2023-2024學(xué)年上海高一年級(jí)上冊(cè)考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年上海高一上冊(cè)分考試數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.關(guān)于x的不等式三二三40的解集是__________.

x-20

【正確答案】(20,23]

【分析】把給定不等式化成一元二次不等式求解即可.

x-23[x-20^0%,

【詳解】不等式J;4?；癁椋?亦，，解得20<x423,

x-20[(x-23)(x-20)<0

r-23

所以不等式^^40的解集是(20,23].

故答案為.(20,23]

2.已知a、bcR,且/+4/=1,則ab的最大值是.

【正確答案】T##0.25

【分析】利用基本不等式得1="+4/即可得到時(shí)最大值.

【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)9滿足/+4〃=1,

所以由基本不等式可得：1="+4〃22”26

&立

-

4〃=

-2-2

所以"4；,當(dāng)且僅當(dāng)/=4從=；,即

也

也時(shí)等號(hào)成立,

力-力=

4-4

即就的最大值為:.

故答案為2

4

2

3.若點(diǎn)P(3,y)是角a終邊上一點(diǎn)，且sina則y的值是.

【正確答案】-述

5

【分析】利用三角函數(shù)值的定義，即可求解.

【詳解】sina飛2；=.‘解得>=-罕.

故答案為._述

5

4.已知〃x)='+—若y=/(x-D是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值是.

xx-a

【正確答案】-2

【分析】利用已知函數(shù)的定義域，結(jié)合奇函數(shù)的定義計(jì)算作答即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=1+」一的定義域?yàn)椋鹸eRIxxO且

xx-a

因?yàn)楹瘮?shù)丫=/?！?)是奇函數(shù)，則當(dāng)XH1且XH1+4時(shí)，/(一X—1)+/。-1)=0恒成立,

因止匕+-------++---；---=0，整理得■；2+,x22=°'

-x-l-x-\-ax-\x-l-a1一Xn(1+。)一x

(l+〃)2+(l+a)=0

解得a=-2,

即(累：常;二"。，于是得—2—a=0

所以實(shí)數(shù)〃的值是-2.

故-2

5.若函數(shù)y=〃x)的值域是；,4,則函數(shù)尸(x)=〃2x+l)+號(hào)而的值域是

17

【正確答案】2,下

【分析】由給定條件求出/(2x+l)的值域，換元借助對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.

【詳解】因函數(shù)y=f(x)的值域是；，4,從而得函數(shù)r=/(2x+l)值域?yàn)?,4,

函數(shù)F(x)變?yōu)閥=f+LfeI，4,

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知y=f+l在上遞減，在口,4］上遞增，

151717

，=1時(shí)，Vmin=2,而，=］時(shí)，＞=2，|=4時(shí)，7=—,即為.二^，

'17-

所以原函數(shù)值域是2,-.

_4_

~17"

故答案為.2,-

2

6.已知里氏震級(jí)R與地震釋放的能量E的關(guān)系為R=§(lgE-lL4).那么里氏8.4級(jí)的地震

釋放的能量大約是里氏6.8級(jí)地震釋放的能量的倍.(精確到0.1)

【正確答案】251.2

【分析】根據(jù)給定條件，作差并結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解作答.

【詳解】令里氏8.4級(jí)的地震釋放的能量為耳，里氏6.8級(jí)的地震釋放的能量為芻,

27

則§(愴月-11.4)=8.4,-(lgE2-11.4)=6.8,兩式相減并整理得lg&-炮4=2.4,

即1g善=2.4,因此魯=1024*251.2.

E2E-,

故251.2

7.若一個(gè)等腰三角形頂角的正弦值為三，則其底角的余弦值為.

【正確答案】:3或4

【分析】設(shè)頂角?！辏?,兀），則其底角的余弦值為cos%=sinp由半角公式求值即可.

【詳解】設(shè)頂角a￡（0,兀），則sina=—,cosa=?

25

或？

則其底角的余弦值為cos微=sin|_=1或;

故（3或；4

8.己知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,-3）,將0A繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋T轉(zhuǎn)T'至0A,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是

【正確答案】上友

2

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義，結(jié)合差角的余弦公式求解作答.

【詳解】以x軸非負(fù)半軸為角的始邊，令射線0A為終邊的角為a,則射線OA為終邊的角

為a

顯然|OA|=|。4|=H+（-3『=5.sina=-|,cosa=^,

/吟兀..兀413G4-3月

因止匕cosa——=cos6rcos—4-smcrsin—=—x------x——=-----------,

（3）33525210

所以點(diǎn)A，的橫坐標(biāo)是上3^x5=

102

故且

2

9.方程9'+|1-3]=5的實(shí)數(shù)解為.

【正確答案】=log,2

【分析】分x40、x>0兩種情況化簡方程9、+|1-3[=5,求出3,的值，解之即可.

【詳解】當(dāng)X40時(shí)，則3*41,由9'+|1-3[=5可得(3、)*2-3，-4=0,可得3*=土盧(舍)；

當(dāng)x>0時(shí)，貝由9'+|1—31=5可得(3")2+3'-6=0,可得3*=2,解得》=1叫2.

故答案為.x+ogj

10.設(shè)〃耳=二^二，當(dāng)xeR時(shí)，/(9+皿)+/(1)>0恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

【正確答案】(-U)

【分析】根據(jù)題意把不等式f(x2+2皿)+/(1)>0轉(zhuǎn)化為即f(x2+2如)>-/⑴，結(jié)合函數(shù)的

單調(diào)性和奇偶性，得到*2+2皿+1>0在xeR上恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式,

即可求解.

9V—r)~x11i

【詳解】由函數(shù)f(x)=-----=--(2'-2-)=-[2'-(-n，

2222

乂=2*,%均為在R上的增函數(shù)，故函數(shù)/(x)是在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

且滿足/(-x)=2~1_21=-(2*T_2g)=-f(x),所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

因?yàn)?(/+2儂)+/(I)>0,即/(/+2mx)>-/(1)=/(-I),

可得f+2mx>-1恒成立，即x2+2"ir+1>0在xwR上恒成立，

則滿足(2"?尸-4<0,即4加2<4,解得

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是(T』).

故答案為.(-L1)

11.已知/(x)=lnx,D=>(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若對(duì)任意的”￡>,都存在唯一的

此。，使得/伍)=4,則實(shí)數(shù)r的取值范圍是.

【正確答案】{/}

/(r)+f(J=4

【分析】分析出函數(shù),f(x)在。上單調(diào)遞增，可得出J，即可求得實(shí)數(shù)，的值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)在。上單調(diào)遞增，

對(duì)任意的ae。，都存在唯一的。e。，使得〃")+/。)=4,

+-l=lnr-l=4

則U,解得/=￡

,>1

、e

故答案為.付｝

f\.xeM

12.對(duì)任意集合M,定義九。)二八”，X是全集，集合S,T=X,則對(duì)任意的XEX,

下列命題中真命題的序號(hào)是.

(1)若SuT,則1(x)4%(x)；

(2)%(x)=l-￡(x)；

(3)fs,T(x)=fs(x),方(x)；

(4)ArW=八(x)+((x)+l(其中符號(hào)同表示不大于。的最大整數(shù)).

【正確答案】(1)(2)(3)(4)

【分析】根據(jù)給定條件對(duì)4個(gè)命題逐一分析并判斷作答.

【詳解】對(duì)于⑴，因S=T,xeS時(shí)，xeT,吳。)=扭》)=1,x任S時(shí)，％*)=0,而加x)=0

或加x)=l,則人(x)4枚x),⑴正確；

對(duì)于(2),xeS時(shí)，xeS，則力(x)=L&(x)=0,x￡S時(shí)，xeS<

即力(x)=0,/(x)=l,人*)+￡(x)=l,從而有人(x)=「￡(x),⑵正確;

對(duì)于(3),xeST,則xwS,xe7,fST(.x)=l,fs(x)=l,fT(x)=l,

即人r(x)=/(x)?人■(》)，

XeSc7,則6T(x)=o,此時(shí)xes與至少有一個(gè)成立，即人*)=0與力(x)=o中至

少一個(gè)成立,從而個(gè)‘(立="(x)?左(x)成立,

綜上知(3)正確;

對(duì)于(4),xeSuT時(shí)，外超)=1,若xwS,xeT,則人(x)=l,.fr(x)=1,

fs(x)+左(x)+l

=1,

2喝

若xeS,xeT,則力(x)=l,分(x)=0,內(nèi)+=

若xeS,xe7,同理可得[43+/—+l]=l,

若xeSuT,則xefST(x)=fs(x)=fTM=O,內(nèi)防+”+1]=3=0,

綜上得人r（x）=[?駕口巴],（4）正確.

故⑴(2)(3)(4).

方法點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是理解函數(shù)的新定義，題目的來源是數(shù)學(xué)中著名的狄利克雷函數(shù)，需要

對(duì)函數(shù)的新定義充分理解，進(jìn)行合理的分類討論，做到不重復(fù)不遺漏，可以利用維恩圖進(jìn)行

輔助.

二、單選題

13.若m匕為實(shí)數(shù)，則“成＞1"是的（）

a

A.充分但非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要

條件

【正確答案】D

【分析】通過舉反例a=-2力=-3和反例a=-2,b=3即可判斷.

【詳解】當(dāng)“=-2力=-3時(shí)，滿足必＞1,但此時(shí)故正向無法推出，

同樣“=-2/=3時(shí)，滿足但此時(shí)成＜1,故反向也無法推出，

a

故“必＞1”是!"的既不充分也不必要條件.

故選：D.

14.已知。是鈍角，那么下列各值中sine-cos。能取到的值是（）

A.-B.-C.-D.y

3432

【正確答案】A

【分析】利用輔助角公式可得出sine-cose=^sin（。-：）,求出的取值范圍，結(jié)合

正弦函數(shù)的值域可得出sinO-cos。的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?＜0＜兀，則:＜，一：〈"，所以，sine-cose=&sin［e-：］e（l,5/T|,

4

所以，§由6-8$?？扇〉闹禐椋?

故選：A.

15.已知〃力=|2,-2|.對(duì)于正實(shí)數(shù)以b（a*b）,下列關(guān)系式中不可能成立的是（)

D.,（闞M普6（等）

【正確答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合均值不等式可得塔＞而＞華，再探討函數(shù)，（X）的單調(diào)

2a+b

性，確定/（而）J（當(dāng)）,/（?）中不可能最大的作答.

a+b2

【詳解】正實(shí)數(shù)以b（a^b）,則孚〉而＞0,有力.疝＞"＞0,于是疝＞當(dāng),

22a+b

因此空2＞癡＞誓＞0,函數(shù)/（幻=歸一2|=＜2x-2,x>l

2a+b112-2\x<l

即有函數(shù)/（X）在（0,1］上單調(diào)遞減，在［1,也）上單調(diào)遞增，

若0＜產(chǎn)41,則有/（忍）＞/（而）＞f（誓），C正確：

若忍W1,則有〃?）＞/（，石）＞/（華），A正確；

a+b2a+b

若字＞i且則當(dāng)而21時(shí)，d喏］＞/（/可，

2a+b\2）'）

當(dāng)我41時(shí).，實(shí)數(shù)c，"，e最大數(shù)記為max{c,d,e},

于是max{/（萼）J（瘋）J（1）}=max{/（W^）J（W）}＞以嵐）,

2a+b2a+b

因此選項(xiàng)B可能，選項(xiàng)D一定不可能.

故選：D

b（兀兀\/

16.^tan0=-I--＜^＜-I,asinx+bcosx=+/sin（x+e）（。＜9v2兀），下列判斷錯(cuò)

誤的是（）

A.當(dāng)〃＞0力＞0時(shí)，（p=0B.當(dāng)a＞0,〃v0時(shí)，°=。+2兀

C.當(dāng)〃＜（）,〃＞（）時(shí)，（p=0+TtD.當(dāng)〃＜0,。＜0時(shí)，0=。+2兀

【正確答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合輔助角公式的變形，確定輔助角夕的取值作答.

【詳解】由選項(xiàng)知，ab^O,asinx+Icosx=『$出x+]cosx),

AA?bsinCPb八/兀八兀、八八

令cos<=/,sin?=/有tane=--=-=tan0(一一<6<一)，0<^<2TC,

yja~+Z?~\!a+hcos*a22

則asinx+力cosx=yja1+b2(sinxcos(p+cosxsin(p)=\/a2+b2sin(x+(p),

TTTT

對(duì)于A,當(dāng)a>0,6>0時(shí)，S為第一象限角，且0</<5，0<6?<-,tan^=tan^,則*=6?,

A正確；

對(duì)于B,當(dāng)a>0/<()時(shí)，。為第四象限角，且與<°<2兀，一]<。<0,tan^=tan(0+2n),

則。=夕+2兀，B正確；

7TJT

對(duì)于C,當(dāng)。<0,〃>0時(shí)，。為第二象限角，且一<夕<兀，--<6><0,tane=tan(〃+7T),

22

則。=(9+兀，C正確；

對(duì)于D,當(dāng)a<0,b<0時(shí)，W為第三象限角，且兀<9<電，0<0<-,tang=tan(i9+7t),

22

則9+兀，D錯(cuò)誤.

故選：D

三、解答題

兀

17.已知tan29=—2&,0<0<-.

⑴求tan。；

,0

2cos-+sin0-1

2

⑵求廠（吟?

V2sinI0-—I

【正確答案】（1）及

（2）3+20

【分析】(1)利用二倍角的正切公式求解;

(2)利用弦化切的方法求解.

【詳解】(1)因?yàn)閠an2(=,2tan,夜,

所以&tan?。-tan夕-及=0解得tan6=也或tan8=一立^,

因?yàn)?。＜，?，所以tan6=J^.

29.

2cos+sin。-1sinJ+cosJtan?+l5/2+1仄

(2)--------^7-----------------------------=——--=-T=-=3+212

Qsin(g一2)sincostan-1V2-1

18.用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥.對(duì)用一定量的水清洗一次的效果作如下假定:用1個(gè)單

位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的g,用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，設(shè)用X單位量的水

清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為了(x).

⑴假定函數(shù)y=f(尤)的定義域是［0,例),寫出“0),/⑴的值，并判斷y=〃x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)/.(力=號(hào)了，求實(shí)數(shù)f的值，現(xiàn)有4(。＞0)單位量的水，可以清洗一次，也可以把水

平均分成2份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少？說明理由.

2

【正確答案】(1)/(0)=1；/(1)=-；嚴(yán)格單調(diào)遞減；

(2)Z=p答案見解析.

【分析】(1)根據(jù)給定信息，直接求出/(0),/⑴的值，再根據(jù)題意判斷了(x)的單調(diào)性即

可；

(2)分別計(jì)算兩種方式的農(nóng)藥殘留量，再作差比較大小即可.

【詳解】(1)/(0)表示沒有用水清洗時(shí)，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量將保持原樣，則/(。)=1,

因?yàn)橛?個(gè)單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的g,則蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前

殘留的農(nóng)藥量之比為彳2，因此/⑴=?2，

因?yàn)橛盟蕉嘞吹舻霓r(nóng)藥量也越多，則蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比

越小，因此函數(shù)/(X)嚴(yán)格單調(diào)遞減.

211212

(2)由(1)知，/(1)=-,而函數(shù)〃力=；——于是L=Z，解得1=丁/?=-~~7,

31+rx1+，322+廣

2

清洗一次，殘留在蔬菜上的農(nóng)藥量為X=/(〃)=kJ,

2+a

把水平均分成2份后清洗兩次，殘留在蔬菜上的農(nóng)藥量為

2

y2="(§T=(-2J=,F于

22+(-)3+8)2，

_2642a2(a+4)(a-4)

%―%_2+a2~(a2+8)2-(a2+2)(?2+8)2，

當(dāng)a>4時(shí)，當(dāng)a=4時(shí)，/=%,當(dāng)0<a<4時(shí)，h<為，

所以當(dāng)a>4時(shí)，分成2份后清洗兩次，清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量少；

當(dāng)。=4時(shí)，兩種清洗方案效果相同；

當(dāng)0<a<4時(shí)，清洗一次，清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量少.

19.已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，

(1)求/(O)J(T)的值，并寫出Ax)的解析式；

⑵若卜ly=/(x)，xe[M]}=,求實(shí)數(shù)a，6的直

【正確答案】⑴>(0)=0,〃_1)=3，/(0=一向.

(2)0=-1,6=1

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念求函數(shù)值和解析式；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合值域列出方程即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)閥=〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(O)=OJ(-l)=-〃l)=；,

X

當(dāng)xvO時(shí)，/(X)=-/(-%)=-----,

1-X

X

-----,x<0

\-x

所以，(x)h0,x=0,即〃6=一向―

X八

----,x>0

、1+x

Y1

(2)因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f(x)=---=—1+-單調(diào)遞減,

/1+x1+X

且函數(shù)為奇函數(shù)，所以/(X)在R上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)xvO時(shí)，/(%)>0,當(dāng)x>0時(shí)，/(%)<0,

因?yàn)閧yly=/(x)，xe|?AI}=,所以a<0<6.

ah

/(a)=----=一

所以2,BP-2解得a=_i,b=i

b_a

T+^~2

20.在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)尸5，x)、。(々,必)的“直角距離”定義為歸-w|+|y「對(duì)，

記為|P。.如，點(diǎn)尸(一1,一2)、。(2,4)的“直角距離”為9,記為|圖=9.

(1)已知點(diǎn)20,0),「是滿足|P。41的動(dòng)點(diǎn)Q的集合，求點(diǎn)集「所占區(qū)域的面積；

⑵已知點(diǎn)P(0,0),點(diǎn)Q(cosa,sin(z)(aG[0,2;r)),求|PQ|的取值范圍;

⑶已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在函數(shù)y=x-l的圖像上，定點(diǎn)Q(Gcoscr,sinc)(ae[0,2兀))，若的最小

值為1,求a的值.

【正確答案】(1)2

(2)[1,72]

一\兀T4兀11兀

(3)。=不或：-或丁

336

【分析】(1)分類討論區(qū)絕對(duì)值，得到其圖形為正方形，求出其邊長，則得到面積;

TT(3n(當(dāng),2萬)四類討論即可;

(2)分0,y,Uaer-y，ae

(3)利用絕對(duì)值不等式有IPQINl+2sina-。=1,再根據(jù)a范圍即可得到答案.

【詳解】(1)設(shè)。(x,y),則國+|乂41,

當(dāng)x20,y20,則x+y41,

當(dāng)x20,y<0,則x-y41,

當(dāng)x<0,y20,則一x+y41,

當(dāng)x<0,y<0,ljllj-x-y<l,

順次連接四點(diǎn)A(0』),3(_l,0),C(0,-1),得到如圖所示正方形，其邊長為正,

則得到點(diǎn)集所占區(qū)域面積S=&X夜=2.

(2)IPQH0~cosa|+10-sina|=|cos?14-1sina|,

兀

當(dāng)aw0,—,止匕時(shí)sina,cosaN0,

萬

則IPQ1=cosa+sina=V2sina+—

4

兀7t兀3兀

aen0,-a+一￡

f4“7

.(n71.兀.?？趎.兀n與,1，則|PQ?1,后,

sinl6Z+—1Gsin—,sin—,upsinIa+—G

44

當(dāng)兀,此時(shí)sinaNO,cosa<0,

71

則|PQ|=-cosa+sina=>/2sina——

4

717C兀3兀

aG2,71...a—G

44'T

sinsiny,即sin(a-：兀-拒1

/.sina--Ge—J，則

I44

(371

當(dāng)ae［肛萬,此時(shí)sinav0,cosaK0,

71

則|PQ|=-cosa-sina=->/2sina+一

4

（34715乃［兀

ae［肛下，...ad—G

4彳工

則sin(a+?冗)c-1,-^

4

當(dāng)。￡（技，2兀），此時(shí)sina<0,cosa>0,

71

則IPQ1=cosa-sina=-V2sina——

4

3乃57i7兀

aG,2萬，a--e

74T,T

則sina

綜上，|PQe[l,夜].

（3）設(shè)P（x,x-1）,根據(jù)絕對(duì)值不等式有|PQ|=|x-Gcos。|+1x-（1+sin。）|

>14-sina-V3cosa\

若l+2sin（a-]J=1,gpsinl1=0,7Cn5元

aG[0,2兀）,a——G

333,T

兀八—冗-4兀

:.a——=0或%，/.a=一或一.

333

7t3TI1\n

若l+2sin（a-1=-1,即sin]a-g:.a——=—a=----