2022-2023學(xué)年北京市朝陽區(qū)第二外國語學(xué)院附屬中學(xué)高一年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試

高一數(shù)學(xué)

（北京第二外國語學(xué)院附屬中學(xué)）

2022年11月23日

本試卷共8頁，150分.考試時長120分鐘.

第I卷（每題5分，共50分）

一、選擇題（在每題列出的四個選項中，選出最符合題目要求的一項.）

jsin240=（）

A.--B.一立C.—D.

222

2.已知集合4={-1,0,1,2},8={就<%<3},則AB=（）

A.{1,2}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{-1,0,1}

3.命題“三%€1<,左；+/+1<0”的否定為（）

；+/+

A.3x0eR,Xg+x0+1>0B.3x0eR,x1>0

C.VxeR,x2+x+1>0D.VxeR,x':+x+1>0

4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=log2xB.y=|x|+l

C.y=-x2+1D.y=

7T1

5.“a=—”是“sina=一”的（）

62

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件

6.如果a>S>0,那么下列不等式一定成立的是（）

1I|11/1Y門

A.a<b7|B.->-C.->-D.]na>\nb

ab⑶（2

7.函數(shù)/（%）=%3—%一7的零點所在的區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C,（2,3）D.（3,4）

8.己知a=log20.2,6=202,c=0.2°3,則a,8c的大小關(guān)系是（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

x

9.聲音等級/（x）（單位：dB）與聲音強度x（單位：W/m2）滿足/（x）=10xlg-----噴氣式飛機起飛

lxl（）T2

時，聲音的等級約為140dB；一般說話時，聲音的等級約為6（）dB,那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說

話時聲音強度的（）

A.105倍B.108倍C.倍D.1012倍

10.設(shè)函數(shù)/（X）的定義域為凡且/圖=0，/（°）#0,若對于任意實數(shù)X,y,恒有

/（司+/（月=2/1號2）/[±手）則下列說法中不正確的是

A."0）=1B.仆）=/（一）

C./（x+2%）=/（x）D.〃2x）=2/（x）—l

第II卷（共100分）

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.）

11.函數(shù)>定義域為.

X

12.已知x>0,y>0,x+y=2,則母的最大值為.

13.0.25x24+lg8+31g5=.

14.函數(shù)的值域為（0,+?）,且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則符合要求的函數(shù)"力可以為.（寫出符合條

件的一個函數(shù)即可）

15.已知函數(shù)/。）=產(chǎn)一滿足對任意x產(chǎn)々都有"（X）一/（々）]（七一%2）>0成立，那么實

數(shù)〃的取值范圍是.

16.已知函數(shù)=｛，—，關(guān)于函數(shù)“X）有以下四個結(jié)論：

[-x+2,x>l

①/（九）定義域為R；

②/（X）的值域為（-8,4]；

③若/（x）=2,則x的值是一公；

④〃》）<1的解集為（一1,1）.

其中所有正確結(jié)論序號是.

三、解答題

17.根據(jù)下列條件，求三角函數(shù)值

3

(1)已知sina=g,且。為第二象限角，求cosajana的值；

(2)已知tana=,求sina、cosa的值.

12

18.已知集合A={x|l42'<8},8={尤|X2+3]-4>0}.

(1)求集合A與集合3；

(2)求及

(3)若集合C={x|a<x<Q+l},且AcC=C,求實數(shù)。的取值范圍.

19.設(shè)函數(shù)/(力是定義在R上的偶函數(shù)，若當(dāng)時，/(X)=-X2+2%+3,

⑴求當(dāng)X€(F,O)時，函數(shù)/(X)的解析式；

(2)畫出函數(shù)圖象，并求滿足/(x)>0的X的取值范圍；

(3)若方程/(力一4=0有四個實數(shù)根，求人的取值范圍.

20.己知f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).

(1)求函數(shù)/(x)定義域；

(2)判斷函數(shù)/(力的奇偶性，并加以證明；

(3)求/(G)的值；

⑷證明函數(shù)/(x)在[0,2)上為單調(diào)遞減函數(shù)?

21.已知函數(shù)/(x)=%-2,g(x)=%2_/%x+4(meR).

(1)當(dāng)加=4時，求不等式g(x)>f(x)的解集；

(2)若對任意xeR,不等式g(x)>/(x)恒成立，求"?的取值范圍；

(3)若對任意%e口,2],存在/44,5],使得g(%)=/(X2)，求加的取值范圍.

2022.2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試

高一數(shù)學(xué)

（北京第二外國語學(xué)院附屬中學(xué)）

2022年11月23日

本試卷共8頁，150分.考試時長120分鐘.

第I卷（每題5分，共50分）

一、選擇題（在每題列出的四個選項中，選出最符合題目要求的一項.）

?sin240=（）

A.--B.一立C.—D.

222

【答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式進行化簡并求值

【詳解】sin240=sin（180+60）=-sin60=--:

故選：B

2.已知集合4={-1,0,1,2},3={M0<X<3，}則A8=()

A.{1,2}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】A

【分析】利用集合的交集運算即可.

【詳解】由題可知，AB={1,2},

故選:A.

3.命題“大0€氏%；+/+1<0”的否定為（

A.3x0eR,XQ+x0+1>0B.GR,4-x0+1>0

C.VxeR,x2+x+l>0D.VxGR,x24-X4-1>0

【答案】C

【分析】在寫命題的否定中要把存在變?nèi)我?，任意變存?

【詳解】因為特稱命題的否定為全稱命題，

所以北）eR,xj+/+1<（）的否定即為Vx€R,x"+x+120.

故選：C.

4.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,+"）上單調(diào)遞增的是（）

B.y=|x|+l

A.y=log2x

C.y=-x2+1D.y=III

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性確定正確答案.

【詳解】>=log2X的定義域是（0,+8）,是非奇非偶函數(shù)，A選項錯誤.

y=|X+l是偶函數(shù)，且在（（）,+s）上單調(diào)遞增，B選項正確.

y=—1+l是偶函數(shù)，在（0,+。）上單調(diào)遞減，C選項錯誤.

y=|曰是偶函數(shù)，在（0,+。）上單調(diào)遞減，c選項錯誤.

故選：B

兀1

5."a=—"是"sina=—”的（）

62

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】A

【分析】利用充分條件和必要條件的定義分析判斷即可

JT7TI

【詳解】當(dāng)。=—時，sina=sin—=一,

662

當(dāng)sina=!時，a=^+2k?；騛=^~+2kjr、keZ,

266

冗1

所以“a=—”是“sina=—”的充分非必要條件，

62

故選：A

6.如果a>8>0,那么下列不等式一定成立的是（）

人?同第^4。3〉以D.lna>lnb

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷C,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷D：

【詳解】解：因為a>b>0,所以同>網(wǎng)>0,故A錯誤;

因為a>8>°,所以《（?故B錯誤;

因為a>b>Q,且y=在定義域上單調(diào)遞減，所以(g)<(3)，故C錯誤;

因為a>b>0,且y=lnx在定義域(0,+e)上單調(diào)遞增，所以lna>lnZ?,故D正確;

故選：D

7.函數(shù)"%)=%3—％-7的零點所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】

先判斷函數(shù)/(x)在(0』)上的范圍，排除A；再判斷了(x)在區(qū)間(1,+oo)上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)零點存在性定

理，即可判定出結(jié)果.

【詳解】因為/(x)=Y—x—7=%(》2-1)-7是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，

當(dāng)xw(O,l)時，x(x2-l)<0,所以/(力=%(/一1)一7<0,即零點不可能在(0,1)內(nèi)；

3

任取1<X]<X2,則/(X])—/(%)=(x『—X]—7)—(x2,—%2—7)=—Xj—(%1—)

22

(3—X2)(X1+x1x2+x2—11,

22

因為1<%<%2，所以玉一工2<0,Xj+xtx2+x2-1>0,即

-(-%2)(v+4/+1_j<0,即/(%)</(%)，

所以，(力=%3-x—7在(1,*O)上單調(diào)遞增；

又"1)=1_1_7=_7<0,"2)=8—2-7=—1<0,〃3)=27-3—7=17>0,

44)=64-4-7=53>0,

根據(jù)零點存在性定理，可得/(X)=/一X—7在(2,3)內(nèi)有零點，

故選：C.

8.己知a=log20.28=202,c=0.2°3,則。，仇c大小關(guān)系是()

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<h<cD.a<c<h

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出“自c的大小關(guān)系.

【詳解】log20.2<log2l=0,即。<0.

20<20.2<21,即lvb<2.

0<0.2°3<0.2%即Ovcvl.

所以avcvb.

故選：D

x

9.聲音的等級/5)(單位：dB)與聲音強度x(單位：W/m2)滿足f(x)=10xlg——-.噴氣式飛機起飛

1x10飛

時，聲音的等級約為140dB：一般說話時，聲音的等級約為6()dB,那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說

話時聲音強度的()

A.105倍B.108倍C.1010倍D.ion倍

【答案】B

【分析】

首先設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為西,工2,根據(jù)題意得出/(%,)=140,

“々)=60,計算求五的值.

【詳解】設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為AW,

=％=102，

6

/(x2)=10xlg-^—=60,x2=10-,所以F=10)

1X1U“2

因此，噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的108倍.

故選：B

10.設(shè)函數(shù)/(X)的定義域為總且/圖=0，/(°)?！?，若對于任意實數(shù)X,y,恒有

〃力+/(丁)=2/［二?)/(三，.則下列說法中不正確的是

A."0)=1B.〃X)=/(T)

C."x+21)=〃x)D.〃2x)=2/(x)-l

【答案】D

【分析】令x=y=O,即可求解/(0)=1,

令％=%,y--x,即可求出.(一力=〃力,

令％=%,y=Ax,可得結(jié)論，/(x+2?)=/(x)

令x=2x,y=0,〃2x)=2/2(x)一i.

【詳解】由題意，令x=y=O,可得2/(0)=2/(0)〃0),/⑼。0,

???"0)=1，故4正確,

令％=力y=-x,可得/(x)+/(—x)=2/(x)〃0),

.,./(-X)=/(x),故8正確

可得/(7)+/'(乃一X)=2/1])f=0,

令X=71y=7T-Xf

???/(%)=-/(乃-)

；?/(一x)=/(x)=一/(萬一龍)；

.T(x)=/S+x),

..?/(乃+%+4)=一/(x+%)=/(x)

.,./(2^+x)=/(x),故C正確，

令x=2x,>=0,可得〃2x)+/(O)=2/(x)/(x),

：.f[2x)=2f(x)-l,故〃錯誤，

故選D.

【點睛】本題考查抽象函數(shù)問題，考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性，同時也考查了學(xué)生解決探索性問題的

能力，屬于中檔題.

第II卷(共100分)

二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.)

11.函數(shù)3，=互1的定義域為.

【答案】[-i,o)U(o,e)

【分析】根據(jù)分式和根式的定義域求出范圍即可.

f%+l>0

【詳解】由《c，解得xN—1且X/0,

故定義域為[-1,0)(0,+8),

故答案為:[一1,0).(O,+8).

12.已知x>0,y>0,x+y=2,則孫的最大值為.

【答案】I

【分析】利用基本不等式求解即可.

【詳解】因為x>0,y>0

所以x+y石

即2而W2,解得孫41,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時等號成立.

則xy的最大值為1.

故答案為：1.

13.0.25x24+lg8+31g5=.

【答案】7

【分析】利用指數(shù)運算及對數(shù)運算法則進行計算.

【詳解】0.25x24+lg8+31g5=0.25xl6+3(lg2+lg5)=4+3=7

故答案為：7

14.函數(shù)“X)的值域為(0,+?),且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則符合要求的函數(shù)/(x)可以為.(寫出符合條

件的一個函數(shù)即可)

【答案】/(x)=ff>

【分析】

由函數(shù)=的值域為(0,+?)，且在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減,即是符合要求的一個函數(shù).

【詳解】解：?.?函數(shù)的值域為(o,+?)，且在定義域A內(nèi)單調(diào)遞減，

函數(shù)即是符合要求的一個函數(shù)，

故答案為：/(x)=；

【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，是基礎(chǔ)題.

15.已知函數(shù)/(x)={(5一滿足對任意N片%都有"(X)—/(電)](%-工2)>。成立，那么實

數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［2,5)

【分析】利用求解分段函數(shù)單調(diào)性的方法列出不等式關(guān)系，由此即可求解

【詳解】由已知可得函數(shù)/(X)在/?上為單調(diào)遞增函數(shù)，

‘5-心0

則需滿足，解得2Wa<5,

(5—a)xl-a+l<a

所以實數(shù)a的取值范圍為［2,5),

故答案為：［2,5).

16.已知函數(shù)'一，關(guān)于函數(shù)/(x)有以下四個結(jié)論：

-X+2,x21

①/(X)的定義域為R；

②f(x)的值域為(一。,4卜

③若/(x)=2,則x的值是一枝；

④〃%)<1的解集為(一1,1).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】②③

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，即可判斷①②，再結(jié)合函數(shù)解析式分類討論分別計算③④;

-2

./\x~,—2Wx<1

【詳解】解：因為/(%)=〈，函數(shù)圖象如下所示：

-x+2,x>1

顯然函數(shù)的定義域為[-2,+8),故①錯誤；

又/?(—2)=(—2)2=4,所以函數(shù)的值域為(-8,4],故②正確;

當(dāng)-2?x1時f=2,解得x=—正或》=夜(舍去)，

當(dāng)時-x+2=2,解得尤=0(舍去)，

即若/(x)=2,則x=—J5，故③正確；

當(dāng)-2?X1時冗2v1,解得一1vxv1,

當(dāng)時一1+2<1,解得x>l,

綜上的解集為(一1,1)(1,+8),故④錯誤；

故答案為：②③

三、解答題

17.根據(jù)下列條件，求三角函數(shù)值

3

(1)已知sina=g,且a為第二象限角，求cosa、tana的值；

(2)已知tana=-■—,求sina、cosa的值.

12

43

【答案】(1)cost?=——,tana=——

54

1252125

(2)costz=---,sintz=—或cosa=——，sina=----

13131313

【分析】(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式進行求解；

(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得到關(guān)于sin。、cosa的方程組，再結(jié)合角a所在象限進行求解.

【小問1詳解】

3

因為sina=《，且sin2a+cos2a=l，

所以cos2a=1-sin2a=3，又a為第二象限角，

25

4ein3

則cosa=——,tan6z=-----

5cosa4

【小問2詳解】

因為tanoc----,

12

所以sina=—2cosa,且a是第二、四象限角;

sin。=----cosa

聯(lián)立，12得cos%=也

169

sin2a+cos?a=l

1255

當(dāng)a是第二象限角時，cosa=-----，sina=----cosa-一；

131213

1255

當(dāng)a是第四象限角時，cosa=一,sina=-----cosa=-----；

131213

,125-125

所以cosa=-----,sin(7=一或cosa=—,sina=-----.

13131313

18已知集合4=卜|142”<8},8={%|X2+3X-4>0}.

(1)求集合A與集合8；

(2)求AuB及4(ADB)

(3)若集合C={x[a<x<a+l},且AcC=C,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)A=[0,3),B=(F,T)_(l,+oo)

(2)A8=(F,Y),[0,4w),4(4。3)=[<())

(3)[0,2]

【分析】(1)解指數(shù)不等式和一元二次不等式即可；(2)根據(jù)集合的交并補運算即可求解；(3)根據(jù)集合的包含關(guān)系求

解.

【小問1詳解】

由142*<8解得0Wx<3,所以A=[0,3),

由+3x-4>0解得了<一4或x>l,所以8=(-oo,-4)J(l,+oo),

【小問2詳解】

由⑴得AB=(-<?,-4)10,同,4(ADB)=[T,0).

【小問3詳解】

因為AcC=C,所以A,且C={x|a<x<a+l}H0,

a>0「八7

所以a+]<3,解得0K%W2,所以。的取值范圍是

19.設(shè)函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若當(dāng)xe[0,+co)時，〃x)=-f+2x+3,

⑴求當(dāng)X€(f>,0)時，函數(shù)/(X)的解析式；

(2)畫出函數(shù)圖象，并求滿足/(x)>0的X的取值范圍；

(3)若方程f(x)—%=0有四個實數(shù)根，求后的取值范圍.

【答案】(1)f(x)———x^—2x+3

(2)(-3,3)

(3)(3,4)

【分析】(1)利用已知的解析式和偶函數(shù)的定義求解即可；

(2)畫出函數(shù)圖象，借助圖象即可得出結(jié)論；

(3)在同一坐標(biāo)系中作出>=/(%)和丁=人的圖象，再由圖象進行求解.

【小問1詳解】

令x<0,則-x>0,

因為當(dāng)無20時，f(x)=-x2+2x+3,

所以/(—x)———(―x)~—2,x+3——x~—2.x+3,

因為函數(shù)/(x)的偶函數(shù)，

所以/(x)=/(-X)=一彳2一2X+3,

即當(dāng)xe(-a),0)時，f(x)=-x2-2x+3；

【小問2詳解】

—x2+2.x+3,x20

由(1)得f(x)=<

—f—2x+3,x<0

作出/(X)的圖象(如圖所示),

由圖象，得當(dāng)一3<x<3時，/(x)>0,

即滿足/(x)>0的x的取值范圍為(—3,3)；

【小問3詳解】

將/(%)一左=?；癁?(%)=左，

在同一坐標(biāo)系中作出y=/(x)和y=&的圖象(如圖所示),

由圖象，得當(dāng)3<%<4時，y=/(x)的圖象與直線y=Z有四個交點;

即方程/(x)一％=0有四個實數(shù)根，后的取值范圍為(3,4).

20.已知/(x)=lg(2+x)+lg(2-x).

(1)求函數(shù)“X)的定義域；

(2)判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，并加以證明；

(3)求/(6)值；

(4)證明函數(shù)/(x)在[0,2)上為單調(diào)遞減函數(shù).

【答案】⑴(-2,2)；

(2)偶函數(shù)，證明見解析；

(3)0；(4)證明見解析.

【分析】(1)由對數(shù)真數(shù)大于0可得定義域；

(2)根據(jù)奇偶性的定義判斷；

(3)由對數(shù)運算法則計算：

(4)根據(jù)單調(diào)性的定義證明.

【小問1詳解】

2+x>0

由題意C，解得一2<%<2,

2-x>0

定義域為(-2,2)；

【小問2詳解】

/“)是偶函數(shù)：

證明：/(-%)=lg(2-x)+lg(2+%)=/(%),所以/(x)是偶函數(shù)；

【小問3詳解】

/(@=.2+百)+坨(2-⑹=lg[(2+@(2-⑹]=lgl=0；

【小問4詳解】

設(shè)。<X]<%2<2,

/(%)一/(%2)=lg(2+%)+lg(2—X)Tg(2+xQ-lg(2-X2)Tg[：+*1?=山^~^~，

(2+々)(2T2)4-X2

4—%24—%?

,.10<%,<x<2,所以0<4-￥<4-X：,———>1,1g----7>0>

-24-考4-x；

/(%1)-/(x2)>0,g|j/(%,