2023-2024學年廣東省湛江市高二年級上冊期末數(shù)學模擬試題(含解析)

2023-2024學年廣東省湛江市高二上冊期末數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.已知集合/=卜|巾<1},8=卜卜<2},則ZB=()

A.(』2)B.(0,1)C.(0,2)D.(U0)

【正確答案】C

【分析】求出集合4再根據(jù)交集的運算即可得出答案.

【詳解】解：J={x|lgx<l}={x[0<x<10),

所以/B=(0,2).

故選：C.

2.已知數(shù)列{〃“}為等比數(shù)列，若,=2,牝=32,則4的值為()

A.8B.±8C.16D.±16

【正確答案】A

【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.

【詳解】因為為等比數(shù)列，設{《,}的公比為9,

則02=《5=2,4=°「/=32,

兩式相除可得/=16,所以/=4,

所以%=4-3=32+4=8,

q-

故選：A.

3.正方體-44GA中，E是棱CD的中點，若45=2,則點8到平面的距離是

A.亞B.至C.4D.也

555

【正確答案】B

由題意結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征利用等體積法求解點面距離即可.

【詳解】設點B到平面Z/E的距離為“，由等體積法可知：「B-AAE=Ai-ABE，

即:△詆；x(；x2x指)?力=gx(；x2x2)x2,

解得/=[石

本題主要考查點面距離的求解，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計

算求解能力.

4.設i為虛數(shù)單位，aeR,“。=1”是“復數(shù)2=《-一匚是純虛數(shù)”的（）條件

2]-i

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】先化簡z,再根據(jù)純虛數(shù)的定義求出。的值，利用充分條件和必要條件得定義即可

判斷

2[?21?21?

【詳解】復數(shù)z=+-;=~r-j--、=-z—y=—r---^是純虛數(shù)，

21-z2（1一根1+。2222

則/一1=0，解得。=±1,

故"〃=1”是"復數(shù)z=---是純虛數(shù)”的充分不必要條件，

21-z

故選：A.

對于復數(shù)的乘法，類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含

i的看作另一類同類項，分別合并即可；對于復數(shù)的除法，關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共

規(guī)復數(shù)，解題中要注意把i的幕寫成最簡形式.

5.已知/（x）=sinxcosx,則/（x）的最小值與最小正周期分別是（）

A.—，兀B.—1，兀C.—>27tD.—2,2兀

22

【正確答案】A

【分析】根據(jù)正弦的二倍角公式化簡，即可根據(jù)周期公式求解出周期，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求

出最小值.

【詳解】〃x）=sinxcosx=；sin2x,故最小正周期為等=兀，最小值為

故選：A.

體重（單位：kg）

6.目前,國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI=來衡量人體胖瘦程度以及是否

身高2（單位：m?）

3

健康.某公司對員工的BMI值調(diào)查結(jié)果顯示，男員工中，肥胖者的占比為工；女員工中,

肥胖者的占比為2高，已知公司男、女員工的人數(shù)比例為2：1,若從該公司中任選一名肥

胖的員工，則該員工為男性的概率為（）

39-3一3

A.---B.---C.-D.一

10020054

【正確答案】D

【分析】先求出任選一名員工為肥胖者的概率和肥胖者員工為男性的概率，再根據(jù)條件概率

計算即可.

【詳解】設公司男、女員工的人數(shù)分別為2〃和〃,

則男員工中，肥胖者有2〃x志3人3〃，

女員工中，肥胖者有〃2親n人，

設任選一名員工為肥胖者為事件A，肥胖者為男性為事件5,

3n3nn

貝％的中=系

1

503

則P(8|/)=P(AB)==

尸⑷一2一4.

75

故選：D.

22

7.P是橢圓]+方=l（a>b>0）上的一點，A為左頂點，尸為右焦點，軸，若

tan/P/F=g,則橢圓的離心率《為（）

A.—B.C.旦D.y

2232

【正確答案】D

L2

【分析】尸產(chǎn)_1》軸得|尸產(chǎn)|=],在直角△尸/尸中由正切的定義可得a/,c的齊次式，從而

得出e的方程，求得結(jié)論.

【詳解】解：軸，.?.「可=幺，

a

..1\PF1

而同”+a.?.由tan/W=5得.=5,

序1

/.—=—(。+c)，即2(a2-c2)=a2+ac,

a2

2e2+e-l=0,解得e=-l（舍）或6=彳.

2

故選：D.

8.莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.五角星是一個非常優(yōu)美的幾何

圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的五角星中，以4,B,C,D,E為頂點

的多邊形為正五邊形，且閶=也二L^ES-AP=XBQ(XER),貝以=()

\AT\2

AoV51rV5+1n"下

2222

【正確答案】D

【分析】根據(jù)圖象的對稱性和向量的運算法則，化簡得到火°=今匚°8,即可求解.

【詳解】根據(jù)圖形的對稱性，可得足LRE，AP=QC,

由和向量的運算法則，可得E《l4P=Rd-QC、=RC+CQ=RQ,

又由k°卜|尸丁|，\BQ\=\AT\,故猥=*11溫，所以a=上二叵.

故選：D.

二、多選題

9.已知拋物線。：產(chǎn)=2外儲＞0)的焦點為尸(4,0),9為C上的一動點,4(5,1),則下列

結(jié)論正確的是()

A.p=4B.當尸軸時，點尸的縱坐標為8

C.|尸日的最小值為4D.陽|+儼目的最小值為9

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)焦點坐標可得P=8,即可判斷A,根據(jù)坐標運算即可判斷B,根據(jù)焦半徑以及自

變量的范圍即可判斷C,根據(jù)三點共線即可判斷D.

【詳解】對于A,由拋物線C：/=2px(p>0)的焦點為尸(4,0)可知與=4np=8,故A錯

誤，

對于B,當PF_Lx軸時，則點P的橫坐標為4,將其代入/=16x中得y=±8,故B錯誤，

對于C,設尸伍,九)，則1pq=/+5=%+4,由于所以|尸尸|=%+424,故伊日的

最小值為4,故C正確，

對于D,過P作PM垂直于準線于M,過A作AE垂直于準線于E,

J1IJ\PA\+\PF\=\PA\+\PM\>\AM\>\AE\=6,當p,E,A三點共線時等號成立，

故D正確；

10.將函數(shù)〃x)=Nsin(ox+s)的圖象向左平移g個單位長度后得到y(tǒng)=g(x)的圖象如圖,

6

A./(x)為奇函數(shù)

B./(x)在區(qū)間A，')上單調(diào)遞增

C.方程〃x)=l在(0,2%)內(nèi)有4個實數(shù)根

D./。)的解析式可以是/(x)=2sin(2x-2

【正確答案】BC

【分析】利用圖象可求得函數(shù)g(x)的解析式，利用函數(shù)圖象平移可求得函數(shù)/(x)的解析式,

可判斷D選項；計算/(0)可判斷A選項；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項；當

xe(O,2萬)時，求出方程〃x)=l對應的2x-號可能取值，可判斷C選項.

【詳解】由圖可知，函數(shù)g(x)的最小正周期為.?.O=與=2,

/=g(x)a=2,

所以，g(x)=2sin(2x+°),則g)=2$訪(個+?)=2,可得sin+“=1,

'nTTTT

所以，——+9=2攵乃+—(女￡Z),得*=---(kwZ),

623

因為|夕|《，則g所以，g(x)=2sin(2x-?)

將函數(shù)g(x)的圖象向右平移1個單位可得到函數(shù)/(x)的圖象，

故/(x)=2sin2(=2sin2x

對于A選項，因為/(O)=2sin「q-J#O,故函數(shù)/(x)不是奇函數(shù)，A錯；

對于B選項，當會》后時，-9<2x-與<0,故函數(shù)仆)在區(qū)間仁,9上單調(diào)遞增,

B對；

可得sin(2x-與

對于C選項,^/(x)=2sinl2x--1=1,

2

當xe(O,2萬)時，＜學，所以，小字號號

C對;

3333[66o6

對于D選項，/(x)=2sin12x-弩)w2sin12x-^),D錯.

故選：BC.

11.已知數(shù)列｛《,｝滿足4=1,《向=34,+1,〃eN*,則()

A.121是數(shù)列中的項B.an+]-a?=3"

c.”9是等比數(shù)列-*1113

D.存在％cN,一+—++—=~

qa2ak2

【正確答案】ABC

【分析】由遞推關(guān)系式=3%+1可知，通過構(gòu)造等比數(shù)列可求得數(shù)列｛%｝的通項公式為

%即可計算并判斷出ABC正確；再利用不等式進行放縮可得出對于任意的,

〃2

1113,u

一+—+LT+—<可得D錯誤.

%4%2

【詳解】由％=3(+1可得，+舊=3(*+￡，又卬+；=|，

所以「“+；｝是首項為T，公比為3的等比數(shù)列，即C正確；

所以，由等比數(shù)列通項公式可得?！?；="尸，即

當"=5時，a=—=121,所以121是數(shù)列中的第五項，即A正確；

52

,,3"-11?陽3,,+1-13"-13x3"-3"Hnctr*.

由。=----可得，a.-ci=-------------------=-------------=3；即B正確；

"2"In〃222

12

易知一二丁丁，當〃22時，3"—1>3"—3〃T=2X3"T,

an3T

12213

所以廣=訶，當"=i時，=1<-；

un3—1ZXjj2.

當“22時，—+—+

qa2

11131113

即對于任意的“eN*,—+—+L+—<-,所以不存在左eN*,—+—++—=彳,

qa2an2qa2ak2

即D錯誤.

故選：ABC

12.如圖，在平行四邊形Z8CD中，AB=\,AD=2,NX=60。，沿對角線8。將

折起到△P8。的位置，使得平面平面88,連接尸C,下列說法正確的是()

A.平面PC￡>_L平面P8D

B.三棱錐P-BCD外接球的表面積為10元

C.P。與平面P8C所成角的正弦值為且

D.若點M在線段P。上(包含端點)，則△8CM面積的最小值為巨

7

【正確答案】ACD

【分析】結(jié)合線線垂直，線面垂直與面面垂直的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系檢驗A,根據(jù)外接球的球心位

置即可結(jié)合三角形的邊角關(guān)系求解半徑，可判斷B,結(jié)合空間直角坐標系及空間角及空間點

到直線的距離公式檢驗CO.

【詳解】△88中，CD=\,BC=2,ZA=60°,

所以80=6，^LBD2+CD2=BC1,所以8OJ.C0,

因為平面,8。_L平面88,且平面P8。平面88=8。，又BDLCD,CDu平面8co

所以CDJ■平面P8D,CDu平面尸CD,所以平面PC￡)1平面8包),故A正確；

取BC的中點為N,PB中點為Q,過N作ON//PB,ON=；PB，由平面PBD1平面BCD，且平

面PBD平面2a)=8。，又平面PB。,故PB_L平面8CZ),因此ONJ_平面

8co，由于△8。為直角三角形，且N為斜邊中點，所以O8=OC=OD,又

ON/"8,ON=；P8,所以。8=ON,8。//ON,因此"=08,因此。為三棱錐P-BCD外接

球的球心，且半徑為OB=JBQ?+BN?==亭,故球的表面積為4?！?兀,故B

錯誤，

以。為原點，聯(lián)立如圖所示的空間直角坐標系，則8(百，0,0),C(0,1,0),P(G,o,

1),

因為8P=(0,0,1),BC=(->/3,1,0),DP=go',

設平面P8C的法向量為％=(x,y,z),

所以收敷，取”百，則〃；［(63,0)

所以cos<L=4煞=37%=半，故與平面p8c所成角的正弦值為丑，故C正

|mIIDP\2X2V344

確,

因為M在線段上，設"ba,0,a）,則屈8=（百-島，0,-a）,

所以點〃到BC的距離d=儲四星把）2=J--^+-=J-（a--）2+-,

V\BC\V424^477

當。=:時，d取得最小值叵，此時AM8C面積取得最小值18cx叵=叵，D正確.

77277

三、填空題

13.寫出過點尸（-2,2）且與圓（》+1）2+/=1相切的一條直線的方程.

【正確答案】3x+4y-2=0（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題意：先討論斜率不存在的情況是否成立；斜率存在時，設出切線方程，利用

圓心到直線的距離等于半徑即可求解.

【詳解】當過點2（-2,2）的直線斜率不存在時：方程為：x=-2,此時直線到圓心的距離

d-r,滿足題意；

當過點P（-2,2）的直線斜率存在時：設方程為：”以x+2）+2,

BPkx-y+2k+2=0,因為直線與圓（x+l『+為即相切,

所以〃=上半"3=1,解得：k—,所以直線方程為：3x+4y-2=0,

川+公4

所以過點尸（-2,2）且與圓（》+1）2+/=］相切的一條直線的方程*=_2或”+4尸2=0,

故3x+4y-2=0（答案不唯一）.

14.等差數(shù)列｛/｝的前〃項之和為S“，若4=6,則S“=.

【正確答案】66

【分析】直接利用等差數(shù)列前〃項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由已知條件得S"=等=66,

故答案為.66

15.若cU、o方、od為空間三個單位向量，OAVOB^且od與0日、0片所成的角均為

60°,則.

【正確答案】亞

【分析】根據(jù)向量的模長公式即可代入求解.

【詳解】由題意可得〃?08:0，OAOC^OCOB=lx\xcos60^=-

FFF1^―f-f——-K■叭—?力~??K■映

04+08+。。=\IOA~+OB~+OC~+2)AOB+DAOC+DCOB

=Jl+l+l+0+2'；+2'；=yj~5,

故有

16.已知橢圓2+4=1的右焦點為尸，點「在橢圓上且在x軸上方.若線段尸尸的中點用

在以原點。為圓心，I?？蔀榘霃降膱A上，則直線PF的斜率是.

【正確答案】-272.

【分析】設橢圓得左焦點為尸‘，連接。"產(chǎn)/，根據(jù)線段P尸的中點用在以原點。為圓心,

I。尸I為半徑的圓上,可得|OM|=|OF|=c,從而可求得|尸尸尸日，在PFF',利用余弦定

理求得NPF尸'的余弦值，從而可得出答案.

【詳解】解：設橢圓得左焦點為尸'，連接0M,PF',

由橢圓夫+少=1得，a=5,h=4,c=3,

2516

則產(chǎn)'(—3,0),F(3,0),|FF'|=2c=6,\PF\+\PF'\=2a=\0,

因為點M在以原點。為圓心，I?？蔀榘霃降膱A上，

所以10M=|0F|=c=3,

因為O,M分別為FF',PF得中點，

所以|PU|=2|O日=6,所以|尸產(chǎn)|=10-|尸尸|=4,

所以cosNPFF=[6：3!-36=：,貝！|sin/PEF'=述，

2x4x633

所以tan/PEF'=2ji，

因為點P在橢圓上且在X軸上方，則直線PF的傾斜角與Z.PFF'互補,

所以直線夕尸的斜率-2JL

故答案為.-2a

四、解答題

/7

17.在△MC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為。，6,c,已知a=0,b=4s,co&A=7=~.

（1）求sinB；

（2）若8是鈍角，求/C邊上的中線長.

【正確答案】（1）立

2

（2）1

【分析】（1）根據(jù)同角基本關(guān)系可得正弦值，進而根據(jù)正弦定理即可求解，

（2）根據(jù)余弦定理可求解%利用向量得8O=g（8/+8C）,平方后即可求解.

【詳解】（1）由cos/=也，力€（0,兀）,則由必=，1-的二=或,由正弦定理得

5v'5

好

bQ卜.八次皿776,

----=----Dsin5=-----=r^~~——

sinBsiMayJ22

（2）由于8是鈍角，故cos8=-4Z,

2

由余弦定理可得cos8=°一+：一一"=2+5=_坐,解得。=1（負值舍去），

2ac2缶2

設4c邊上的中線為8。，則8O=5（8/+8C）,

^\^(2BD)2^(BA+BC)2=c2+a2+2accosS=12+(>^)2+2x1x①x卜—fel,

所以T1即NC邊上的中線長為gI.

18.設第一象限的點"(*。,九)是雙曲線C:1-/=l伍>0)上的一點，己知C的一條漸近

線的方程是y=^x.

(1)求6的值，并證明：-^-x0-^0<—；

2X。

(2)若直線/：y=x-3和曲線C相交于E,F兩點，求|所|.

【正確答案】(1)6=0,證明見解析

(2)4近

【分析】(1)根據(jù)漸近線方程可得6=&,進而根據(jù)分析法即可求解，

(2)聯(lián)立方程，由韋達定理以及弦長公式即可求解.

22L

【詳解】(1)=1e>0)的漸近線方程為卜=±￡'，故6=0，

雙曲線方程為材卜°,九)在雙曲線上，所以乎-￥=1，

要證'與一汽〈二，只需證由于%>0,%>0,若"/-二40,顯然成

2%2%2x0

立，若當二>0時，只需要證明(今/一」］<%2,即證:/2+烏-

2/<2x0J2x0I4J

9/-99

因此只需要證明［<3.2-2,由%〉2,得［<w，而

——<18=>-+2<3yjl=>—<3-2,故~-2成立，因此2^,、y

1644/2x0

"22

上-匕=1

(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程42"=-—］2x+22=0,

y—x—3

設廣值,%),E(XQ)，則百+馬=12，占次=22,所以由弦長公式得:

|EF|=+%)2-4%受=仄/1爰-4'22=4r7,

19.如圖，在棱長為2的正方體/BCD—44GA中，E為中點.

(1)求平面DBD、與平面E8"夾角的余弦值；

(2)探究線段8c上是否存在點凡使得。尸〃平面若存在，確定點產(chǎn)的位置；若不存

在，說明理由.

【正確答案】(1

(2)存在，點尸為線段8(上靠近點C的三等分點

見解析

【分析】(1)以。為原點，DA,DC,所在直線分別為x軸，了軸，z軸建立空間直角

坐標系，求出平面的法向量，平面8OQ的一個法向量.利用空間向量的數(shù)量積即可求

解

(2)假設在線段8c上存在點F,使得。尸〃平面通過向量共線以及向量的數(shù)量積

為0,求解即可.

【詳解】(1)如圖，以。為原點，DA,DC,所在直線分別為x軸，J軸，z軸建立空

則/(2,0,0),5(2,2,0),Q0,2,0),。(0,0,0),E(1,0,0),四(2,2,2),0,(0,

0,2).

R理(1,0,-2),EB=(1,2,0),

設平面的法向量〃=(%,y,z),

x八

n?D￡=0x-2z=0

X-，即

n?EB-0x4-2y=0'

令x=2,則夕=-1,z=1,n=(2,-l,l),

連接ZC,AC1BD,由于平面力C,NCu平面4C,所以

D】DcBD=D,DQ,BDu平面BD、D,

.?.4C1平面3DQ,4d1(—2,2,0)為平面3。。的一個法向量.

TX_xV3

cos(AC,n)=-任k=二廣

\AC\\n\V6x5/82

故平面QBR與平面EBD、夾角的余弦值為也

平面DBD、與平面EBR夾角不超過90，,

2

(2)假設在線段4c上存在點尸，使得。尸//平面8RE.

設CF=e[0,1]),CB'=(2,0,2),DF'=DC+CF=DC+2.CB'=(0,2,0)+2(2,0,2)=(22,2,22),

。"http://平面比花，??.DFA,即。匠〃=0,

.?.(22,2,22)-(2,-1,1)=0,B|J62-2=0,解得2=；€[0,1],

???在線段8c上存在點尸，使得。尸〃平面BDE，此時點尸為線段8c上靠近點C的三等分

點.

20.甲、乙兩人組成“新隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲乙各猜一個成語，已知甲每輪猜

對的概率為P,乙每輪猜對的概率為4(。＞4).在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響,

各輪結(jié)果也互不影響.已知“新隊”在一輪活動中都猜錯的概率為」，只猜對一個成語的概率

為六

(1)求p，g的值；

(2)求“新隊”在兩輪活動中猜對2個成語的概率.

2

P=g

【正確答案】(1),

⑵9

【分析】(1)根據(jù)相互獨立事件發(fā)生的概率公式求解：

(2)分情況討論，根據(jù)相互獨立事件發(fā)生的概率公式計算.

【詳解】(1)都猜錯的概率為0-2)。-4)=，，^p+q-pq=y,

只猜對一個成語的概率為p(lr)+(1-P)舊，即p+q-2陽=；,

72

p+q=7P=-

所以［解得:.

『哈

(2)“新隊”在一輪比賽中猜對2個的概率為-

623

所以“新隊”在兩輪活動中猜對2個成語的概率為gxJ+Lxg+gx1=鳥.

36632236

21.設等比數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑镾”，且。,用=2邑+1,(N€N)

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)在巴與。用之間插入〃個實數(shù)，使這〃+2個數(shù)依次組成公差為么的等差數(shù)列，設數(shù)列

的前"項和為Z,，求證

【正確答案】(l)a,,=3"T

(2)證明見解析

【分析】(1)利用數(shù)列的遞推關(guān)系和等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求出數(shù)列｛與｝的通項公式；

(2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得/=',可得了=；7不h，再利用錯位相減法即可

〃+1d”2-3

得出.

【詳解】(1)解：???%+產(chǎn)2s,+1①

〃22時，an=2s“_1+1②

=2ali=>d?+1=3an(n>2)

而出=24+1,由｛%｝為等比數(shù)列,，24+1=3。［=>%=1,

3"-3'"'_2-3"-1〃+1

(2)解：d,

〃+1〃+12?3小

」一n〃+1

?r-+3++…H----rH---------①

??〃2-3°2-312-322.3*22.3“T

23n-\n〃+1

-T”=------T--------7+…+~1-----------7H-----------r「十一一②

32-312-322-3"<2?T2?3〃

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