2022-2023學(xué)年山西省陽(yáng)高縣校高一年級(jí)下冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山西省陽(yáng)高縣校高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.復(fù)數(shù)上的虛部是

1+1

A.—B.gC.-iD.—i

2222

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，將分子分母同乘以分母的共軌復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

〃+砥4/WR),匕即為虛部.

I1-i1-iI1.11

【詳解】所以復(fù)數(shù)所的虛部是一子

2.設(shè)向量4=(2,1),b=(3,w),a-Lb<則機(jī)=()

313

A.-6B.—C.—D.一

262

【答案】A

【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可.

【詳解】由題意，a-b=6+m=0<即加=-6.

故選：A

3.如圖，在正方體ABCD-AMGA中，點(diǎn)瓦尸分別為棱AB和AA)上的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)EF與8。

A.90B.60C.45D.30

【答案】B

【分析】連接48、AtD,即可得到48//EF,從而NAB。即為異面直線(xiàn)E尸與8。所成角，再根據(jù)

正方體的性質(zhì)看得到一AtBD為等邊三角形，即可得解；

【詳解】解：如圖連接48、A,。，因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別為棱A8和44上的中點(diǎn),

所以A8//EF,

所以NAB。即為異面直線(xiàn)收與8。所成角，

在正方體中A/。為等邊三角形，所以乙4,8。=60。,

即異面直線(xiàn)EF與8。所成角為60。；

故選：B

4.已知某圓錐的高為3,底面半徑為&,則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.，5萬(wàn)萬(wàn)B.2J557C.2萬(wàn)D.6萬(wàn)

【答案】A

【分析】由圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，利用扇形的面積公式直接列式計(jì)算即可得出答案.

【詳解】解：由題意得，該圓錐的側(cè)面積為乃＞＜亞*屈工=后乃.

故選：A.

5.記」ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=屈,4=f，B=空,則。=（）

412

A.3#＞B.3C.D.2

【答案】B

【分析】利用正弦定理求解.

1T

【詳解】解：由題意得C="—A—B=§,

,十廿》9/口ca,口nsinC③

由正弦定理得一^=^-倚。=一一—=3.

sinCsinAsinA

故選：B

6.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形AB'CD是用斜二測(cè)畫(huà)法得到的四邊形A8CD的直觀(guān)圖，則四邊形A8CD

的面積為（）

A.3&B.6夜C.4>/2D.8夜

【答案】D

【分析】由斜二測(cè)畫(huà)法確定平行四邊形ABC。相關(guān)邊長(zhǎng)及對(duì)應(yīng)高，即可求面積.

【詳解】由直觀(guān)圖知：四邊形ABC。中45=2,且其對(duì)應(yīng)高〃=20'。'=40,

所以四邊形A8C。的面積為2x40=8五.

故選：D

7.某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有甲、乙、丙三個(gè)方陣，其人數(shù)之比為2：3：5.現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣

方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，其中方陣乙被抽取的人數(shù)為（）

A.10B.15C.20D.25

【答案】B

【分析】根據(jù)抽樣比即可求解.

3

【詳解】由題意可知：方陣乙被抽取的人數(shù)為50==15,

故選：B

8.《易經(jīng)》是中國(guó)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），

每一卦由三根線(xiàn)組成表示一根陽(yáng)線(xiàn)，■■表示一根陰線(xiàn)），從八卦中任取兩卦，

這兩卦中陽(yáng)線(xiàn)之和為4的概率（）

天

D-.

【答案】B

【分析】首先得到。根陽(yáng)線(xiàn)的有一卦，1根陽(yáng)線(xiàn)的有三卦，2根陽(yáng)線(xiàn)的有三卦，3根陽(yáng)線(xiàn)的有一卦,

再求出基本事件總數(shù)，與滿(mǎn)足條件的事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】解：由圖可知有0根陽(yáng)線(xiàn)的有一卦，1根陽(yáng)線(xiàn)的有三卦，2根陽(yáng)線(xiàn)的有三卦，3根陽(yáng)線(xiàn)的有

一卦，

記1根陽(yáng)線(xiàn)的分別為。、b、c,2根陽(yáng)線(xiàn)的分別為A、B、C,3根陽(yáng)線(xiàn)的為3,

從八卦中任取兩卦，一共有三=28種，

其中滿(mǎn)足陽(yáng)線(xiàn)之和為4的有(。,3),其3),(c,3),(AB),(AC),(B,C)共6種，

故兩卦中陽(yáng)線(xiàn)之和為4的概率=i

故選：B

二、多選題

9.下列命題不正確的是()

A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.兩條相交直線(xiàn)確定一個(gè)平面

C.一條直線(xiàn)和一點(diǎn)確定一個(gè)平面D.兩條平行直線(xiàn)確定一個(gè)平面

【答案】AC

【分析】利用立體幾何的3個(gè)公理與推論即可判斷出答案.

【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)：若3點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，則不能確定一個(gè)平面.錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)：兩條相交直線(xiàn)確定唯一一個(gè)平面.正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)上時(shí)，則不能確定一個(gè)平面.錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)：兩條平行直線(xiàn)確定唯一一個(gè)平面.正確；

故答案為：AC.

10.下列關(guān)于直線(xiàn)/,點(diǎn)A,B與平面a的關(guān)系推理正確的是()

A.Ael,Aea,Bel,Bwa,nlua

B.Aea,Ae尸，B&a,Be乃,=ac/?=A8

C.l<za,Ael,=>A^a

D.Ael,Ic:a,=>Aea

【答案】ABD

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,可推出/uc,所以選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,A,8兩點(diǎn)必定在a與夕交線(xiàn)上，所以可得到aJ3=AB,所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,點(diǎn)A可以在直線(xiàn)/與平面。的交點(diǎn)處，即ac/=A,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,A必定在平面。內(nèi)，所以可得到Aea,所以選項(xiàng)D正確；

【詳解】解：由題意可知，

對(duì)于選項(xiàng)A,A,B兩點(diǎn)均在直線(xiàn)/上，且A,B兩點(diǎn)均在平面內(nèi)a,則可推出/ua,所以選項(xiàng)A

正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,A,8兩點(diǎn)既在a內(nèi)，又在夕內(nèi)，則必定在a與4交線(xiàn)上，所以可得到a/3=AB,

所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,點(diǎn)A在直線(xiàn)/上，但是直線(xiàn)/不在平面a內(nèi)，則點(diǎn)A可以在直線(xiàn)/與平面a的交點(diǎn)處，

即=所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,點(diǎn)A在直線(xiàn)/上，直線(xiàn)/在平面a內(nèi)，則A必定在平面。內(nèi)，所以可得到Aea,所以

選項(xiàng)D正確；

故選：ABD.

11.某校為更好地支持學(xué)生個(gè)性發(fā)展，開(kāi)設(shè)了學(xué)科拓展類(lèi)、創(chuàng)新素質(zhì)類(lèi)、興趣愛(ài)好類(lèi)三種類(lèi)型的校

本課程，每位同學(xué)從中選擇一門(mén)課程學(xué)習(xí).現(xiàn)對(duì)該校6000名學(xué)生的選課情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖①，

展類(lèi)質(zhì)類(lèi)好類(lèi)

①②

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.抽取的樣本容量為6000

B.該校學(xué)生中對(duì)興趣愛(ài)好類(lèi)課程滿(mǎn)意的人數(shù)約為1050

C.若抽取的學(xué)生中對(duì)創(chuàng)新素質(zhì)類(lèi)課程滿(mǎn)意的人數(shù)為36,則a=70

D.該校學(xué)生中選擇學(xué)科拓展類(lèi)課程的人數(shù)為1500

【答案】BD

【分析】根據(jù)餅圖、條形圖及分層抽樣的性質(zhì)分析各項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】A：抽取的樣本容量為6000x2%=120人，錯(cuò)誤：

B：該校學(xué)生中對(duì)興趣愛(ài)好類(lèi)課程滿(mǎn)意的人數(shù)約為6000x35%x50%=1050人，正確；

C：抽取的學(xué)生中對(duì)創(chuàng)新素質(zhì)類(lèi)課程滿(mǎn)意的人數(shù)為36,則120x40%xa%=36,則a=75,錯(cuò)誤;

D：由餅圖知：1一35%-40%=25%,則6000x25%=1500人，正確.

故選：BD

12.下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是()

A.若事件A,B相互獨(dú)立，則滿(mǎn)足P(AB)=P(A)P(B)

B.若事件4,B,C兩兩獨(dú)立,則P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

C.若事件A,B,C彼此互斥，則P(A)+P(8)+P(C)=1

D.若事件A,8滿(mǎn)足P(4)+P(3)=l,則A,B是對(duì)立事件

【答案】BCD

【分析】A選項(xiàng)，事件A,8相互獨(dú)立，則滿(mǎn)足P(A8)=P(A)P(B)；BCD可舉出反例，說(shuō)法錯(cuò)誤.

【詳解】若事件A,B相互獨(dú)立，則滿(mǎn)足P(AB)=P(A)P(8),A說(shuō)法正確；

舉例說(shuō)明：投擲兩個(gè)骰子，記事件4第一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，

事件后第二個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，

事件C：兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，

于是有P(A)=P(8)=P(C)=pP(AB)=P(BC)=P(AC)=：,

P(ABC)=O,可以看出事件A,8,C兩兩獨(dú)立，但4,8,C不互相獨(dú)立，所以P(ABC)豐P(4)P(8)P(C),

B說(shuō)法錯(cuò)誤；

舉例說(shuō)明：投擲一個(gè)骰子三次，記事件A：第一次骰子的點(diǎn)數(shù)為1,

事件3：第二次骰子點(diǎn)數(shù)為2,

事件C：第三次骰子點(diǎn)數(shù)為3,

則P(A)=P(8)=P(C)=J

O

事件A,B,C被此互斥，則尸(A)+P(B)+P(C)wl,C說(shuō)法錯(cuò)誤；

舉例說(shuō)明：記事件4投擲一個(gè)骰子，骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，

事件&投擲一枚硬幣，正面朝上，

則P(A)=P(B)=g,滿(mǎn)足尸(A)+P(3)=l,但A,B不是對(duì)立事件，

D說(shuō)法錯(cuò)誤.

故選：BCD

三、填空題

13.一組數(shù)1、2、4、5、6、6、7、8、9的75%分位數(shù)為

【答案】7

【分析】由百分位數(shù)的定義直接求解

【詳解】因?yàn)?x75%=6.75,

所以75%分位數(shù)為第7個(gè)數(shù)7,

故答案為：7

14.己知事件A、B互斥，且事件A發(fā)生的概率尸(A)事件B發(fā)生的P(B)=-,則事件A、

45

B都不發(fā)生的概率是.

【答案】

【分析】事件4、8互斥，事件48都不發(fā)生的對(duì)立事件是事件A與5至少有一個(gè)發(fā)生,由此即可求出

答案.

【詳解】事件A、B互斥，且事件A發(fā)生的概率P(A)=9，事件B發(fā)生的P(B)

事件43都不發(fā)生的對(duì)立事件是事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生，

所以事件A1都不發(fā)生的概率為：尸(,豆)=1-尸5①8)=1-，+：)=4.

故答案為：點(diǎn).

15.已知輪船A在燈塔8的北偏東45。方向上，輪船C在燈塔8的南偏西15。方向上，且輪船A,C

與燈塔B之間的距離分別是10千米和104千米，則輪船A,C之間的距離是千米.

【答案】10"

【分析】根據(jù)題意作出圖形，再利用余弦定理求解作答.

【詳解】依題意，如圖，在.ABC中，AB=10,BC=10>/3,NABC=180-45+15=150,

100+300-2x10x10^x(-^)=10幣,

由余弦定理得:ACyjAB2+BC2-2ABBCcos^ABC^

所以輪船A,C之間的距離是10"千米.

故答案為：io>/7

16.如圖，三棱錐P—ABC的底面ABC的斜二測(cè)直觀(guān)圖為二A'3'C',已知底面ABC,PB=B

A'D'=D'C,AO^O'B'=00=\,則三棱錐P-43c外接球的體積V=.

.小心、125萬(wàn)，125

【答案]

66

【分析】先由斜二測(cè)畫(huà)法得NA8C=]TT,再結(jié)合P3J_底面ABC求出外接球半徑，即可求解.

由題意得。?！˙'C,且O'D'=1B'C.所以由斜二測(cè)畫(huà)法得，在原圖_ABC中，ZABC=g,A3=2,

22

8C=4,

所以三棱錐P-ABC外接球的半徑r=JAB+Bb+PB?5n243125萬(wàn)

則Vu=W

2236

1254

故答案為:

6

四、解答題

17.若a,b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中〃=(3,-I).

(1)若H=2jid,且“〃c,求c的坐標(biāo)；

⑵若W=萼且4+2〃與2a”垂直，求”與人的夾角e.

【答案】⑴c=(6,-2)或c=(-6,2)

(2)6=%

【分析】(1)設(shè)c=(x,y),則由a〃c可得x+3y=0,再由上|=2加，得了2+/=40,解方程組可

求出乂兒從而可求出c的坐標(biāo);

(2)由4+2匕與2a—人垂直，可得0+2斗體」)=0化簡(jiǎn)可求得”./,=_5,從而得cos6=—l,進(jìn)

而可求出e

【詳解】(1)設(shè)c=(x,y),a//c,〃=(3,-1),,x+3y=0,

2

又卜卜2加，X+/=40.

x=6x=-6

解得:1或

,y=2

c=(6,-2)或C=(-6,2)

(2)邛卜羋且a+26與垂直，

(a+2?.(2a-?=0,即2a*+3°為_(kāi)2//=0.

又忖=而，代入上式解得〃心=-5，

|?||/>|cos0=\/i()x^^cos0=-5

cos0=-l,

又夕€[0,幻，。=萬(wàn).

18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABC。為菱形，PB=PD,E,尸分別為A8和PD的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面PBC；

(2)求證：平面PBOJ_平面P4C.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)取PC的中點(diǎn)G,連接FG,BG,則FG為中位線(xiàn)，根據(jù)題意，可證明四邊形8￡FG是

平行四邊形，利用線(xiàn)面平行的判定定理，即可得證；

(2)設(shè)468￡>=0,連接尸O,根據(jù)題意可證BO_LP。，BDLAC,利用面面垂直的判定定理，即

可得證.

【詳解】證明：Q)取PC的中點(diǎn)G,連接尸G,BG,如圖所示:

是的中點(diǎn)，

C.FG//CD,S.FG=-CD,

2

又?.?底面ABC。是菱形，E是48中點(diǎn)，

C.BE//CD,且BE」。，

2

：.BE//FG,且BE=FG,

四邊形BEFG是平行四邊形，

：.EF//BG,

又EFC平面PBC,8Gu平面P8C,

...EF〃平面PBC：

(2)設(shè)ACnBQ=。，則。是8。中點(diǎn)，連接P。,

:底面A8CZ)是菱形，

J.BDLAC,

又.：PB=PD,。是中點(diǎn)，

：.BD±PO,

又ACCIPO=O,ACu平面附C,POu平面B4C,

.?.801.平面PAC,

平面PBD,

平面PBO_L平面PAC.

【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，需熟悉各個(gè)定理所需的條件，才能

進(jìn)行分析和證明，考查邏輯分析、推理證明的能力，屬中檔題.

19.我校在2021年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)共分成五組：第

1組［75,80),第2組［80,85),第3組［85,90),第4組［90,95),第5組［95,100］,得到的頻率

分布直方圖如圖所示，同時(shí)規(guī)定成績(jī)?cè)?5分以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績(jī)小于85分的學(xué)生為“良好”,

且只有成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格.

(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)與平均數(shù)；

(2)如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中共選出5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至

少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？

【答案】(1)中位數(shù)為等，平均數(shù)為87.25；(2)?

【分析】(1)計(jì)算各組的頻率得中位數(shù)在第三組，不妨設(shè)為x,進(jìn)而根據(jù)(x-85)x0.06=0.1求解，

根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可得答案.

(2)由分層抽樣得良好”的學(xué)生有2人，“優(yōu)秀”的學(xué)生有3人，進(jìn)而根據(jù)古典概型求解即可.

【詳解】解：(1)第一組的頻率為0.05,第二組的頻率為0.35,第三章的頻率為0.30,第四組的頻

率為0.20,第五組的頻率為0.10,

所以中位數(shù)在第三組，不妨設(shè)為x,則(x-85)x().06=0.5-0.()5-().35,解得》=85+?=等，

平均數(shù)為77.5x0.05+82.5x0.35+87.5x0.3+92.5x0.2+97.5x0.1=87.25；

(2)根據(jù)題意,“良好”的學(xué)生有40x0.4=16人,“優(yōu)秀”的學(xué)生有40x0.6=24人,

所以分層抽樣得“良好”的學(xué)生有5x^=2人，“優(yōu)秀，，的學(xué)生有5x±=3人，

將三名優(yōu)秀學(xué)生分別記為AB,C,兩名良好的學(xué)生分別記為6,

則這5人中選2人的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab10種，

其中至少有一人是“優(yōu)秀”的基本事件有：/18,4。,8。,4必公及’,劭,。,。。共9種，

所以至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是P=K

20.如圖，四棱錐P-ABCZ)中，側(cè)面皿>為等邊三角形且垂直于底面ABC。，AB=BC=^AD,

ZBAD=ZABC=90°,E為A"的中點(diǎn).

(1)證明：PELAB；

⑵若.孫。面積為百，求點(diǎn)。到面PAC的距離.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;

【分析】(1)由平面%￡>!■平面ABC。，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明PEJ-平面ABGD,由此證明

PE1AB,(2)根據(jù)錐體體積公式結(jié)合等體積法求點(diǎn)。到面PAC的距離.

【詳解】(1)在等邊三角形P4D中，E為AO的中點(diǎn)，所以PE1AZ),

平面ED_L平面A5CQ,平面RLDc面ABC￡>=AD,PEu平面PAD,

/>￡，平面鉆0

；A3u平面458,

；?PEYABx

(2)：一.?4￡>面積為G，,AD=2,PE=6

?：AB=BC=-AD,ZBAD=ZABC=90°,：.AB=BC=l

2

在中，M=2,AC=&，PC=2,

所以SPAC=—xACx^^-=—Xy/2x^^-=^-9

22222

SACD=gxADxCE=1,

設(shè)點(diǎn)。到面PAC的距離為h,則％_AC"=gXSAC。xPE=；xSPACXh,

/./?=3包，即點(diǎn)。到面PAC的距離為如互

77

21.甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球.甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已投球

3次時(shí)投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為g,乙每次投籃投中的概率為且各次投籃互不影響.

⑴求甲獲勝的概率；

(2)求投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球的概率.

【答案】⑴成

【分析】(1)根據(jù)互斥事件和的概率公式及獨(dú)立事件同時(shí)成立的概率公式求解即可；

(2)寫(xiě)出投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球的事件，由互斥事件的和的概率公式，獨(dú)立事件概率公式求解.

【詳解】(1)設(shè)Ak,Bk分別表示甲、乙在第k次投籃時(shí)投中，則P(4)=；，P(B,)=g,g,2,

3),記“甲獲勝”為事件c,則P(C)=P(A)+P(AGA)+P(A耳4瓦A)

=p(a)+p(A)尸(瓦)外4)+尸(A)尸(A)p(A)p(瓦)p(4)

1211

X—X-+

3323圖、出彳哮

(2)記“投籃結(jié)束時(shí)乙只投了2個(gè)球”為事件D.

則P(D)=P(A可還2)+P(AA/瓦A3)

=p(A)p(瓦)P(4)P(B2)+P(A)P(E)P(A)P(瓦)尸(4)

22.已知AABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,