2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考試題解法的探究

對(duì)一道中考試題解法的探究

試題如圖1,在梯形ABC黨中，AB〃C黨，ZB=90°.AB=2,C黨=1,B.C=

m,P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)，且和B、C不重合，連結(jié)PA,過點(diǎn)P作PE_LPA交C黨所

在直線于點(diǎn)E.設(shè)BP=x,CE=y.

圖1圖2

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若點(diǎn)P在線段BC.上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線段C黨上，求m的取值范圍;

(3)如圖2,若m=4,將APEC沿PE翻折至4PEG位置，ZBAG=90°,求BP長(zhǎng).

解（I）由相似基本圖形，易證得:

△ABPs4PCE,

從而得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

由4B〃CD,得Z.B+ZC=180°,

又乙B=90ZC=90°.

,/PE1PA,

???/,BAP+LAPB=90°=（EPC+LAPB,

??.LBAP=乙EPC,：.ACPE,

,ABBP

?'PC=CE*

AB=2,BC=m,BP=",CE=y,

2x12m

1y=N+y

m-x

(2)根據(jù)(J)中求出的y與x的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)性質(zhì)，求出其最大值列不等式

(或運(yùn)用其它靈活的方法)確定m的取值范圍.

方法1：；y=-y-x2+-yx

1(m\2

*-2r-T)T'

當(dāng)"=:時(shí),y取得最大值看

???點(diǎn)P在線段8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線

段Q9上，

/.(W1,解得-24■這mW24.

o

,Jm為正數(shù)，

_二m的取值范圍為0<mW24.

方法2：?.?點(diǎn)E總在線段CO上，

CEW1,即-}?+今近1,

化簡(jiǎn)得x-mx+20.

2Tn2171^.

,/x-mx+———2,

44

,--2W0,

解得-2&WmW24，

/.0<mW2y/2.

方法3門點(diǎn)E總在線段C0上，

CEW1,

即-W1,得，-mx+2云0.

令S=x2—mx+2,則此二次函數(shù)圖象為拋物線且開口向上，而S-0,所以拋物線與

x軸的交點(diǎn)為1個(gè)或0個(gè).

根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，方程x2-mx+2=0的根為兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

或無解，所以根的判別一式小于或等于0，

即m2—8W0,

-2-J1WmW2a，:.0<znW2y/2.

方法4：如圖3,

當(dāng)工=學(xué)時(shí),y的最大值為為1,

即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，y有最大值，此時(shí)m亦為最大值.

取AE的中點(diǎn)0,連OP,作EFJ_AB,易知四邊形BCEF為矩形，OP為梯形ABC黨

3

的中位線，則EF=BC=m,AF=1,OP=—.

2

.\AE=2OP=3.

故在RtZ\AEF中，AE2+EF2=AE2.,

l2+m2=32,m2=8,則m=±2a.

：m為最大值，.*.0<mW2.

(3)在翻折的操作中，經(jīng)常有相等的量轉(zhuǎn)化，并且構(gòu)造直角三角形利用勾股定理或相似

構(gòu)建方程求解，由折疊，可知

PG=PC,EC=EC,NGPE=NCPE.

又,.,/GPE+NAPG=90°,

ZCPE+ZAPB=90°,

.\ZAPG=ZAPB.

VZBAG=90°,；.AG〃BC,

；./GAP=/APB.

AZGAP=ZAPG,故AG=PG=PC.

方法1：如圖4所示，分別延長(zhǎng)CE、A.G,交于點(diǎn)H,易知ABCH為矩形，

且HE=CH-CE=2-y,

GH=AH-AG=4—(4—x)=x,

在RtaCHE中，由勾股定理，得

GH2+HE1=GE1,

即y+(2-y)2=/,

化簡(jiǎn)得x1-4y+4=0.①

由(1)可知y=-yx2+?,這時(shí)m=4,

y——^-x2+2x.

代人①式，得#-8*+4=0,

解得x="|■或*=2,

圖4

???的長(zhǎng)為2年或2.

方法2：如圖5所示，過點(diǎn)P作PHLAG于點(diǎn)H.易知四邊形ABPH為矩形,

???AH=PB=x.PH=AB=2.

???AG=PG=PC=4—x,

:.HC=AG-AH=4-x-x=4-2x.

.在RtZ^PGH中，由勾股定理，得

GH2+PH2=PG2,

即(4-2X)2+22=(4-X)2,

圖5

化簡(jiǎn)得3x2—8x+4=0,

2

解得x=-,或x=2.

3

方法3：如圖6所示，分別延長(zhǎng)CE、AG,交于點(diǎn)H,作PFLAG于點(diǎn)F,易知四邊

形ABCH為矩形，且

GH=4—(4—x)=x,HE=2—y.

=2-1-9+2x)

AFH

=-^-x2-2x+2.

易知四邊形48。尸為矩形，AF=x,

GF=4-x-x=4-2%

圖6

PF-AB2.

由折疊可知LPGE=乙C'=90°,

易知APGFs"EH,

PFFG24-2x

..?麗=而pn叱=寧二,

即3x2-8x+4=0.

解之得x="I-，或x=2.

方法4：如圖7所示，過點(diǎn)G作GHJ_AP于點(diǎn)H,前面己.證AG=PG=4-x,

...△APG為等腰三角形，

GH1AP,:.AH=y?IP.

易證得RtZUBPsRt△GHA,t------------"：：^\

?.AP".B利P_AP_即_一陵I--匚-/］'E

.BpC

：.—4P2=彳(4-x)AP2=2x(4-x).圖7

在RtAABP中，由勾股定理，得

AP2=AB2+BP2.

即2x(4-X)=22