2024年中考數(shù)學(xué)模擬考試試卷-附參考答案與解析

第第頁2024年中考數(shù)學(xué)模擬考試試卷-附參考答案與解析（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分）學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1.某班期末考試數(shù)學(xué)的平均成績是83分，小亮得了90分，記作分小英的成績記作分，表示得了（）分．A．86 B．83 C．87 D．80下列新能源汽車標(biāo)志圖案中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．

3．年“亞運(yùn)＋雙節(jié)”讓杭州火出圈，相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，國慶期間杭州共接待游客約人次將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．4.為落實(shí)“雙減”政策，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生一周平均每天的睡眠時(shí)間，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖則在這組數(shù)據(jù)中這些被調(diào)查學(xué)生睡眠時(shí)間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．8，9 B．8，8.5 C．16，8.5 D．16，145.不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（）A． B．C． D．已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板按如圖所示方式放置(∠ABC＝30°)并且頂點(diǎn)A，C分別落在直線m，n上，若∠1＝38°，則∠2的度數(shù)是（）A．20° B．22° C．28° D．38°大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（）A． B． C． D．8.點(diǎn)，和，在反比例函數(shù)圖象上，則，和，中最小的是（）A． B． C． D．9.四個(gè)邊長為5的大正方形按如圖方式擺放，在中間形成一個(gè)邊長為3的小正方形則正方形ABCD的面積為（）A．16 B．29 C．34 D．39已知銳角∠AOB如圖（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑作，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長為半徑作弧，交于點(diǎn)M，N；（3）連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，則∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）11.因式分解：．12.一只不透明的袋中裝有2個(gè)白球和n個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到白球的概率為，那么黑球的個(gè)數(shù)是．如圖，在中的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)和．若，則的長是__________．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑畫圓則圖中陰影部分的面積為．如圖，在矩形和正方形中點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C，F(xiàn)均在x軸正半軸上點(diǎn)D在邊上，若點(diǎn)B，E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是．16.如圖，分別以為邊長作正方形，已知且滿足和．（1）若，則圖1陰影部分的面積是__________；（2）若圖1陰影部分的面積為，圖2四邊形的面積為，則圖2陰影部分的面積是__________．解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20，21題每題8分，第22，23題每題10分第24題12分，共66分，各小題都必須寫出解答過程）17.計(jì)算：．18.先化簡，再求值：，其中．19.如圖，圖1是一盞臺(tái)燈，圖2是其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)）其中燈臂，燈罩，燈臂與底座構(gòu)成的．可以繞點(diǎn)上下調(diào)節(jié)一定的角度．使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)與水平線所成的角為時(shí)臺(tái)燈光線最佳，求此時(shí)點(diǎn)與桌面的距離．（結(jié)果精確到，取1.732）20.某學(xué)校在推進(jìn)新課改的過程中開設(shè)的體育社團(tuán)活動(dòng)課有：A：籃球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選修一門學(xué)校李老師對某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．則該班的總?cè)藬?shù)為______人，其中學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)是______度；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)該班班委4人中2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球李老師要從這4人中選2人了解他們對體育社團(tuán)活動(dòng)課的看法，請你用列表或畫樹狀圖的方法求選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率．21.第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)，吉祥物為“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”如圖，某校準(zhǔn)備舉行“第19屆亞運(yùn)會(huì)”知識競賽活動(dòng)擬購買30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”）作為競賽獎(jiǎng)品．某商店有甲，乙兩種規(guī)格其中乙規(guī)格比甲規(guī)格每套貴20元．(1)若用700元購買甲規(guī)格與用900元購買乙規(guī)格的數(shù)量相同，求甲、乙兩種規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格；(2)在（1）的條件下，若購買甲規(guī)格數(shù)量不超過乙規(guī)格數(shù)量的2倍，如何購買才能使總費(fèi)用最少？22.．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中對一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊連接CQ，BP與CQ的數(shù)量關(guān)系是________；變式探究：如圖2，在等腰中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰使，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；解決問題：如圖3，在正方形中是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長為5，，求正方形的邊長．23.已知點(diǎn)和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．（1）當(dāng)時(shí)，求和的值；（2）若二次函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（3）求證：．如圖，在中為直角，點(diǎn)O在上，以為半徑的圓與相切于點(diǎn)E與相交于點(diǎn)D，已知，點(diǎn)P，Q分別在上（不與端點(diǎn)重合）且滿足．設(shè)和．

求圓O的半徑．(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(3)如圖2，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)R，連結(jié)．①當(dāng)為直角三角形時(shí)，求x的值．②把線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，當(dāng)落在圓O上時(shí)，直接寫出的值．參考答案與解析一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1.某班期末考試數(shù)學(xué)的平均成績是83分，小亮得了90分，記作分小英的成績記作分，表示得了（）分．A．86 B．83 C．87 D．80【答案】D【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的概念，關(guān)鍵是掌握正負(fù)數(shù)表示的實(shí)際意義．由正負(fù)數(shù)的概念可計(jì)算．【詳解】解：平均成績是83分，小亮得了90分，記作分，小英的成績記作分則表示得了80分故選：D．2.下列新能源汽車標(biāo)志圖案中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心．【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；故選A．3．年“亞運(yùn)＋雙節(jié)”讓杭州火出圈，相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，國慶期間杭州共接待游客約人次將數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法據(jù)此即可得到答案．【詳解】13000000=故選：B．4.為落實(shí)“雙減”政策，學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生一周平均每天的睡眠時(shí)間，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖則在這組數(shù)據(jù)中這些被調(diào)查學(xué)生睡眠時(shí)間的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．8，9 B．8，8.5 C．16，8.5 D．16，14【答案】A【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義（眾數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)）和中位數(shù)的定義（將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)）分別求出眾數(shù)和中位數(shù)即可得．【詳解】解：∵睡眠8小時(shí)出現(xiàn)的次數(shù)最多，為16次∴眾數(shù)是8∵被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為3+16+14+7=40（人）∴總共有40個(gè)數(shù)據(jù)將這些數(shù)據(jù)按從小到大進(jìn)行排序后第20個(gè)數(shù)和第21個(gè)數(shù)據(jù)分別為9，9則中位數(shù)是9故選：A．5.不等式組的解集在數(shù)軸上可表示為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別解不等式進(jìn)而得出不等式組的解集，進(jìn)而在數(shù)軸上表示即可．【詳解】解：解①得：x＞﹣1解②得：x≤2故不等式組的解集為：﹣1＜x≤2在數(shù)軸上表示解集為：．故選：A．已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板按如圖所示方式放置(∠ABC＝30°)并且頂點(diǎn)A，C分別落在直線m，n上，若∠1＝38°，則∠2的度數(shù)是（）A．20° B．22° C．28° D．38°【答案】B【分析】過C作CD∥直線m，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠2的度數(shù)．【詳解】解：過C作CD∥直線m∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°∴∠ACB＝60°∵直線m∥n∴CD∥直線m∥直線n∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD∵∠1＝38°∴∠ACD＝38°∴∠2＝∠BCD＝60°﹣38°＝22°故選：B．大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：依題意，根據(jù)物距為，像距為，得，即可作答．【詳解】解：如圖：依題意，∵物距為，像距為∴∵蠟燭火焰倒立的像的高度是∴∴故選：A8.點(diǎn)，和，在反比例函數(shù)圖象上，則，和，中最小的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k>0時(shí)，在每一個(gè)向西安內(nèi)，y隨x的增大而減少，可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由反比例函數(shù)解析式可知：∴在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小∵點(diǎn)，和，在反比例函數(shù)圖象上∴故選D．9.四個(gè)邊長為5的大正方形按如圖方式擺放，在中間形成一個(gè)邊長為3的小正方形則正方形ABCD的面積為（）A．16 B．29 C．34 D．39【答案】B【分析】由正方形的性質(zhì)得出AF＝BE＝DG＝5，EF＝GF＝EH＝3，∠AFD＝90°，得出DF＝DG﹣GF＝2，由勾股定理得出AD2＝AF2+DF2＝52+22＝29，即可得出答案.【詳解】解：如圖所示：由正方形的性質(zhì)得：AF＝BE＝DG＝5，EF＝GF＝EH＝3，∠AFD＝90°∴DF＝DG﹣GF＝5﹣3＝2∴AD2＝AF2+DF2＝52+22＝29∴正方形ABCD的面積＝AD2＝29；故選B.已知銳角∠AOB如圖，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C以點(diǎn)O為圓心，OC長為半徑作，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長為半徑作弧，交于點(diǎn)M，N；（3）連接OM，MN．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，則∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD【答案】D【分析】由作圖知CM=CD=DN，再利用圓周角定理、圓心角定理逐一判斷可得．【詳解】解：由作圖知CM=CD=DN∴∠COM=∠COD，故A選項(xiàng)正確；∵OM=ON=MN∴△OMN是等邊三角形∴∠MON=60°∵CM=CD=DN∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B選項(xiàng)正確；∵∠MOA=∠AOB=∠BON∴∠OCD=∠OCM=∴∠MCD=又∠CMN=∠AON=∠COD∴∠MCD+∠CMN=180°∴MN∥CD，故C選項(xiàng)正確；∵M(jìn)C+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN∴3CD＞MN，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D．二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）11.因式分解：．【答案】【分析】此題主要考查了提取公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，正確運(yùn)用平方差公式是解題關(guān)鍵．首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：原式．故答案為：．12.一只不透明的袋中裝有2個(gè)白球和n個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同攪勻后從中任意摸出1個(gè)球，摸到白球的概率為，那么黑球的個(gè)數(shù)是．【答案】6【分析】根據(jù)概率公式建立分式方程求解即可【詳解】∵袋子中裝有2個(gè)白球和n個(gè)黑球，摸出白球的概率為∴=解得n=6，經(jīng)檢驗(yàn)n=6是原方程的根故答案為：6如圖，在中的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則的長是__________．【答案】4【解析】【分析】由可得，由是的垂直平分線可得從而可得．【詳解】解：∵∴∵是的垂直平分線∴∴．故答案為：4．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以頂點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑畫圓則圖中陰影部分的面積為．【答案】/【分析】延長FA交⊙A于G，如圖所示：根據(jù)六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六邊形內(nèi)角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，利用扇形面積公式代入數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：延長FA交⊙A于G，如圖所示：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，AB=2∴∠GAB=∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，∴故答案為．如圖，在矩形和正方形中點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C，F(xiàn)均在x軸正半軸上點(diǎn)D在邊上，若點(diǎn)B，E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是．【答案】【分析】設(shè)正方形的邊長為m，根據(jù)和，得到根據(jù)矩形對邊相等得到，推出，根據(jù)點(diǎn)B，E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上得到，得到，推出．【詳解】解：∵四邊形是矩形∴設(shè)正方形的邊長為m∴∵∴∴設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為∴解得或（不合題意，舍去）∴∴∴這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是故答案為：．16.如圖，分別以為邊長作正方形，已知且滿足和．（1）若，則圖1陰影部分的面積是__________；（2）若圖1陰影部分的面積為，圖2四邊形的面積為，則圖2陰影部分的面積是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意，解方程組得出，根據(jù)題意得出，進(jìn)而得出，根據(jù)圖2陰影部分的面積為，代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：（1），圖1陰影部分的面積是故答案為：．（2）∵圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形的面積為∴，即∴（負(fù)值舍去）∵．解得：∵①∴∴∴②聯(lián)立①②解得：（為負(fù)數(shù)舍去）或∴圖2陰影部分的面積是故答案為：．解答題（本題有8小題，第17～19題每題6分，第20，21題每題8分，第22，23題每題10分第24題12分，共66分，各小題都必須寫出解答過程）17.計(jì)算：．【答案】（1）2．【分析】分別計(jì)算零次冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，再合并即可.（【詳解】解：．18.先化簡，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡，然后再將代入計(jì)算即可解答．【詳解】解：．當(dāng)時(shí)原式．19.如圖，圖1是一盞臺(tái)燈，圖2是其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)）其中燈臂，燈罩，燈臂與底座構(gòu)成的．可以繞點(diǎn)上下調(diào)節(jié)一定的角度．使用發(fā)現(xiàn)：當(dāng)與水平線所成的角為時(shí)臺(tái)燈光線最佳，求此時(shí)點(diǎn)與桌面的距離．（結(jié)果精確到，取1.732）【答案】【分析】過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于F，過點(diǎn)作于E分別在和中利用銳角三角函數(shù)的知識求出和的長，再由矩形的判定和性質(zhì)得到，最后根據(jù)線段的和差計(jì)算出的長，問題得解．【詳解】過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于F，過點(diǎn)作于E在中∵∴(cm)在中∵∴(cm)∵∴四邊形是矩形∴∵∴(cm)．答：點(diǎn)與桌面的距離約為．20.某學(xué)校在推進(jìn)新課改的過程中開設(shè)的體育社團(tuán)活動(dòng)課有：A：籃球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選修一門學(xué)校李老師對某班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．(1)則該班的總?cè)藬?shù)為______人，其中學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)是______度；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；(3)該班班委4人中2人選修籃球，1人選修足球，1人選修排球李老師要從這4人中選2人了解他們對體育社團(tuán)活動(dòng)課的看法，請你用列表或畫樹狀圖的方法求選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率．【答案】(1)50，72(2)見解析(3)【分析】（1）利用“選A：籃球”的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比即可求得該班學(xué)生的總?cè)藬?shù)，再利用學(xué)生選D“羽毛球”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，再乘以，即可求得結(jié)果；（2）利用選足球的學(xué)生的百分比乘以總?cè)藬?shù)求得選足球的人數(shù)，再利用總?cè)藬?shù)減去其他課程的人數(shù)求得選兵乓球的學(xué)生人數(shù)，即可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）畫出樹狀圖可得共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況有4種，再利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意可得：該班的總?cè)藬?shù)為：（人）學(xué)生選D“羽毛球”所在扇形的圓心角的度數(shù)為：故答案為：50；72；（2）解：由題意可得：選“B：足球”的學(xué)生人數(shù)為：（人）選“E：兵乓球”的學(xué)生人數(shù)為：（人）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下；（3）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的情況，其中選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的情況有4種；∴選出的2人恰好1人選修籃球，1人選修足球的概率為．21.第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)，吉祥物為“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”如圖，某校準(zhǔn)備舉行“第19屆亞運(yùn)會(huì)”知識競賽活動(dòng)擬購買30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”）作為競賽獎(jiǎng)品．某商店有甲，乙兩種規(guī)格其中乙規(guī)格比甲規(guī)格每套貴20元．(1)若用700元購買甲規(guī)格與用900元購買乙規(guī)格的數(shù)量相同，求甲、乙兩種規(guī)格每套吉祥物的價(jià)格；(2)在（1）的條件下，若購買甲規(guī)格數(shù)量不超過乙規(guī)格數(shù)量的2倍，如何購買才能使總費(fèi)用最少？（1）解：設(shè)甲規(guī)格吉祥物每套價(jià)格元，則乙規(guī)格每套價(jià)格為元根據(jù)題意，得解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的根，且符合實(shí)際意義．．答：甲規(guī)格吉祥物每套價(jià)格為70元，乙規(guī)格每套為90元．（2）解：設(shè)乙規(guī)格購買套，甲規(guī)格購買套，總費(fèi)用為元根據(jù)題意，得解得隨的增大而增大．當(dāng)時(shí)，最小值．故乙規(guī)格購買10套、甲規(guī)格購買20套總費(fèi)用最少．22.．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中對一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊連接CQ，BP與CQ的數(shù)量關(guān)系是________；變式探究：如圖2，在等腰中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰使，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；解決問題：如圖3，在正方形中點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長為5，求正方形的邊長．【答案】（1）；（2）；理由見解析；（3）4．【分析】（1）利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）先證明，得到，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）連接、AQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：（1）問題發(fā)現(xiàn)：∵和都是等邊三角形∴A，AP=AQ∴在和中∴∴故答案為：；（2）變式探究：理由如下：∵∴∵∴∵∴∴∴∵∴∴∴；（3）解決問題：連接、AQ，如圖所示:∵四邊形是正方形∴∵是正方形的中心∴∴，即∵∴∴∵∴設(shè)則在中，即解得，（舍去）∴正方形的邊長為：．23.已