2023-2024學年湖北省孝感市重點高中教科研協(xié)作體高二年級上冊開學考試數(shù)學試題

湖北省孝感市重點高中教科研協(xié)作體2023-2024學年

高二上學期開學考試數(shù)學試題

試卷滿分：150分

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考

證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出K答案1后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的R答案』標

號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

符合題目要求)

1.已知集合〃={-2,—1,0,1,2},N={^X2-X-6>0},則MN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,l,2}C.{-2}D.{2}

1-i-

2.已知復數(shù)z=——r，貝ijz-z=()

2+2i

A.-iB.iC.OD.l

3.已知Q=log23,b=logj2,c=則()

3

\.a>h>cB.b>a>cC.c>h>aD.a>c>b

4.在四面體Q4BC中O4=Q,OB=b,OC=c點M在Q4上，且QM=2M4,N為BC

中點，則()

21,1

B.—aH—b-\—c

232322

C.L+4.L22,1

D.—a+—b——c

222332

5.從分別寫有1,2,3,4,5,6的六張卡片中，無放回地隨機抽取兩張，則抽到的兩張卡片

上的數(shù)字之積是5的倍數(shù)的概率為()

1231

A.-B.-C.一D.-

3555

6.已知向量”，b是平面a的兩個不相等的非零向量，非零向量c是直線/的一個方向向量,

則“c-a=O且是“/_La”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知tan。+工=-1皿，則風與°'2°)

I■3國n吒

135

A.B.C.3D.一

253

8.四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù).根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結(jié)果，可以判

斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是（）

A.平均數(shù)為3,中位數(shù)為2B.中位數(shù)為3,眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為2,方差為2.4D.中位數(shù)為3,方差為2.8

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.）

9.某短視頻平臺以講故事，贊家鄉(xiāng)，聊美食，展才藝等形式展示了豐富多彩的新時代農(nóng)村生

活，吸引了眾多粉絲，該平臺通過直播帶貨把家鄉(xiāng)的農(nóng)產(chǎn)品推銷到全國各地，從而推進了“新

時代鄉(xiāng)村振興從平臺的所有主播中，隨機選取300人進行調(diào)查，其中青年人，中年人，其

他人群三個年齡段的比例餅狀圖如圖1所示，各年齡段主播的性別百分比等高堆積條形圖

如圖2所示，則下列說法正確的有（）

A.該平臺女性主播占比的估計值為0.4

B.從所調(diào)查的主播中，隨機抽取一位參加短視頻剪輯培訓，則被抽到的主播是中年男性的概

率為0.7

C.按年齡段把所調(diào)查的主播分為三層，用分層抽樣法抽取20名主播擔當平臺監(jiān)管，若樣本

量按比例分配，則中年主播應抽取6名

D.從所調(diào)查的青年人主播中，隨機選取一位做為幸運主播，是女性的概率為0.6

10.已知不同直線a,b,不同平面a,p,y,下列說法正確的是（）

A.若aua,bua,a//p,b///3,則

B.若a〃〃，a//a,bc^a,則力〃a

C.若aA.y,0工y,a0=a,則a-Ly

D.若a0=a,aLb,bu0,則a_L￡

11.拋擲一黃一白兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用a表示黃色骰子朝上的點數(shù)，。表示白色骰子朝上

的點數(shù)，用（a,。）表示一次試驗的結(jié)果，該試驗的樣本空間為Q,事件A="關(guān)于x的方程

2x2—2（a+8）x+5（a+A）=O無實根"，事件8="a=4"，事件C="Z?<4"，事件。=

“必>20”則（）

A.A與3互斥B.A與。對立

C.B與C相互獨立D.B與D相互獨立

12.如圖，棱長為6的正方體中，點M、N滿足4M=九4。「

CN=〃C。，其中；I、4€（0,1）,點P是正方體表面上一動點，下列說法正確的是（）

A.當4時，DM〃平面CgA

B.當〃=g時，若〃平面ANC一則困”的最大值為36

C.當％=〃=；時，若PM工D、N,則點尸的軌跡長度為12+6后

D.過A、M、N三點作正方體的截面，截面圖形可以為矩形

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知向量a=（/n,2）,ZJ=（3,〃Z+5）,若a上b,則.

14.在三棱錐A—3CO中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M、N分別是A。、

BC的中點，則異面直線AN與CM所成角的余弦值為.

15.甲、乙兩人獨立破譯一份密碼，已知各人能破譯密碼的概率分別是1，則密碼被成

34

功破譯的概率為.

16.在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2,3C=C0=D4=1,將△AC。沿AC折起，

連接BO,得到三棱錐。-ABC當三棱錐。-ABC的體積取得最大值時，該三棱錐的外接

球的表面積為.

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）如圖所示，在平行六面體A3CD-44GA中，以頂點A為端點

的三條棱長度都為2,且兩兩夾角為60。.

（1）求AC；的長；

（2）求8。與AC夾角的余弦值.

18.（本小題滿分12分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,滿足

2acosB=/?cosC+ccosB

（1）求角8的大小;

(2)若BD=2DC,且C0=I,AZ)=2百，求△ABC的面積.

19.（本小題滿分12分）文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市

民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市

創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將

樣本的成績（滿分100分,成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：［40,50）,［50,60），…,

［90,100］得到如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

(2)求樣本成績的第75百分位數(shù);

(3)已知落在［50,60）的平均成績是61,方差是7,落在［60,70）的平均成績?yōu)?0,方差

是4,求兩組成績的總平均數(shù)z和總方差$2.

20.（本小題滿分12分）如圖，三棱柱43C-A4G中，側(cè)面ACGA為矩形，ABLAC

且A8=AC=6,。為國儲的中點，44,=耳。=10.

（1）證明：AG〃平面A5O；

（2）求直線BC與平面A8D的夾角的正弦值.

21.（本小題滿分12分）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日舉辦.本屆亞運

會共設(shè)40個競賽大項.其中首次增設(shè)了電子競技項目.與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新

型的賽制“雙敗賽制''贏得了許多賽事的青睞.

傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊伍只有

失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率.假設(shè)最終進入到半決賽有四支隊伍，淘汰賽制

下會將他們四支隊伍兩兩分組進行比賽，勝者進入到總決寨，總決賽的勝者即為最終的冠軍.

雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進入到勝者組，敗者進入到敗者組，勝者組兩個隊伍對決的勝

者將進入到總決賽，敗者進入到敗者組.之前進入到敗者組的兩個隊伍對決的敗者將直接淘

汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍.雙敗

賽制下會發(fā)現(xiàn)一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠

軍，但是其它的隊伍卻有一次失敗的機會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因

此很多人戲謔這個賽制對強者不公平，是否真的如此呢？

136

雙敗賽制流程圖

這里我們簡單研究一下兩個賽制，假設(shè)四支隊伍分別為A、B、C、D,其中A對陣其他

三個隊伍獲勝概率均為p,另外三支隊伍彼此之間對陣時獲勝概率均為;.最初分組時AB

同組，C。同級.

3

（1）若〃=—,在淘汰賽賽制下，A、。獲得冠軍的概率分別為多少？

4

（2）分別計算兩種賽制下A獲得冠軍的概率（用P表示），并據(jù)此簡單分析一下雙敗賽制

下對隊伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對強者不公平”？

22.(本小題滿分12分)如圖，在三棱柱ABC-4與G中，底面是邊長為2的等邊三角形，

在菱形ACG4中，NACG=60°,CG=2,平面ACG4，平面ABC,D,￡分別是

線段AC、CG的中點.

(1)求證：4CJ■平面BDE；

(2)若點尸為棱BQ的中點，求點尸到平面比＞￡的距離；

(3)若點尸為線段與G上的動點(不包括端點)，求銳二面角尸-80-￡的余弦值的取值

范圍.

——★參考答案★——

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每題給出的選項中，只有一項符合

題目的要求)

l.C2.A3.D4.B5.A6.B7.B8.C

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。)

9.AC10.BC11.BCD12.ABC

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

c71「

13.—214.—15.-16.5%

82

四、解答題(本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.解：記=AD=b,=c,

則同=|同=卜=2,=d-60°

ab=a-c=b-c=2.......2分

(1)|AC)|=(4+/?+C)=々2+//+J+2(Q./7+Q?C+/7?C)

=4+4+4+2x(2+2+2)=24.......4分

|AC)|=>/24=2>/6........5分

(2)?:BD\=b+c-a,AC=Q+/?,???忸〃卜20,1AC卜2道……7分

/.BD】?AC=++=Q?C—a?+//+〃.c=4........9分

?Inns\BD[?AC\/6八

??cos(BD],AC)=IJ,—q-=——........10分

\/|幽6

18.解：(1)在△ABC中，因為24“0$5=兒0$。+。853,

由正弦定理可得2sinAcosB=sinBcosC+sinCeosB,

所以2sinAcos3=sin(3+C)=sinA,3分

1jr

'：A.3e(0,;r),則sinA>0,所以cos8=1,因此B=§.........6分

(2)-：BD^2DC,且CD=1,AD=20：.BD=2,BC=3,……7分

在△ABO中，由余弦定理有AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosB,

即12=AB?+4—24Bx2cos工，即A8?—2AB-8=0,

3

'：AB>0,解得4B=4……10分

所以=-AB-BCsinB=-xl2x—=373....12分

△ABC2J22

19.解：(1)?..每組小矩形的面積之和為1,

???(0.(X)5+0.010+0.020+0+0.025+0.010)x10=1,。=0.030.....2分

(2)成績落在［40,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030)x1()=0.65,

落在［40,90)內(nèi)的頻率為(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)x10=0.9,

設(shè)第75百分位數(shù)為m,由0.65+(租—80)x0.025=0.75,

得加=84,故第75百分位數(shù)為84；……6分

(3)由圖可知，成績在［50,60)的市民人數(shù)為100x0.1=10,

10x51+63x20

成績在［60,70)的市民人數(shù)為l(X)x().2=2(),故三==599分

10+20

設(shè)成績在［50,60)中10人的分數(shù)分別為玉，々，與，。：

成績在［60,70)中20人的分數(shù)分別為X，%，%，，％0，

則由題意可得#+石+耳++吊_512=7,犬+)'；+:+++一632=4,

1020

二%：+尤;+x；++襦=26080,y：+y；+y；++￡=79460,

片+考+*+一+■+'；+$+及++工。)一二

=^(26080+79460)-592=37

12分

20.(1)證明：連接AB1與48交于點0,連接

???ABC—AqG為三棱柱，，為平行四邊形,

點。為A片的中點又：。為4G的中點，則A￡〃。。，

又???ODu平面A］。，4。12平面48。，，471〃平面48。....4分

(2)解：VC41AB,CALAA^,AB然=A,C4J?平面,

22

?；AB,u平面ABB,At,ACA±AB,,：.AB,=1CB；-AC。=710-6=8

,/AB=6,AB,=8,BB[=10,AB2+AB-=BB；,即AB_L做……6分

以A為坐標原點，AB.A與、AC分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系,

4(0,0,0),A(-6,8,0),5(6,0,0),C(0,0,6),4(0,8,0),q(-6,8,6),￡>(-3,8,3)

46=(2,_&0),4。=(3,0,3),5C=(-6,0,6)..........8分

AB-n=0f3x—2y=0

設(shè)平面AQO的法向量為〃=(x,y,z),則《、，即《，

A?〃=。[x+z=0

令尤=2,y=3,z=—2=(2,3,—2)......10分

設(shè)直線BC與平面4BO的夾角為氏

」〃，叫_24_2734

sin0=

|H|-|Z?C|-V17-6V2--17

二直線8c與平面AR。的夾角的正弦值為差工...12分

21.解：(1)記A,。拿到冠軍分別為事件M,N,淘汰賽賽制下，A只需要連贏兩場即

339

可拿到冠軍，因此.....2分

對于。想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝。，然后戰(zhàn)勝A,8中的勝者，

……八1311115八

因此P(N)=—x—x—+—x—x—=—....5分

—24424232

(2)記兩種賽制下A獲得冠軍的概率分別為p2,則P1=p2….…6分

而雙敗賽制下，A獲得冠軍有三種可能性：

①直接連贏三局；②從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽；③直接掉入敗者組拿到冠軍.

，P2=P'+P(1-P)P2+(1-P)P3=P'(3-2P),……8分

P1=〃(〃T)2(2〃+1)>0

則不論哪種賽制下，A獲得冠軍的概率均小于p……10分

而，2一〃1=〃2(1一〃)(2〃_1)若〃>；，則〃2>Pl，若〃<g，則〃2<Pl

綜上可知：雙敗賽制下，會使得強者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有

利于篩選出“強者”，人們“對強者不公平''的質(zhì)疑是不對的.……12分

22.(1)證明：連接AC；,因為△ABC為等邊三角形，。為AC中點，...BO_LAC,

又平面ACG4，平面ABC,平面ACC|A平面ABC=AC,BOu平面ABC,

比)，平面A41G。，又ACu平面441GC,.'BOLAC,……2分

由題設(shè)知四邊形441c。為菱形，J_AC-

?：D,￡分別為AC,CG中點，IDE〃AC-；.A1cLDE,

又.BDDE=D,BD,。石匚平面8?！?，4。，平面8?！辍?分

(2)解：由題設(shè)知四邊形AAGC為菱形，且NACC|=60。，△