2024年高考數(shù)學 高三開學收心考試模擬卷（測試范圍：高考全部內(nèi)容）（解析版）（新教材新高考）

高三開學收心考試模擬卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考

證號填寫在答題卡上.

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用28鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.

3.回答第I【卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

4.測試范圍：高中數(shù)學全部內(nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知全集"="€川0＜》46},集合A={1,2,3,4},8={1,3,5},則a,（AU5）=（）

A.{6}B.{1,6}C.{2,4,5,6}D.{1,2,4,5,6}

【答案】A

【解析】由題意知。={1,2,3,4,5,6},4=3={1,2,3,4,5},

所以4(Au3)={6},

故選：A

2.若復數(shù)z滿足z+W=2，H=*，則曰=()

6

A.—B.⑺C.V2D.1

2

【答案】C

【解析】設(shè)z=a+bi,a,bwR,因為z+z=2，所以2a=2,a=\,

.111—歷111\/21^2

所rr以r一=丁工=丁7，又H=二^，所以一r=r=ir，

z1+4\+b'\z\2Vl+fe2

解得。2=1,所以目=/?+以=-^2

故選：C.

3.已知向量”(1,3),。=(見一2),且(d+6)_La,則"?=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】A

【解析】＜2+/7=(/??+1,1),

又(4+人)_1_〃，

知帆+1+3=0,

即m=-4.

故選：A

4.在平面直角坐標系火力中，以下方程對應(yīng)的曲線,繞原點旋轉(zhuǎn)一定角度之后，可以成為函數(shù)圖象的是()

A.X2+2y2=4B.x2-y2=4

C.x2+y2=4D.(x-l)2+(y-2)2=4

【答案】B

【解析】對于A項，因為Y+2y2=4,所以反+片=1,

42

所以方程對應(yīng)的曲線為橢圓，

所以當橢圓繞原點旋轉(zhuǎn)后，其一定不會成為函數(shù)圖象，故A項不成立；

對于B項，因為產(chǎn)=4,所以《一《=1,

44

所以方程對應(yīng)的曲線為雙曲線，其漸進線為y=±x,

所以當其繞原點旋轉(zhuǎn);后，其一定是函數(shù)圖象，故B項成立；

對于C項，因為一+丁=4,所以方程對應(yīng)的曲線為圓，

所以當圓繞原點旋轉(zhuǎn)后，其一定不會成為函數(shù)圖象，故C項不成立；

對于D項，因為(x-l)2+(y-2)2=4,所以方程對應(yīng)的曲線為圓，

所以當圓繞原點旋轉(zhuǎn)后，其一定不會成為函數(shù)圖象，故D項不成立.

故選：B.

5.中國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題："今有七人差等均錢，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文,

問乙丁各若干？"，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個人，所分到的錢數(shù)成等差數(shù)列，甲、乙兩人

共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，問乙、丁兩人各分到多少文錢？則下列說法正確的是()

A.乙分到28文，丁分到24文B.乙分到30文，丁分到26文

C.乙分到24文，丁分到28文D.乙分到26文，丁分到30文

【答案】A

【解析】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為a-3d,a—2d,a-d,a,a+d,a+2d,

a+3d,

(a-3d+a-2d=58fa=24

則“o/a”〃、，解得L

[a+d+a+2d+a+3d=60[d=-2

所以乙分得〃=28(文)，丁分得a=24(文)，

故選：A.

6.已知sinasin('-a)=3cosasin[a+色],則sin(2a+&)=()

3V6J6

A.-1B6c

2-?D-T

【答案】A

71

【解析】由sinasin(--a)=3cosasina+—,

3k6J

1

得sinacosa--sina=3cosasina+—cosa

2727

即sin2a+2y/3sinacosa+3cos2a=0,

則《ina+gcosa)=0,得sina=->/3cosa，則tana=-\/3,

所以sin(2a+—)=—sin2a+—cos2a=6sinacosa+cos2a--

6222

V3sinacosacos-a1\/3tancr

22+-------------------------------------+--------------—

cosa+sinacos2a+sin2a21+tan2a1+tan2a2

-311

---1------=-1t

1+31+32

故選：A.

己知函數(shù)(后了+在[-

7./(x)=x3+fx+lgx)+22,2]上的最大值與最小值分別為M和〃?，則經(jīng)過函數(shù)

g(x)=(M+“)x+而溫的圖象的對稱中心的直線被圓x2+y2=5截得的最短弦長為()

A.10B.5C.9D.近

42

【答案】D

【解析】因為/(*)=1+女+吆(。1+、+x)+2,所以/(犬)-2=/+江+炮(而，+x),

設(shè)g(x)=〃x)-2=3+a+愴(Ji+x:+a),xe[-2,2],

因為函數(shù)g(x)的定義域關(guān)于原點對稱，

且g(X)+g(-X)=d+fx+1g(Vl+X2+x)+(-x)'-fx+1g(Jl+(-x)2_x)=0,

所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，由己知可得函數(shù)g(x)的最大值為M-2,最小值為機-2,

所以用-2+加一2=0,故"+加=4,

所以g(x)=4x+11g(x)-l=4x-l+1

因為是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱,

中心對稱,

所以g(x)關(guān)于—Jj

因為仕丫+r=U<5

⑷16

則點在圓V+y2=5的內(nèi)部，

因為點(；』)到坐標原點的距離為平，

所以所求最短弦長為2^5--=^.

V162

故選：D.

r2v2

8.如圖，已知耳，鳥是雙曲線C二-2=1的左、右焦點，P,Q為雙曲線C上兩點，滿足KP〃心Q,且

a~b

)

而D.叵

—2

【答案】D

【解析】延長。瑪與雙曲線交于點P，

因為耳尸〃鳥P,根據(jù)對稱性可知>”=|居可,

設(shè)國P|=|耳『=/,則怩4=住。=3，，

可得出耳"=2，=2?,即”“，

所以|尸。=少=而，則|。制=|。耳|+勿=5〃，田P|=|E"=3a,

即|PQ『+|耳用2=|。制2,可知/耳p，Q=/耳pg=9(),

在,中，由勾股定理得后可耳巧閭

P'FXF22+|2=M2,

即。2+(34)2=402,解得?=￡=巫.

'，a2

故選：D.

2.焦點三角形的作用

在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.某市為響應(yīng)教育部《切實保證中小學每天一小時校園體育活動的規(guī)定》號召，提出"保證中小學生每天一

小時校園體育活動”的倡議.在某次調(diào)研中，甲、乙兩個學校學生一周的運動時間統(tǒng)計如下表：

學校人數(shù)平均運動時間方差

甲校2000103

乙校300082

記這兩個學校學生一周運動的總平均時間為總方差為s?,則（）

A.x=8.7B.x=8.8

C.$2=3.36D.r=3.56

【答案】BC

【解析】依題意，總平均時間為嚏=—駟一X1O+—亞史一x8=8.8,

2000+30002000+3000

方差為八肅而［3+0。-8.8）［+就磊［2+（8-8對］23

-x4.44+-x2.64=3.36.

=55

故選：BC

8之間的距離，一定能根據(jù)以下數(shù)據(jù)確定A8長度的是（）

A.a,b,yB.?,p,y

C.a,B,YD.a,p,b

【答案】ACD

【解析】法?、根據(jù)三角形全等的條件SA5,4SA,/14s可以確定A、C、D三項正確，它們都可以唯一確定三

角形；

法二、對于A項，由余弦定理可知c2=/+b2-2"cosy,可求得c,即A正確；

對于B項，知三個內(nèi)角，此時三角形大小不唯一，故B錯誤；

acasiny

對于c項，由正弦定理可知礪Rf麗=八麗4萬即c正確；

對于D項，同上由正弦定理得0=加，(￡一；一，),即D正確；

sinp

故選：ACD.

11.已知函數(shù)“X)及其導函數(shù)g(x)的定義域均為RJ(2x)=〃4-2x),〃x)+知(T)=o,當xw[2,4]時，

g'(x)<0，g⑴=1，則()

A.的圖象關(guān)于x=l對稱B.g(x)為偶函數(shù)

C.g(x)+g(x+4)=0D.不等式g(x)Zl的解集為{x|-l+8y41+8Z,keZ}

【答案】BCD

【解析】由f(2x)=/(4—2x)可得〃x)=〃4—x),故可知的圖象關(guān)于x=2對稱，故A錯誤，

由/(x)+/(—x)=o得r(x)—r(-x)=o,由r(x)=g(x)得g(x)-g(-x)=o,故g(x)為偶函數(shù),故B正

確，

由〃x)=/(4-x)可得r(x)=-r(4-X),所以g(x)=-g(4-x),又g(x)為偶函數(shù)，所以

g(x)=-g(4—x)=-g(x—4)ng(x)+g(x-4)=0,即g(x)+g(x+4)=0,故C正確，

由g(x)為偶函數(shù)且g(x)+g(x+4)=0可得g(x)=-g(x+4)=-[—g(x+8)]=g(x+8),所以g(x)是周期函

數(shù)，且周期為8,又當XG[2,4]時,g'(x)<0,可知g(x)在xw[2,4]單調(diào)遞減

故結(jié)合g(x)的性質(zhì)可畫出符合條件的g(x)的大致圖象：

y=g(x)

/1\./.\[

/I01\4yfe8X

由性質(zhì)結(jié)合圖可知：當一1+8Z4X41+84,AeZ時，g(x)21,故D正確,

故選：BCD

12.如圖，在棱長為1的正方體A8C￡?-AAGA中，。是棱。。上的動點，則下列說法正確的是()

4a

BC

A.不存在點。，使得GQ〃AC

B.存在點0,使得GQ^AC

c.對于任意點0,。到4c的距離的取值范圍為［孝，用

D.對于任意點2,4ACQ都是鈍角三角形

【答案】ABC

【解析】由題知，在正方體中，。是棱。烏上的動點，建立以A為原點,

分別以AB,AD.AA的方向為X軸、y軸、z軸的正方向的空間直角坐標系A(chǔ)-“z.

所以A(0,0,l)，C(l,l,o),q(1,1,1),設(shè)。(0,1,a),其中OWaVl,

所以GQ=(—l,0,a-1),AC=(1,1,—1),

—1=A

當GQ=/iAC時，即(一1,0,“-1)=/1(1/,—1),所以＜o=4,顯然方程組無解，

a-l=-2

所以不存在；I使得GQ=/M,c,即不存在點。，使得GQ〃AC,故A項正確;

當GQ?AC=-l+O+l-a=O時，解得a=o,故B項正確；

因為AQ=(0,1M-1)，其中OWaWl，所以點。到AC的距離為

故C項正確；

因為QC=(1,0,-a),0^=(0,-1,1-a),其中OWaWl,

所以cos(℃,QA)=總結(jié)==金苧^=40

所以三角形為AC。直角：角形或鈍角三角形，故D項錯誤.

故選：ABC

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.(士-x)"展開式中的各二項式系數(shù)之和為256,則/的系數(shù)是

x

【答案】112

【解析】依題意得：2,=256,解得〃=8,

則加=C；尼)(-x)r=(-1/?愛飛；at「eN,r48,

由2廠-8=4,解得廠=6,

從而

故答案為：112.

14.陀螺又稱陀羅，是中國民間最早的娛樂健身玩具之一，在山西夏縣新石器時代的遺址中就發(fā)現(xiàn)了石制

的陀螺.如圖所示的陀螺近似看作由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其中圓柱的底面半徑為L圓錐與

圓柱的高均為1，若該陀螺由一個球形材料削去多余部分制成，則球形材料體積的最小值為.

【解析】依題意當該陀螺中圓錐的頂點及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時，球形材料體積的最小,

設(shè)此時球形材料的半徑為R,如圖所示：

1

由題意得（2—/?y+i2=R2,

解得R=[，

4

所以球形材料的體積最小值為4:兀]?5限

348

故答案為：*12冗5

48

15.已知函數(shù)〃x）=sin"T（0>O）,且〃x）在區(qū)間岑）上單調(diào)遞增，則0的取值范圍為.

「7]]-

【答案】（0』口5,丁

■A71L-.1.-1Mc、1,兀3兀r_L兀G兀兀3兀G71

【解析】因為<y>0,當；；<x<二-時，----<cox--<——

2424444

因為函數(shù)〃力=$皿（8-：）（。>0）在區(qū)間（今百）上單調(diào)遞增,

則,,Y匕71CD一71工3兀①一兀、士口》兀2…航+兀義、人心孫

HCO71_,7U

------N2E---

所以，J42,其中攵eZ,解得竺+1（左￡Z）,

3兀0兀兀23/

<2kn+—

44-------2

X〉IQ

所以，7+1之4Z—彳，解得k4,

因為0>0,且&eZ,則Ze{0,l}.

當％=0時，0<<y<l；當女=1時，-<（o<—.

23

「7]]-

綜上所述，。的取值范圍是（。川3.

「7]]

故答案為：（0川?！?，―?

16.已知百，心是橢圓三+匯=1的左，右焦點，過點尸2的直線與橢圓交于A,B兩點，設(shè).A8耳的內(nèi)切圓

43

圓心為1,則tanZMB的最大值為.

【答案】昱山陋

33

【解析】因為/為片的內(nèi)切圓圓心，則/片AF2=2N1AB,

顯然N/A8是銳角，當且僅當N/A8最大時，tanN/A8最大，且最大,

又N￡4居€（0,兀）,即有cosN耳4口最小,

2，

在橢圓三+21=1中，|耳4|+|)A|=4,|耳瑪|=2,

43

|斗4『+|丹*2一|耳丹|2（耳4|+|因如）2一||5|2

在/6A心中，COSZF}AF2=-1

2\F,A\\F2A\一2|上川|入川

42-226-1

~2\F}A\\F2A\一|耳A|+|)A|--2＞當且僅當I片41=1鳥41=2時取等號,

TT7T

因此當I耳A|=|鳥A|=2,即與4名為正三角形時，N^A6取得最大值：，N/A8取最大值芻，

36

所以tan/MB的最大值為tan巴=3.

63

故答案為：顯

3

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.（10分）

在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,"c,CO為C4在CB方向上的投影向量，且滿足

2c-sinB=>/5|CD|,

（1）求cosC的值;

（2）^b=>/3,a=3ccosB,求A8C的周長.

【解析】（1）由CO為CA在CB方向上的投影向量，則|CD|=8COSC,

又2csin3=7^CZ）|,即2csin8=@cosC,

根據(jù)正弦定理，2sinCsinB=V^sinBcosC,

在銳角ABC中，Belo,,）,則sirtB〉。，即2sinC=J^cosC,

由Cw（0,[1,則cos2c+sin2，=l,整理可得cos?C+3cos2c=1,解得cosC=]（負值舍去）.

I2J43

（2）由a=3ccos3,根據(jù)正弦定理，可得sinA=3sinCcosB,

在4.ABC111,4+B+C=7t,則sin（3+C）=3sinCcos8,

所以sinBcosC+cosBsinC=3sinCbosB,所以sinBcosC=2sinCcosB,

2R

由（1）可知cos。=—,sinC=Jl—cos2c,則sinB=V^cosB,

33

cosB=正

由sin23+cos23=1,則5cos23+cos23=l，解得（負值舍去）,

病

sinB=

根據(jù)正弦定理，可得上=，;;，則。=吧￡6=3,a=^-c=>/3

smBsmCsinn2

故"BC的周長。布=4+6+。=26+血.

18.（12分）

如圖所示，在多面體MCGEE中，底面8C7方為矩形，且A￡_L底面8CF￡,AGia

EF,AG=AE=BE=LEF=2,BFCCE=0.

2

（1）證明：A?；仄矫鍳CF\

⑵求平面A3。與平面GCF夾角的余弦值.

【解析】（1）證明：取線段CF的中點H,連接OH,GH,

因為四邊形￡BCF是矩形，且CB=2EB,

所以O(shè)H〃8C且0H=—8C,

2

因為AGEF且AG=；EF,EF〃BCB.EF=BC,

所以AGBC\\,AG=-BC,

2

所以AG〃。//且AG=O〃，

所以四邊形AOHG是平行四邊形，則AO〃〃G,

因為AOZ平面GCF,u平面GCF,所以AO〃平面GCF

(2)因為AE_L底面8CFE,硝,EFu平面3CFE,所以AE，_L歷，

因為EB_LEF

所以以E為坐標原點，分別以砥，所，取所在的直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz,

則A（0,0,2）,3（2,0,（））,C（2,4,0）,F（0,4,0）,G（0,2,2）,0（1,2,0）,

A8=（2,0,-2）,AO=（l,2,-2）,fC=（2,0,0）,FG=（0,-2,2）.

設(shè)平面AB。的法向量為加=（a,b,c），貝ij

AB-in=2a-2c=0

<,令a=c=2,貝=

AO-m=a+2h-2c=0

故平面ABO的一個法向量帆=(2,1,2),

設(shè)平面GCT的法向量為〃=(x,y,z),

n-FC=2x=0

由，取y=i則z=1,

n-FG=-2y+2z=0

故平面GC尸的一個法向量"=(0,1,1),

貝|JCOS（肛*.

設(shè)平面AB。與平面GCF的夾角為。(dw0,|J,則cosO=*

19.（12分）

己知數(shù)列｛a〃｝,｛bn｝,｛<■〃｝中，4=4=q=l，c”M=a?+,-4'J+i=3--c”("eN").

⑴若數(shù)列伽｝為等比數(shù)列，且公比4>0,且伉+&=6&,求q與｛為｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛加｝為等差數(shù)列，且公差d>0,證明：q+G++%<1+」.

【解析】(1)依題意4=1也=4也，而4+2=64,即l+q=6q2,由于q>0,回解得q=；,

地=擊.

1

團4+2=擊，故C“M=￥-C"=4,C”，團數(shù)列｛c,｝是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，團5=4"、

西

回％M=4"?

團4”|-《，=g+i=4"，故a“-a“_|=4'i(〃22,〃eN)

回a”=(a?-an-\)+(an-\~an-l)++(4-4)+(。2-q)+4

,2,,4(1-4"-')4"-1

=4"一+4"-2++4+4+1=—-------+1=,-

1-43

經(jīng)檢驗對于〃=1也成立；

Qb

(2)依題意設(shè)我=1+(〃—1”=冊+1-4,由于上一產(chǎn),

Cn""+2

0"￡!_=,7L±(n>2,neN3],

*be')

-_￡^,Sd_.^hn-2hn-3”幺

—Cl-?iiii

經(jīng)檢驗對于〃=1也成立，

Tjn]inci]TfiiY八nti

I小4b2)[b2b3)",b?J\l認%,

由于d>0,伉=1,回"+|>0,0|11---<1+—,即q+c,+…+c”<1+1.

I〃八dd

20.(12分)

已知/。)=/一/+人，曲線y=/(x)與直線y=ar+l相切于點

(1)求a，b的值；

(2)證明：當x>0時，/⑴-We-2恒成立.

X

【解析】(D.f'(x)=e'—2x.

由題設(shè)得a=〃l)=e-2,a+l=〃l)=e-l+6,

i^a=e-2,b=0.

(2)當x>0時，"“)一工一2等價于e“-川+(2一6卜-120,

X

下面證明：當x>0時，eA-x2+(2-e)x-l>0.

i^^(x)=eA-x2-(e-2)x-l,x>0,則g'(x)=e'-2x-(e-2).

設(shè)力(x)=g，(x),則〃(x)=e*-2,

當x?0,ln2)時，〃'(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減；

當xe(ln2,+8)時，/(x)>0,7i(x)單調(diào)遞增.

X^(0)=3-e>0,/?(l)=0,0<ln2<l,/?(ln2)<0,

所以即使得始^=0,

所以當xe(O,%)或XG(1,+OO)時,g'(x)>0；當時,g'(x)<0.

故g(x)在(0,及)和(1,口)上單調(diào)遞增，在(七,1)上單調(diào)遞減，

又g(0)=g(l)=0，所以g(x)=e*+x?—(e-2)x-120.

故當x>0時，必史口Ne-2恒成立.

X

21.(12分)

概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個當屬由兩位俄國數(shù)學家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的

馬爾科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式.馬爾科夫不等式的形式如下：

設(shè)X為一個非負隨機變量，其數(shù)學期望為E(x),則對任意￡>o,均有生0,

￡

馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數(shù)學期

望間的關(guān)系.當X為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：

設(shè)X的分布列為P(X=xJ=p,,i=l,2,其中p,€(0,+8),玉€[0,+co)(i=l,2,?=則對任意

1=1

￡>0,P(x2￡)=?4Z±P，△=—，其中符號ZA表示對所有滿足x,泊的指

黑累￡￡黑年￡X.

標i所對應(yīng)的從求和.

切比雪夫不等式的形式如下：

設(shè)隨機變量X的期望為E(X),方差為O(X),則對任意￡>0,均有P(|X-E(X)|*)4%N

⑴根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量X成立.

（2）某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為80%.現(xiàn)隨機選擇了100名患者，經(jīng)過使用該

藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請結(jié)合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實可信.

【解析】（1）法?：對非負離散型隨機變量［X-E（X）F及正數(shù)『使用馬爾科夫不等式，

有「（|X-E（X）|2￡）=P”-E（X）f2切JUq.（X）F=竽

法二：設(shè)X的分布列為

P（X=xi）=pi,i=l,2,,n,

其中Pj,%e（0,+oo）（i=l,2,,〃）,￡p,.=l,記幺=￡：（乂），則對任意￡>0,