2023-2024學(xué)年甘肅省張掖市某重點(diǎn)校高二（上）暑期開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年甘肅省張掖市某重點(diǎn)校高二(上)暑期開學(xué)數(shù)學(xué)

試卷

-v單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知芋=i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z=()

A.1+iB.1—iC.-1+iD.一1一i

2.s)210。的值為()

3.如圖，在A04B中，P為線段4B上的一點(diǎn)，OP=xOA+y'OB＞且亙X=4港，()

12

X=-y=-

33

AB.

X21

y

=J-3=-

3

cX

31

=y=

4-4-

4.某校舉辦文藝匯演，高二(1)班的大合唱“保衛(wèi)黃河”的12位評委的打分如下：8.4,9.3,

8.9,8.8,8.6,8.2,8.5,8.4,9.2,8.8,8.7,9.4,則這組數(shù)據(jù)的()

A.極差為1B.眾數(shù)為8.4

C.80%分位數(shù)為8.9D.第三四分位數(shù)為9.05

5.cos20°cos40°-s譏20%os50啲值等于()

A.B.0C.1D'號

6.已知隨機(jī)事件A,B,C中，4與B互斥，B與C對立，且P(4)=0.3,P(C)=0.6,則P(4+

B)=()

A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9

7.已知rn,ri是兩條不同的直線，a,/?,y是三個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()

A.m//a,n//a,則zn〃nB.m//n,m//a,則九〃a

C.m1a,m1則a//￡D.a1y,51y,貝!Ja//￡

8.在△48C中，sinA：sinB：sinC=4：5：6,則cost=()

A]7口4

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列命題正確的是（）

A.不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面

D.如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角一定相等

10.從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，則下列敘述正確的是（）

A.取出的兩個(gè)球同為紅色和同為黑色是兩個(gè)互斥而不對立的事件

B.至多有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩個(gè)對立的事件

C.事件4="兩個(gè)球同色”，貝卯（4）=|

D.事件8=“至少有一個(gè)紅球”，則P（B）=磊

11.己知函數(shù)/'（X）=Asin（a）x+屮）（其中4>0,<o>0,\（p\<今的部

分圖象如圖所示，貝4（）

.n

A.0=一%

B.3=4

c.f（x）的圖象關(guān)于直線x=靑對稱

D.fQ）在%幣上的值域?yàn)閇-5,3]

12.已知平面四邊形ABCD,。是四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則下列命題正確的是（）

A.若四=瓦，則四邊形4BCO是平行四邊形

B.若|萬？一兩|=|函+兩一2。？|，則AHBC為直角三角形

C.^\AB+AD\=\AB-AD\，則四邊形4BCD是矩形

AC

D.若動點(diǎn)P滿足赤=OA++ArD）（m>0）,則動點(diǎn)P的軌跡一定通過厶

\AB\smz.ABC\AC\s\m.ACB

ABC的重心

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.i是虛數(shù)單位，己知心一1|=|3-i|.寫岀一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)3=.

14.已知向量五=(2,4),b=(k,6)，若行〃3，則k=.

15.已知球的體積為36兀，球的表面積是.

16.若函數(shù)/'(x)=4sina)x-siM(等+■+cos2a)x-1(&)>0)在［一試］內(nèi)有且僅有一個(gè)最

大值點(diǎn)，則3的取值范圍是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知向量五，石滿足0+B)?0-2區(qū))=一6，且間=1,\b\=2-

(1)求。広

(2)若五與方的夾角為。，求。的值.

18.(本小題12.0分)

某學(xué)校派甲、乙兩人組成“少年隊(duì)”參加射擊比賽，每輪比賽由甲、乙各射擊一次，已知甲

每輪射中的概率為:，乙每輪射中的概率為|.在每輪比賽中，甲和乙射中與否互不影響，各輪

比賽結(jié)果也互不影響.

Q)求“少年隊(duì)”在一輪比賽中恰好射中1次的概率；

(2)求“少年隊(duì)”在三輪比賽中恰好射中3次的概率.

19.(本小題12.0分)

△ABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知acosC+ccosA=btanA.

⑴求4

(2)若。=5b=求△ABC的面積.

20.(本小題12.0分)

如圖，在正三棱柱ABC—4選16中，已知4B=441=2,。是4B的中點(diǎn).

(1)求直線CG與OB1所成角的正切值；

(2)求證：平面COB1丄平面488送1，并求點(diǎn)B到平面CD當(dāng)?shù)木嚯x.

A

21.(本小題12.0分)

為激活國內(nèi)消費(fèi)市場，挽回疫情造成的損失，國家出臺一系列的促進(jìn)國內(nèi)消費(fèi)的優(yōu)惠政策.某

機(jī)構(gòu)從某一電商的線上交易大數(shù)據(jù)中來跟蹤調(diào)查消費(fèi)者的購買力，現(xiàn)從電商平臺消費(fèi)人群中

隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡分組，記第1組［15,25),第2組［25,35),第3組［35,45),

第4組［45,55),第5組［55,65),得到如下頻率分布直方圖：

(1)求出頻率分布直方圖中的a值和這200人的年齡的中位數(shù)及平均數(shù)；

(2)從第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人，并再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，求

這兩人恰好屬于同一組別的概率.

22.(本小題12.0分)

如圖所示，在四棱錐尸一A8CD中，該四棱錐的底面4BCD是邊長為6的菱形，Z.ABC=120°,

PA=PC,4PBD=4PDB=60°,E為線段48上靠近8點(diǎn)的三等分點(diǎn).

(1)證明：平面P4C丄平面PBD；

(2)在線段PD上是否存在一點(diǎn)F,使得EF〃平面PBC?若存在，求器的值及直線EF與平面

4BCD所成角的大小；若不存在，請說明理由.

A1

EB

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：—Z=i.

1+i(l+i)i].

則Z=—==1-1.

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：s譏210。=sin(180°+30°)=-sm30°=

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及特殊角，即可求解.

本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：在ACMB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，OP=xOA+y'OB^且瓦？=4兩，

則：OA-OB=4(0^4-OP)，

整理得：OP^^'OA+^'OB,

44

由于：0P=x04+y0B，

所以：%=|?y=7-

4,4

故選：C.

直接利用向量的共線的充要條件和向量的減法求出結(jié)果.

本題考查的知識要點(diǎn)：向量共線的充要條件，向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.

4.【答案】D

【解析】解：將這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列為：8.2,8.4,8.4,8.5,8.6,8.7,8.8,8.8,8.9,9.2,

9.3,9.4,

對于4因?yàn)闃O差為9.4一8.2=1.2,所以4不正確；

對于B,因?yàn)?.4和8.8岀現(xiàn)的次數(shù)最多，都是2次，所以眾數(shù)為8.4和8.8,所以B不正確；

對于C,因?yàn)?2x80%=9.6,所以80%分位數(shù)為9.2,所以C不正確；

對于。，因?yàn)?2x75%=9,所以第三四分位數(shù)為空歲=9.05,所以。正確.

故選：D.

將這組數(shù)據(jù)按照從小到大進(jìn)行排列，再根據(jù)極差、眾數(shù)和百分?jǐn)?shù)的定義求解.

本題主要考查了極差、眾數(shù)和百分?jǐn)?shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：cos20°cos40°—sin20°cos50°=cos20°cos40°—sin20°sin40°=cos(20°+40°)=

1

cos600=

故選：C.

代數(shù)式化簡，再由兩角和的余弦公式可得它的值.

本題考查兩角和的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：?隨機(jī)事件4,B,C中，4與B互斥，B與C對立，

P(4)=0.3,P(C)=0.6,

???P(B)=1-P(C)=0.4,

P(A+B)=P(4)+P(B)=0.7.

故選：C.

利用對立事件概率公式先求出P(B)=1-P(C)=0.4,再由互斥事件概率加法公式能求出P(4+

B)=P(4)+P(B)的值.

本題考查概率的求法，考查對立事件概率公式、互斥事件概率加法公式能等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算

求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】【分析】

對每個(gè)選項(xiàng)，利用線面平行的關(guān)系判斷線線平行，線面平行，面面平行的判定方法，可得結(jié)論.

本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對空間中的線與線、線與面，面與面

的位置關(guān)系有著較強(qiáng)的空間感知能力，能運(yùn)用相關(guān)的定理與條件對線面位置關(guān)系作岀準(zhǔn)確判斷.

【解答】解：對于4平行于同一平面的兩條直線可能相交，平行或異面，故A不正確；

對于8,m//n,m//a,則n〃a或nua,故2不正確；

對于C,利用垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，可知C正確；

對于o,因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬蓚€(gè)平面的位置關(guān)系是相交或平行，故。不正確.

故選C.

8.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閟in/1：sinB：sinC=4：5：6,

所以由正弦定理知：a：b：c=4：5：6,

令a=4x,b—5x.c=6x,(%>0)

由余弦定理有：cosC=a2+M-c2=16x2+25x2-36”=丄

2ab2x4xx5x8

故選：A.

由正弦定理及己知設(shè)a=4x,b=5x,c=6x,再用余弦定理求cosC即可.

本題考查利用正、余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】ABC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于4,由空間中不共線的三點(diǎn)可以確定唯一一個(gè)平面，可知A正確；

對于8,由平行公理可得平行于同一條直線的兩條直線平行，可知8正確；

對于C,由兩條相互平行的直線能確定一個(gè)平面，可知C選項(xiàng)正確；

對于D,如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，可知。錯(cuò)誤；

故選：ABC.

根據(jù)平面的確定情況及點(diǎn)線面的位置關(guān)系直接判斷即可得到答案.

本題考查平面的基本性質(zhì)，涉及空間直線平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：對于4兩球同時(shí)為紅球和為黑球不可能同時(shí)發(fā)生，并且除了這兩個(gè)事件，實(shí)驗(yàn)還

會發(fā)生一個(gè)事件，即兩球一黑一白，所以兩球同時(shí)為紅球和為黑球的事件為互斥而不對立事件，A

正確；

對于8,至多有一個(gè)黑球包括一黑一紅和兩紅球，其對立事件為兩黑球，B錯(cuò)誤；

對于C,4事件發(fā)生的結(jié)果數(shù)為3+1=4,實(shí)驗(yàn)的總結(jié)果數(shù)為4+3x2=10,

所以P(4)=微氣，C正確；

對于D,事件B的對立事件結(jié)果數(shù)為1,所以P(5)=2,所以P(B)=4,。正確.

故選：ACD.

結(jié)合互斥事件和對立事件的概念進(jìn)行分析即可.

本題主要考查互斥事件和獨(dú)立事件的概念和計(jì)算方法，屬中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：由函數(shù)f(x)=Zsin(3X+9)的部分圖象知，4=3,/(0)=3sin(p=解得sin。=

1

T

因?yàn)榍小纯此?=-會選項(xiàng)A正確；

因?yàn)閒%)=3sin備3-*=0,所以看3-詳kTT(keZ),解得3=8+48k(keZ)；

又因?yàn)椤?勺>白，所以0<3<24,當(dāng)k=l時(shí)，3=8,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

因?yàn)閒(x)=3s譏(8x所以令8xY=3+kWez),解得+案(kez),

所以/(無)的圖象關(guān)于直線％=靑對稱，選項(xiàng)C正確；

因?yàn)楫?dāng)xe%5時(shí),8%_之嗚爸,所以3s譏(8xY)e

所以/(x)在成幣上的值域?yàn)?],選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

根據(jù)函數(shù)f(x)=4s/(3X+")的部分圖象求出4、w和3的值，寫出函數(shù)的解析式，再判斷選項(xiàng)中

的命題是否正確.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：由荏=詫，可得4B〃CD,且4B=C。故A8CO是平行四邊形，所以A正確；

由|瓦?-函=同+而-2元|，

可得|瓦？|=\OA-OC+OB-OC\<

^\CA-CB\=\CA+CB\，

因此乙4丄CB,所以AABC為直角三角形，所以B正確；

由|而+而|=|為-而|，平方可得荏?而=0，

即4B丄AD,但ABCD不一定是矩形，所以C錯(cuò)誤；

作4E1BC于E,由于|松|sinB=|AC\sinC=|荏|，

所以訶=訕+.(而刀訴+團(tuán)前“/=況+誥(荏+市),

y\AB\sinZ-ABC\AC\s\nZ.ACBJ\AE\\)

即而=詣懣+硝，

故P的軌跡一定通過的重心，所以。正確.

故選：ABD.

由向量相等可判斷A;

由數(shù)量積的性質(zhì)結(jié)合模的運(yùn)算可判斷B和C；

由向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量共線可判斷0.

本題主要考查平面向量的數(shù)量積和運(yùn)算，屬于中檔題.

13.【答案】1+i(答案不唯一，滿足a+ai(aCR)均可)

【解析】解：設(shè)3=a+bi(a,6eR),因?yàn)棰取?|=,

22

所以|a-1+=|a+(b—l)i|,即J(a-l++b2=a+(b-l),

整理得a=b,取a—b=1得3=1+i.

故答案為：1+i(答案不唯一，滿足a+ai(a6R)均可).

設(shè)3=a+bi(a,beR),根據(jù)已知得a,b關(guān)系，然后可得答案.

本題主要考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】3

【解析】解：a=(2,4)>b—(/c,6)>

???2x6=4/c,

:?k=3.

故答案為：3.

直接利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】367r

【解析】【分析】

本題考查球的表面積與體積的求法，考查計(jì)算能力.

通過球的體積求出球的半徑，然后求出球的表面積.【解答】

解：因?yàn)榍虻捏w積為36幾，

所以等=36TT，球的半徑為：r=3,

所以球的表面積為：4TTx32=367r.

故答案為：367r.

16.【答案】［W)

【解析】【分析】

本題結(jié)合三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)考查，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

利用二倍角公式化簡/(x)=2sin(ux,再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象構(gòu)建3的不等式.

【解答】

—

ATJ1cos((z)x+5)~

解：J(.x)=4sincox------------—+cos2a)x—1=2sina)x(l+sina)x)+2cos￡a)x—2=2sina)x-

如圖，因?yàn)閨話|＜《|,所以/(x)在區(qū)間［-羽］有且僅有一個(gè)最大值點(diǎn)等價(jià)于，X［一，解得

143＜/故＜0取值范圍為［W).

17.【答案】解：(1)因?yàn)锧+b).0—2b)=一百■b—2b=-6?

又同=1,|K|=2.

所以五?方=五2-2,+6=1—8+6=—1；

(2)因?yàn)閏os。=雋=—,又)€［0向,

冋網(wǎng)2

所以"竽.

【解析】(1)按照數(shù)量積運(yùn)算律展開條件式，代入模長即可求解；

(2)根據(jù)向量的夾角公式求出夾角余弦值，結(jié)合夾角范圍得出仇

本題考查平面向量數(shù)量積及其夾角的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)設(shè)力k，8上分別表示甲、乙在第k(k=1,2,3,...)輪射中,

則P(AQ見,P(4)=1，P(%)=4

設(shè)C表示“少年隊(duì)”在一輪比賽中恰好射中1次，

則P(C)=P(41)P?)+=|x|+ix|=i,

所以“少年隊(duì)”在一輪比賽中恰好射中1次的概率為今

(2)設(shè)為,以，D2,。3分別表示甲在三輪比賽中射中。次，1次，2次，3次,

E。，Ei，E2,%分別表示乙在三輪比賽中射中0次，1次，2次，3次，

M表示“少年隊(duì)”在三輪比賽中恰好射中3次.

11111111113

XX-XX3XXX

-2-2-2*_-2-2-2=：，P(Di)-2-2-2=-

^08

3%1131111

XXX=-=XX-X---X-X-=-

82282228

111112

二P

X-X==X-X==XX-X=-

33339

2727

8

24142

XX=P3XXXXX

-3-9=-3-9-3=

27

所以P(M)=P(D0)P(E3)+P(5)P(5)+P(Q)P(Ei)+P(D3)P(&))="捺+p《+|x"

117

-X--

8

2724

故“少年隊(duì)”在三輪比賽中恰好射中3次的概率為

24

【解析】(1)根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式和互斥事件加法公式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)二項(xiàng)分布算出甲和乙在三輪比賽中，射中0次，1次，2次，3次的概率，然后利用獨(dú)立事件

的乘法公式和概率的加法即可.

本題考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)已知QCOSC+ccosA=從。九4,

由正弦定理可得siTL4cosc+cosAsinC=sinBtanA,

整理得sin(A+C)=sinB=sinBtanA,

因?yàn)椋?,所以tcmA=1,因?yàn)?G(0,乃)，所以A=今

(2)由余弦定理可得a?=b2+c2-2bccosA,即5=2+c?-2yl~2cx

即c2-2c-3=0,解得c=3或c=一1（舍）,

所以△ABC的面積為。x3xCxsinJ=復(fù)

242

【解析】(1)根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和求解即可；

(2)根據(jù)余弦定理可得c=3,再根據(jù)面積公式求解即可.

本題考查解三角形，正余弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知：CCJ/BBi，BB］丄平面4BC,△ABC為等邊三角

形；

二直線CG與OB1所成角即為ND&B,

???80u平面ABC,BBi丄平面ABC,BBX1BD,

因?yàn)?。是AB的中點(diǎn)，所以

所以在RtABiBD中，tan/DBiB=腎=憚=＜，

1BB［4412

即直線CCi與。丸所成角的正切值為

(2)證明：因?yàn)椤Ｊ?B的中點(diǎn)，△力BC為等邊三角形，所以CD丄4B,

因?yàn)?Bi丄平面4BC,CDu平面ABC,所以CD丄

又因?yàn)锳BCIBBLB,AB,幽u平面488出，

所以CO丄平面

又因?yàn)镃Du平面CD/,所以平面CDB］丄平面

在平面4BBM1內(nèi)作BE丄Bi。，垂足為E,

A

?.?平面COB1丄平面ABB141，平面CDB】n平面AB81A1=Bi。，BEBE1BXD,

BE丄平面.?.點(diǎn)B到平面CD%的距離即為BE的長，

由（1）知：BBiJLBD,:.B^D=Vl2+22=V5>

c1Dn口匸1DDDnnnDrrBBi，BD22V-5

?1?SAB$D=/D.BE=-BBA-BD,即BE==7^=—>

???點(diǎn)B到平面CD%的距離為雪.

【解析】(1)通過平行線轉(zhuǎn)化，從而找到直線與直線所成角，然后通過解三角形知識即可求解；

(2)利用平面與平面垂直的判定定理即可證明：再作出點(diǎn)到平面的垂線段，然后利用等面積法即可

求解.

本題考查求異面直線所成的角，以及面面垂直的判定和點(diǎn)到面的距離的求法，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)可得：

(0.01+0.015+a+0.03+0.01)x10=1,

解得a=0.035,

設(shè)年齡的中位數(shù)為b,

則0.1+0.15+(b-35)X0.035=0.5,

解得b?42.14,

???平均數(shù)1=20x0.1+30x0.15+40x0.35+50x0.3+60x0.1=41.5:

(2)根據(jù)題意及分層抽樣的概念可得：在第一組抽2人，在第二組抽3人，

再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，

則這兩人恰好屬于同一組別的概率P=叁以=|.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，中位數(shù)的概念，平均