2023-2024學(xué)年江蘇省高郵市高三下學(xué)期3月學(xué)情調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省高郵市高三下學(xué)期3月學(xué)情調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)模擬試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則（

）A． B．C． D．2．下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B．C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．6．已知的外接圓圓心為，，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．7．公元9世紀(jì)，阿拉伯計(jì)算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奧地利數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家雷蒂庫(kù)斯在《三角學(xué)準(zhǔn)則》中首次用直角三角形的邊長(zhǎng)之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個(gè)銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用sec(角)表示；銳角的斜邊與其對(duì)邊的比，叫做該銳角的余割，用csc(角)表示，則=（

）A．4 B．8 C． D．8．已知函數(shù)，，若當(dāng)時(shí)，總有，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．在正三角形中，，的夾角為B．若，且，則C．若且，則D．對(duì)于非零向量，“”是“與的夾角為銳角”的充分不必要條件10．下列命題正確的是（

）A．B．C．D．11．如圖，已知直線，點(diǎn)是，之間的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為1和2，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，且，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足：，則（

）

A．為直角三角形 B．C．面積的最小值是 D．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡的橫線上.12．如圖，正八邊形，其外接圓半徑為2，則=.

13．若為第一象限角，且，則.14．已知平面單位向量滿足，設(shè)，向量的夾角為，則的最小值為．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．在長(zhǎng)方形中，E為邊DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)，且，設(shè)，.(1)試用基底，表示，，；(2)若G為長(zhǎng)方形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，求證：三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.16．已知平行四邊形中，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求的值；(2)若，且，求的值.17．（1）已知且及，求的值；（2）已知，且，求的值.18．如圖，在△中，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，，設(shè)，.

(1)若，，求的值；(2)若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求的最小值.19．如果存在實(shí)數(shù)對(duì)使函數(shù)，那么我們就稱函數(shù)為實(shí)數(shù)對(duì)的“正余弦生成函數(shù)”，實(shí)數(shù)對(duì)為函數(shù)的“生成數(shù)對(duì)”；(1)求函數(shù)的“生成數(shù)對(duì)”；(2)若實(shí)數(shù)對(duì)的“正余弦生成函數(shù)”在處取最大值，其中，求的取值范圍；(3)已知實(shí)數(shù)對(duì)為函數(shù)的“生成數(shù)對(duì)”，試問(wèn)：是否存在正實(shí)數(shù)使得函數(shù)的最大值為？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.1．B【分析】根據(jù)向量共線，求得關(guān)于的方程，求解即可.【詳解】因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的向量，由，共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，則，解得或，則.故選：B.2．C【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.【詳解】對(duì)于A：若，則只是大小相同，并不能說(shuō)方向相同，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，則方向相同，C正確；對(duì)于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯(cuò)誤.故選：C.3．B【分析】根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)后利用周期的計(jì)算公式即可求解.【詳解】，故最小正周期為.故選：B4．A【分析】根據(jù)兩角和的正切公式及二倍角的余弦公式，利用誘導(dǎo)公式及特殊值的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】，，，所以，，，所以.故選：A.5．D【分析】根據(jù)余弦的和差角公式求得，再求結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t，，解得，，故，則.故選：D.6．D【分析】根據(jù)條件作圖可得為等邊三角形，根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以外接圓圓心為的中點(diǎn)，即為外接圓的直徑，如圖，又，所以為等邊三角形，則，故，所以向量在向量上的投影向量為．故選：D．7．A【分析】根據(jù)正割和余割的定義，結(jié)合三角恒等變換，化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】.故選：A.8．B【分析】構(gòu)造，由題可知，在區(qū)間單調(diào)遞減，結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)性即可求得結(jié)果.【詳解】令，當(dāng)時(shí)，總有，也即，故在區(qū)間單調(diào)遞減；又令，解得，故在單調(diào)遞減，則的最大值為.故選：B.9．ACD【分析】根據(jù)向量的夾角定義可判斷A；根據(jù)平行向量的定義可判斷B；根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷C；根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，在正三角形中，的夾角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，且，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，當(dāng)時(shí)，可以有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，與的夾角為銳角或零角，故充分性不成立，當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，，故必要性成立，所以“”是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10．BC【分析】利用誘導(dǎo)公式差角的正弦化簡(jiǎn)判斷A；利用和角正切公式化簡(jiǎn)判斷B；利用湊特殊角及差角的余弦化簡(jiǎn)判斷C；利用二倍角的正弦計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC11．ABD【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算法則與三角形重心的向量表示判斷AB；設(shè)，利用三角形面積公式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷C；利用數(shù)量積的運(yùn)算法則，結(jié)合基本不等式判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，即，所以，即，則，所以為直角三角形，故A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，如圖，

由，得，因此點(diǎn)是的重心，則，故B正確；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)作，則共線，，設(shè)，而，則，所以，又點(diǎn)為的重心，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與選項(xiàng)B同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵有二，一是利用數(shù)量積的運(yùn)算法則由證得，二是由推得點(diǎn)是的重心，從而得解.12．【分析】由，結(jié)合角度關(guān)系以及數(shù)量積定義和運(yùn)算律即可求得結(jié)果.【詳解】正八邊形，故，故；則.故答案為：.13．##【分析】利用湊角及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】因?yàn)闉榈谝幌笙藿牵?，所?所以，因?yàn)?所以.所以.故答案為：.14．【解析】設(shè)向量的夾角為，由得，由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)單位向量的夾角為，則，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，又，所以，，，所以，所以?dāng)時(shí)，取最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用平面向量數(shù)量積的定義求解是解題關(guān)鍵.15．(1)，，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算可求，，；（2）利用向量的線性運(yùn)算可得，故可證三點(diǎn)共線.【詳解】（1）；；.（2），，又與有公共端點(diǎn)，三點(diǎn)共線，三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.16．(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義即可求解，（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】（1）（2），，，，即，解得：.17．（1）；（2）9.【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，求得，再求，結(jié)合角度范圍，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)，以及，結(jié)合正切的和差角公式，以及同角三角函數(shù)關(guān)系，即可求得，則問(wèn)題得解.【詳解】（1）已知，，且及，所以，，所以，又及，所以，故.（2）

，，，，又，.18．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)三點(diǎn)共線，用表達(dá)，再用表達(dá)，結(jié)合三點(diǎn)共線，即可由共線定理求得；（2）用表達(dá)，再用表達(dá)，根據(jù)，待定系數(shù)求得關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式，利用基本不等式即可求得其最小值.【詳解】（1）由點(diǎn)共線可設(shè)，則，即，，，，為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，由點(diǎn)共線可設(shè)，即，故，解得，故，.（2），，，故，又為中點(diǎn)，則，故，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；故的最小值為.19．(1)(2)(3)存在，【分析】（1）利用兩角和差正弦公式、二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合“生成數(shù)對(duì)”定義可得結(jié)果；（2）利用輔助角公式、正弦型函數(shù)最值的求法可確定，進(jìn)而由二倍角正切公式可將表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，結(jié)合的范圍和函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果；（3）由兩角和差余弦公式、“生成數(shù)對(duì)”定義可求得，進(jìn)而可化簡(jiǎn)整理所求函數(shù)為，采用換元法，討論二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置，從而確定最大值點(diǎn)，利用最大值構(gòu)造方程即可.【詳解】（1），的“生成數(shù)對(duì)”為.（2）由題意知：，其