山東省2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九年級上冊期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

山東省2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)九上期末復(fù)習(xí)檢測試題

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每題4分，共48分）

32

1.若一=一，則下列等式一定成立的是（）

?y

,,X2

A.3x=2yB.孫=6C.—D.—=-

>3

2.下列計(jì)算中正確的是（）

A.√3+√2=√5B.??（-?）2=-3C.√24÷√6=4

D.λ^-√2=√2

3.如圖，在aOAB中，NAOB=55°,將AOAB在平面內(nèi)繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到40A'B'的位置，使得BB'/7A0,則旋

轉(zhuǎn)角的度數(shù)為（）

C.55oD.15°

4.方程5/=6。-8化為一元二次方程一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）

A.5,6,-8B.5,-6,-8C.5,-6,8D.6,5,-8

5.如圖，AB為OO的直徑，PD切。O于點(diǎn)C,交AB的延長線于D,KCO=CD,則NPCA=()

A.30oB.45oC.60oD.67.5°

6.如圖，在4ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、AC、Be上，且NAED=NB,再將下列四個(gè)選項(xiàng)中的一個(gè)作為

條件，不一定能使得4ADE和ABDF相似的是（）

D.

EAEDEAEDADAEBDBA

A.------------D.-----------

BDBF~BF~~BDBD一BFBFBC

7.如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，連接DE交AB于點(diǎn)F,NAED=2NCED,點(diǎn)G為

DF的中點(diǎn).若BE=LAG=3,則AB的長是（）

A.√iθB.2√2C.TiTD.2#)

8.已知2x=3y,則下列比例式成立的是（）

9.下列幾何體中，主視圖和左視圖都是矩形的是（）

10.如圖，在正方形ABa）中，點(diǎn)。是對角線AC,B。的交點(diǎn)，過點(diǎn)。作射線分別交。例,ON于點(diǎn)E,F,且

NEO廣=90°,交OC,EF于息G.給出下列結(jié)論：①VCoE絲VOQF;②VoGESVFGCC；③四邊形CEOE的

面積為正方形ABCo面積的1；④。產(chǎn)+8爐=OG?OC.其中正確的是（）

A.①②③④B.φ(2X3)C.①②④D.③④

IL函數(shù)y=-（x+2p+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（2,-1）B.（-2,1）C.（-2,-1）D.（2,1）

12.把兩個(gè)大小相同的正方形拼成如圖所示的圖案.如果可以隨意在圖中取點(diǎn).則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的慨率是（）

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60。方向，距離燈塔60海里的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后,

到達(dá)位于燈塔C的南偏東45。方向上的8處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是海里.

14.已知cos（a^15°）=-,那么a=

2

15.一個(gè)不透明的袋子中裝有黑、白小球各兩個(gè)，這些小球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球后，放

回并搖勻，再隨機(jī)摸出一個(gè)小球，則兩次摸出的小球都是白球的概率為.

16.若x=2是關(guān)于X的一元二次方程αf+Δx-8=0（α≠0）的解，則代數(shù)式2020+2。+5的值是.

17.一枚質(zhì)地均勻的骰子，其六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字：1,2,3,4,5,6,投擲一次，朝上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率

是.

18.兩同學(xué)玩扔紙團(tuán)游戲，在操場上固定了如下圖所示的矩形紙板，E為AD中點(diǎn)，且NABD=60。，每次紙團(tuán)均落在

紙板上，則紙團(tuán)擊中陰影區(qū)域的概率是.

三、解答題（共78分）

19.（8分）如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1個(gè)單位長度，請作出AABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的ΔA4G,并寫出點(diǎn)A的坐標(biāo).

20.（8分）如圖，在ΔA5C中，D、E分別為BC、AC上的點(diǎn).若J=——=-,AB=8cm,求DE的長.

BCAC3

21.（8分）如圖，路燈（P點(diǎn)）距地面9米，身高1.5米的小云從距路燈的底部（O點(diǎn)）20米的A點(diǎn)，沿OA所在的

直線行走14米到B點(diǎn)時(shí)，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少米？

22.（10分）如圖，若AIBIG是由ABC平移后得到的，且.ABC中任意一點(diǎn)P（x,y）經(jīng)過平移后的對應(yīng)點(diǎn)為

Pl(x-5,y+2)

⑴求點(diǎn)小A∣,B∣,C∣的坐標(biāo).

⑵求AIBC的面積.

23.(10分)如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,AD=2,AB=*?+?+?2?*?2??*+***,以點(diǎn)A為圓心,

AD為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F.

(1)求NABE的大小及DE尸??的長度；

(2)在BE的延長線上取一點(diǎn)G,使得....~■?”?***上的一個(gè)動點(diǎn)P到點(diǎn)G的最

短距離為???“,?2"??2%?*??-2?”,求BG的長.

24.(10分)墻壁及淋浴花灑截面如圖所示，已知花灑底座A與地面的距離AB為170cm,花灑AC的長為3()c加，與

墻壁的夾角NG田為43°.求花灑頂端C到地面的距離CE(結(jié)果精確到ICm)(參考數(shù)據(jù)：sin43°=0.68,

cos43°=0.73,tan43°=0.93)

BE

25.(12分)某小學(xué)學(xué)生較多，為了便于學(xué)生盡快就餐，師生約定：早餐一人一份，一份兩樣，一樣一個(gè)，食堂師傅

在窗口隨機(jī)發(fā)放(發(fā)放的食品價(jià)格一樣)，食堂在某天早餐提供了豬肉包、面包、雞蛋、油餅四樣食品.

(1)按約定，“小李同學(xué)在該天早餐得到兩個(gè)油餅”是事件；(可能，必然，不可能)

(2)請用列表或樹狀圖的方法，求出小張同學(xué)該天早餐剛好得到豬肉包和油餅的概率.

26.已知拋物線y=0√+∕zx-4經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),B(-4,0),與＞軸交于點(diǎn)C.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)如圖，點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，求四邊形ASPC面積的最大值.

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、D

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì):=則ad=bc,逐個(gè)判斷可得答案.

ba

32

【詳解】解：由一=一可得：2x=3y

Xy

A.3x=2y,此選項(xiàng)不符合題意

B.xy=6,此選項(xiàng)不符合題意

X2

C.—,則3x=2y,此選項(xiàng)不符合題意

y3

y2

D.上=一，則2x=3y,正確

X3

故選：D

【點(diǎn)睛】

∩C

本題考查比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握;=：,則ad=bc.

ba

2、D

【分析】直接利用二次根式混合運(yùn)算法則分別判斷得出答案.

【詳解】A、6+應(yīng)無法計(jì)算，故此選項(xiàng)不合題意；

B、J(-3)2=∣-31=3，故此選項(xiàng)不合題意；

C、√24÷√6=√4=2,故此選項(xiàng)不合題意；

IK√8-√2=2√2-√2=√2,正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵.

3、B

【分析】據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NAQB=Z6'30=55。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得QB=Q8',然后利用等腰

三角形兩底角相等可得/303',即可得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

【詳解】BB=AO,

ZAOB=NB，BO=55。,

又OB=OB',

.BOg中，ZBOB'=180o-2×55o=70o,

旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為70°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

4、C

【分析】先將該方程化為一般形式，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：先將該方程化為一般形式：5片一6"+8=0?從而確定二次項(xiàng)系數(shù)為5,一次項(xiàng)系數(shù)為-6,常數(shù)項(xiàng)為8

故選C.

【考點(diǎn)】

此題考查的是一元二次方程的項(xiàng)和系數(shù)，掌握一元二次方程的一般形式是解決此題的關(guān)鍵.

5、D

【分析】利用圓的切線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)即可得出.

【詳解】解：：PD切。O于點(diǎn)C,.?.OCLCD,

在RtAOCD中，XCD=OC,ΛZCOD=45o.

VOC=OA,ΛZOCA=—x45°=22.5°.

2

NPCA=90°-22.5°=67.5°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查切線的性質(zhì)定理,熟練掌握圓的切線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6、C

【解析】試題解析：C.兩組邊對應(yīng)成比例及其夾角相等，兩三角形相似.

必須是夾角,但是NA不一定等于/8

故選C.

點(diǎn)睛：三角形相似的判定方法：兩組角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似.

兩組邊對應(yīng)成比例及其夾角相等，兩三角形相似.

三邊的比相等，兩三角形相似.

7、B

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AG=DG,進(jìn)而得到得NADG=NDAG,再結(jié)合兩直線平

行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NADG=NCED,再根據(jù)三角形外角定理NAGE=2NADG,從而得到NAED=NAGE,再得到

AE=AG,然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.

【詳解】解：???四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，

,AG=DG,

.?.NADG=NDAG,

VAD/7BC,

：.ZADG=ZCED,

...NAGE=NADG+NDAG=2NCED,

VNAED=2NCED,

...ZAED=ZAGE,

.?.AE=AG=3,

在Rt?ABE中，AB=y]AE2-BE2=√32-l2=2√2，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，求出AE=AG是解題的關(guān)鍵.

8、C

【分析】把各個(gè)選項(xiàng)依據(jù)比例的基本性質(zhì)，兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，已知的比例式可以轉(zhuǎn)化為等積式2x=3y,即

可判斷.

【詳解】A.變成等積式是：孫=6,故錯(cuò)誤；

B.變成等積式是：3x+3y=4y,即3x=y,故錯(cuò)誤；

C.變成等積式是：2x=3y,故正確；

D.變成等積式是：5x+5y=3x,即2x+5y=0,故錯(cuò)誤.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了判斷兩個(gè)比例式是否能夠互化的方法，即轉(zhuǎn)化為等積式，判斷是否相同即可.

9、C

【分析】主視圖、左視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形.依此即可求解.

【詳解】A.主視圖為圓形，左視圖為圓，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.主視圖為三角形，左視圖為三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.主視圖為矩形，左視圖為矩形，故選項(xiàng)正確；

D.主視圖為矩形，左視圖為圓形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故答案選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識點(diǎn)是截一個(gè)幾何體，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握截一個(gè)幾何體.

10、B

【分析】根據(jù)全等三角形的判定(ASA)即可得到①正確；根據(jù)相似三角形的判定可得②正確；根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)可得③正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理，即可得到答案.

【詳解】解：①Q(mào)四邊形ABCz)是正方形，

.?.OC=OD,AC±BD,NODF=NoCE=45。,

QZMON=90。，

.?.ZCOM=ZDOF,

.NCOE^VDOF(ASA),

故①正確；

(2)QZEOF=NECF=90。,

點(diǎn)O,E,C,F四點(diǎn)共圓,

.?.ZEOG=ZCFG,ZOEG=NFCG,

.?.OGEWFGC,

故②正確；

③QVCOE^VDOF，

??SVCOE-SVDoF，

?,?S四邊形CEOF=S?OCD=4SiE方形A8C0，

故③正確；

④QVCoE絲VOOE,

.-.OE=OF,又QNEob=90°,

.?.VE0尸是等腰直角三角形，

ZOEG^ZOCE=45°,

Q/EOG=NCOE,

:NOEGEoCE,

:.OE.OC=OG-.OE,

OG?OC=OE2,

1Fj

QOC=-AC,OE=WEF,

.?OG?AC=EF1,

QCE=DF,BC=CD,

：.BE=CF,

又QRtNCEF中，CF?+CE2=EF2,

:.BE2+DF2=EF2>

.?.OG?AC=BE2+DF2,

故④錯(cuò)誤，

故選8.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定（ASA）和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的

判定（ASA）和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定.

11、B

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以直接寫出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，本題得以解決.

【詳解】解：：函數(shù)y=-(x+2f+l,

.?.該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(一2,1),

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的圖像，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式直接得到頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.

12、C

【分析】先設(shè)圖中陰影部分小正方形的面積為X,則整個(gè)陰影部分的面積為3x,而整個(gè)圖形的面積為7x.再根據(jù)幾何概

率的求法即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)圖中陰影部分小正方形的面積為x,,則整個(gè)陰影部分的面積為3x,而整個(gè)圖形的面積為7x,

???這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的慨率是S=三

7%7

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識點(diǎn)是事件的概率問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已給圖形找出圖中陰影部分的面積與整個(gè)圖形的面積.

二、填空題(每題4分，共24分)

13、(30+30√3)

【分析】過點(diǎn)C作CD_LAB,則在Rt△ACD中易得AD的長，再在RtZkBCD中求出BD,相加可得AB的長.

【詳解】解：過C作CDjLAB于D點(diǎn)，由題意可得，

NACD=30°,ZBCD=45o,AC=I.

CD

?Rt?ACDφ,COSZACD=——，

AC

：.AD=—AC=30,CD=AC?cosZACD=l×—=3O√3,

22

在RtADCB中，；NBCD=NB=45°,

.?.CD=BD=3θ5

ΛAB=AD+BD=30+30后.

答:此時(shí)輪船所在的B處與小島A的距離是(30+30√3)海里.

故答案為：(30+30√3).

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解

決的方法就是作高線.

14、45°

【分析】由題意直接利用特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行分析計(jì)算進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：?.?cos(α-15°)=等，

Λa-15o=30°,

Λa=45°.

故答案為：45°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，牢記是特殊角的三角函數(shù)值解題的關(guān)鍵.

【解析】試題分析：列表得:

黑1黑2白1白2

黑1黑1黑1黑1黑2黑1白1黑1白2

黑2黑2黑1黑2黑2黑2白1黑2白2

白1白1黑1白1黑2白1白1白1白2

白2白2黑1白2黑2白2白1白2白2

共有16種等可能結(jié)果總數(shù)，其中兩次摸出是白球有4種.

?P41

164

考點(diǎn)：概率.

16、1

【分析】把x=2代入已知方程求得2a+b的值，然后將其整體代入所求的代數(shù)式并求值即可.

【詳解】解：Y關(guān)于X的一元二次方程加+法—8=0的解是x=2,

：?4a+2b-8=0,

則2a+b=4,

：?2020+2a+b=2020+(2a+b)=2020+4=l.

故答案是：L

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的解定義，以及求代數(shù)式的值，解題時(shí)，利用了“整體代入”的數(shù)學(xué)思想.

【解析】試題分析：骰子共有六個(gè)面，每個(gè)面朝上的機(jī)會是相等的，而奇數(shù)有1,3,5；根據(jù)概率公式即可計(jì)算.

試題解析：骰子六個(gè)面中奇數(shù)為1,3,5,

31

.?.P(向上一面為奇數(shù))

62

考點(diǎn)：概率公式.

1

8>8-

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出矩形對角線所分的四個(gè)三角形面積相等，再根據(jù)E為AO中點(diǎn)得出SM"E=;S△。仙,

進(jìn)而求解即可.

【詳解】?.F5C。是矩形，

?'?S4AOD=SAAOB=S4BOGS“COD=-S矩形球ABCZK

4

又TE為Ao中點(diǎn)，

；?SAoDE=-SAOAD,

2

._1

??SAODE=—S矩彩紙板ABCO,

.?.紙團(tuán)擊中陰影區(qū)域的概率是:.

O

故答案為：?.

O

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概率，用到的知識點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.

三、解答題（共78分）

19、畫圖見解析；點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,-2）.

【分析】由題意根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，根據(jù)點(diǎn)

的坐標(biāo)就確定原圖形的頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，進(jìn)而即可作出所求圖形.

【詳解】解：如圖：點(diǎn)Al的坐標(biāo)為（2,-2）.

【點(diǎn)睛】

本題考查關(guān)于原點(diǎn)對稱的知識，關(guān)鍵是掌握關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，根據(jù)

點(diǎn)的坐標(biāo)即可畫出對稱圖形.

20、—cm

3

【分析】根據(jù)兩邊成比例且夾角相等證ACDESACAB,由相似性質(zhì)得對應(yīng)邊成比例求解.

【詳解】解：在aCDE和aCAB中，

CECD2

V——=——=一，ZDCE=ZACB,

BCAC3

Λ?CDE^?CAB,

.DECE_2

,,AB^βC^3'

DE2

-------二一

83,

16

.?.DE=-.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，正確找出相似條件是解答此題的關(guān)鍵.

21、變短了2.8米.

【解析】試題分析：

試題解析：根據(jù)AC〃BD〃OP,得出AMACS∕?MOP,?NBD^?NOP,再利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解，即可

得出答案.

試題解析：如圖：

VNMAC=NMoP=90。,

ZAMC=ZOMP,

.?.AMACsAMOP,

.MAAC

''~MO~~OP'

MA1.5

即an--------=—,

20+9

解得，MA=4米；

同理,由ANBDSANOP,可求得NB=I.2米，

則馬曉明的身影變短了4-1.2=2.8米.

.?.變短了，短了2.8米.

22、(1)(-1,5),(-2,3),(-4,4)；(2)三角形面積為2.5；

【分析】(1)由aABC中任意一點(diǎn)P(x,y)經(jīng)平移后對應(yīng)點(diǎn)為Pl(X-5,y+2)可得aABC的平移規(guī)律為：向左平移

5個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位，由此得到點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)Ai、Bi、CI的坐標(biāo).

(2)利用矩形的面積減去三個(gè)頂點(diǎn)上三角形的面積即可.

【詳解】「△ABC中任意一點(diǎn)P(x,y)經(jīng)平移后對應(yīng)點(diǎn)為Pl

(χ-5,y+2),

.??△ABC的平移規(guī)律為：向左平移5個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位,

VA(4,3),B(3,1),C(1,2),

.?.點(diǎn)Al的坐標(biāo)為(-1,5),點(diǎn)Bl的坐標(biāo)為(-2,3),點(diǎn)G的坐標(biāo)為(-4,4).

(2)如圖所示，

△ABC的面積=3X2-LXlX3-工XlX2-，X1X2=3.

2222

【點(diǎn)睛】

本題考查的是作圖-平移變換，熟知圖形平移不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

23、(1)15o,?>*??*?*?????3Λ-*?*2**??>?**；(2)1.

【解析】試題分析：(1)連接AE,如圖1,根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得AE_LBC,解Rt△AEB可求出NABE,進(jìn)而得

到NDAB,然后運(yùn)用圓弧長公式就可求出?“w????????DEF?”?”的長度；

(2)如圖2,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)A、P、G三點(diǎn)共線時(shí)PG最短，此時(shí)

AG=AP+PG=????-?2，~?2+—-“+”-=AB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE=EG,只需運(yùn)用勾股定理求出

BE,就可求出BG的長.

試題解析：(1)連接AE,如圖1,；AD為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)E,.?.AEJ"BC,AE=AD=2.

在Rt?AEB中，

SinNABE=AEifAB*——=

ΛZABE=15o.VAD∕7BC,ΛZDAB+ZABE=180o,

.?.NDAB=135°,?，????■的長度為

357X2φφφφφφl=；

(2)如圖2,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)A、P、G三點(diǎn)共線時(shí)PG最短，此時(shí)

+=ΛAG=AB.'.'AE±BG,

:BE=EG.VBE=???????????=

?-?ΛEG=2,ΛBG=1.