河北省承德市雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊期中數(shù)學(xué)試題

河北省承德市雙灤區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期

中數(shù)學(xué)試題

學(xué)校：.姓名:班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.過點(diǎn)（3,0）和點(diǎn)（4,73）的直線傾斜角a=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.圓J+J一2工一6>=o的圓心坐標(biāo)為（）

A.(-1,-3)B.(T3)C.(1,3)D.(1,-3)

3.已知四面體043。中,OA=a，OB-b，OC=cE為中點(diǎn)，點(diǎn)廠在0A上,

且=2E4,則石尸=（

121211

A.—a——Zb-\--cB.——a+—b7+—c

232322

121211

C.—aH—7b—cD.—a——b7——c

232322

2

4.“1〈機(jī)＜3”是“方程上+^^=1表示橢圓”的（）

m-13-m

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知力=(2,1,—3),5=(—1,2,3),e=(7,6,4),若a,b，C共面，貝!）4等于（）

A.-9B.9C.D.3

6.過點(diǎn)尸（3,2）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為（）

A.%_y_l=0或y=0B.%+y-5=0或2%—3y=0

C.%+>一5=。或、=。D.犬一yT=0或2x—3y=0

7.已知正方體ABCD-A.B^D,的棱長為2,點(diǎn)尸為線段5c上的動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)尸到直線AQ

的距離的最小值為（）

R2屈

A.D.------

33

V6D.近

C.

~6~4

8.已知關(guān)于%的方程2+/-=有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是（）

33C(Q

A.(叼)B.(“I]D-d

二、多選題

9.如圖，在四棱柱ABCD-AB]GA中，四邊形ABC。是正方形，A^=6,AB=4,

TT

且』GC8=NGC￡）=w，則（）

A.AC}=AB+AD+CCtB.AB0^=24

C.AQ=2亞D.直線CG與平面ABC￡>所成的角為￡

4

10.下列說法中，正確的有（）

A.直線6x+7”y+l=O的斜率為-9

m

B.直線y=4x-3在y軸上的截距為3

C.直線y=a（x+2）+3（aeR）必過定點(diǎn)（-2,3）

D.直線《：6x+4y+2=0與直線4：3x+2y-3=0平行

11.已知直線/：履-y+2左+1=0和圓。：x2+y2=8,則（）

A.直線/恒過定點(diǎn)（2,1）

B,存在上使得直線/與直線％：x-2y+2=0垂直

C.直線/與圓。相交

D.直線/被圓。截得的最短弦長為2百

22

12.已知橢圓C:二+與=1（。">0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳耳，點(diǎn)P在C上，且

ab

的最大值為3,最小值為1,則（）

A.橢圓C的離心率為gB.P8月的周長為4

C.若2月產(chǎn)片=90。，則PF/的面積為3D.若|尸耳歸典=4,則/月可=60。

三、填空題

13.若"=（3,4,5）,A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,-1,0）,則3點(diǎn)的坐標(biāo)為

試卷第2頁，共4頁

14.設(shè)點(diǎn)A(3,-3),B(-2,-2),直線/過點(diǎn)尸(1,1)且與線段AB相交，貝心的斜率左的取

值范圍是.

15.若圓，：爐+/一2%-相=0與圓&：尤2+〉2+4丫+m=0恰有2條公切線，則機(jī)的取

值范圍為.

22

16.設(shè)橢圓「卞+方=1(°%>0)的右焦點(diǎn)為網(wǎng)G。)，點(diǎn)A(3c,0)在橢圓外，p、Q在

橢圓上，且P是線段4。的中點(diǎn).若直線PQ、尸產(chǎn)的斜率之積為則橢圓的離心率

為.

四、解答題

17.已知ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)：A(l,2),B(5,0),C(3,4).

(1)求過點(diǎn)8且與直線AC平行的直線方程；

(2)求?ASC中AB邊上的高所在的直線方程.

18.如圖，直三棱柱ABC-A4G的側(cè)面BCC由為正方形，AB_LBC,2AB=BC=2,E,F

分別為AC,CG的中點(diǎn).

(1)證明：M_L平面A4E；

(2)求平面A4K與平面ACQA,夾角的余弦值.

19.已知圓C：x2+y2-4x+2y-4=0.

⑴過點(diǎn)尸(2,2)作圓C的切線/,求切線/的方程；

⑵過點(diǎn)。(0,2)的直線機(jī)與圓C交于A,8兩點(diǎn)，|AB|=2行，求直線機(jī)的方程.

20.一個(gè)火山口的周圍是無人區(qū)，無人區(qū)分布在以火山口中心0(0,0)為圓心，半徑為

400km的圓形區(qū)域內(nèi)，一輛運(yùn)輸車位于火山口的正東方向600km處準(zhǔn)備出發(fā)，若運(yùn)輸

車沿北偏西60。方向以每小時(shí)40gkm的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)：

(1)運(yùn)輸車將在無人區(qū)經(jīng)歷多少小時(shí)?

(2)若運(yùn)輸車仍位于火山口的正東方向，且按原來的速度和方向前進(jìn)，為使該運(yùn)輸車成功

避開無人區(qū)，求至少應(yīng)離火山口多遠(yuǎn)出發(fā)才安全？

21.已知橢圓C：《+，=l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為82,0),且離心率為當(dāng)

⑴求橢圓C的方程；

(2)不過原點(diǎn)。的直線/：y=x+m與橢圓C交于A3兩點(diǎn)，求..ABO面積的最大值及此

時(shí)直線/的方程.

22.如圖，四棱臺(tái)ABCO-A耳6"中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯

形，A8=2A四=4,瓦歹分別為OCBC的中點(diǎn)，上下底面中心的連線垂直于上下

底面，且。0與側(cè)棱所在直線所成的角為45.

⑴求證：82〃平面6后月；

(2)求點(diǎn)A,到平面CXEF的距離；

(3)邊BC上是否存在點(diǎn)M,使得直線A"與平面a所所成的角的正弦值為若

22

存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)斜率公式求解斜率，即可根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解.

(詳解】過點(diǎn)⑶0)和點(diǎn)(4.石)的直線的斜率k=叵W=6

4-3

又0°Va<180°,所以a=60。.

故選：B

2.C

【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得解.

【詳解】圓f+>2—2x-6y=。即(x-1)2+(y-3)2=10,

則圓心為(1,3).

故選：C

3.D

【分析】根據(jù)空間向量的加減法進(jìn)行求解.

【詳解】解：在四面體O-ABC中，

OF=2FA，￡為04的中點(diǎn)，

OE=-(OC+OB\=-(c+b],OF=-OA=-a,

2、)2、)33

?1211

所以所=OP_OE=—d—{c+b')=-a一一c一一b,

32322

故選：D

O

4.A

22

【分析】由方程』一+"—=1表示橢圓求出參數(shù)的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系判斷

m-13-m

可得出結(jié)論.

m-1>0

22

【詳解】若方程=1表示橢圓，則3—心。,解得1<相<3且機(jī)#2,

m-13-m1c

答案第I頁，共13頁

22

因此，“1〈機(jī)＜3”是“方程‘+"—=1表示橢圓”的必要不充分條件.

m-13-m

故選：A

5.A

【分析】由。，b,W共面，^c=ma+nb，根據(jù)條件列出方程組即可求出入的值.

【詳解】因?yàn)椤?，b,C共面，設(shè)C=/77Q+泌，

又&=(2,1,-3),b=(-1,2,3),C=(7,6,2),得到(7,6,X)=(2m-n,m+2n,-3m+3n),

2m一〃二7

所以＜m+2〃=6,解得機(jī)=4,〃=1,4=一9,

-3m+3n=2

故選：A.

6.B

【分析】分截距不為。和截距為。兩種情況，利用待定系數(shù)法求解.

【詳解】當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)方程為?=依，將尸(3,2)代入，

2

可得弘=2,解得/=

2

故直線方程為＞=即2x-3y=。；

當(dāng)截距不為。時(shí)，設(shè)方程為二+)=1,將尸(3,2)代入，

aa

-+-=1,解得4=5,故直線方程為=+3=1，即x+y—5=o,

aa55

故直線方程為尤+y—5=0或2x-3y=0.

故選：B

7.A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出一個(gè)與AG，耳C都垂直的向量的坐標(biāo),

根據(jù)空間距離的向量求法即可求得答案.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ARAB,AA為％y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

答案第2頁，共13頁

則A(0,0,0),C(2,2,0),B](0,2,2),Q(2,2,2),

故Ag=(2,2,2),B、C=(2,0,-2),

設(shè)BF==(24,0,—2%),26[0,1],

則GP=G4+4P=(22-2,0,-22)；

設(shè)冽=(x,y,z)為與AC”4c都垂直的向量，

m-AC,=2x+2y+2z=0

則<"，令x=z=1,則=(1,-2,1),

m-BtC=2x-2z=0

因?yàn)橛深}意點(diǎn)P到直線AG的距離的最小值可認(rèn)為是異面直線和BtC的之間的長度,

故點(diǎn)P到直線AG的距離的最小值為d=""0=2W，

\m\V63

故選：A

8.B

【分析】把方程有兩個(gè)解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合圖像可求

【詳解】由題意得，半圓y=^/^^與直線y=2+依x-l)有兩個(gè)交點(diǎn)，

又直線>=2+-尤-1)過定點(diǎn)M(l,2),

答案第3頁，共13頁

當(dāng)直線過A點(diǎn)時(shí)，在AM位置時(shí)，斜率左=RF=L

io—0—t+2ia

當(dāng)直線和半圓相切即在8M位置時(shí)，由半徑1」I解得左=：,

由圖可得當(dāng)左€(71］時(shí)，半圓y=與直線y="+2-左有兩個(gè)交點(diǎn)，

即方程2+Mx-1)=>/i二7有兩個(gè)不同的實(shí)根，

綜上所述：讓弓」］.

4

故選：B

9.ACD

【分析】A.利用空間向量的線性運(yùn)算求解判斷；B.利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解判斷；C.

利用空間向量的模及向量數(shù)量積運(yùn)算律求解判斷；D.連接AC得到ZQCA即直線CC、與平面

ABC。所成的角，利用余弦定理求解判斷.

【詳解】AC^AB+AD+CQ,A正確.

ABCC1=-^x4cosZqCD=-12,B錯(cuò)誤.

22

=(AB+AO+Ccj=|叫2+|A￡)|+1cq|+2AB-AD+2AB-CQ+2AD-CQ

=62+42+42-24-24=20,故AC1=2/，C正確.

連接AC如圖所示：

則ZQCA即直線CC,與平面ABCD所成的角，所以cosZQCA==乎

TT

ZQCA=-,D正確.

故選：ACD

10.CD

【分析】根據(jù)斜率的定義，可判定A不正確；根據(jù)直線的截距的概念，可判定B不正確;

答案第4頁，共13頁

化簡直線為點(diǎn)斜式方程，進(jìn)而判定直線過定點(diǎn)，可判定c正確；根據(jù)兩直線平行的判定方

法，可判定D正確.

【詳解】對(duì)于A中.由直線6x+〃9+1=0,當(dāng)團(tuán)力。時(shí)，直線的斜率為-9；當(dāng)m=0時(shí)，

m

直線的斜率不存在，所以A不正確；

對(duì)于B中，直線y=4x-3在>軸上的截距為-3,所以B不正確；

對(duì)于C中，直線y=a(x+2)+3(aeR),可化為y-3=a(x+2),

由直線的點(diǎn)斜式方程，可得直線恒過定點(diǎn)(-2,3),所以C正確；

對(duì)于D中，由直線4：6x+4y+2=0與直線*3元+2y—3=0,

可得26=94力2白，所以直線4與，2平行，所以D正確?

32—3

故選：CD.

11.BCD

【分析】利用直線方程求定點(diǎn)可判斷選項(xiàng)A；利用兩直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系判斷選項(xiàng)

B；利用直線恒過定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷選項(xiàng)C；利用弦長公式可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于A,由"一"2左+1=0可得，k(x+2)-y+l=0,

令x+2=0,即x=—2,此時(shí)y=i,

所以直線/恒過定點(diǎn)(-2,1),A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)橹本€/。：x-2y+2=0的斜率為:，

所以直線/的斜率為-2,即％=-2,

此時(shí)直線/與直線％垂直，滿足題意，B正確；

對(duì)于C,因?yàn)槎c(diǎn)(-2,1)到圓心的距離為房1=石<2四，

所以定點(diǎn)(-2,1)在圓內(nèi)，所以直線/與圓。相交，C正確；

對(duì)于D,設(shè)直線/恒過定點(diǎn)A(-2,1),

圓心到直線/的最大距離為|。4|=若，

此時(shí)直線/被圓。截得的弦長最短為2而二？=2g,D正確；

故選：BCD.

12.AD

答案第5頁，共13頁

【分析】對(duì)A,根據(jù)題意可得a+c=3,a-c=l即可求解；對(duì)B,根據(jù)橢圓的定義判斷即

可；對(duì)C,根據(jù)余弦定理結(jié)合橢圓的定義判斷即可；對(duì)D,根據(jù)余弦定理與橢圓的定義求解

即可.

【詳解】對(duì)A,由題意a+c=3,a-c=\,故a=2,c-1,故A正確；

對(duì)B,尸乙片的周長為2a+2c=6,故B錯(cuò)誤；

對(duì)CCOS/F.」尸片「十盧尸22-舊村2_（|即|+]尸國丫一2|兩|小閭一|耳福

一2|尸用.尸42電卜|即|

=（|尸耳|+|尸馬）2一|5可2_]>（|尸/]+|帆『一因父=*

2閥卜颶"2「好"片，當(dāng)且僅當(dāng)附1=1%時(shí)，等號(hào)

成立，

因?yàn)閥=cos6在（0,兀）上遞減，所以此時(shí)最大，又4=2,c=l,所以/與尸片的最大

值為60,NH°,不成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,由余弦定理閃片「=戶用2+戶引2_2\pFi\.\pF2\cosZF2PFl

=（|尸片|+戶閶）2-2|「不卜|尸耳|（1+<：0$/招尸[），即4=16—2x4（l+cosN弱期），

解得cos/&PK=；,故/居尸片=60。，故D正確；

故選：AD

13.（1,3,5）

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示直接構(gòu)造方程求解即可.

【詳解】設(shè)3（x,y,z）,則AB=（x+2,y+l,z）=（3,4,5）,

x+2=3x=l

「.<y+l=4解得：y=3,

z=5z=5

故答案為：（1,3,5）,

14.（-oo,-2]_口,+8）

【分析】根據(jù)題意，求得噎=-2,臉=1,要使得直線/過點(diǎn)p（l,l）且與線段A3相交，結(jié)合

圖象，得到用或用2,即可求解.

答案第6頁，共13頁

【詳解】如圖所示，由A（3,-3）,B（-2,-2）,且尸（1,1）,

可得kpA~~一—=-2,kpB=-―7=1，

3—1-Z—1

要使得直線/過點(diǎn)P（l,l）且與線段A3相交，則滿足勺21或&V-2,

所以直線/的斜率左的取值范圍是（-8,-2][1,+8）.

故答案為：（-[1,+oo）.

15.（-1,4）

【分析】根據(jù)題意知兩圓相交，即可利用圓心距與半徑的關(guān)系列不等式求解.

【詳解】若圓G與圓G有且僅有兩條公切線時(shí)，則兩圓相交，

因?yàn)閳AG：f-2x—加=0的圓心G（1，。），半徑R=y/m+1,

圓G：f+J?+4y+m=。的圓心（0,—2）,半徑r=,

,,r-1-f4-m>0

貝||￡。2|=41一+2=百，又M+i>0，所以T〈加<4,

若兩圓相交，則滿足|廠—用<R+廠，即+l-J4-<A/"Z+1+J4-,

平方化簡得-2jm+l.J4-加<0<2j"+l.,4-%,結(jié)合-1（機(jī)<4得一1<加<4,

即加的取值范圍為（T,4）.

故答案為：（T，4）

16.^/-y/2

22

【分析】取線段PQ的中點(diǎn)連接ON,推導(dǎo)出OM〃PF,可得出k°MkpQ=kpFkp2=-g,

b2

利用點(diǎn)差法可求得勺的值，由此可求得橢圓r的離心率的值.

a

【詳解】如下圖所示：

答案第7頁，共13頁

由題意可知，點(diǎn)E（-c,O）為橢圓「的左焦點(diǎn),

因?yàn)辄c(diǎn)A（3c,0）、F（c,O）,易知點(diǎn)P為線段AE的中點(diǎn),

又因?yàn)镻為AQ的中點(diǎn)，所以，PFHQE,

取線段PQ的中點(diǎn)連接OM,則\局AP\=AF

謖=2,所以，OMHPF,

所以，k°M=kpF,故k0MkPQ-kPFkPQ=——,

設(shè)點(diǎn)尸（知》）、Q（x2,y2）,則點(diǎn)A/1.；苫2,%,

44一一2

所以，"：+!=1，兩個(gè)等式作差可得上看+上貴=0,可得二二b2

反或。b-X；-

A±A_0

所以，^OM^PQ=2

X1+X2_Q

2

所以，橢圓「的離心率為e=￡=g^=J"?=Jl-q=

ciYciVciVciV22

故答案為：息.

2

17.(l)y=x-5

(2)2%—y—2=0

【分析】（1）利用兩直線平行與斜率的關(guān)系以及點(diǎn)斜式方程求解;

（2）利用兩直線垂直與斜率的關(guān)系以及點(diǎn)斜式方程求解.

【詳解】（1）由題可得，砥,=翌=1，

3—1

所以過點(diǎn)B且與直線AC平行的直線方程為y=x-5.

答案第8頁，共13頁

0-21

(2)因?yàn)槿?o=二，

D—12

_1c

所以ABC中AB邊上的高所在的直線斜率為一廠=2,

kAB

又因?yàn)?ABC中AB邊上的高所在的直線經(jīng)過點(diǎn)C(3,4),

所以由點(diǎn)斜式可得，y-4=2。-3),gp2x-y-2^0.

18.(1)證明見解析

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用線面垂直判定定理證明即可;

(2)應(yīng)用空間向量法求二面角余弦值即可.

【詳解】⑴因?yàn)槿庵鵄BC-44G為直三棱柱，AB1BC,

故以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，以片所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

2(0,0,0)，尸(0,2』),A(1,0,2),4(0,0,2),E[,1,O],C(O,2,0)，G(022),4(1,0,0),

因?yàn)锽尸?4耳=(0,2,6(-1,0,0)=0,2尸-4萬=(0,2,1)[-1,1,-2)=2-2=0,

所以所_LA耳，

因?yàn)锳Bi，AEu平面人用左月用cAE=A,所以班平面4片￡\

（2）由（1）可知：平面A與E的一個(gè)法向量為3/=（0,2,1）,

設(shè)平面ACGA的法向量為〃?=（x,y,z）,

m-AC=（無,y,z）?（-1,2,0）=—尤+2y=0

m-AC,=（x,y,z）?（-1,2,2）=-元+2y+2z=0

解得：z=0,令y=l,則無=2,所以加=（2,1,0）,

答案第9頁，共13頁

設(shè)平面A4E與平面ACGA夾角為凡

m-BF|（2,l,0）-（0,2,l）|；；2

故cos0=cos（m,BF

7771-|BF^/4+ix^/4+T-5

2

故平面AAE與平面ACC.A夾角的余弦值為j.

19.(i)y=2

(2)5x+12y-24=0或x=0.

【分析】(1)得到圓C的方程，從而得到尸(2,2)在圓C上，且此,不存在，從而得到切線/

的方程；

(2)直線加斜率存在時(shí)，設(shè)出根為、=丘+2,根據(jù)弦長得到圓心C到直線機(jī)的距離，列

出方程，求出3得到方程，考慮直線冽斜率不存在時(shí)，得到尤=0,得到答案.

【詳解】(1)因?yàn)閳AC：(x-2y+(y+l)2=9,圓心C(2,-l),半徑廠=3.

因?yàn)辄c(diǎn)尸(2,2)滿足圓C的方程，所以點(diǎn)尸在圓C上，

因?yàn)樽?不存在，所以圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為0，

所以，切線/的方程為y=2；

(2)當(dāng)直線機(jī)斜率存在時(shí)，設(shè)根為＞=履+2,即：kx-y+2=0.

因?yàn)閳A心C到直線m的距離d=

所以直線m的方程為5x+12y-24=0；

當(dāng)直線加斜率不存在時(shí)，機(jī)為x=0也符合條件；

綜上，所求為5x+12y-24=0或x=0.

20.(1)5小時(shí)

(2)800km

【分析】(1)根據(jù)題意，以火山口的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)0,其正東方向?yàn)閤軸正方向，正北方

向?yàn)閥軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得弦長，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，由直線與圓相切，即可得到結(jié)果.

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以火山口的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)o,其正東方向?yàn)閤軸正方向，正北方向?yàn)閥軸正方向，建立平

面直角坐標(biāo)系，如圖所示，記運(yùn)輸車從4(600,0)出發(fā)，點(diǎn)N處開始進(jìn)入無人區(qū)，到加處離

開無人區(qū)，則圓0方程為/+/=40。2,由運(yùn)輸車沿北偏西60。方向運(yùn)動(dòng)，可得直線A3的

斜率左=tan150°=一史^,貝打題：丫二一日(x-600),即區(qū)+3y-600jJ=0,因?yàn)?。至心順?/p>

3

I-600731

距離為°°'=.=300km

則MN=2ylMO1-O'O1=2x100々=200V7km，

所以經(jīng)歷時(shí)長為理吧=5小時(shí).

40V7

(2)設(shè)運(yùn)輸車至少應(yīng)離火山口akm出發(fā)才安全，

此時(shí)運(yùn)輸車的行駛直線剛好與圓。相切，

且直線方程為y=(》一°),即氐+3y-A=0,

貝|J。至U直線的距離d=ES=400,解得。=800,

V3+9

即運(yùn)輸車至少應(yīng)離火山口800km出發(fā)才安全.

21.⑴反+匚1

62

(2)73,y=x±2

【分析】(1)由焦點(diǎn)和離心率即可求出。，從而可得橢圓方程；

(2)設(shè)出直線/的方程，聯(lián)立橢圓方程，由點(diǎn)直線的距離公式，結(jié)合韋達(dá)定理，把ABO面

積表示為機(jī)的函數(shù)，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)由已知得c=2,又離心率0=￡=立，得到°=6，b2=a2-c2=6-4=2,

a3

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