023?城廂區(qū)校級(jí)開學(xué))廣東春季是流感的高發(fā)時(shí)期，某校4月初有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳

染后，共25人患流感，假設(shè)每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程()

A.1+x+x=25B.x+x=25

C.(1+x)2=25D.x+x(1+x)=25

解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了X個(gè)人，依題意得1+x+x(1+x)=25,

即(1+x)2=25,

故選：c.

8.(2分)(2023春?美蘭區(qū)校級(jí)期末)若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則4

的取值范圍是()

A.k<)B.k<[C.k>]D.k>]

4444

解：..?關(guān)于X的一元二次方程/-戶A=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

Z.(-1)-Q0,

解得：k<l.

4

故選：A.

9.(2分)(2023?廣州)已知關(guān)于x的方程六-(2A-2)矛+戸-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則J(『1)2-)2

的化簡(jiǎn)結(jié)果是()

A.-1B.1C.-l-2kD.2k-3

解：???關(guān)于x的方程f-(24-2)x+戸-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

二判別式△=[-(2A-判]2-4XlX(/-1)20,

整理得：-8A+820,

：.k-1^0,2-k>0,

?'?V(k-1)2-(V^k)2

=-(k-1)-(2-A)

=-1.

故選：A.

10.(2分)(2023?連平縣二模)為執(zhí)行國(guó)家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來(lái)實(shí)惠，某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，

每盒零售價(jià)由16元降為9元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x,則根據(jù)題意，下列方程正確的是()

A.16(1-x)2=9B.16(1-/)=9C.9(1-x)2=16D.9(1+?)=16

解：根據(jù)題意得：16(1-x)2=9,

故選：4

二.填空題(共10小題，滿分20分，每小題2分)

11.(2分)(2023?鼓樓區(qū)校級(jí)開學(xué))關(guān)于x的方程/x2-3x-l=0的兩根分別為為，如則為的值為

2.

解：???關(guān)于X的方程工/-3x-1=0的兩根分別為荀，XZ,

2

2

故答案為：-2.

12.（2分）（2023春?槐蔭區(qū)期末）公園原有一塊正方形空地，后來(lái)從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（陰

影部分），原空地一邊減少了3處另一邊減少了2必，剩余空地面積為56君，設(shè)正方形空地原來(lái)的邊長(zhǎng)為

故答案為：（x-3）（x-2）=56.

13.（2分）（2023?武侯區(qū)校級(jí)開學(xué)）關(guān)于x的一元二次方程（1-a）f+2x-2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

則a的最大整數(shù)值為0.

解：根據(jù)題意得1-aWO且A=22-4（1-石）X（-2）>0,

解得a<g且a/l.

2

所以a的取值范圍為a<l■且aWl,

2

故最大整數(shù)為o.

故答案為：0.

14.（2分）（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）若如〃分別是一元二次方程/-4矛+1=0的兩個(gè)根，則著-3硏〃的值

為3.

解：:/，n分別是一元二次方程V-4x+l=0的兩個(gè)根，

-4^1=0,硏厶=4,

m-4m=-1,

.*./?-3=B-4/冰n=-1+4=3,

故答案為：3.

15.（2分）（2023?香坊區(qū)校級(jí)開學(xué)）某種茶葉的價(jià)格兩次下降，每次下降的百分率相同，原來(lái)每袋125元，

現(xiàn)在每袋80元，則每次下降的百分率是20%.

解：設(shè)每次下降的百分率為力

根據(jù)題意得：125（1-x）2=80,

解得x=20%或了=且（舍去），

5

每次下降的百分率是20%；

故答案為：20%.

16.（2分）（2023?牡丹區(qū)校級(jí)開學(xué)）若關(guān)于x的一元二次方程〃云+2加什4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則小的

值為4.

解：根據(jù)題意，得：△=（2加,-4X4勿=4君-16必=0,

解得：加=4,或加=0（舍去），

故答案為：4.

17.（2分）（2023?綿陽(yáng)三模）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展，我市某家快遞公

司，今年1月份與3月份完成投送的快遞件數(shù)分別為10萬(wàn)件和12.1萬(wàn)件.如果按此平均速度增長(zhǎng)，該

公司4月份投遞的快遞總件數(shù)將達(dá)到13.31萬(wàn)件.

解：設(shè)該公司每月的投遞總件數(shù)的平均增長(zhǎng)率為X,

根據(jù)題意得：10（1+x）2=12.1,

解得：荀=0.1或x?=-2.1（不合題意，舍去），

按此平均速度增長(zhǎng)，則該公司4月份投遞的快遞總件數(shù)將達(dá)到：12.IX（1+0.1）=13.31（萬(wàn)件），

故答案為：13.31.

18.（2分）（2023?雙流區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知實(shí)數(shù)a,B滿足2a?+5a-2=0,202-53-2=0,且aBW1,

且士小士?a的值為空.

B262—4―

解：V2B2-5P-2=0,

V2ci2+5a-2=0,且a8#1,

/.a、/一可看作方程2x?+5x-2=0的兩根,

P

a+.15a.尹一1,

8~2

V2a2+5a-2=0,

5a=-2a2+2,

.1a5c

.?冴下至a

-1-^(-2a2+2)

B22

=1+a2-1

P2

=(a+丄)2-2a.丄-2

8B

(-5)Z-2X(-1)-2

2

=空+2-2

4

25

=T

故答案為：25

4

19.（2分）（2023?興寧市二模）已知實(shí)數(shù)a20,620,且乃+5=4,記代數(shù)式—才+瑟+況記仍，仍分別

為代數(shù)式”的最大值與最小值，則胸-肌的值為4

解：a+b=4：,

6=4-a,

w=a+ab^-t)'

=(3+6)2-ab

=42-a(4-a)

—a-4a+16

=(a-2)2+12.

??,心0,620,

.(a)0

,l4-a>0，

???0W〃W4,

???當(dāng)a=0或女=4時(shí)，w=(a-2)、12有最大值，為仍=16,

當(dāng)a=2時(shí)，w=(。-2)2+12有最小值，為價(jià)=12,

w\-仍=16-12=4.

故答案為：4.

20.(2分)(2023春?招遠(yuǎn)市期末)如圖，已知4B,「是數(shù)軸上異于原點(diǎn)。的三個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)。為的中

點(diǎn)，點(diǎn)6為/C的中點(diǎn).若點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的數(shù)是x,點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的數(shù)是/-3x,則x=6.

—4_S~鳥-----------S------->

解：?..〃是原點(diǎn)，且是力6的中點(diǎn)，

：.OA=OB,

;6點(diǎn)表示的數(shù)是X,

點(diǎn)表示的數(shù)是-x.

丁方是熊的中點(diǎn)，

：.AB=BC,

(V-3x)-x=x-(-x),

解得：為=0,至=6.

??,8異于原點(diǎn)，

?W0,

x=6.

故答案為：6.

三.解答題(共9小題，滿分60分)

21.(4分)(2023?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)開學(xué))解方程：

(1)(x+2)2-x-2=0；

(2)2/+4x-1=0.

解：(1)(x+2)2-X-2=0,

貝!J(x+2)2-(x+2)=0,

(x+2)(x+2-1)=0,

.??x+2=0或x+l=0,

??X\■——2,X2~~~1；

(2)2/+4x-1=0,

a=2,6=4,c=-1,

則A=?2-4ac=42-4X2X(-1)=24,

..-4±2V6

4

?_-2+^/6一-2~V^

??Xl----------，X2--------?

22

22.（4分）（2022秋?福州期末）已知一元二次方程aV+2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

解：：方程a，+2x+l=0是一元二次方程，

HWO,

?.?一元二次方程ad+2x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，

A=22-4a=4-4a>0,

解得a<l,

二a的取值范圍是a<l且aWO.

23.（8分）（2023?盤龍區(qū)校級(jí)開學(xué)）昆明湖中學(xué)提醒學(xué)生，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定，

某頭盔經(jīng)銷商銷售某名牌頭盔，進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，經(jīng)測(cè)算，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，

若在此基礎(chǔ)上每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，設(shè)售價(jià)在40元/個(gè)的基礎(chǔ)上漲價(jià)x元.

（1）用含有x的代數(shù)式表示月銷售量y；

（2）為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少

元/個(gè)？

解：（1）根據(jù)題意得：y=600-10x；

（2）根據(jù)題意得：（40+X-30）（600-10x）=10000,

整理得：/-50^+400=0,

解得：荀=10,^2=40,

又??.要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，

.".x—lQ,

.,.40+^=40+10=50.

答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元/個(gè).

24.（6分）（2023?干B江區(qū)二模）已知關(guān)于x的一元二次方程V-（0-1）x+m-2—0.

（1）求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3,求卬的值.

（1）證明：?.,一元二次方程V-（a-1）x+m-2=0,

A=(1-77?)2-4(7ff-2)

=m-2硏1-4硏8

=（勿-3）2.

??,（r-3）220,

:.A20.

???該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（2）解：..?一元二次方程?-（勿-1）x+m-2=0,

解方程，得xi=LX2=m-2.

??,該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的差為3,

|1-（777-2）|=3.

???勿=0或勿=6.

綜上所述，〃的值是0或6.

25.（8分）（2023春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）閱讀材料：材料：若一元二次方程ax+bx+c=0（aWO）的兩個(gè)根

卜_

為矛1,田，則矛+1吊=-一，XiX=—.

a2a

（1）材料理解：一元二次方程5*+10*-1=0的兩個(gè)根為xi,X2,貝!J荀+生=-2,荀熱=--；

—5-

（2）類比探究：已知實(shí)數(shù)以，厶滿足7著-7s-1=0,In-In-1=0.且勿之厶,求福/?+而/的值；

（3）思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、《分別滿足7s?+7戸1=0,「+7加7=0,且sfWl.求2st+7s+2的值.

t

解：（1）?..一元二次方程5/+10x-1=0的兩個(gè)根為xi,如

?.Xi+x2=-2,XiXz=-.

5

故答案為：-2,-1.

5

（2）\'7/n-1m-1=0,7n-In-1=0,且勿

:.m、刀可看作方程73-7x-1=0,

??HT^n~~1niri^~———

7

???m2n+,mn2

=mn（冰刀）

=-丄XI

7

=__1

7-

（3）把「+7什7=0,兩邊同時(shí)除以一得：

7?（工）2+7*A+1=O,

tt

則實(shí)數(shù)s和丄可看作方程7X2+7X+1=0的根，

t

?s+1=_1s-1—1

tt7

.2st+7s+2

t

=2s+y—+—

tt

=2（s+i）+7?旦

tt

=2X（-1）+7XA

7

=-2+1

=-1.

26.（6分）（2023?碑林區(qū)校級(jí)開學(xué)）超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)

大銷量，增加盈利，該店采取了降價(jià)措施.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多

售出2件.

（1）若降價(jià)6元，則平均每天銷售數(shù)量為32件;

（2）為盡快減少庫(kù)存，要使該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元，每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？

解：（1）由題意得，若降價(jià)6元，則平均每天銷售數(shù)量為20+6X2=32件，

故答案為：32

（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)x元，

由題意得,（40-x）（20+2題=1200,

整理得：30^+200=0,

解得x=10或x=20,

:要盡快減少庫(kù)存，

x=20,

.?.每件商品應(yīng)降價(jià)20元.

27.（8分）（2023?廣州）因活動(dòng)需要購(gòu)買某種水果，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查得知：在甲商店購(gòu)

買該水果的費(fèi)用K（元）與該水果的質(zhì)量x（千克）之間的關(guān)系如圖所示；在乙商店購(gòu)買該水果的費(fèi)用

産（元）與該水果的質(zhì)量x（千克）之間的函數(shù)解析式為再=10x（xNO）.

（1）求為與X之間的函數(shù)解析式;

（2）現(xiàn)計(jì)劃用600元購(gòu)買該水果，選甲、乙哪家商店能購(gòu)買該水果更多一些?

y/元|/

0【「山'/千克

解：（1）當(dāng)0WxW5時(shí)，設(shè)/與x之間的函數(shù)解析式為%=點(diǎn)（AW0）,

把（5,75）代入解析式得：5A=75,

解得A=15,

??％=15x；

當(dāng)x>5時(shí)，設(shè)％與X之間的函數(shù)解析式為（%W0）,

把（5,75）和（10,120）代入解析式得，5mW=75,

110m+n=120

解得"9,

ln=30

，%=9才+30,

綜上所述，％與X之間的函數(shù)解析式為為=，15°x（底產(chǎn)5）；

l9x+30（x>5）

（2）在甲商店購(gòu)買：9x+30=600,

解得^=63—,

3

在甲商店600元可以購(gòu)買63丄千克水果；

3

在乙商店購(gòu)買：10x=600,

解得x=60,

...在乙商店600元可以購(gòu)買60千克，

■63丄>60,

3

在甲商店購(gòu)買更多一些.

28.（8分）（2022秋?昌圖縣期末）某商場(chǎng)銷售某種玩具，每個(gè)進(jìn)貨價(jià)為30元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售價(jià)為50

元時(shí)，平均每月能售出200個(gè)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低1元，平均每月就能多售出20個(gè).商場(chǎng)要想使這種玩

具的銷售利潤(rùn)平均每月達(dá)到4500元，每個(gè)玩具的定價(jià)應(yīng)為多少元？

解：設(shè)個(gè)玩具的定價(jià)應(yīng)為x元，依題意得（x-30）（200+膽三X20）=4500

1

解方程，得XI=X2=45.

經(jīng)檢驗(yàn)為=總=45符合題意.

答：每個(gè)玩具的定價(jià)應(yīng)為45元.

29.(8分)(