2023-2024學(xué)年天津市高一年級(jí)下冊(cè)調(diào)研數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年天津市高一下冊(cè)3月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題

第I卷(本卷共一道大題，共30分)

一、選擇題(每題3分，共30分.)

1.在中，(),(),CB-

A.(3,7)B.(3,5)C.(u)D.(1,-1)

【正確答案】C

【詳解】CB^CA+AB^AB-AC=⑵4)-(1,3)=(1,1).

故選：C.

2.已知”8。的三個(gè)內(nèi)角48,。的對(duì)邊分別為。也。，若4=75°,8=60°,。=10,則6=

()

A.5百B.576C.1073D.1076

【正確答案】B

【分析】利用正弦定理即可求解.

【詳解】在AASC中，4+8+0=180，所以得：C=45°，

cb10b

由正弦定理可得：--即------=-----

sinCsin5sin45sin60

,1010r[7

2b=------xsin60=—r=^x——=5<6

所以sin45°V22，

V

故選：B.

3.已知“BC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為明b,C,且。=2c,

sin224+sin2C-sin74sinC-sin25=0，則C=()

【正確答案】A

【分析】利用正弦定理的邊角互化可得/=/+62一a。，再利用余弦定理即可求解.

【詳解】由si/Z+sin?。一sinZsinC-sin24=0，^b2=a2+c2-ac-

222

又Q=2c,所以〃=4c+c-2c=3c2,

從而cose

/、l"ab，、出4V3c22

因?yàn)镃e（O,乃），所以C=生TT.

6

故選：A

4.如圖所示，P、Q是4ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且麗=反，則化簡方+AC-AP-^4Q

的結(jié)果為（）

B.BP

C.PQD.PC

【正確答案】A

【分析】直接利用平面向量運(yùn)算的三角形法則以及相反向量的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)辂?玄，所以而+區(qū)=0，

所以在+衣-"一戀=萬一/+（/-而）=而+了=0，故選A.

本題主要考查平面向量的運(yùn)算法則以及相反向量的性質(zhì)，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用,

屬于基礎(chǔ)題.

5.如圖，在“3C中，AD^^AC,麗=；而，若萬=4方+M就，則2+〃的值

為（)

C

AB

4824

A.-B.-C.—D.一

9933

【正確答案】B

【分析】求出萬=，刀+［就，得/號(hào),尸,，即得解.

-----------------------1----------1----------?-----12-----

【詳解】AP=AB+BP=AB+—BD=AB+-（AD—AB）=—AB+-X-AC

2uuir2uuur

=-AB+-AC

39

uuuum-

因?yàn)?尸=445+〃AC，

22

所以2=”=$

則2+〃=g+￡=*.

故選：B

6.已知同=2,問=3,M與很的夾角為135。，則2在$方向上的投影向量為（）

A_rRr04#-

A..—b13.—bc.---------bD.

335

475-

------b

5

【正確答案】A

【分析】利用投影向量的定義即可求解.

【詳解】解：因?yàn)橥?2,阿=3,5與3的夾角為135。，

所以G在B方向上的投影為向90$135"=2*[-彳]=一/5,

所以之在B方向上的投影向量為一也B，

3

故選：A.

7.已知等邊ABC的邊長為1,則靛.&+&.幾+病詼=()

33

A.3B.-3C.—D.--

22

【正確答案】D

【分析】

利用向量的數(shù)量積公式解答，注意向量的夾角與三角形的內(nèi)角的關(guān)系.

【詳解】解：因?yàn)槿切蝂8C是等邊三角形，邊長為1,各內(nèi)角為60。，

——>—>—>—?3

所以BC>CA+CA>AB+AB?BC=3xlxlxcosl20°=--.

2

故選：D.

本題考查了向量的數(shù)量積公式的運(yùn)用；需要注意的是：向量的夾角與三角形內(nèi)角相等或者互

補(bǔ).

2

8.已知復(fù)數(shù)2=—

1+i

①在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1)：

②復(fù)數(shù)的虛部為-i；

③復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù)為i-l；

④|z|=V2；

2

⑤復(fù)數(shù)z是方程X-2X+2=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根.

以上5個(gè)結(jié)論中正確的命題個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得z=l-i,根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)判斷①的正

誤，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷②的正誤，根據(jù)復(fù)數(shù)的共施復(fù)數(shù)可以判斷③的正誤，根據(jù)復(fù)數(shù)模的

概念判斷④的正誤，利用方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解判斷⑤的正誤.

22(1T)

【詳解】因?yàn)閦=1-i,

T+i(l+i)(l-i)

所以在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,-1),所以①正確;

復(fù)數(shù)Z的虛部為T,所以②錯(cuò)誤；

復(fù)數(shù)z的共物復(fù)數(shù)為1+i,所以③錯(cuò)誤；

|z|=J12+(T)2=&,所以④正確；

方程/一2》+2=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為心目二8=i±i，

2

所以復(fù)數(shù)z是方程x2_2x+2=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一個(gè)根，所以⑤正確；

所以正確的命題個(gè)數(shù)為3個(gè)，

故選：C.

9.在中，sinZ=9^一四幺，則-8C的形狀是()

cosB+cosC

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或

直角三角形

【正確答案】B

【分析】將sinC=sin(4+8),sinB=sin(Z+C)分別代入

sin^4(cos5+cosC)=sin3+sinC中，整理可得cosZ(sinC+sin3)=0，即可得到

TT

4=一,進(jìn)而得到結(jié)論

2

【詳解】由題可得sinA(cosB+cosC)=sin5+sinC,即

sinAcos8+sin4cosC=sinB+sinC

在\ABC中,sinC=sin(4+8),sin8=sin(4+C)

sin4cos8+sin4cosc=sin(4+C)+sin(4+3),

即sinAcos5+sin4cosC=sin/cosC+cos4sinC+sinAcosB+cosAsinB

cos/sinC+cosZsin3=0

cosA(sinC+sin5)=0

又QsinC>0,sin5>0

/.cosA=0

dBC是直角三角形,

故選B

本題考查三角形形狀的判定，考查和角公式，考查已知三角函數(shù)值求角

10.在菱形48CD中，448C=120。，AC=2y/3>BM+-CB=0,女=入加，若

AM-AN=29'則4=()

1111

A.-B.-C.-D.一

8765

【正確答案】D

【分析】作出圖形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)N(x,y),得到"是8c的中點(diǎn),

N(冬再根據(jù)莉?忌

根據(jù)已知求出即得解.

=29

作出圖形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)N(x,y),因?yàn)?/p>

AC=273,NABC=120",BO=1,

T1-TT1f

因?yàn)锽"+—C3=0,所以8M=-8C,即〃是6C的中點(diǎn)，

22

J71

所以A($0),”(芋/。(0,T),。(戊0),

所以應(yīng)=(|母)成=他1)=儷=〃“+1),由題知巾。.

故NJ,——l）,.-,NATZN=己+4=29,；.%=—.

AAA5

故選：D

第n卷（本卷共二道大題，共70分）

二、填空題（每題3分，共18分.）

11.復(fù)數(shù)Z=f的值為

3-21---------

【正確答案】2—i##—i+2

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算得解.

4-7i(4-7i)(3+2i)12+8i-21i+1426-13i..

【詳解】解.Z=.=M扁--------------=-------=2-1

1313

故2—i

12.已知向量Z=(l,2),B=(O,_2),"=(_l,/l),若(213)He,則實(shí)數(shù)2=

【正確答案】-3

【分析】

由向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算.

【詳解】由題意立一加=（2,6）,X（2a-d）He,.-.22-(-6)=0,解得；1=—3.

故一3.

13.若i為虛數(shù)單位，且。=勁，則a2。22+/。23+[

1-1

【正確答案】-i

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解。的值，利用虛數(shù)單位i的性質(zhì)，求解/。22與/023的值即可.

【詳解】因?yàn)榕?上^=(I：/"―7=則=/=i,(〃￡N*),

1-i+

Q2==QI。=...=Q4〃+2__￡N*),

故Q2022+Q2023+I=—1一i+i=—i.

故答案為.-i

14.若向量Z=（6,-8）,則與Z平行的單位向量是

【正確答案】（|,圄或卜|高

【分析】根據(jù)向量￡的坐標(biāo)，可得問=io,計(jì)算士m即可得出與￡平行的單位向量的坐標(biāo)―

【詳解】因?yàn)?=（6,-8），所以：=#2+（_8）2=]0,

則與￡平行的單位向量的坐標(biāo)是:

r

15.給出下列四個(gè)命題,

①非零向量見否滿足|a|=|51=|q-坂|,則Q與a+區(qū)的夾角是30°;

②若（而+%）?（方—就）=0,則/8C為等腰三角形：

③若單位向量￡出的夾角為120°，則當(dāng)|2Z+xB|（xeR）取最小值時(shí)，x=l：

④若厲=（3,—4）,礪=（6,-3）,灰=（5-加,一3-〃?），NNBC為銳角，則實(shí)數(shù)〃，的取值

范圍是加＞一己3.

4

則其中所有正確的序號(hào)為.

【正確答案】①②③

【分析】利用向量加法法則計(jì)算判斷①；利用向量數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算判斷②：利用向量模及

數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算判斷③；利用向量夾角為銳角求出加范圍判斷④作答.

【詳解】對(duì)于①，如圖，赤=7,近=3,5=7-B,點(diǎn)。是線段尸。的中點(diǎn)，礪=a+b

2

Q

D

因目司=|￡—h，則AA/P。是正三角形，ZPMD=30".即標(biāo)，而夾角為30°，所以

Z與Z+B的夾角是30°，①正確；

對(duì)于②，在“8C中，由（前+就）?（劉—就）=0得而2=萬2,即1萬目刀

ABC為等腰三角形，②正確；

--1

對(duì)于③，a-6=lxlxcosl20°=——,

2

\2a-^-xh|=y]4a~+x*+4XQ?坂=y/x2-2x+4=yj（x-l）2+3，

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，|2：+4|取得最小值，③正確；

-.......ULKuum________

對(duì)于④，氏4=（一3,-1）,8。=（一加一1,一加），因力力3c為銳角，則氏4.8。＞0且胡與5c

不共線，

UULUUU3__,___

由H得3（加+1）+〃2〉°，解得〃？＞一^，當(dāng)血與脛共線時(shí)，加+1=3加，解

但1

得7M=一，

2

31

所以實(shí)數(shù)"？的取值范圍是機(jī)〉—且加K—,④不正確.

42

故①②③

結(jié)論點(diǎn)睛：兩個(gè)向量夾角為銳角的充要條件是這兩個(gè)向量的數(shù)量積大于0,并且它們不共線；

兩個(gè)向量夾角為鈍角的充要條件是這兩個(gè)向量的數(shù)量積小于0,并且它們不共線.

16.正方形力88的邊長為4，。是正方形48C。的中心，過中心O的直線/與邊Z8交

于點(diǎn)M,與邊C。交于點(diǎn)N,尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足2麗=4赤+（1—2）0心，則

PM-PN的最小值為.

【正確答案】-7

【分析】

建立坐標(biāo)系，根據(jù)2而=%歷+(1-2)反求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)出A/,N的坐標(biāo)分別為

(-。,2),將.兩，部轉(zhuǎn)化為關(guān)于九的函數(shù)，即可得其最小值.

以過。且垂直于48的直線為y軸,

建立坐標(biāo)系，則8(2,—2),C(2,2),

所以2萬=4歷+(1—2)歷=4(2,—2)+(1—4)(2,2)=(2,2-42),

所以方=(1,1—22),即P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1—24),

設(shè)M(a,-2),則N(—a,2),-2<a<2,

所以兩=(a—1,2%一3),麗=(—4—1,22+1),

所以而?麗=.—1乂一a—1)+(24—3)(22+1)=1—a2+4萬—44—3,

_41___,_

當(dāng)。=±2且4=-----=一時(shí)，尸加.PN有最小值為-7,

2x42

故-7

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過。且平行于*3的直線為x軸建立坐標(biāo)

系，則8(2,—2),C(2,2),利用2而=/1萬+3求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，設(shè)出M,N的

22

坐標(biāo)分別為(a,-2),(-a,2),PM.PN=l-a+4A-4A-3>利用二次函數(shù)的性質(zhì)可

求最小值.

三、解答題(共52分)

17.平面內(nèi)給定三個(gè)向量2=(3,2),*=(-1,2),e=(4,l).

(1)求cos卜用

(2)求|2々_司；

(3)若0+無)_1.(2石一￡),求實(shí)數(shù)%

【正確答案】(1)叵

65

（2）V53

【分析】(1)根據(jù)平面向量夾角的坐標(biāo)公式即可求解；

(2)根據(jù)平面向量模長公式的坐標(biāo)表示即可求解；

(3)根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.

【小問1詳解】

解：因?yàn)椤?(3,2),A=(-1,2),

22

所以>3=3x(—l)+2x2=l,問=打+22=岳，|^|=^(-1)+2=>/5.

【小問2詳解】

解：因?yàn)?=(3,2),5=(-1,2),所以垢―石=2(3,2)-(一1,2)=(7,2),

所以|22一］|=j7?+22=氐;

【小問3詳解】

解：因?yàn)閏=(4,l),〃+左c=(4左+3,左+2),2h-a=(-5,2),

又(4+kc)±(2b-a),

所以(4A+3)x(—5)+仕+2)x2=0,解得左=—LL.

18

18.己知向量￡與B的夾角為"會(huì)且同=3,欠=2行.

(1)求75,|z+M；

（2）若左￡+2區(qū)與3Z+4B共線，求上

【正確答案】（1）-6,y/5

3

⑵k=±

2

【分析】（1）利用向量數(shù)量積的定義和模的計(jì)算公式直接求解.

（2）利用共線向量定理表示出向量之間的關(guān)系，再列方程求解.

【小問1詳解】

a-b-|a||ft|cos^a,^=3x2^=-6,

+h^=ya'+2a-b+b~=J9-12+8=y/5■

【小問2詳解】

若波1+2?與31+45共線，則存在幾，使得：+25=2（3—+4及

111

即（A-3/l）a+（2-44）b=0，

7:-3/1=03

又因?yàn)橄蛄縕與否不共線，所以<，所以七.

2—44=0

2

22

19.已知復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)4,8對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為％=加-加，z2=2m-1+^m-2）i

（〃?eR）,設(shè)方對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z.

（1）當(dāng)實(shí)數(shù)機(jī)取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)；

（2）若復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求實(shí)數(shù)"7的取值范圍.

【正確答案】（1）m=--；（2）-2</??<--.

22

【分析】（1）求出z=Z2-Z1,Z是純虛數(shù)，虛部不為0,實(shí)部為0,即可求解;

（2）根據(jù)z的值，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)到坐標(biāo)，根據(jù)已知列出不等式，即可求出結(jié)論.

【詳解】點(diǎn)A,8對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為21=加一〃”/2=2加2-1+（相2-2卜，

彳*對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z,...Z=Z2-4=2m2一加一1+(加24-777-2)/,

2m23-m-1=0

（1）復(fù)數(shù)Z是純虛數(shù)，.??〈

加2+加一2w0

m=—?-或加=1

解得《2

mw—2且〃？w1

1

771=--;

2

（2）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為（2加2一加一1,蘇+加一2）,

2m2-m-l>0

位于第四象限,即\2/

m2+m-2<0

-2<m<\

—2<<—.

2

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法、幾何意義、復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.

20.在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知3（4一。）2=3〃-2ac

（1）求COS3的值；

TT

（2）若5a=36,求sin（2/+一）的值.

6

【正確答案】（1）7：（2）-+3

310

【分析】（1）化簡原式，直接利用余弦定理求cosB的值即可；

（2）利用正弦定理求得sin4=正，結(jié)合角A的范圍可得cos/=±叵，再由二倍角的正

55

余弦公式以及兩角和的正弦公式可得結(jié)果.

【詳解】（1）在△ZBC中，由3（?！猚）2=3/-2ac,整理得亡心心1=2,

lac3

2

又由余弦定理，可得cos6二一；

3

(2)由(1)可得sinS=Y5,又由正弦定理一L=一竺

3sinAsinB

及已知5a=36,可得sin/=2當(dāng)2=3、好=立；

b535

,3

可得cos2N=l-2siir/=《，由己知5a=3b,可得a<b,故有力<8，

為銳角，故由sin/=好，可得cosZ=Rl,從而有sin2/=2sinZcos/=3,

555

4V33146+3

sin2A+—|=sin2/cos—+cos2/sin—=—X---F—X—：

I6)66525210

解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化

邊”.

21.在AASC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知2cosc(acos8+bcosZ)=c.

(1)求角C；

(2)若cosZ=X6,求cos(2〃+C)的值；

4

(3)若°=近,八46。的面積為手，求“8C的周長.

JT

【正確答案】(1)-

3

(2)士3心

8

(3)5+用

【分析】(1)結(jié)合正弦定理、正弦和公式、三角形三角關(guān)系、誘導(dǎo)公式化簡求值即可;

(2)由平方關(guān)系、倍角公式、余弦和公式化簡求值；

(3)由余弦定理及面積公式化簡求得即可求得周長.

【小問1詳解】

由正弦定理得，2cosC(sin4cos8+sin8cos4)=2coscsin(4+B)=sinC,即

2coscsin(兀-C)=2cosCsinC=sinC,

]7T

C￡（0,兀），:?sinCw0,；?cosC——,C——；

【小問2詳解】

4、ci（0,71）、

sinC=立，sin力=巫，sin24=2sin力cos4=巫，cos2A=cos2A-sm2A=--

2444

cos（2Z+C）=cos2ZcosC—sin2/sinC=—姮=

'/42428

【小問3詳解】

由余弦定理得02=a2+b2-2R）cosCD7=/+/-"，由面積公式得

—absinC=-----Dab=6，

22

則（。+力）2=力+/―。力+3ab=7+3'6=25Da+b=5,，ABC的周長為

Q+Z?+C=5+V7?

n

22.在三角形48。中，AB=2,AC=1,/ACB=一,。是線段BC上一點(diǎn)，且

2

BD=-DC,尸為線段48上一點(diǎn).

2

（1）若力Z）=x48+y/C,求x—y的值;

（2）求斤.成的取值范圍；

（3）若尸為線段43的中點(diǎn)，直線CF與/。相交于點(diǎn)“，求而?次.

【正確答案】（1）-

3

(2)—3,—

16

4

(3)-

5

21

【分析】（1）將通化成就和方后，與已知條件比較得x==由此即可求出結(jié)

果；

（2）