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文檔簡介
2024屆北京市通州區(qū)數(shù)學(xué)九上期末監(jiān)測模擬試題
注意事項(xiàng):
1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。
2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。
3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。
4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。
5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。
一、選擇題(每題4分,共48分)
1.已知半徑為5的圓,其圓心到直線的距離是3,此時(shí)直線和圓的位置關(guān)系為().
A.相離B.相切C.相交D.無法確定
2.關(guān)于X的一元二次方程X2+(a2-2a)x+a-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù),則a的值為()
A.2B.()C.1D.2或()
3.一組數(shù)據(jù)3,7,9,3,4的眾數(shù)與中位數(shù)分別是()
A.3,9B.3,3C.3,4D.4,7
4,若關(guān)于X的一元二次方程kx2-4x+3=0有實(shí)數(shù)根,則k的非負(fù)整數(shù)值是()
A.1B.0,1C.1,2D.1,2,3
5.如圖,在KfAASC中,AC=3,AB=5,則CoSA的值為()
6.下列方程是一元二次方程的是()
,,1
A.2x-3y+lB.3x+y=zC.x2-5x=lD.X2-----+2=0
X
7.從一組數(shù)據(jù)1,2,2,3中任意取走一個(gè)數(shù),剩下三個(gè)數(shù)不變的是()
A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差
8.在同一平面直角坐標(biāo)系中,若拋物線〉=%2+(2〃7-1)%+2〃?-4與〉=£-(3//1+〃)》+〃關(guān)于¥軸對(duì)稱,則符合
條件的?n,n的值為()
518
A.m=—,n=B.m=5,n=-6C.m=-1,n=6D.m=l,n=-2
77
9.拋物線y=αr2+bx+c(α≠l)如圖所示,下列結(jié)論:φα?c<l;②點(diǎn)(-3,j∣),(1,及)都在拋物線上,則有yι
>J2;③)2>(α+c)2;(4)2a-b<l.正確的結(jié)論有()
10.一元二次方程4x2-3x+-=0根的情況是()
4
A.沒有實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
11.如圖,矩形ABC〃是由三個(gè)全等矩形拼成的,ACDE.EF.FG.HG.分別交于點(diǎn)尸、。、K、M.N,設(shè)
AEPQ、AGKM、AJBNC的面積依次為Si、S2.Si.若Sι+Sι=10,則S2的值為().
C.10D.12
12.某校數(shù)學(xué)課外小組,在坐標(biāo)紙上為某濕地公園的一塊空地設(shè)計(jì)植樹方案如下:第k棵樹種植在點(diǎn)Pk(χk,yQ處,
Xk
其中XI=I,yι=l,且kN2時(shí),,a的整數(shù)部分,例如[2.3]=2,
[1?5]=1.按此方案,第2119棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為(
A.(6,2121)B.(2119,5)C.(3,413)D.(414,4)
二、填空題(每題4分,共24分)
13.某校五個(gè)綠化小組一天的植樹的棵數(shù)如下:9,1(),12,X,1.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10,那么這組數(shù)據(jù)的方
差是.
14.已知當(dāng)xι=a,x2=b,X3=C時(shí),二次函數(shù)y=;χ2+mx對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y”y2,y3,若正整數(shù)a,b,c恰
好是一個(gè)三角形的三邊長,且當(dāng)aVbVc時(shí),都有yιVy2Vy3,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
15.如圖,在菱形ABCD中,E,F分別是AD,BD的中點(diǎn),若EF=2,則菱形ABCD的周長是
D
E
16.若代數(shù)式0二!有意義,則X的取值范圍是
九一2
17.如圖,在以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形紙片A5C中,將B角折起,使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)O(不與點(diǎn)A,
如圖2,當(dāng)CD=-AC時(shí),tanα2=—s
312
17
如圖3,當(dāng)。=-AC時(shí),tanα=一;
4324
依此類推,當(dāng)CZ)=LAC("為正整數(shù))時(shí),tana,,=.
7
18.拋物線y=(χ-l)2-2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是.
三、解答題(共78分)
19.(8分)已知:如圖,AABC中,ZBAC=90o,AB=AC=I,點(diǎn)。是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與8,C點(diǎn)重合),
NAoE=45°.
(1)求證:AABDSADCE;
(2)設(shè)BO=X,AE=y,求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)E是等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出AE的長.
20.(8分)如圖,學(xué)校準(zhǔn)備在教學(xué)樓后面搭建一個(gè)簡易矩形自行車車棚,一邊利用教學(xué)樓的后墻(可利用的墻長為19m),
另外三邊利用學(xué)?,F(xiàn)有總長38m的鐵欄圍成.
19m
.1D
H?____________________Ic
⑴若圍成的面積為180,層,試求出自行車車棚的長和寬;
(2)能圍成面積為200"產(chǎn)的自行車車棚嗎?如果能,請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方,如果不能,請(qǐng)說明理由.
21.(8分)在國家的宏觀調(diào)控下,某市的商品房成交價(jià)由去年10月份的14000元/加下降到12月份的11340元/加.
(1)求11、12兩月份平均每月降價(jià)的百分率是多少?
(2)如果房價(jià)繼續(xù)回落,按此降價(jià)的百分率,你預(yù)測到今年2月份該市的商品房成交均價(jià)是否會(huì)跌破10000元O/?請(qǐng)
說明理由
22.(10分)某玩具商店以每件60元為成本購進(jìn)一批新型玩具,以每件100元的價(jià)格銷售則每天可賣出20件,為了
擴(kuò)大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):若每件玩具每降價(jià)1元,則每天
可多賣2件.
(1)若商店打算每天盈利1200元,每件玩具的售價(jià)應(yīng)定為多少元?
(2)若商店為追求效益最大化,每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí),商店每天盈利最多?最多盈利多少元?
/7
23.(10分)如圖1,已知拋物線y='二x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)8(-1,0),與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,連接
3
BC.AC.
(1)求拋物線的解析式;
3
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)尸,使得以A、B、C、尸為頂點(diǎn)的四邊形的面積等于AABC的面積的士倍?若存在,求出
2
點(diǎn)尸的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)如圖2,直線8C與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)K,將直線AC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a。,直線AC在旋轉(zhuǎn)過程中
的對(duì)應(yīng)直線A(與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M.求在旋轉(zhuǎn)過程中AMCK為等腰三角形時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
24.(10分)某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購500件T恤,若以單價(jià)70元銷售,預(yù)計(jì)可售出200件,批發(fā)商的銷售策
略是:第一個(gè)月為了增加銷售,在單價(jià)70元的基礎(chǔ)上降價(jià)銷售,經(jīng)過市場調(diào)查,單價(jià)每降低1元,可多售出10件,
但最低單價(jià)高于購進(jìn)的價(jià)格,每一個(gè)月結(jié)束后,將剩余的T恤一次性虧本清倉銷售,清倉時(shí)單價(jià)為40元.
(D若設(shè)第一個(gè)月單價(jià)降低X元,當(dāng)月出售T恤獲得的利潤為乃元,清倉剩下T恤虧本外元,請(qǐng)分別求出力、力與
X的函數(shù)關(guān)系式;
(2)從增加銷售量的角度看,第一個(gè)月批發(fā)商降價(jià)多少元時(shí),銷售完這批T恤獲得的利潤為IOOO元?
25.(12分)一次函數(shù)y=-2%-2分別與X軸、軸交于點(diǎn)A、瓦頂點(diǎn)為(1,4)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)C為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn).設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為機(jī),ΔABC的面積為S.當(dāng)"7為何值時(shí),S的值最大,并求S
的最大值;
(3)在(2)的結(jié)論下,若點(diǎn)“在軸上,ΔΛCM為直角三角形,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
k
26.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中,直線V=X與雙曲線丁=一住≠0)交于點(diǎn)A(2,a).
(1)求)與&的值;
k
(2)畫出雙曲線y=]Awθ)的示意圖;
k
⑶設(shè)點(diǎn)p(m,")是雙曲線.V=E(ANO)上一點(diǎn)(P與A不重合),直線Q4與)'軸交于點(diǎn)B(OS),當(dāng)AB=2BP時(shí),
結(jié)合圖象,直接寫出。的值.
參考答案
一、選擇題(每題4分,共48分)
1、C
【解析】試題分析:半徑r=5,圓心到直線的距離d=3,?.?5>3,即r>d,.?.直線和圓相交,故選C.
【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.
2、B
【解析】設(shè)方程的兩根為X“X2,
根據(jù)題意得Xl+X2=l,
所以a42a=l,解得a=l或a=2,
當(dāng)a=2時(shí),方程化為χ2+l=l,Δ=-4<l,故a=2舍去,
所以a的值為1.
故選B.
3、C
【分析】由題意直接根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義進(jìn)行分析求解判斷即可.
【詳解】解:將數(shù)據(jù)重新排列為3,3,4,7,9,
.?.眾數(shù)為3,中位數(shù)為4.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查眾數(shù)、中位數(shù),熟練掌握眾數(shù)、中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
4、A
【詳解】由題意得,根的判別式為△=(-4)2-4x3k,
由方程有實(shí)數(shù)根,得(-4)2-4χ3k≥0,
4
解得k≤;,
3
由于一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零,所以k≠0,
4
所以k的取值范圍為且k≠0,
即k的非負(fù)整數(shù)值為1,
故選A.
5、B
【分析】根據(jù)余弦的定義計(jì)算即可.
【詳解】解:在Rtz!?ABC中,
AC3
cosA4=----=—;
AB5
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義,掌握銳角A的鄰邊b與斜邊C的比叫做NA的余弦是解題的關(guān)鍵.
6、C
【分析】根據(jù)一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件:(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(2)二次項(xiàng)系數(shù)不為L逐一判斷即可.
【詳解】解:A、它不是方程,故此選項(xiàng)不符合題意;
B、該方程是三元一次方程,故此選項(xiàng)不符合題意;
C、是一元二次方程,故此選項(xiàng)符合題意;
D、該方程不是整式方程,故此選項(xiàng)不符合題意;
故選:C.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了一元二次方程定義,一元二次方程必須滿足兩個(gè)條件:(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(2)二次項(xiàng)系數(shù)
不為L
7、C
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義求解可得.
2+2
【詳解】原來這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為——=2,
2
無論去掉哪個(gè)數(shù)據(jù),剩余三個(gè)數(shù)的中位數(shù)仍然是2,
故選:C.
【點(diǎn)睛】
此題考查數(shù)據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)方差的計(jì)算方法,掌握正確的計(jì)算方法才能解答.
8、D
【解析】由兩拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,可知兩拋物線的對(duì)稱軸也關(guān)于y軸對(duì)稱,與y軸交于同一點(diǎn),由此可得二次項(xiàng)系
數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相同,一次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù),由此可得關(guān)于m、n的方程組,解方程組即可得.
【詳解】關(guān)于y軸對(duì)稱,二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相同,一次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù),
2m-1=3m+n
n=2m-4
m=l
解之得
n=-2
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的解析式間的關(guān)系,弄清系數(shù)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
9、B
【分析】利用拋物線開口方向得到a>l,利用拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)得到b>l,利用拋物線與y軸的交點(diǎn)在X
軸下方得到cVl,則可對(duì)①進(jìn)行判斷;通過對(duì)稱軸的位置,比較點(diǎn)(-3,y1)和點(diǎn)(1,yz)到對(duì)稱軸的距離的大小可
對(duì)②進(jìn)行判斷;由于(a+c)2-b2=(a+c-b)(a+c+b),而x=l時(shí),a+b+c>l;x=?l時(shí),a-b+c<l,則可對(duì)③進(jìn)行判斷;
利用-1<<O和不等式的性質(zhì)可對(duì)④進(jìn)行判斷.
2a
【詳解】???拋物線開口向上,
.??α>L
V拋物線的對(duì)稱軸在軸的左側(cè),
.β.a>》同號(hào),
Λ?>l,
???拋物線與y軸的交點(diǎn)在X軸下方,
JcVl,
Λabc<l9所以①正確;
b
???拋物線的對(duì)稱軸為直線X=——,
2a
Hb
而-IV------VL
2a
???點(diǎn)(-3,W)到對(duì)稱軸的距離比點(diǎn)(1,垃)到對(duì)稱軸的距離大,
ΛJI>J2,所以②正確;
?.”=1時(shí),y>l9即α+Hc>l,
X=-I時(shí),j<l,BPa-b+c<.l9
2
?'?(α+C)2-b=(Q+C-?)(α+c+?)<1,
Λ*2>(α+c)2,所以③正確;
V-K--<1
2a9
:?-2aV-b,
Λ2α→>l,所以④錯(cuò)誤.
故選:B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系:二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a>l時(shí),拋物線向上開口;
當(dāng)aVl時(shí),拋物線向下開口;一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置:當(dāng)a與b同號(hào)時(shí),對(duì)稱軸在y軸
左;當(dāng)a與b異號(hào)時(shí),對(duì)稱軸在y軸右.常數(shù)項(xiàng)C決定拋物線與y軸交點(diǎn):拋物線與y軸交于(1,c).拋物線與X
軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由判別式確定:4=b2-4ac>l時(shí),拋物線與X軸有2個(gè)交點(diǎn);4=b2-4ac=l時(shí),拋物線與X軸有1個(gè)交點(diǎn);
?=b2-4ac<l時(shí),拋物線與X軸沒有交點(diǎn).
10、D
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式,即可得出△>(),由此即可得出原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
【詳解】解:4x2-3x+'=0,
4
這里α=4,b=-3,c=?,
4
b2-4ac=(-3)2-4X4x'=5>0,
4
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根據(jù)一元二次方程根的判別式來判斷方程的解的情況,熟記公式是解此題的關(guān)鍵.
11、D
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)判斷出AAQEsaAMGsZiACB,得到
OFAF1RCAR3
^-=—再通過證明得到APQESAKMGSANCB,利用面積比等于相似比的平方,得到
MGAG2MGAG2
SKS2、Sl的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.
【詳解】解:;矩形ABCD是由三個(gè)全等矩形拼成的,
ΛAE=EG=GB=DF=FH=HC,NAEQ=NAGM=NABC=90°,AB〃CD,AD〃EF〃Gl1〃BC
.?.ZAQE=ZAMG=ZACB,
二?AQE<×>?AMG^?ACB,
.QEAE1BCAB3
"MG-AG-2,MG^AG^2
YEG=DF=GB=FHAB〃CD,(已證)
.?.四邊形DEGF,四邊形FGBH是平行四邊形,
ΛDE∕7FG∕7HB
ΛZQPE=ZMKG=ZCNB,
Λ?PQE∞?KMG^?NCB
.?.A√≡2√iY=i
S2{MGJ⑶4
S2yMG){2j4
19
?'?Sl=ZS2,S3=W‘2
VSj+Sι=10,
ΛS2=2.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,能找到對(duì)應(yīng)邊的比是解答此題的關(guān)鍵.
12、D
【分析】根據(jù)已知分別求出l≤k≤5時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5),當(dāng)6≤k'll時(shí),P點(diǎn)
坐標(biāo)為(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5),通過觀察得到點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn),進(jìn)而求解.
【詳解】解:由題可知l≤k≤5時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5),
當(dāng)6≤k≤ll時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,IX(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5),
通過以上數(shù)據(jù)可得,P點(diǎn)的縱坐標(biāo)5個(gè)一組循環(huán),
:2119+5=413…4,
.?.當(dāng)k=2U9時(shí),P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是4,橫坐標(biāo)是413+1=414,
ΛP(414,4),
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)和探索規(guī)律;能夠理解題意,通過已知條件探索點(diǎn)的坐標(biāo)循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(每題4分,共24分)
13、2
1-
【分析】首先根據(jù)平均數(shù)確定X的值,再利用方差公式S2=—[(XLX)2+(X2-X)2+…+(Xn-X)2],計(jì)算方差
n
即可.
【詳解】???組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10,
1
.?.-(9+10+12+x+l)=10,
解得:x=ll,
ΛS2=i[[(9-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(11-10)2+(1-10)2],
5
=?×(1+0+4+1+4),
5
=2.
故答案為:2.
【點(diǎn)睛】
_1
本題考查了方差,一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù),XI,X2,…Xn的平均數(shù)為X,則方差S2=-[(Xi-χ)2+(χ-)2+...(χ
n2χ+n
-7)2],它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,方差越大,波動(dòng)性越大,反之也成立.
5
14、m>——.
2
【分析】根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出a最小為2,b最小是3,再根據(jù)二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱性判
斷出對(duì)稱軸小于2.5,然后列出不等式求解即可:
【詳解】解:正整數(shù)a,b,c恰好是一個(gè)三角形的三邊長,且aVbVc,
.'?a最小是2,b最小是3.
17∣Q
.?.根據(jù)二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱性知,丫=已*2+小的對(duì)稱軸半=2.5的左側(cè),
22
??12?/?2ITl
.y=-x^+nυc=-(xΛ-m)------,
22v72
-.55
22
.?.實(shí)數(shù)m的取值范圍是加>—』.
2
考點(diǎn):1.二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征;2.二次函數(shù)的性質(zhì);3.三角形三邊關(guān)系.
15、1
【解析】試題分析:先利用三角形中位線性質(zhì)得到AB=4,然后根據(jù)菱形的性質(zhì)計(jì)算菱形ABCD的周長.
VE,F分別是AD,BD的中點(diǎn),,EF為AABD的中位線,ΛAB=2EF=4,
:四邊形ABCD為菱形,ΛAB=BC=CD=DA=4,二菱形ABCD的周長=4x4=1.
考點(diǎn):(1)菱形的性質(zhì);(2)三角形中位線定理.
16、x≥l且x≠l
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義,被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0,即可求解.
【詳解】解:根據(jù)二次根式有意義,分式有意義得:X-GO且x-l#),
解得:XNl且XrL
故答案為:x≥l且x≠l.
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)為:分式有意義,分母不為0;二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),難度不大.
13
17、一
84
【分析】探究規(guī)律,利用規(guī)律解決問題即可.
【詳解】觀察可知,正切值的分子是3,5,7,9,…,2n+l,
分母與勾股數(shù)有關(guān)系,分別是勾股數(shù)3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,2n+l,空工,(2n+l)2+l
22
中的中間一個(gè).
當(dāng)CD=LAC時(shí),tan%=J尸
n2n(n+l)
13
將n=7代入得,tanα=—
684
13
故答案為:—
84
【點(diǎn)睛】
本題考查規(guī)律型問題,解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法,屬于中考??碱}型.
18、(0,-1)
【解析】將X=O代入y=(X-I)2-2,計(jì)算即可求得拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】解:將X=O代入y=(X-I)2-2,得y=-l,
所以拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-1).
故答案為:(0,-1).
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,根據(jù)J軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0求出交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
三、解答題(共78分)
19、(1)證明見解析;(2)y=χ2-χ+l=(X-也)2+y;(3)AE的長為2-&或?
22,
【分析】(I)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系,易證^ABDS4DCE.
(2)由AABDSADCE,對(duì)應(yīng)邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出y與X的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)aADE是等腰三角形時(shí),因?yàn)槿切蔚难偷撞幻鞔_,所以應(yīng)分AD=DE,AE=DE,AD=AE三種情況討論求
出滿足題意的AE的長即可.
【詳解】(1)證明:
VZBAC=90o,AB=AC
NB=NC=NADE=45°
VNADC=NB+NBAD=NADE+NCDE
.?.ZBAD=ZCDE
Λ?ABD^>?DCE;
(2)由(1)得^ABDSJ?DCE,
.BDAB
??=9
ECCD
VZBAC=90o,AB=AC=I,
ΛBC=λ∕2,CD=λ∕2-X,EC=l-y,
X1
'K后,
Λy=x2-x+l=(χ-1)2+_1;
22
⑶當(dāng)AD=DE時(shí),?ABD^?CDE,
ΛBD=CE,
.?.x=l-y,即√2X-X2=X,
Vx≠O,
.?.等式左右兩邊同時(shí)除以X得:χ=√2-l
AE=l-x=2-^2>
當(dāng)AE=DE時(shí),DELAC,此時(shí)D是BC中點(diǎn),E也是AC的中點(diǎn),
所以,AE=—;
2
當(dāng)AD=AE時(shí),NDAE=90°,D與B重合,不合題意;
綜上,在AC上存在點(diǎn)E,使aADE是等腰三角形,
AE的長為2-、反或?.
【點(diǎn)睛】
本題考查相似三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)
鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題,學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題,屬于中考?jí)狠S題.
20、(1)長和寬分別為18,",10m;(2)不能,理由見解析
【分析】(1)利用長方形的周長表示出各邊長,即可表示出矩形面積,求出即可;
(2)利用長方形的面積列方程,利用根的判別式解答即可.
【詳解】解:(1)設(shè)AB=x,則BC=38-2x.根據(jù)題意,得
x(38-2x)=180,
解得Xl=10,X2=9.
當(dāng)x=10時(shí),38-2x=18;
當(dāng)x=9時(shí),38-2x=20>19,不符合題意,舍去.
答:若圍成的面積為180肌2,自行車車棚的長和寬分別為18,〃,10〃?.
19m
⑵不能,理由如下:
根據(jù)題意,得x(38—2x)=200,
整理,得χ2-19x+100=().
VΔ=b2-4ac=361-400=-39<0,
.?.此方程沒有實(shí)數(shù)根.
二不能圍成面積為200m2的自行車車棚.
【點(diǎn)睛】
本題考查一元二次方程的應(yīng)用,熟練掌握計(jì)算法則是解題關(guān)鍵.
21、(1)10%;(1)會(huì)跌破IOoOO元∕m∣.
【分析】(1)設(shè)11、U兩月平均每月降價(jià)的百分率是X,那么11月份的房價(jià)為14000(l-x),∏月份的房價(jià)為
14000(I-X)?,然后根據(jù)11月份的11340元∕m∣即可列出方程解決問題;
(1)根據(jù)(1)的結(jié)果可以計(jì)算出今年1月份商品房成交均價(jià),然后和IoOoo元∕m∣進(jìn)行比較即可作出判斷.
【詳解】(1)設(shè)11、U兩月平均每月降價(jià)的百分率是X,
則11月份的成交價(jià)是:14000(l-x),
H月份的成交價(jià)是:14000(l-x)?,
Λ14000(l-x)'=11340,
.?.(l-x)1=0.81,
.*.x∣=0.1=10%,x∣=1.9(不合題意,舍去)
答:H、11兩月平均每月降價(jià)的百分率是10%;
(1)會(huì)跌破IOOOO7U∕ml.
如果按此降價(jià)的百分率繼續(xù)回落,估計(jì)今年1月份該市的商品房成交均價(jià)為:
11340(l-x)'=11340×0.81=9184.5<10000,
由此可知今年1月份該市的商品房成交均價(jià)會(huì)跌破1()000元∕m∣.
【點(diǎn)睛】
此題考查了一元二次方程的應(yīng)用,和實(shí)際生活結(jié)合比較緊密,正確理解題意,找到關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系,然后列出方程是
解題的關(guān)鍵.
22、(1)每件玩具的售價(jià)為8()元;(2)每件玩具的售價(jià)為85元時(shí),每天盈利最多,最多盈利125()元.
【分析】(1)根據(jù)題意,可以得到關(guān)于X的一元二次方程,從而可以解答本題;
(2)根據(jù)題意可以得到利潤與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題.
【詳解】解:(1)設(shè)每件玩具的售價(jià)為X元,
(X—60)[20+2(100—x)]=1200,解得:玉=90,X2=80,
擴(kuò)大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,.?.χ=80,
答:每件玩具的售價(jià)為80元;
⑵設(shè)每件玩具的售價(jià)為。元時(shí),利潤為W元,
w=(a-60)[20+2(100-a)]=-2(tz-85)2+1250,
即當(dāng)α=85時(shí),W有最大值為1250元,
答:當(dāng)每件玩具的售價(jià)為85元時(shí),商店每天盈利最多,最多盈利1250元.
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.
23、(Dy=^χ2-2叵X-6;(2)存在符合條件的點(diǎn)P,且坐標(biāo)為(?二姨,Y3)、(*11,B)、(1,
332222
-迪)、(2,-G);(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,-G)或(1,-拽3.
33
【分析】(1)知道A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)后,利用待定系數(shù)法可確定該拋物線的解析式.(2)此題中,以A、B、C、P為頂
點(diǎn)的四邊形可分作兩部分,若該四邊形的面積是aABC面積的1.5倍,那么四邊形中除AABC以外部分的面積應(yīng)是
△ABC面積的一半,分三種情況:①當(dāng)點(diǎn)P在X軸上方時(shí),AABP的面積應(yīng)該是AABC面積的一半,因此點(diǎn)P的縱
坐標(biāo)應(yīng)該是點(diǎn)C縱坐標(biāo)絕對(duì)值的一半,代入拋物線解析式中即可確定點(diǎn)P的坐標(biāo);②當(dāng)點(diǎn)P在B、C段時(shí),顯然ABPC
的面積要遠(yuǎn)小于aABC面積的一半,此種情況不予考慮;③當(dāng)點(diǎn)P在A、C段時(shí),由A、C的長以及AACP的面積可
求出點(diǎn)P到直線AC的距離,首先在射線CK上取線段CD,使得CD的長等于點(diǎn)P到直線AC的距離,先求出過點(diǎn)D
且平行于U的直線解析式,這條直線與拋物線的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)P.(3)從題干的旋轉(zhuǎn)條件來看,直線Il旋轉(zhuǎn)
的范圍應(yīng)該是直線AC、直線BC中間的部分,而AMCK的腰和底并不明確,所以分情況討論:①CK=CM、②KC
=KM,③MC=MK;求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
T點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B(-1,0),
3√5+3O+C=OIU2√3
〈出,解得〈3,
[3c=73
則該拋物線的解析式為:y=^χ2-空X-A
33
(2)易知OA=3、OB=1、OC=√3,貝!hSΔABC=?AB?OC=?×4×√3=2√3.
①當(dāng)點(diǎn)P在X軸上方時(shí),由題意知:S?z?BP=?SΔABC,貝Ih
點(diǎn)P到X軸的距離等于點(diǎn)C到X軸距離的一半,即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為正;
2
令y=-38χ-百=正?,化簡得:2x2-4x-9=0
332
解得χ=2±√22,
2
.pz2-√22√3._f2+√22百、
2222
②當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的B、C段時(shí),顯然ABCP的面積要小于TSAABC,此種情況不合題意;
③當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的A、C段時(shí),SAACP=?AC?h=?SΔABC=√3.貝IJh=1;
在射線CK上取點(diǎn)D,使得CD=h=l,過點(diǎn)D作直線DE〃AC,交y軸于點(diǎn)E,
如圖2;
在RtACDE中,ZECD=ZBCO=30o,CD=I,貝|]CE=^^、OE=OC+C,點(diǎn)E(0,-)
333
√35√3
y=—X--------
.?.直線DE:y=是X-巫,聯(lián)立拋物線的解析式,有:33
33?/?2r-
V=——X--------x-√3
33
X=2
解得:46或彳
--------y=—√3
3
.?.P3(1,-迪)、P4(2,-√3);
3
—旦,(I,"),(“);
綜上,存在符合條件的點(diǎn)P,坐標(biāo)為J-后,
22223
(3)如圖3,
答圖3
由⑴知丁等?竽X5當(dāng)(Xe-笄
二拋物線的對(duì)稱軸χ=l;
①當(dāng)KC=KM時(shí),點(diǎn)C、MI關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=l對(duì)稱,則點(diǎn)Ml的坐標(biāo)是(2,-√3);
②KC=CM時(shí),K(1,-2JJ),KC=BC.則直線A,C與拋物線的另一交點(diǎn)Mz與點(diǎn)B重合,M、C、K三點(diǎn)共線,
不能構(gòu)成三角形;
③當(dāng)MK=MC時(shí),點(diǎn)D是CK的中點(diǎn).
VZOCA=60o,ZBCO=30o,
ΛZBCA=90o,BPBC±AC,則作線段KC的中垂線必平行AC且過點(diǎn)D,
,點(diǎn)M3與點(diǎn)P3(1,-生8)、P4(2,-√3)重合,
3
綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,-G)或(1,-亞).
3
【點(diǎn)睛】
該題考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,圖形面積的解法以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等重點(diǎn)知識(shí);后兩題涉及
的情況較多,應(yīng)分類進(jìn)行討論,容易漏解.
2
24、(1)?,=-1Ox+400()(0<%<20);y2=30∞-K‰(0<x<20);(2)第一個(gè)月批發(fā)商降價(jià)10元時(shí),銷售完
這批T恤獲得的利潤為IOoo元.
【分析】⑴根據(jù)y=(70-x-50)(200+10x),%=(40-50)[500—(200+IOx)],展開計(jì)算即可.
⑵依題意列出方程即可解決問題.
【詳解】(D%=(70-X-50)(200+IOx)
=-10√+4000(0<%<20).
y2=(50-40)[500-(200+10%)]
=3000-100x(0<%<20).
(2)設(shè)第一個(gè)月批發(fā)商降價(jià)X元,銷售完這批T恤獲得的利潤為1000元,
由題意(ToX2+4000)+(IOOx-3000)=1000,
整理得Y-iθχ=o,
解得X=O或Io(X=O不合題意,會(huì)去),
第一個(gè)月批發(fā)商降價(jià)10元時(shí),銷售完這批T恤獲得的利潤為IoOO元.
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、方程等知識(shí),解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)和方程解決實(shí)際問題,屬于??碱}型.
O(3+而、(3-√17^
25、(Dy=——+2》+3;(2)當(dāng)加=2時(shí),S的值最大,最大值為一;(3)(0,—1)、(0,5)、0,-?-或0,—?-
【分析】(1)設(shè)拋物線的解析式為y=α(x-lp+4,代入點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求解;
(2)連接。C,可得點(diǎn)c(m,τ√+2∕n+3),根據(jù)一次函數(shù)y=-2x-2得出點(diǎn)A、3的坐標(biāo),然后利用三角形面積
公式得出SSBC=SΛAOB+SMoC+SABOC的表達(dá)式,利用二次函數(shù)的表達(dá)式即可求解;
(3)①當(dāng)AC為直角邊時(shí),過點(diǎn)A和點(diǎn)C做垂線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)加2,過點(diǎn)C的垂線交X軸于點(diǎn)N,得出
NC4O=45°,再利用等腰直角三角形和坐標(biāo)即可求解;②當(dāng)AC為斜邊時(shí),設(shè)AC的中點(diǎn)為K,以K為圓心AC為
直徑做圓于V軸于點(diǎn)“3和點(diǎn)M-過點(diǎn)K作KWJ?y軸,先得出WK和M4K=M3K=JAC的值,再求出
M4W=的值即可求解.
【詳解】解:(1)一次函數(shù)V=-2X-2與X軸交于點(diǎn)A,則A的坐標(biāo)為(一1,0).
拋物線的頂點(diǎn)為(1,4),
設(shè)拋物線解析式為y=α(x-l)2+4.
拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-l,0),
.?.0=a(-l-l)2+4.
.,.a=-1?
拋物線解析式為γ=-(x-l)2+4=-x2+2x+3;
(2)解法一:連接。C?
點(diǎn)C為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m,
.,.C(m,-W2+2m+3).
一次函數(shù)y=-2%-2與y軸交于點(diǎn)BMOB=2,
A的坐標(biāo)為(一1,0),
.?.Q4=1.
???Swm='θAO6='xlx2=l,
tvt<√∕>22
SMoC=萬X°,X(—m^~++3)=—~+772+—,
=-×OB×m=m.
???519
?q=+222
??,jΔASCSΛAOB+SΛAOCS^BOC=^--m+m+-+m=--m+2m+-=--(m-2)+-.
9
當(dāng),〃=2時(shí),S的值最大,最大值為一;
2
解法二:作CE∕∕y軸,交.AB于點(diǎn)E.
A的坐標(biāo)為(TO),,OA=1.
點(diǎn)C為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m,
C[jn,-nΓ+2m+3),E(m,-2m-2).
.?.CE=-m2+2m+3-{-2m-2)=-m2+4m+5.
S22
?SAAHc=AACE-S^c=^CE-OA=^xlx(-m+4m+5)=~(m-2)+-.
9
當(dāng)"2=2時(shí),S的值最大,最大值為一;
2
一次函數(shù)y=-2%一2與.丫軸交于點(diǎn)BMOB=2,
點(diǎn)C為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為M,
.,.C[m,-m2+2m+3).
?Ey=-m2+2w7+3代入v=-2x-2,解得X=!機(jī)?-m--,
--22
(1?5)1,5
.,.CD=m-?-m^-m——I=——m^+2m+—.
(22)22
22
?"?SAΛBC=SABCD-SWx:=-?w+2∕n+∣-^=-^?(m-2)+^.
9
當(dāng)〃2=2時(shí),S的值最大,最大值為一;
2
解法四:構(gòu)造矩形CGGC3?(或構(gòu)造梯形BCC36)
一次函數(shù)y=-2x-2與.V軸交于點(diǎn)8.則QB=2,
?.?A的坐標(biāo)為(T,0),..C?=1.
點(diǎn)C為第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為加,
設(shè)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為",;.〃=一機(jī)'+2機(jī)+3,
CC1=n+2,CC3=用+1,C3A—m,AC2=2,C,B=I,BC1—m.
m
SΔABC=(+1)(〃+2)-g
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