浙江省嘉興市八校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué) 含解析

2022學(xué)年高一年級(jí)第二學(xué)期嘉興八校聯(lián)盟期中聯(lián)考

數(shù)學(xué)試題

考生須知：

1.本卷共6頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名.考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.

3.所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.

選擇題部分

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)z=3-4i的虛部是()

A.3B.-4C.4iD.-4i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，即可判斷.

【詳解】根據(jù)虛部的定義，可知，復(fù)數(shù)z=3—4i的虛部是T.

故選：B

2.已知向量。=(1,2),2-2=(3,2),則［=()

A.(-2,0)B.(4,4)C.(2,0)D.(5,6)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.

【詳解】8=a—(a—。)=(1,2)—(3,2)=(—2,0),

."=(-2,0).

故選：A.

3.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是()

俯視圖

A.圓柱B.棱柱C.棱臺(tái)D.圓臺(tái)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖確定正確選項(xiàng).

【詳解】由三視圖可知，該幾何體上下底面是圓且兩個(gè)圓的半徑不相同，所以該幾何體是圓臺(tái).

故選：D

4.已知(l+i)z=2+4i,則|z|=()

A.10B.2C.回D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z再求模長(zhǎng)可得答案.

2+4i_(2+4i)(l-i)_2+4+2i_

【詳解】z:-1+i(l+i)(l-i)2-'+1'

則目=師

故選：C.

5.ABC中，點(diǎn)M為AC上的點(diǎn)，且AM=3MC，若+(4〃eR),則幾一〃=

()

111

—B.---C.—D.-

3232

【答案】B

【解析】

13

【分析】選定基向量，根據(jù)向量的加減法，用基底表示出向量8M，結(jié)合條件即可求得九=一,〃=一,

44

可得答案.

33

【詳解】由題意可得8M=BA+AM=BA+二AC=6A+-(BC-BA)

44

13

^-BA+-BC,

44

13

又6M=48A+〃6C,故4=—,〃=—,

44

故/1-//=——,

故選:B

6.若(a+0+c)("+c-a)=3Ac,S.ccosB-bcosC,那么..ABC是()

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】利用余弦定理求出cosA的值，結(jié)合角A的取值范圍可得出角A的值，再利用ccosB=/?cosC

結(jié)合余弦定理可得出b=c,即可得出結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?a+0+c)("+c—a)=38c,^\(b+cf-a2=3bc,可得從+c?=從，

由余弦定理可得cosA="一+c?=J.,因?yàn)锳?O,兀)，所以，4=:，

2bc2''3

22122.I22

因?yàn)閏cos3=bcosC,則「3七二b.a—C,整理可得。=c.

2ac2ah

所以，..ABC為等邊三角形.

故選：A.

7.在如圖的平面圖形中，已知OM=2,ON=1,/MON=60，BM=3MA，CN=3NA，則

8C?OM的值為()

A.-15B.-12C.-6D.O

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算將BC用,ON表示,再由向量數(shù)量積運(yùn)算可得結(jié)果.

BM=3MA>AB=4AM，

CN=3NA,：.AC=4AN,

：.BC=AC-AB=4AN-4AM=4（AN-=4MN,

又MN=ON-OM，

BC=4（ON-OM）,又|0M|=2,|QV|=1,/MON=60，

：.BCOM=40M（ON-OM）=4OMON-4OM'

=4x2xlxcos60°-4x2?=-12.

故選：B.

8.一個(gè)棱長(zhǎng)為。的正四面體中內(nèi)切一個(gè)球。，若在此四面體中再放入一個(gè)球O',使其與三個(gè)側(cè)面及內(nèi)切

球。均相切，則球。的半徑為（）

?V6>/2V6V2

A.。BR.aCr.ciDn.d

882424

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)球的幾何性質(zhì)，結(jié)合正四面體的性質(zhì)、三棱錐的體積公式、等積法進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)內(nèi)切球。的半徑為r,球O'的半徑為R.設(shè)此棱錐的高為〃，底面心/WC的中心為M,

因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為。，所以底面的AN=與，s——巴

2A"224

所以三棱錐P-ABC的表面積為島1.

9.設(shè)加，〃是兩條不同的直線，?,僅是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.若,則〃

B.若加〃〃，ml/a,則〃//a

（1若加（=1,nu0,則加，〃是異面直線

D.若a//￡,mua,nuP,則相〃〃或"”是異面直線

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】A：當(dāng)m//a,〃//a時(shí)，m,〃可以相交、平行、異面，因此本選項(xiàng)不正確；

B：當(dāng)加〃〃，m//a時(shí)，直線〃可以在平面a內(nèi)，因此本選項(xiàng)不正確；

C：當(dāng)加ua,時(shí)，m,〃是可以是相交直線、平行直線、異面直線，因此本選項(xiàng)不正確；

D：因?yàn)閍//〃，mua,nu0,所以直線加，〃是兩條沒(méi)有交點(diǎn)的直線，

所以加〃〃或加，〃是異面直線，因此本選選項(xiàng)正確，

故選：ABC

10.如圖所示，.A'6'C是水平放置的一ABC的斜二測(cè)直觀圖，其中則以下說(shuō)

法正確的是（）

A._A8C是鈍角三角形

B.ABC的面積是AB'C'的面積的2倍

C.是等腰直角三角形

口._43。的周長(zhǎng)是4+40

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用斜二測(cè)畫(huà)法的方法進(jìn)行求解判斷.

【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法可知，

在原圖形中，。為C4的中點(diǎn)，ACA.OB,

因?yàn)镺'C'=O'A!=20'B'=2,

所以C0=A0=2,AC=4,OB^2,

則-ABC是斜邊為4的等腰直角三角形，如圖所示:

CA~

所以一ABC的周長(zhǎng)是4+4夜，面積是4,故A錯(cuò)誤，C,D正確.

在，A'B'C中，AC=4,

過(guò)8'作無(wú)軸垂線，垂足為。C,N8'O'4=45°,

所以8'。'=也0B=變，

22

所以A'B'C的面積是正，的面積是4，

.ABC的面積是A'3'C'的面積的20倍，故B錯(cuò)誤.

故選：CD

11.已知向量。/不共線，若=b，AC=a+A2b,且A,B,C三點(diǎn)共線，則關(guān)于實(shí)數(shù)4,4

的值可以是()

A.2,gB.—31—C.2,----D.—31一

2323

【答案】CD

【解析】

【分析】由A,B,。三點(diǎn)共線，可得存在唯一實(shí)數(shù)/I,使46=7143,從而可得到4,4的關(guān)系，進(jìn)

而可得答案

【詳解】因?yàn)橄蛄俊?不共線，AB=\a-h,AC=a+^b,且A,B,。三點(diǎn)共線，

所以存在唯一實(shí)數(shù)2,使AB=4AC，

所以4a—B=/L(a+45),所以I］，

所以44=-i,

故選：CD

12.在平面內(nèi)，設(shè)Q4=q,AB=b，BC=c>CO=d>M1=4,\b\=2,|c|=1,則以下結(jié)論正確

的是()

A.a=—3+6+0B.IdI的取值范圍是[0,7]

C.c,d的最大值是5D.cM的最小值是—9

【答案】AC

【解析】

【分析】利用d+AB+BC=OC可判斷A：網(wǎng)=k+人+c|,當(dāng)&,人，c都同向時(shí)可得卜|長(zhǎng)度最大

值，當(dāng)b，C同向，且與。方向相反時(shí)可得|4的長(zhǎng)度最小值可判斷B,利用=-l-(a+b)-c,當(dāng)

a,Z?同向，且與c同向時(shí)，可得c?d最小值可判斷D,當(dāng)a,Z?同向，且與c反向時(shí)可得c?d最大值

可判斷C.

【詳解】0A—a?AB=b，BC=c?CO=d^|^|=4,|/?|=2,|c|=l,

OA+AB+BC=OC即CO=d=_OC=_(a+〃+c),故A正確；

同=|d+b+d，當(dāng)a，b，c都同向時(shí)，|《的長(zhǎng)度最大為l+2+4=7,

當(dāng)匕，C同向，且與a方向相反時(shí)，W=|a+b+c|的長(zhǎng)度最小為1,

即M的取值范圍是[1,7],故B錯(cuò)誤；

cd=-[a+h^-c-c1=-l-(a+Z?)?c,

則當(dāng)。，匕同向，旦與c同向時(shí)，C.d最小為—1—6x1=—7,故D錯(cuò)誤；

當(dāng)。，人同向，且與c反向時(shí)，c-d最大為T(mén)+6xl=5,故C正確.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由次+AB+BC=OC，當(dāng)a，b，e都同向時(shí)，|"|的長(zhǎng)度最大，當(dāng)沙，。同

向，且與〃方向相反時(shí)，同=,+b+c|的長(zhǎng)度最小.

非選擇題部分

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若圓錐的母線長(zhǎng)為2cm,底面半徑為icm,則該圓錐的表面積為cm2.

【答案】37t

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用圓錐表面積公式計(jì)算作答.

2

【詳解】依題意，該圓錐的表面積為兀xlx2+兀xF=37r(cm).

故答案為：3兀

14.彬塔，又稱開(kāi)元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學(xué)為測(cè)量彬

塔的高度A3,選取了與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)。與。，現(xiàn)測(cè)得N8CD=15，

ZBDC=135，CD=20m,在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60，則塔高A3m.

【答案】20指

【解析】

【分析】在<中，由正弦定理［-------------------二可得CB,再由AB=C8tan60可得答案.

sinNDBCsinZBDC

【詳解】因?yàn)镹BCZ)=15，ZBDC=135，所以NO8C=30，

CD

在43OC中，由正弦定理可得———,可得CB=———sinNBDC=20及，

sinNDBCsinZBDCsinZDBC

在直角三角形一ABC中，ZACB=60，

所以AB=CBtan60=2072x73=2076.

故答案為：20>/6.

15.已知平面向量"=6,e是單位向量，e與a夾角為60，則向量a在向量e上的投影向量為

【答案】3e

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得答案.

【詳解】向量￡在向量"上的投影向量為|a|.cos60?j=6x]xe=3e.

故答案為：3e-

16.已知中角A￡C所對(duì)的邊為a,/?,c,A8=J5,AC=1,點(diǎn)。在8。上,

51

NBAD+NBAC=%,記△A6O的面積為E，ABC的面積為$2，肅=￡,則

323

【答案】2

【解析】

【分析】利用面積公式和已知面積比可以求得%=],從而得到AD=：,在△A3。和中同

ACj3

時(shí)應(yīng)用正弦定理并結(jié)合得到處=42=2.設(shè)CD=X,則比>=2x,BC=3x,在△ABD和_ABC

BCAC3

中同時(shí)應(yīng)用余弦定理并結(jié)合，消角求值：

【詳解】設(shè)=則N84C="-6>,

則&=；xV5A￡）sine,S2=；x0xlxsin（乃一夕）.

S,22

因?yàn)閁=所以AD=；

S233

在△A3。中，由正弦定理得上■=圖、

sinBsin6

ACBC

在'ABC中'由正弦定理得而F4西'

兩式相比得挺AD2

BC~AC~3

設(shè)CD=x,則BD=2x,BC=3x，

在,ABC中，由余弦定理得2+l—2x夜xlxcos(〃-8)=9f,

所以20cos6=9x2—3①.

在△A8Z)中，由余弦定理得2+3-12&cose=4%2,

9

所以3拒cos9=1-9%2②,

2

2

聯(lián)立①②得％=—，所以8C=2.

3

故答案為：2.

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.求實(shí)數(shù)巾的值或取值范圍，使得復(fù)數(shù)z=/?2+加一2+（加2—分別滿足：

（1）z是實(shí)數(shù)；

（2）z是純虛數(shù)；

（3）z是復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

【答案】（1）m=±\

（2）tn=—2

（3）-2<m<-l

【解析】

【分析】（I）根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列式可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列式可求出結(jié)果；

（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得加2一1=（）,所以%=±1；

【小問(wèn)2詳解】

m+加-2=0

由題意得《2，所以機(jī)=-2；

於一IwO

【小問(wèn)3詳解】

\m2+m-2<0

由題意得〈,,所以一2</〃<一1.

/n2-l>0

18.已知向量。=(3,2),/?=(x,-l).

(1)當(dāng)(a+2Z?)J_(2a—切且x>0時(shí)，求卜+目；

(2)當(dāng)c=(—8,-1),a//S+c)求向量。與力的夾角a.

【答案】(1)痣；(2)

4

【解析】

【分析】(1)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則先求出a+2b，2a-〃的坐標(biāo)，再由條件可得

@+2斗(2：」)=0,求出x的值，再求+人的坐標(biāo)，得出其模長(zhǎng).

(2)由向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則先求出%+1的坐標(biāo)，由a//(6+c),求出x的值，然后由向量的夾角公式可

得答案.

【詳解】⑴向量4=(3,2),b=(x,-l)，則。+2Z?=(3+2x,0),2a—Z?=(6-九,5)

由(a+2b)1(2a—b),可得。+21).(2：—=0

3

即(3+2x)(6—x)+0x5=0,解得％=6或%=一一

又x>0,所以x=6,則人=(6,-1)，則。+6=(9,1)

所以,+0=歷了=短

(2)由c=(-8,—1),b=(x,-l)-a=(3,2),則b+c=(x-8,-2)

由a//S+c),可得3x(—2)—2x(x—8)=(),解得x=5

所以,卜屈，卜卜而，a-b=3x5+2x(—1)=13

a-h13V2

cosa=.11,=—j=——T==—

同堀V13xV262

A__7^

又aI[0,乃],所以a=—

4

19.如圖，A8是圓柱的底面直徑，42=2,必是圓柱的母線且雨=2,點(diǎn)C是圓柱底面圓周上的點(diǎn).

p

（1）求圓柱的側(cè)面積和體積；

（2）若AC=1,。是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段用上，求CE+E。的最小值.

【答案】（1）圓柱的側(cè)面積為4兀，體積為2兀

⑵非

【解析】

【分析】（1）根據(jù)圓柱的側(cè)面積和體積公式即可求解；

（2）將CE和轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面中，利用兩點(diǎn)間線段最短即可求得最小值.

【小問(wèn)1詳解】

圓柱的底面半徑r=l,高力=2,

圓柱的側(cè)面積6=2兀/=27ixlx2=47i.

圓柱的體積V=nr2h=7ixI2x2=2TI-

小問(wèn)2詳解】

將繞著PA旋轉(zhuǎn)到R4C使其與平面以8共面，且C'在AB的反向延長(zhǎng)線上

71

VPA=AB=2,/PBA=—,

4

BD=、BP=五,BC=3A+AC=2+1=3,

2

.?.在三角形C'B。中，

由余弦定理得CZ>=，3?+（、歷『―2x3x夜x*=石，

，CE+ED的最小值等于75.

20.己知村莊B在村莊A的北偏東45°方向，村莊C在村莊A的北偏西75。方向，且村莊AC之間的距

離是千米，村莊c在村莊8的正西方向，現(xiàn)要在村莊8的北偏東30°方向建立一個(gè)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)。，使

得農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)。到村莊C的距離是到村莊8的距離的6倍.

（1）求村莊&C之間的距離;

（2）求農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)。到村莊8,C的距離之和.

【答案】（1）6千米;

（2）6+6百千米.

【解析】

【分析】（1）在中，由正弦定理即可求解；

（2）設(shè)=則OC=gr，在ABC。中，由余弦定理求出r,從而可求解.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可得AC=2#，ZBAC=120°,ZCBA=45°.

AQBC

在」ABC中，由正弦定理可得---------

sinZCBAsinABAC

2任xB

則BC=-1=6.

V2

T

即村莊8,C之間的距離為6千米.

【小問(wèn)2詳解】

村莊C在村莊B的正西方向，因?yàn)檗r(nóng)貿(mào)市場(chǎng)。在村莊8的北偏東30°的方向,

所以NO8C=120°.

在△88中，設(shè)DB=f,則。。=疝，

由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-IBC-BDcosZCBD，

化簡(jiǎn)得「一3f—18=0,解得f=6或，=一3（舍去），

即B￡>=6,CD=6百.

所以農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)。到村莊區(qū)。的距離之和為6+6J5千米.

21.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，尸為A3上的點(diǎn)，且AE=2E8，E為

（1）證明：PB〃面AEC

（2）在PC上是否存在一點(diǎn)G,使得尸G〃面AEC?若存在，指出點(diǎn)G位置，并證明你的結(jié)論；若不

存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）PC上存在點(diǎn)G,且CG=2GP,證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)中位線定理作圖，結(jié)合線面平行的判定定理，可得答案；

（2）根據(jù)等比例平行，結(jié)合線面平行判定以及面面平行判定，利用面面平行性質(zhì)，可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

證明：連BO交AC于。，因?yàn)镋為尸。中點(diǎn)，所以EO是△BPD中位線,

所以EO//PB.又EOu面AEC,PBu面A￡C.

所以PB〃面AEC.

【小問(wèn)2詳解】

PC上存在點(diǎn)G,且CG=2GP,使得FG〃面鉆C,

證明：Q4上取點(diǎn)“，且AH=2HP，

因?yàn)槭瑸锳3上的點(diǎn)，且AF=2EB，

所以在；A4B