2023-2024學(xué)年北京市高一年級上冊期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年北京市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測

模擬試題

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項.

1.設(shè)集合彳={x|l<x<3},B={x\0<x<2]t則等于()

A.{x|l<x<2}B.|x|l<n<2}

C.|x|0<x<3|D.|x|l<x<3}

2.命題“X/xeR,都有/一3x+2>0”的否定為()

A.使得/一3%+240B.3XGR,使得/一3工+2>0

C.VXGR,都有f—3X+2W0D.HxeR,使得f-3x+2wo

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(O,+8)上單調(diào)遞增的是().

A.y=xB.y=\x\C.y=—x2D.y=-

x

4.若函數(shù)/(x)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，/(工)=2%-1,則〃-1)=()

A.B.-2C.D.-4

5.若a、b、c為實數(shù)，則下列命題正確的是().

則7

A.若a>b,貝?。?。/>兒2B.若Q<b<0,

ab

c-若。<。<°，則!

D.若Q<b<0,則a1>ab>h2

2

6.已知QER,則“〃>2”是“一<1”的().

a

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知函數(shù)/(%)=巾-2盯則下列結(jié)論正確的是()

A.“X)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0,+。)

B./(%)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(-8,1)

C./(%)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(T1)

D./(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(-%0)

8.為提高生產(chǎn)效率，某公司引進新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，投入生產(chǎn)后，除去成本，每條生產(chǎn)線生產(chǎn)

的產(chǎn)品可獲得的利潤s（單位：萬元）與生產(chǎn)線運轉(zhuǎn)時間1（單位：年，/eN*）滿足二次函數(shù)關(guān)

系：s=-2『+30/-98,現(xiàn)在要使年平均利潤最大，則每條生產(chǎn)線運行的時間,為（）年.

A.5B.6C.7D.8

—x+2,x<1

9.若函數(shù)〃x）=a的值域為（0,+8）,則實數(shù)。的取值范圍為（）.

—,x>1

A.（0,1]B.（-1,0）C.（!,+<?）D.[l,+oo）

10.對于集合A,稱定義域與值域均為A的函數(shù)y=/（x）為集合A上的等域函數(shù).若=

使〃x）=a（x-l）2-2為A上的等域函數(shù)，則復(fù)契。的取值范圍是（）

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.

H.函數(shù)y（x）=R手的定義域為.

12.若-2<a<3,l<b<2,則a-b的取值范圍是.

13.已知〃x+l）=2x+4,且/⑷=8,則a的值是.

14.已知函數(shù)/（x）=“2a+；卜一4：；5x>l'若/（力在R上是增函數(shù)，則實數(shù)&的取值范圍

是.

15.已知函數(shù)/（X）=X2-4X,xe[a-l,a+l],aeR.設(shè)集合A/={（，”,/（叫|八〃e[a-l,a+1]},

若M中的所有點圍成的平面區(qū)域的面積為S,貝”的最小值為.

三、解答題：本大題共5小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.設(shè)不等式|x-l|<3的解集為A,不等式涓<0的解集為8,集合C={x|2-m4x42+m}.

⑴求ZcB,務(wù)B；

（2）若=求實數(shù)用的取值范圍.

17.已知關(guān)于x的方程--2（左+l）x+^+3=0有兩個不相等的實根不應(yīng).

116

（1）若一+—=-,求人的值；

x27

⑵求玉?+￥的取值范圍.

18.已知關(guān)于x的不等式辦2+(a-l)x-lZ0,aeR.

(1)若不等式的解集為［-1,-；］,求實數(shù)。的值；

(2)若”0,求不等式的解集.

19.已知函數(shù)/卜)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xWO時，有/(x)=鼻.

⑴求函數(shù)的解析式；

(2)判斷函數(shù)/(X)在(-8,0)上的單調(diào)性，并用定義證明；

(3)若關(guān)于x的不等式/(2/+1)>/(加)在(0,+e)上恒成立，求用的取值范圍.

20.已知集合={(再戶2,…，x”)k€也,1}/=1,2,…,”,"23},任取夕=(百/2,…,x”)eU”，

力=(必，為，…，N”)eU“，定義a*4=max{x”必}+max{x2，%}+…+max{x“,y.},其中max{a,6}表

示“，6中的最大值，例如max{l,0}=l,max{l,l}=1.

⑴當(dāng)〃=3且a=(0,l,0)時，寫出滿足a*￡=3的所有元素夕；

(2)設(shè)a,滿足a*a+￡*夕=〃，求a*月的最大值和最小值；

⑶若G,的子集S滿足：V{a,/?}SS,成立，求集合S中元素個數(shù)%的最大值.

I.c

【分析】應(yīng)用集合的并運算求集合即可.

【詳解】/IuB=|x|l<x<3}<x<21={%10<x<3}.

故選：C

2.A

【分析】由全稱命題的否定判斷，

【詳解】由題意得命題“VxeR,都有--3x+2>0”的否定為“王eR,使得X?-3x+240”,

故選：A

3.B

【分析】利用偶函數(shù)的定義及在(0,+8)上的單調(diào)性，逐項判斷即得.

【詳解】對于A,函數(shù)夕=x是R上的奇函數(shù)，A不是；

對于B,函數(shù)y=|x|是R上的偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增，B是：

對于C,函數(shù)y=-X?是R上的偶函數(shù)，在(0,+8)上單調(diào)遞減，C不是；

對于D,函數(shù)/=」是(-8,0)U(0,+8)上的奇函數(shù)，D不是.

X

故選：B

4.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義計算即得.

【詳解】函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，/(x)=2x-l,

所以/(T)=-/(l)=-(2xl-l)=-L

故選：A

5.D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個判斷即可.

【詳解】對于A：當(dāng)c=0時結(jié)論不成立，所以A錯誤；

對于B：因為a<b<0,所以|4>網(wǎng)，所以/>〃，

兩邊同除岫可得:>2,B錯誤；

ba

對于C：因為a<b<0,兩邊同除仍可得C錯誤；

ba

對于D：因為。<6<0,兩邊同乘?？傻胊?>ab，兩邊同乘6可得

所以/>/>〃，D正確,

故選：D

6.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】由?！?,得上2<1,即“。>2”是2的充分條件，

aa

22

反之，當(dāng)一<1時,"0或。>2,反2>2"不是“一<1”的必要條件,

aa

2

所以“?！?”是"一<「的充分而不必要條件.

a

故選：A

7.C

【分析】由奇偶性定義，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性以及奇函數(shù)的性質(zhì)作出判斷.

【詳解】/(一%)=-小|+24=一(則-2。=-/(%),即函數(shù)/(x)是奇函數(shù)

當(dāng)X20時，〃同二犬-2%，函數(shù)/")在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增

即函數(shù)/(%)的增區(qū)間為和。+00),減區(qū)間為

故選：C

8.C

【分析】求出年平均利潤函數(shù)，利用均值不等式求解即可.

【詳解】依題意，年平均利潤為/⑺=：=二2/+：0/-98=_}+30,ZeN?,

由于f>0,2/+y>2^/y=28,當(dāng)且僅當(dāng)2f=},即f=7時取等號，止匕時-28+30=2,

所以當(dāng)每條生產(chǎn)線運行的時間，=7時，年平均利潤最大.

故選：C

9.D

【分析】求出函數(shù)/(x)=-x+2在(-8,1)上的值域，由已知可得函數(shù)〃對=色在[1,”)上的值域

X

包含(0,1],再列出不等式求解即得.

【詳解】當(dāng)X<1時，函數(shù)/(X)=-X+2在(7,1)上單調(diào)遞減，“X)在(-8,1)上的值域為(1,”)，

因為函數(shù)/(X)在R上的值域為(0,+8),則函數(shù)/(X)=q在口,”)上的值域包含(0,1],

X

顯然a>0,否則當(dāng)X21時，-<0,不符合題意，

于是函數(shù)/*)=3在口，”)上單調(diào)遞減，其值域為(0M,因此(0,1]=(0,0，則“21,

X

所以實數(shù)a的取值范圍為

故選：D

10.A

【分析】直接按a<0探討，結(jié)合/(x)的取值情況確定〃<0,再利用一元二次方程根的分布求解

即可.

【詳解】當(dāng)”0,則/(x)=a(x-l)2-24-2<0,依題意有“<0,從而/(M在阿，網(wǎng)上單調(diào)遞增,

于是[、，則方程/(X)=x,即a(x-l)2-2=x="2-(2a+l)x+a-2=0有兩個不等的負

實根，

△=(2“+l)2-4a(a-2)>0

因此<-----<0,又a<0,解得---<a<0,

a12

三0

.a

所以負數(shù)。的取值范圍是

故選：A

關(guān)鍵點睛：本題確定函數(shù)的單調(diào)性，得出[f(]m、)=m，再構(gòu)造一元二次方程，利用一元二次方程

根的分布求解是關(guān)鍵.

11.(-a),0)u(0,2]

[2-x>0

解不等式組八可得答案.

Bf2-x>0

【詳解】由函數(shù)/(力=乂寧有意義得，解得X42且XW0.

所以函數(shù)〃同=在三的定義域為(-8,0)50,2].

故(-8,0)u(0,2]

方法點睛：已知函數(shù)解析式，求函數(shù)定義域的方法：

1、有分式時：分母不為0;

2、有根號時.：開奇次方，根號下為任意實數(shù)，開偶次方，根號下大于或等于0；

3、有指數(shù)時：當(dāng)指數(shù)為0時，底數(shù)一定不能為0；

4、有根號與分式結(jié)合時，根號開偶次方在分母上時：根號下大于0；

5、有指數(shù)函數(shù)形式時：底數(shù)和指數(shù)都含有x,指數(shù)底數(shù)大于0且不等于1；

6、有對數(shù)函數(shù)形式時，自變量只出現(xiàn)在真數(shù)上時，只需滿足真數(shù)上所有式子大于0,自變量同時

出現(xiàn)在底數(shù)和真數(shù)上時，要同時滿足真數(shù)大于0,底數(shù)要大0且不等于1.

12.(T2)

【分析】利用不等式的性質(zhì)求解即得.

【詳解】由1<6<2,得—2<—b<—1,而—2<a<3,則—4<a—b<2,

所以a-b的取值范圍是(-4,2).

故(-4,2)

13.3

【分析】根據(jù)湊配法求出解析式，代入即可得出答案.

【詳解】由已知可得，/(x+l)=2x+4=2(x+l)+2,

所以，〃x)=2x+2.

又“。)=8,所以有2。+2=8,

解得a=3.

故3.

14.

43

【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調(diào)性列出不等式，求解即得答案.

as

【詳解】因為函數(shù)在R上是增函數(shù)，則為+3>0,解得:

4〃一2W8-2a

35

所以實數(shù)。的取值范圍是

43

故

43

15.2

【分析】設(shè)則面積為5=[(a+1)-(4-1)](夕-°)=2(4-。)，再分情況討論二次函數(shù)的

對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，求出/⑺的值域，并表示出S,即可求出S的最小值.

【詳解】顯然/(")=“2-4〃,Ne[a-l,a+l],

當(dāng)a+lW2,即時，小，在[a-l,a+l]上單調(diào)遞減，

而/(q-1)=("1)一-4(q-1)=d-6a+5,/(a+1)=(a+l)--4(a+1)=a-2a-3,

22

即有f(n)e[a-2a-3,a-6a+5],此時,

S=[(a+l)-(a-l)][(a2-6a+5)-a1-2a-3)]=2(-4a+8)>8；

當(dāng)a-122時,即aN3時，在[。-1,。+1]上單調(diào)遞增,則有e-6a+5d-2a-3],

此時，S=[(a+l)-(a-l)][(a2-2a-3)-(a2-6a+5)]=2(4a-8)>8；

當(dāng)1<°42時，/<”)在[。-1,2]上單調(diào)遞減，/何在[24+1]上單調(diào)遞增，

且/(a-l)W/(a+l),八2)=-4,則有/(〃)€[-4,/-60+5],

此時，S=[(a+l)-(a-l)][a2-6a+5-(-4)]=2(a2-6a+9)>2；

當(dāng)2<a<3時，/⑹在[a-1,2]上單調(diào)遞減，小>在[2,a+l]上單調(diào)遞增，

且/(a-l)</(a+l),〃2)=-4,則有/(〃)e[-4,/-2a-3],

此時，S'=[(a+l)-(a-l)][a2-2a-3-(-4)]=2(a2-2a+l)>2,

綜上所述，S>2,所以S的最小值為2.

故2

關(guān)鍵點睛：本題解決問題的關(guān)鍵在于討論二次函數(shù)的對稱軸與所給的區(qū)間的關(guān)系，得出二次函數(shù)

在該區(qū)間上的值域求解.

16.(l)^nfi=[-2,l)；備8=(-8,-3]D[1,+8)

(2)m<2

【分析】(1)先化簡集合48,再結(jié)合集合的交集和補集的運算即可；

(2)由=得Ca/,再結(jié)合包含關(guān)系列出不等式組，即可解.

【詳解】(1)由X-143,得Z=[-2,4],由±4<0,得3=(-3,1),

VI□

則力C8=[-2,1),t8=(-8,-3]31，+8)；

（2）若力uC=Z,則CqZ,

當(dāng)。=0時，CqA,此時2-加>2+加，解得：加<0；

[2—〃?2—2

當(dāng)加之0時，C工0,此時L,，解得：m<2,P100<zw<2,

2+wi<4

綜上：m<2

17.(1)%=2

(2)(8,+oo)

【分析】（1）根據(jù)已知求出后的范圍，然后根據(jù)韋達定理結(jié)合已知得出關(guān)于左的方程，求解即可

得出答案；

（2）X；+4=（占+芻）2-2玉9，代入韋達定理得出關(guān)于左的二次函數(shù)，結(jié)合《的范圍，即可得出

答案.

【詳解】（1）由已知可得，A=4（左+1）2-4卜2+3）=8（01）>0,所以左>1.

Xj+x2=2(k+1)

由韋達定理可得,

2

x{x2=k+3

\

2左)6

即/

所以有黃二，+1=-

+37

整理可得女2-7Z+2=0，

解得％（舍去）或k=2,

所以，k=2.

玉+々=2(攵+1)

(2)由(1)知，(>1,

2

%|X2=k+3

2

則片=(玉+x2)-2X]X2=4(4+])“一2化?+3)=2(4+2)2TO.

因為％>1,所以％：+x；>2x(l+2)2-10=8,

所以，工；+￥的取值范圍是（8,+8）.

18.（1）-2；

（2）分類討論，答案見解析.

【分析】(1)由題意可得-1,為方程62+(“-1)》-1=0(。<0)的兩根，借助韋達定理求值即

可.

(2)按〃=一1,a<-1,-1<。<0分類解不等式即可.

【詳解】(1)依題意，是方程爾+("1)>1=0的兩個實根，且。<0,

于是-1+(一1)=-^-且Tx(一4)=」，解得Q=-2,

2a2a

所以實數(shù)4的值為-2.

(2)當(dāng)"0時，不等式。/+僅一1”-120化為(x-J)(x+l)40,

當(dāng)工=-1,即。=一1時，不等式為(x+lfvO,解得尸-1；

a

當(dāng)一1<工<0,即“<一1時，解得一14x41；

aa

當(dāng)！<一1,即一1<〃<0時，解得

aa

所以當(dāng)時，原不等式的解集為［-1,&；當(dāng)。=-1時，原不等式的解集為｛-1｝；

a

當(dāng)-l<“<0時，原不等式的解集為［1,-1］.

a

4x八

----,x<0

19.⑴〃x)=F'：4;

4x八

----,x>0

lx+4

(2)單調(diào)遞減，證明見解析；

(3)-1<zn<1.

【分析】(1)利用偶函數(shù)的定義求出函數(shù)解析式即得.

(2)變形函數(shù)式并判斷單調(diào)性，再利用單調(diào)性定義推理即得.

(3)利用(2)的結(jié)論結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)確定在(0,+e)上單調(diào)性并脫去法則，再利用恒成立的不等

式求解即得.

【詳解】(1)函數(shù)/卜)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x20時，/")=￡，

當(dāng)x<0時，-x>0,因此/'(x)=/(-x)=^l=、，

一x+4x-4

4x_

----,x<0

所以函數(shù)/(X)的解析式是〃X)=)4

lx+4

(2)由(1)知，當(dāng)x<0時，/(x)=-^-=4+—,函數(shù)/(x)在(-紇,0)上的單調(diào)遞減,

x-4x-4

//、./、161616(X.-X)

叫丫(-8,0),士氣,一小=(X「4XX「4),

由網(wǎng)<》2<0,得再一4<0戶2-4<0,x-x,>0,則，I,與，)>0,即〃*)>/a2),

2(內(nèi)一4乂工2一47)n

所以函數(shù)/(X)在(-8,0)上的單調(diào)遞減.

(3)由(2)知,函數(shù)/(x)在(-紇,0)上的單調(diào)遞減，而“X)是R上的偶函數(shù)，

2

則函數(shù)/(x)在(0,內(nèi))上的單調(diào)遞增，不等式〃2x2+l)>/(W)?/(2x+l)>/(|;n|),

于是|m<2/+1,依題意，關(guān)于x的不等式|加|<2-+1在(0,+s)上恒成立，

當(dāng)x>0時，恒有2x?+l>l,因此I加區(qū)1,解得-14加41,

所以機的取值范圍是-14機41.

20.(1)夕={1,1,1}或{1,0,1}

(2)。*△的最大值為〃，

當(dāng)〃為偶數(shù)時，。*△的最小值為g,當(dāng)〃為奇數(shù)時，a*6的最小值為噌.

22

(3)?+1

【分析】(1)可以先列出所有可能情況，再按照定義式逐個判斷是否滿足題意；

(2)對"分奇偶性討論即可；

(3)用反證法說明僅有兩種情況滿足題意，從而得出結(jié)論.

【詳解】