高中數(shù)學(xué)-5 阿基米德 （以阿基米德為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）解析版

【高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】

專題5阿基米德

（以阿基米德為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）

一、單選題

1.阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法''得到橢圓的

面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的焦點在x軸上,

___3

且橢圓C的離心率為面積為2O7T,則橢圓C的標(biāo)準方程為（)

x2y2

B.—i—-

542516

片=】廠2y-,>

cAD.--------1--------=1

51625

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件求得〃力，由此求得正確答案.

【詳解】

3

5

依題意《nab=2071,解得。=5,Z?=4,c'=3.

a2=b2+c2

由于橢圓焦點在x軸上，

所以橢圓C的標(biāo)準方程為=

2516

故選：B

2.阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的

面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的焦點在x軸上,

且橢圓C的離心率為|,面積為12石萬.則橢圓C的標(biāo)準方程為（）

A.—+^-=1B.—+^-=|

203695

C.—+^-=1D.三+爐=1

362059

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)出橢圓方程，由題意可得而=12有,結(jié)合離心率以及。也c的關(guān)系，可得出答案.

【詳解】

設(shè)橢圓C的標(biāo)準方程為*+5=1（。>0>0）,焦距為2c,

c_2

—=—

3J2

則"a=12退,解得晨a=265」.橢圓C的標(biāo)準方程為方獷，

a2=b2+c2

故選：C.

3.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)

三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數(shù)；I（4>0,且

壯1）,那么點P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點C到A（-l,0）,5（l,0）

的距離之比為G，則點C到直線x-2y+8=0的距離的最小值為（）

A.2亞-也B.亞-6C.2石D.73

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)C（x,y）,依題意爆=右，根據(jù)兩點的距離公式求出動點C的軌跡方程，再求出圓

心到直線的距離，即可求出點c到直線距離的最小值；

【詳解】

解：設(shè)C（x,y）,則與得=百，即~里3=百，化簡得（x-2『+）2=3,

QI《-1￥+尸

所以點C的軌跡為以。（2,0）為圓心，廠=行的圓，則圓心。到直線x-2y+8=0的距

|2-2X08|^

137^^+=2，

所以點C到直線x-2y+8=0的距離的最小值為2百-6；

故選：A

4.阿基米德是偉大的古希臘數(shù)學(xué)家，他和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他一生

最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天

立地，四周碰邊（即球與圓柱形容器的底面和側(cè)面都相切），球的體積是圓柱體積的三

分之二，球的表面積也是圓柱表面積的三分之二.今有一“圓柱容球”模型，其圓柱表

面積為24%，則該模型中圓柱的體積為（)

A.當(dāng)D."

B.44C.16%

33

【答案】c

【解析】

【分析】

由題意可知,圓柱的底面直徑等于圓柱的高,然后由圓柱表面積為24萬，可求出圓柱

的底面半徑,從而可求出圓柱的體積

【詳解】

由題意可知,圓柱的底面直徑等于圓柱的高,設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為

2r.

因為圓柱衣面積為24萬,

所以2萬廠?2廠+2萬產(chǎn)=24萬，解得/'=2,

所以圓柱的高為4,

所以圓柱的體積為;TX22X4=16;T，

故選：C

5.阿基米德（Archimedes,公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家，物

理學(xué)家和天文學(xué)家，他推導(dǎo)出的結(jié)論“圓柱內(nèi)球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且

球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”是其畢生最滿意的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，后人按照他生前

的要求，在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球，該球與圓柱的兩個底面及側(cè)

面均相切，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.如圖所示，若球的體積為12萬，則圓

)

A.87rB.12萬C.18萬D.24乃

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，求出球半徑，再利用圓柱的體積公式計算作答.

【詳解】

設(shè)球半徑為R,依題意，芋R3=12乃，解得汗=9,顯然，圓柱的底面圓半徑為R,

圖/z=2R,

所以圓柱的體積為力/?2/?=2%7?3=18乃.

故選：C

6.阿基米德(公元前287年-公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)

學(xué)家，他利用“逼近法''得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘

積.若橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在y軸上，且橢圓C的離心率為近，面積為

4

124，則橢圓C的方程為()

X"2

B.一+=1

16

D.—+^-=1

43

【答案】A

【解析】

【分析】

利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準方程.

【詳解】

22

可設(shè)橢圓C的方程為:■+2■=l(a>b>0),

Cy/l

e=-=——

a4a2=16

由題意可得：,a"=12乃解得：〃=9,

b2=a2-c2c2=7

所以橢圓C的方程為工+亡=1.

916

故選：A

7.“圓柱容球”是阿基米德生前最引以為豪的發(fā)現(xiàn)，他死后，墓碑上刻著一個“圓柱容

球”的幾何圖形.如圖，球與圓柱的側(cè)面及上、下底面相切，設(shè)圓柱體積與球的體積之

比為〃?，圓柱的表面積與球的表面積之比為〃，則'=()

n

A.\B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

設(shè)球的半徑為R,結(jié)合題圖有圓柱的底面圓的半徑為R,高為2R,利用圓柱、球體的

體積、表面積公式求體積和面積，進而得到它們的比值，即可得答案.

【詳解】

設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面圓的半徑為K,高為2R,

則圓柱的體積為乂=2萬球的體積為匕=W"R',則加=/=不，

3%，

圓柱的表面積為51=2）氏27?+2）尺2=6乃改，球的表面積為$2=4）R2,貝IJ

S.3

522

所以竺=1.

n

故選：B

8.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸

長與短半軸長的乘積.若橢圓c的中心為原點，焦點K，外均在y軸上，橢圓c的面積

為2島,且短軸長為2百，則橢圓C的標(biāo)準方程為（）

222

x2y2

.x21z-i尤;/_]-1

A.——+y=1Bn.—+—y=1\C.D+

124334163

【答案】c

【解析】

【分析】

設(shè)出橢圓的標(biāo)準方程，根據(jù)已知條件，求得,即可求得結(jié)果.

【詳解】

x2

因為橢圓c的焦點在y軸上，故可設(shè)其方程為當(dāng)-寸1'

a

根據(jù)題意可得2石=,2b=2A/3,故可得〃=2,b=百，

故所求橢圓方程為：三+f=1.

34

故選：C.

9.阿基米德（Archimedes,公元前287年-公元前212年），出生于古希臘西西里島敘

拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，與高斯、牛頓并稱為

世界三大數(shù)學(xué)家.有一類三角形叫做阿基米德三角形（過拋物線的弦與過弦端點的兩

切線所圍成的三角形），他利用“通近法''得到拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的

面積等于阿基米德三角形面積的|（即右圖中陰影部分面積等于△PAB面積的|）.若

拋物線方程為V=2pxS>0）,且直線x=?與拋物線圍成封閉圖形的面積為6,則

P=()

A.1B.2C.-D.3

2

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.

【詳解】

由題意可知，當(dāng)過焦點的弦垂直于x軸時，即*=當(dāng)時，

=|［；.p.2p）=gp3=6,即，=3,

故選：D.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，阿基米德曲線與坐標(biāo)軸依次交于點

A（-1,0）,4（0,-2）,A,（3,0）,4（0,4）,A（-5,0）,4（o,-6）,A（7,0）,4（0,8）,,按這樣

的規(guī)律繼續(xù)下去.則以下命題中，正確的特稱命題是（)

A.對于任意正整數(shù)〃,|AA+2|=2〃+2

B.存在正整數(shù)引AA/=2022

c.存在正整數(shù)〃,|44+||為有理數(shù)

D.對于任意正整數(shù)〃,144/為無理數(shù)

【答案】C

【解析】

【分析】

由選項A,D的命題為全稱命題，排除；又1AAM|=1〃2+(〃+全=業(yè)〃(〃+1)+1,從而

即可求解.

【詳解】

解：選項A,D的命題為全稱命題，故排除；由|AA+J="2+(〃+為=也〃("+1)+1,

可知為奇數(shù)，

因為2022為偶數(shù)，故排除選項B；當(dāng)〃=3,易知％4|=5,故正確選項為C.

故選：C.

11.阿基米德(公元前287年-公元前212年)是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天

文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線上任意兩點

A,B處的切線交于點P,稱三角形以B為“阿基米德三角形”.已知拋物線C：V=8y

的焦點為F,過A,B兩點的直線的方程為J5x-3y+6=0,關(guān)于“阿基米德三角

形”△PAB,下列結(jié)論不正確的是()

32

A.lABl=yB.PA1PB

C.PFLABD.點尸的坐標(biāo)為(6,-2)

【答案】D

【解析】

【分析】

聯(lián)立方程可解得/-羋,；］,網(wǎng)46,6）,則|4B|=當(dāng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得

可判斷孫，P8,利用點斜式可求得兩條切線方程Gx+3y+2=0

和百x-y-6=0,聯(lián)立求尸,-2,再求％=-有，可判斷PAUA5.

【詳解】

與鴛二°,消去,得:3八2。/*。,解得“|或…

聯(lián)立方程<

即遞I,8（46,6）,則|AB|=弓，A正確;

A亍''

?.W=8y,即y=：,y，=：

對于A卜殍（，B（4百,6）,切線斜率分別為3=-告,即=6

：.kAkB=-l,即R4J_PB，B正確;

4出、

在點A的切線方程為2=--—X~^~2~'即6x+3y+2=0

同理可得在點B的切線方程為氐-y-6=0

百ji+3y+2=0

聯(lián)立方程〈D不正確;

\/3x-y-6=0

,一-2-2_6

VF（0,2）,則所一46J

--------U

3

”叩砥《=-1,即PF_LA3,C正確;

故選：D.

12.阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積.當(dāng)我們垂

直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率萬與橢圓的長半軸長

22

與短半軸長的乘積，已知橢圓C：5+與=1（4>8>0）的面積為6夜］，兩個焦點分別

CTb-

為H，鳥，點尸為橢圓C的上項點.直線＞=區(qū)與橢圓C交于A,8兩點，若P4尸8的

斜率之積為-之，則橢圓C的長軸長為（）

A.3B.6C.2應(yīng)D.40

【答案】B

【解析】

【分析】

由題總得到方程蛆必=6正「和匕即可解出/，，求出匕叁長

【詳解】

橢圓的面積S==6夜;r，即a。=6夜①.

因為點P為橢圓C的上項點，所以P（O,b）.

因為直線y=H與桶圓C交于A,B兩點，不妨設(shè)4（n〃），則8（一瓶,一〃）且

2222

/+3及=11，所匚匚以i\??2an

因為尸的斜率之積為所以七丈.土^=-2，把病=/一穹代入整理化

9m-m9b

簡得：②

a9

①②聯(lián)立解得：a=3,b=2日

所以橢圓C的長軸長為2a=6.

故選：B

13.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面

體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖是以一正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是

一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長

為1,則經(jīng)過該多面體的各個頂點的球的體積為（）

A.-nB.更身C.4乃D.8萬

33

【答案】A

【解析】

【分析】

將該多面體放入正方體中，可以間接確定該多面體外接球的球心，從而求出其外接球

的體積

【詳解】

將該多面體放入正方體中，如圖所示.

由于多面體的棱長為1,所以正方體的棱長為正

因為該多面體是由棱長為友的正方體連接各棱中點所得，

所以該多面體外接球的球心為正方體體對角線的中點，其外接球直徑等于正方體的面

對角線長，即2R=&xa

所以R=1

所以該多面體外接球的體積V=

33

故選：A.

14.我們把圓錐曲線的弦A8與過弦的端點A,8處的兩條切線所圍成的三角形△P45

（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”，拋物線有一類特殊的“阿基米德三角

形”，當(dāng)線段A8經(jīng)過拋物線的焦點廠時，具有以下性質(zhì)：①尸點必在拋物線的

準線上；?PAA.PB-,③PF_LA8.已知直線/：y=Mx-l）與拋物線C：V=4x交于

A,B點、,若|明=8,記此時拋物線C的“阿基米德三角形”為APAB,則尸點為

()

A.(-1,±2)B.(-1,2)

C.(-1,-2)D.(―1,±1)

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)&4X）,求出過AB點的切線方程，兩方程聯(lián)立方程組解得尸點坐標(biāo),

直線48的方程N=Mx-l）代入拋物線方程，應(yīng)用韋達定理得西+9/辦，由焦點弦長

公式求得k,從而可得P點坐標(biāo).

【詳解】

設(shè)A（x”y）,8（%,%），過A點的切線方程為y-y=M（X-XJ,

由p，[y-）得&0,

[y=4xmtn

△=二-4（也一4xJ=0,+二=°，m=-,

mmtn~m4%

2

切線方程為y-X=—（x-4），化簡得處i=2x+2X1,

y

同理過3點的切線方程是與2=2X+25,

由[晨yy.==2x2+2SxJ得.4

由[f':“，得公/一（2公+4）1+&2=0,

[y=4x

2k2+4

X1+x=—71—，%馬—1，

2k2

直線A3過焦點HL。），

所以|=%+乙+2=2，：4+2=8,攵=±1,

k

代貨=16占乙=16,如丫2異號，所以乂%=-4,^-=-1,

2（勺二。=-=±2

%.必k

所以尸（一1,±2）.

故選：A.

15.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是“圓柱容球”，即在球的直徑與

圓柱底面的直徑和圓柱的高相等時，球的體積是圓柱體積的;，且球的表面積也是圓

柱表面積的|.已知體積為燈的圓柱的軸截面為正方形.則該圓柱內(nèi)切球的表面積為

()

A.12萬B.兀C.64D.46乃

【答案】A

【解析】

【分析】

由題目給出的條件可知，圓柱內(nèi)切球的表面積圓柱表面積的;，通過圓柱的體積求出

圓柱底面圓半徑和高，進而得出表面積，再計算內(nèi)切球的表面積.

【詳解】

設(shè)圓柱底面圓半徑為，＞則圓柱高為2廠，圓柱體積開一■2r=66萬，解得r=宕，又圓

柱內(nèi)切球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，

所以內(nèi)切球的表面積是圓柱表面積的與，圓柱表面積為

2j^rx2\/^+;rx（6）x2=18%,所以內(nèi)切球的表面積為187rxi■=12〃.

故選：A.

16.阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法''得到

橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原

點，焦點月、鳥在x軸上，橢圓C的面積為26加，且離心率為義，則C的標(biāo)準方程為

)

【答案】A

【解析】

【分析】

ab=2^3

2-1

設(shè)橢圓方程為、+與=1（。＞6＞0）,解方程組（2=：即得解.

alra2

a2=b2+c2

【詳解】

22

解：設(shè)橢圓方程為=+與=1（。＞匕＞0），

a~b

由題意可知，橢圓C的面積為萬必=264，且。、力、。均為正數(shù),

ab=273j,

L<一乙

即工=!,解得b=G,

a2

a2=b2+c2Qi

因為橢圓C的焦點在X軸上，所以c的標(biāo)準方程為—+^=1.

43

故選：A.

17.阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用，如圖，在平面直角坐標(biāo)系

xOy中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點

A(T,0),4(0,-2)，A(3,0)，4(0,4)，A(-5,0),4(0,-6)、4(7,0)，4(0,8),并按這樣

的規(guī)律繼續(xù)下去，給出下列兩個結(jié)論：①存在正整數(shù)的面積為2022；②

【答案】c

【解析】

【分析】

由題設(shè)可得=(”+1)2，△4,4田4.2中最大邊為4/,,+2且

4記”+4川片2>AX+2.即可判斷結(jié)論的正誤.

【詳解】

1,

由題設(shè)知：S44=-(?+1)(2〃+2)=(〃+1)2且〃eN*,

而44?=1936<2022<45?=2025，所以不存在“使△4A+A+2的面積為2022,①錯

誤；

又△4A+A+2中最大邊為44+2，且

rr+(〃+1)2+(〃+1)2+("+2)2=4〃2+8〃+6>4("+1)2=4〃2+8/?+4,

2

所以|44用『+|4MA+2r>iAA+：I.故對于任意正整數(shù)％A〃A〃+|A“+2為銳角三角形,

②正確.

故選：c

18.我們把圓錐曲線的弦48與過弦的端點4,B處的兩條切線所圍成的三角形

（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形''.拋物線有一類特殊的''阿基米德三角

形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，△PA8具有以下性質(zhì)：

①P點必在拋物線的準線上；

②PALPB；

③

己知直線/：產(chǎn)與拋物線交于A,8點，若|Aq=8,則拋物線的“阿基

米德三角形”頂點戶的縱坐標(biāo)為（）

A.±1B.±2C.±3D.±-

2

【答案】B

【解析】

【分析】

確定直線/：y=Mx-i）過拋物線焦點，聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，利

用弦長公式可求得公=i,結(jié)合具有的性質(zhì)，可求得答案.

【詳解】

拋物線的焦點為尸（1,0）,準線方程為x=-1,

直線/:、=%。-1）經(jīng)過拋物線的焦點，

由題意）（0,設(shè)B（毛,力），

聯(lián)立F'^k2x2-（2k2+4）x+k2=0,

y=K（X-1）、/

所以西+、2=竺＞，中2=1，|人用=玉+々+2=竺匕+2=8,解得公=1,

Z=±1,

當(dāng)上=1時，kPr=-\,所以直線尸尸方程為：y=-x+\,

因為△A4B為“阿基米德三角形”，所以點P必在拋物線的準線x=-l上，

所以點尸（T2）,

由拋物線對稱性可知，當(dāng)左=-1時，P（T-2）,

故選：B.

19.圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.過拋

物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于48兩點，分別過A、B兩點做拋物線的切

線。，%相交于尸點，那么阿基米德三角形以8滿足以下特性：①P點必在拋物線的準

線上；②△辦8為直角三角形，且NAPB為直角；③PFLAB.已知尸為拋物線x2=4y

的準線上一點，則阿基米德三角形以8的面積的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)出直線AB方程，聯(lián)立拋物線求得內(nèi)匕=-4,通過PFLAB求得x°=受要，進而得

到M為AB中點，由5..=S?+5/;&“表示出三角形以8的面積，結(jié)合基本不等式

求出最小值即可.

【詳解】

易知，焦點尸（0,1）,準線方程＞=-1,直線A8斜率必然存在，設(shè)A8:y="+1,

22

A（%,子）,8（工2，字），%＞。,％2＜0，P（x（），T），聯(lián)立/=4y化簡得f一4日一4=0,顯然

/22、

公＞0,占芻=-4：又尸P_LAB可得尸戶.48=0，即（一/二）］々一內(nèi),學(xué)一學(xué)=0,化簡

得與=當(dāng)上，過P作PM//y軸交A8于M點，可得〃為中點，故

M中，王五，故

11----1----

SPAB=SPAM+SPBM=^\PM\-\X\~X^=^1+424「一馬|

\7

-----1------------------------

.[x,+(-x2)]>.2西儼——)=4,當(dāng)且僅當(dāng)

216

%=-超=2時取等.故三角形PAB的面積的最小值為4.

故選：C.

20.半正多面體(semiregularsolid)亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正

多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.二十四等邊體就是一種半多正多面

體.如圖，棱長為正的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則下列

說法錯誤的是()

A.該幾何體外接球的表面積為4兀

B.該幾何體外接球的體積為三

C.該幾何體的體積與原正方體的體積比為2：3

D.該幾何體的表面積比原正方體的表面積小

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意求該幾何體的體積與表面積，由外接球的半徑求體積與表面積，對選項逐一判

斷

【詳解】

由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為1,外接球的表

4兀

面積為4兀，體積為丁，故A,B正確

對「C,該幾何體的體枳V=/方體-8唳面體=(應(yīng))3-8x§x/x([^)3，

正方體體積為2&，故該幾何體的體積與原正方體的體積比為5:6,故C錯誤,

對于D,該幾何體有6個面為正方形，8個面為等邊三角形

S夬=6X「+8X走xl=6+2G<12,故D正確

4

故選：C

二、填空題

21.半正多面體亦稱為“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的

多面體，如圖所示.這是一個將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，

共截去八個三棱，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體'‘花崗

巖石凳，己知此石凳的棱長為1200cm，則此石凳的體積是cm3.

【答案】11520000

【解析】

【分析】

由題意可知，該正多面體是由棱長為240cm的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得

到的，再由正方體的體積減去八個三棱錐的體枳求解

【詳解】

如圖所示，該石凳是由棱長為240cm的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，

所以該石凳的體積為：

V=240x240x240-8x-x（120x120x-）x120=11520000cm3

32

故答案為：11520000

22.阿基米德（公元前287—公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)

學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的

乘積.已知橢圓C.+專一IS"〉。）經(jīng)過點網(wǎng)血』），則當(dāng)e+,取得最大值時，

橢圓的面積為.

【答案】207c

【解析】

【分析】

利用基本不等式得出e+2取得最大值時的條件結(jié)合從+。2=°2可知/=力2,

a

再利用MP（夜,1）在橢圓方程上，故可求得。、6的值，進而求出橢圓的面積.

b2+c2+2bc<

由基本不等式廿+/z2/可得=0,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取

b2+c2~

得最大值，

由〃+<?=/可知/=切，

?.,橢圓C經(jīng)過點P（板,1）,??.1+5=1,解得a=2,6=&,

則橢圓的面枳為S=nab=2，57t.

故答案為：2亞兀.

23.阿基米德多面體（Archimedeanpolyhedra）是由兩種或三種正多邊形面組成的半正

多面體.它共有13種，其特點是棱長相等.如圖1,順次連接棱長為2的正方體各棱的

中點，得到一個阿基米德多面體，如圖2,在此阿基米德多面體的所有棱中任取兩

條，則兩條棱垂直的概率為___________.

【解析】

【分析】

根據(jù)圖形，先求出24條棱中的所有組合，再求兩條棱垂直的情況，分別計算出每一類

情況中的垂直情況即可求解.

【詳解】

此阿基米德多面體共有24條棱，任取2條，共有《,=12x23=276種.

兩條棱垂直有兩類情況：①都來自同一個正方形：6x4=24種；

②來自對面的兩個正方形：3x8=24種.

484

故所求概率為尸===毛.

27623

4

故答案為：—

24.半正多面體亦稱阿基米德多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面

體.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截

去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，其中八個面為正三角形，六個面

為正方形，它們的邊長都相等，稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.現(xiàn)有一個體積

為乂的二十四等邊體，其外接球體積為匕，則,=.

【答案］也1

5

【解析】

【分析】

利用割補法可得二十四等邊體的體積，再結(jié)合對稱性可得外接球球心與半徑，可得外

接球體積，進而得解.

【詳解】

設(shè)該半多面體是由棱長為2的正方體沿正方體各棱的中點截去8個三棱錐所得，內(nèi)側(cè)即

為二十四等邊體，

其體積乂=2x2x2-8xgxgxlxlxl=g；

由二十四等邊體的對稱性可知，

如圖所示,

其外接球的球心即為正方體中心。，半徑為中心到一個頂點的距離，則

R=yJo^+AB2=5/1+1=5/2?

故匕小(可=#，

從而I=雪.

故答案為：邁L.

5

25.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和

阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家.用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：

y=[x](xeR),㈤表示不超過x的最大整數(shù)，如[-1.6]=-2,[1.6]=1,[2]=2,則關(guān)

于尤的不等式[X]2+[X]-12<0的解集為.

【答案】[-3,3)

【解析】

【分析】

解一元二次不等式，結(jié)合新定義即可得到結(jié)果.

【詳解】

V[x]2+[x]-12<0,

-4<[x]<3,

-3<x<3,

故答案為：[-3,3)

26.已知，AfiC中角A,B,C所對的邊分別為小b,c,p,2、貝U的面

積S=J2(p_a)(i)(p_c),該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德

得出.若.ABC的周長為15,(sin?l+sinB):(sinB+sinC):(sinC+sinA)=4:6:5,則,ABC

的面積為.

【答案】史叵

4

【解析】

【分析】

先用正弦定理解得。=3,h=5,c=7,代入海倫公式即可解得.

【詳解】

解：可令sinA+sinB=4k,sinB+sinC=6k,sinC+sinA=5k,

將上式相加:sinA+sinB+sinC=葭左，

753

由此可解的：sinA=-k,sinB=—AsinC=-B

222

由正弦定理：。山"=3:5:7,

又因為：〃+0+c=15,

解得：〃=3,b=5,c=7.所以p=」+：+c=?

代入海倫公式解得：s=生叵

4

故答案為：—

4

27.傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個

球的直徑恰好與圓柱的高相等.這個“圓柱容球''是阿基米德生前最引以為豪的發(fā)

現(xiàn).如圖，在底面半徑為2的圓柱內(nèi)有球。與圓柱。的上、下底面及母線均相

切，設(shè)4,B分別為圓柱QU的上、下底面圓周上一點，且。①與。2^所成的角為90,

直線A3與球。的球面交于兩點M,N,則線段MN的長度為

【答案】2夜

【解析】

【分析】

取AB中點G,由等腰三角形三線合一可得OGLAB；由線面垂直的判定與性質(zhì)可證

得利用勾股定理可推導(dǎo)求得MG,又OM=ON,可知G為MN中點，由

此可得MN=2MG.

【詳解】

OAO,^C,OBO2,..OA=OB,取A8中點G,連接。G,OA,OM,ON,O8,。，，

OA^OB,G為AB中點，:.OGA.AB；

O2B±OtA,O2B±Q02,0,A002=Q,A,。。?u平面,

.?.。28，平面4。02，又0/u平面AO02，..QBLOzA：

22222222

OA=00；+O,A=8,AB=O2A+O2B=2+4+2=24,

:.OG^^Jo^-AG2=>/8^6=>/2>MG^OM2-OG2=>/4^2=-Jl-

OM=QV,，G也是MN中點，:,MN=2MG=2叵.

故答案為：2近..

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查旋轉(zhuǎn)體中的線段長度的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用圓

柱和球的結(jié)構(gòu)中的長度相等的線段之間的關(guān)系，結(jié)合垂直關(guān)系，利用勾股定理來進行

求解.

28.圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.過拋

物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A、B兩點，分別過A、8兩點作拋物線的切線

4，4相交于P點，那么阿基米德三角形以B滿足以下特性：①P點必在拋物線的準線

上；②為直角三角形，且ZAPS為直角；③已知產(chǎn)為拋物線f=4y的

準線上一點，則阿基米德三角形PAB的面積的最小值為.

【答案】4

【解析】

【分析】

設(shè)出直線48方程，聯(lián)立拋物線求得％X2=T,通過PALAB求得x°=土產(chǎn)，進而得

到M為中點，由5皿=54材+5-如表示出三角形朋8的面積，結(jié)合基本不等式

求出最小值即可.

【詳解】

易知，焦點尸（0,1）,準線方程y=-l,直線AB斜率必然存在，設(shè)AB：y=&+l,

4（耳3）,8（工2年）,%>0,x2<0，P（七，T），

x2=4y

聯(lián)立，，得/_46一4=0,顯然A>0,內(nèi)“2=-4；

y=Ax+1

<02、

又PFU8可得*48=0,即（』,2）卜一不?仔）=0,化簡得與=與土,

過尸作尸〃〃），軸交45于加點，如圖所示：

V

所以M為A3中點，故〃"三，&J-

11T

44

故sMB=SPAM+SPBM=-\PM\-\Xl