專題探究課一高考中導(dǎo)數(shù)問題熱點(diǎn)題型

熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極（最）值熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或曲線交點(diǎn)問題熱點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、

極值與最值熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題解(1)因?yàn)楫?dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2e－x，f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝(2x－x2)e－x，所以f(－1)＝e，f′(－1)＝－3e.從而y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(－1，f(－1))處的切線方程為y－e＝－3e(x＋1)，即y＝－3ex－2e.(2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax＝(2x－ax2)e－ax.①當(dāng)a＝0時(shí)，若x＜0，則f′(x)＜0，若x＞0，則f′(x)＞0.所以當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上為減函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)．熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題【訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝exlnx－aex(a≠0)．(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x－ey－1＝0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．f′(1)＝(1－a)e，若f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，則f′(x)≤0，在(0，＋∞)上恒成立．熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題【訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝exlnx－aex(a≠0)．(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．由g′(x)＞0得x＞1，故g(x)在(0，1]上為單調(diào)遞減函數(shù)，在[1，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，此時(shí)g(x)有最小值為g(1)＝1，但g(x)無最大值．故f(x)不可能是單調(diào)遞減函數(shù)．若f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞增函數(shù)，則f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，由上述推理可知此時(shí)a≤1.故a的取值范圍是(－∞，1]．熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值求解極(最)值問題，首先，要理解函數(shù)極值的概念，需要清楚導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，只有在該點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，即函數(shù)在該點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性相反時(shí)，該點(diǎn)才是函數(shù)的極值點(diǎn)；其次，要區(qū)分極值與最值，函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念，而最值是某個(gè)區(qū)間的整體性概念．該類問題命題的主要方式有：(1)求解函數(shù)的極(最)值；(2)利用函數(shù)的極(最)值求參數(shù)的取值范圍．熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值[考查角度一]

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極(最)值解(1)由題意知，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為2，所以f′(1)＝2，所以a＝1.熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值[考查角度一]

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極(最)值(2)由(1)知f(x)＝(x＋1)lnx，當(dāng)k＝1時(shí)，方程f(x)＝g(x)在(1，2)內(nèi)存在唯一的根．當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，h(x)＜0.熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值[考查角度一]

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極(最)值所以存在x0∈(1，2)，使得h(x0)＝0.當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0，所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)單調(diào)遞增，所以k＝1時(shí)，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)內(nèi)存在唯一的根．(3)由(2)知方程f(x)＝g(x)在(1，2)內(nèi)存在唯一的根x0.且x∈(0，x0)時(shí)，f(x)＜g(x)，x∈(x0，＋∞)時(shí)，f(x)＞g(x)，熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值[考查角度一]

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極(最)值當(dāng)x∈(0，x0)時(shí)，若x∈(0，1]，m(x)≤0；可知0＜m(x)≤m(x0)；故m(x)≤m(x0)．可得x∈(x0，2)時(shí)，m′(x)＞0，m(x)單調(diào)遞增；x∈(2，＋∞)時(shí)，m′(x)＜0，m(x)單調(diào)遞減；熱點(diǎn)突破[考查角度二]

根據(jù)函數(shù)的極(最)值求參數(shù)的范圍(1)證明

f′(x)＝m(emx－1)＋2x，若m≥0，則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，emx－1≤0，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，emx－1≥0，f′(x)＞0.若m＜0，則當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，emx－1＞0，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，emx－1＜0，f′(x)＞0.所以，f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值熱點(diǎn)突破[考查角度二]

根據(jù)函數(shù)的極(最)值求參數(shù)的范圍(2)解由(1)知，對(duì)任意的m，f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝0處取得最小值．所以對(duì)于任意x1，x2∈[－1，1]，熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值熱點(diǎn)突破[考查角度二]

根據(jù)函數(shù)的極(最)值求參數(shù)的范圍設(shè)函數(shù)g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.當(dāng)t＜0時(shí)，g′(t)＜0；當(dāng)t＞0時(shí)，g′(t)＞0.故g(t)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故當(dāng)t∈[－1，1]時(shí)，g(t)≤0.當(dāng)m∈[－1，1]時(shí)，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；當(dāng)m＞1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，g(m)＞0，即em－m＞e－1；當(dāng)m＜－1時(shí)，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.綜上，m的取值范圍是[－1，1]．熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值熱點(diǎn)突破

(1)求函數(shù)的極值時(shí)，首先確定函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并求出極值點(diǎn)，討論函數(shù)的單調(diào)性以便進(jìn)一步確定函數(shù)的極值，同時(shí)需要注意極值點(diǎn)兩端的導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)．(2)研究函數(shù)的最值，要將函數(shù)的極值與函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值進(jìn)行比較，并重視分類討論思想與化歸思想方法的活用．熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值熱點(diǎn)突破解(1)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)．熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值由k≤0可得ex－kx＞0，所以當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減，x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增．所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2]，單調(diào)遞增區(qū)間為[2，＋∞)．熱點(diǎn)突破(2)由(1)知，k≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)單調(diào)遞減，故f(x)在(0，2)內(nèi)不存在極值點(diǎn)；當(dāng)k＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)．因?yàn)間′(x)＝ex－k＝ex－elnk，當(dāng)0＜k≤1時(shí)，當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，g′(x)＝ex－k＞0，y＝g(x)單調(diào)遞增．故f(x)在(0，2)內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)k＞1時(shí)，得x∈(0，lnk)時(shí)，g′(x)＜0，函數(shù)y＝g(x)單調(diào)遞減．x∈(lnk，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，函數(shù)y＝g(x)單調(diào)遞增．所以函數(shù)y＝g(x)的最小值為g(lnk)＝k(1－lnk)．熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值由k≤0可得ex－kx＞0，所以當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減，x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增．所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2]，單調(diào)遞增區(qū)間為[2，＋∞)．熱點(diǎn)突破函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極(最)值綜上所述，函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或曲線交點(diǎn)問題研究函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)是研究函數(shù)的極值的正負(fù)，求解的關(guān)鍵是抓住函數(shù)的單調(diào)性，靈活利用等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想方法，其主要考查方式有兩種：(1)確定函數(shù)的零點(diǎn)或圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)(曲線交點(diǎn))的情況求參數(shù)的取值范圍．熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或曲線交點(diǎn)問題解

(1)設(shè)曲線y＝f(x)與x軸相切于點(diǎn)(x0，0)，則f(x0)＝0，f′(x0)＝0.(2)當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g(x)＝－lnx<0，從而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，故h(x)在(1，＋∞)無零點(diǎn)．熱點(diǎn)突破h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零點(diǎn)；故x＝1不是h(x)的零點(diǎn)．當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g(x)＝－lnx>0.所以只需考慮f(x)在(0，1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(ⅰ)若a≤－3或a≥0，則f′(x)＝3x2＋a在(0，1)無零點(diǎn)，故f(x)在(0，1)單調(diào)．所以當(dāng)a≤－3時(shí)，f(x)在(0，1)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0，1)沒有零點(diǎn)．熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或曲線交點(diǎn)問題熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或曲線交點(diǎn)問題熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或曲線交點(diǎn)問題熱點(diǎn)突破利用導(dǎo)數(shù)討論方程的根(函數(shù)零點(diǎn))主要有兩種方法：一是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；二是將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決．熱點(diǎn)三

利用導(dǎo)數(shù)研究方程的解或圖象的交點(diǎn)問題熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)三

利用導(dǎo)數(shù)研究方程的解或圖象的交點(diǎn)問題由f′(x)＝0，得x＝e.∴當(dāng)x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)的極小值為2.熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)三

利用導(dǎo)數(shù)研究方程的解或圖象的交點(diǎn)問題則φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．∴x＝1是φ(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x＝1也是φ(x)的最大值點(diǎn)．熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)三

利用導(dǎo)數(shù)研究方程的解或圖象的交點(diǎn)問題又φ(0)＝0，結(jié)合y＝φ(x)的圖象(如圖)，可知熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，常以解答題的形式考查，以中高檔題為主，突出轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想的考查，常見的命題角度：(1)證明簡單的不等式；(2)“存在性”問題的探求；(3)不等式恒成立問題．熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，因?yàn)閡(x)＝e2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．(4分)f′(b)＜0(討論a≥1或a＜1來檢驗(yàn))，故當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)存在唯一零點(diǎn)．(6分)熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)四利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題(2)證明由(1)，可設(shè)f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x∈(0，x