2023-2024學(xué)年浙江省臺(tái)州市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省臺(tái)州市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知空間四面體0/8。中，對(duì)空間內(nèi)任一點(diǎn)滿足麗=!況+；方+歡下列條件

46

中能確定點(diǎn)，。共面的是（）

1157

A.A=-B.A=-C.4=—D.4=—

231212

【正確答案】D

【分析】利用空間中四點(diǎn)共面定理求解即可.

117

【詳解】根據(jù)空間中四點(diǎn)共面可知:+七+幾=1,解得丸二三.

故選：D

2.若直線/：》+機(jī)。-4）=0與曲線工=斤了有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.0<m<B.0<m<C.0<m<yfiD.Q<m<也

33

【正確答案】B

【分析】化簡曲線方程，表示圓心為（0,0）,半徑為2的圓在y軸以及右側(cè)的部分，由直線

與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以確定"?的取值范圍.

【詳解】x=14-y2表示的曲線是圓心為（0,0）,半徑為2的圓在V軸以及右側(cè)的部分，如

圖所示：

直線/：》+加&-4）=0必過定點(diǎn)（0,4）,

當(dāng)直線/與圓相切時(shí)，直線和圓恰有一個(gè)交點(diǎn)，

即上刎7=2,結(jié)合直線與半圓的相切可得加=立,

Vl+w3

當(dāng)直/的斜率不存在時(shí)，即團(tuán)=0時(shí)，直線和曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn),

所以要使直線和曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，

則ow機(jī)<.

3

故選：B.

3.已知雙曲線捺-r=1（“>0,6>0）的離心率為2五，則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.不x土y=QB.x土幣y=0C.3x±y=0D.x±3,y=0

【正確答案】A

【分析】根據(jù)離心率求出勺即可求漸近線方程.

a

【詳解】由雙曲線的離心率為2啦，得0=巾『=的『=，17窗=2五，

所以2=曲，又雙曲線=1的漸近線方程為卜=±2苫，所以漸近線方程為y=±V7x,

aaha

即用x±y=0.

故選:A.

4.在5道題中有3道理科試題和2道文科試題.如果不放回地依次抽2道題，則第一次和

第二次都抽到理科題的概率是（）

A.-B.yC.-D.—

52510

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，設(shè)A事件為第一次抽到理科試題，B事件為第二次抽到理科試題，進(jìn)而

313

P（AB）=P（A）P（B）=-x-=-.

【詳解】設(shè)A事件為第一次抽到理科試題，8事件為第二次抽到理科試題，

313

所以第一次和第二次都抽到理科題的概率是尸（48）=尸（GP（B）=]X/=R.

故選：D.

5.已知過拋物線C：/=8x的焦點(diǎn)尸且傾斜角為45°的直線交C于Z,8兩點(diǎn)，0為弦的

中點(diǎn)，P為C上一點(diǎn),則|「可+口。|的最小值為（）

A.-IB.8C.—D.5

32

【正確答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求出直線Z3的方程，再與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義，借

助幾何意義求解作答.

【詳解】拋物線V=8x,焦點(diǎn)廠(2,0),準(zhǔn)線/：x=-2,直線N8的方程為y=x-2,

y-x-2

；2=8X消去V并整理得:2

由--12X+4=0,設(shè)4再,必),B(x2,y2),則占+々=12,

過點(diǎn)。作準(zhǔn)線/的垂線，垂足為點(diǎn)。，如圖,

令0。交拋物線于點(diǎn)P,在拋物線上任取點(diǎn)P,過P'作尸Z>U/于點(diǎn)川，連接〃。/'尸,。。',

即有|尸產(chǎn)|=|P0|,p尸卜PZ)[,

\P'F\+\P'Q\=\P'D'\+\P'Q\>\QD'\>\QD\=\PD\+\PQ\=\PF\+\PQ\,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸'與P重合時(shí)取等號(hào),

所以|PF|+1P01的最小值為I"1=-(-2)=8.

故選：B

6.已知正四棱柱Z88-44GA的底面邊長為2,且該四棱柱的外接球表面積為177，M

為8c的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面/用加的距離為()

9B?警971318

A.-rD.—

7137

【正確答案】D

【分析】首先根據(jù)正四棱柱與外接球的關(guān)系，求得四棱柱的高，再以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空

間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用向量公式求點(diǎn)到平面的距離.

【詳解】設(shè)正四棱柱的高為人由其外接球的表面積為17萬，可知4和K;"乃，外接球半徑

所以也2+2?+萬=后,得刀=3.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，刀，皮，西的方向分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(2,0,0),B、(2,2,3),M(\,2,0),￡>,(0,0,3),所以福=(0,2,3),AM=(-1,2,0),ADt=(-2,0,3).

_(2y+3z=0_

設(shè)平面力的法向量為〃=(”/),則<,可取〃=(6,3,-2),

[—X+2y=U

則點(diǎn)“到平面AB、M的距離為也絲1=|「2-6=竺.

\n\IJ36+9+47

故選：D

7.已知數(shù)列｛叫滿足竽=-3嗎=1,若，=：+3,數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和為，，且對(duì)于任

意的"wN,都有"44S“-3〃-3<4/+2,則實(shí)數(shù)/的取值范圍是()

A.1到B?(一到A卜穹

【正確答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列求明=(-3廣，進(jìn)而得低｝,由分組求和得S,,,根據(jù)奇偶即可求解最

值.

【詳解】子=-3嗎=1,可知m｝為等比數(shù)列，所以4=(-3)1，故"=2+3=U'+3,

進(jìn)而s“=一1『人+3N=--L]+3”，所以

1+144(3；

3

S,,

故S-2,即一泊信卜—TW

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，則對(duì)任意的奇數(shù)〃，滿足,>一\+51擠由于單調(diào)遞減，

當(dāng)"=1時(shí)，g(w)=---1—［一］有最大值-1,所以r>—1,

\)1616⑶

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，滿足,>一方'部由于/(〃)=(1單調(diào)遞減，

綜上可得f>T,

|s)JSz-4<S-3n-3=>r<-,

"4413)

故當(dāng)〃=2時(shí)，=2，故dg，

4413

--niin

綜上：1VZK—,

3

故選：D

8.如圖，/BCD—E尸G”是棱長為1的正方體，若尸在正方體內(nèi)部且滿足

__3I2

AP=-AB+-AD+-AE,則尸至lj48的距離為()

423

【正確答案】C

【分析】以1為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,ZE所在直線分別為X,Az軸建立空間直角坐標(biāo)系,

計(jì)算出而和萬的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】如圖，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，/￡N。，/￡所在直線分別為X,乃z軸建立空間直角坐

標(biāo)系,

___L1UU1___

則四=(1,0,0),仞=(o,l,o),AE=(0,0,1),

因?yàn)?=押+;而+|下，所以"=',貴),

423

a=AP=為I，'新(12嘰

——3123

a，u=-x14—xOH—x0=—,

4234

9_5

所以點(diǎn)P到48的距離d=

\6=6

故選：C.

二、多選題

9.已知圓=4,直線/:(3+〃?)x+4y-3+3zn=0(meR),則下列結(jié)論正確的是()

A.直線/恒過定點(diǎn)(3,3)

B.當(dāng),"=0時(shí)，圓C上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離都等于1

C.圓C與曲線J+貫一6x-8y+〃？=0恰有三條公切線，則〃？=16

D.當(dāng)機(jī)=13時(shí)，直線/上動(dòng)點(diǎn)P向圓C引兩條切線口，PB,其中/,8為切點(diǎn)，則直線

"經(jīng)過點(diǎn)g司

【正確答案】CD

fx+3=0

【分析】對(duì)A將直線化成m(x+3)+(3x+4尸3)=0,則八，解出即為定點(diǎn)；對(duì)

[3x+4y-3=0

B直接計(jì)算圓心到直線的距離與1的大小關(guān)系，即可判斷B,對(duì)C,直接將，"代入，通過幾

何法判斷兩圓位置關(guān)系即可，對(duì)D,設(shè)點(diǎn)？億-9-4/),利用兩點(diǎn)直徑式方程寫出以PC為直

徑的圓的方程，兩圓方程作差，得到公共弦所在直線方程，化成關(guān)于參數(shù)，的方程，即可求

出定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】由直線/：(3+w)x+4y-3+3w=0,(機(jī)eR),整理得:〃?(x+3)+(3x+4y-3)=0,故

fx+3=0[x=-3

L.?，八，解得I，即經(jīng)過定點(diǎn)(-3,3),故A錯(cuò)誤；

[3x+4y-3=0[y=3

當(dāng)加=0時(shí)，直線/為3x+4y-3=0,

???圓心(0,0)到直線3x+4y-3=0的距離

故圓C上有四個(gè)點(diǎn)到直線/的距離都等于1,故B錯(cuò)誤;

圓C:，+/=4，其半徑r=2,

圓f+/_6x_8y+,〃=0,

當(dāng)加=16時(shí)，X?+_/-6x-8y+16=0,整理得

(x-3y+O-4)2=9,其半徑R=3

圓心距為J(3-0)2+(4-0)2=5=r+R=2+3=5，

故兩圓相外切，恰有三條公切線，故C正確；

當(dāng)a=13時(shí)，直線/的方程為4x+y+9=0,

設(shè)點(diǎn)尸億一9一旬，圓C:f+/=4的圓心C(0,0)，半徑為r=2,

以線段PC為直徑的圓M的方程為：

(x-t)x+(9+4/+y)y=0,

即x2+(-Z)x+y2+9y+4少=0,

又圓。的方程為/+/=牝

???兩圓的公共弦的方程為-枕+4伊+9尸4=0

16

x=---

4y-x=09

整理得（"一切+9y+4=0,即9；+4=0,解得

4

y=——

9

即直線45經(jīng)過點(diǎn)卜故D正確.

故選：CD.

10.已知｛《,｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S.，若。3+12%=SQ，則下列判斷正確的是（）

A.。9=0B.S[7=0C.S?=S”D.。8，40<0

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式化簡條件得%=0,從而對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.

【詳解】因?yàn)椋c｝是等差數(shù)列，%+12%=用，所以％+2"+12（1+6"）=12%+66（/,

即q+8d=0,亦即4=。,

所以S=m+；）X17=0廝7=〃,+%+“9+%。+即=A=0'

cig-fll0=（<J9—（/）,（a9+d^=ag—d~=—d~<0.

故選：ABC.

11.已知正方體的棱長為1,點(diǎn)P為側(cè)面8CC0內(nèi)一點(diǎn)，貝U（）

A.當(dāng)甲=；不時(shí)，異面直線C尸與/。所成角的正切值為g

B.當(dāng)于=4乎（0<%<1）時(shí)，四面體。/W的體積為定值

C.當(dāng)點(diǎn)尸到平面/8CO的距離等于到直線44的距離時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡為拋物線的一部分

D.當(dāng)甲=；不時(shí)，四面體8cop的外接球的表面積為2兀

【正確答案】BCD

【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線線角的余弦值，進(jìn)而求出正切

值；

B選項(xiàng)，證明線面平行，進(jìn)而得到，四面體。/CP的體積為定值；

C選項(xiàng)，先作出輔助線，得到481平面Z8C。，故設(shè)出尸（機(jī)」,〃），利用做=PE

列出方程，化簡后得到軌跡方程，得到當(dāng)點(diǎn)P到平面/8C。的距離等于到直線4月的距離

時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡為拋物線的一部分，C正確；

D選項(xiàng)，作出輔助線，找到球心，利用半徑相等列出方程，求出半徑，從而得到外接球的表

面積.

【詳解】如圖1,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,OC,￡>3為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，

則0(0,0,O),N(1,0,0),C(0,1,0),POCP=^,0,=(-1,0,0),

設(shè)異面直線C尸與4。所成角為。€(0,],

A錯(cuò)誤;

所以四邊形/8GA為平行四邊形,

故BC\"AD\,

因?yàn)?C1<X平面ZC￡>[,4O|U平面ZCO1,

所以8CJ/平面/ICR,

故當(dāng)點(diǎn)P在8G上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到平面ACD,的距離不變,

圖2

即當(dāng)于=2乎(0<4<1)時(shí)，四面體。/。尸的體積為定值，B正確;

如圖3,過點(diǎn)P作PELBC于點(diǎn)、E,連接尸4，

因?yàn)?,，平面3CG4,Bfu平面BCC內(nèi),

所以44_L與P,

因?yàn)镹8/平面8CG4，EPu平面8。。同，

所以48J_EP,

因?yàn)镹8c8C=8,48,8Cu平面/8C。，

所以PE_L平面N8CL),

設(shè)P(機(jī),1,〃)，0<^<1,0<?<1,其中4(1,1,1),

當(dāng)尸B,=PE時(shí),J(〃L1)2+(]_])2+(〃_])2=",

故當(dāng)點(diǎn)P到平面/8C。的距離等于到直線4區(qū)的距離時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分，C

正確;

—1—

如圖4,當(dāng)GP=]C￡時(shí)，尸為8G的中點(diǎn)，取80的中點(diǎn)°,BC的中點(diǎn)N,連接PN,

則尸N//CG，故尸N_L平面Z5CD,

因?yàn)锽CLCD,故三角形BCD的外心為點(diǎn)Q,則外接球球心O在過點(diǎn)。且垂直于平面ABCD

的直線上，

故0Q_L平面488,OQ//PN,

圖4

連接OP,QN,OB,過點(diǎn)。作0M//QN交PN于點(diǎn)設(shè)四面體8cA尸的外接球的半徑

為R,

則0B=0P=R,0M=QN=；,0Q=MN,

其中。8=￥，/W=g,設(shè)0Q=MN=h,則

2222

由勾股定理得OB=yl（）Q+QB=J店+；,Op=yJoM+PM=Jf+；

故亞+；=/（；_"+；,解得:人=0,

故R-.Io2+—=--,4nR2=2n,

V22

當(dāng)G---P-1=--^--G---B-時(shí)，四面體BCD尸的外接球的表面積為2兀，D正確.

故選：BCD.

立體幾何求外接球的表面積或體積問題，要先找到一個(gè)特殊平面，一般為直角三角形，矩形

或等邊三角形，找到外心，從而找到球心的位置，設(shè)出未知數(shù)，再根據(jù)半徑相等列出方程，

求出半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積或體積.

12.已知拋物線C:/=2px（p>0）的準(zhǔn)線x=-l與x軸相交于點(diǎn)K,過拋物線C的焦點(diǎn)廠的

直線/與拋物線C相交于八。兩點(diǎn)，且只。兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影點(diǎn)分別為M、N,則下列結(jié)

論正確的是（）

A.p=2B.歸。|的最小值為4

C湍筋為定值藪口./PKFOQKF

【正確答案】ABD

【分析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可得。的值，進(jìn)而求出拋物線的方程，可判斷A正確；設(shè)直

線AW的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，由拋物線的性質(zhì)可得弦長

|尸。|的表達(dá)式，再由參數(shù)的范圍可得其最小值，判斷B正確；分別表示出|AW|,|PF|,|0F|可

判斷C不正確；表示出原〃:小，⑥°=』7，由怎K+AK°=O可判斷D正確.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閽佄锞€C:/=2px（p>0）的準(zhǔn)線--1,

所以5=1,則。=2,故A正確；

.\x=my+\

對(duì)于B,拋物線C:/=4x,過焦點(diǎn)的直線為則2；，

=4x

整理可得_/_4〃?-4=0,設(shè)2（再,必》0（打必）,

可得%+%=4切，yt-y2=^,

22

x,+x=+y）+2=4/w2+2,xx==1

22t216

所以|「。|=陽+馬+2=4，*2+4,當(dāng)"?=0時(shí)取等號(hào)，

\PQ\最小值為4,所以B正確：

對(duì)于C,|MN\=-y2\=，（乂+%）--4",力=J16"『+16=4dm。+1>

|尸尸|=玉+1,|09|=》2+1,

所以|尸尸卜]。尸|=（西+l）（x2+l）=xlx2+xI+々+[=4"，+4,

2l6ffl2+l

|W|_（）_1

所以|PF||0尸廣4（/+1）='所以C不正確;

對(duì)于D,2(而,必),。(々,%),長(-1,0),kPK=,kPQ=,

X］十1X2十i

k+k=%?%_必(》2+1)+%(占+1)_"(丁")“2(彳+1)

PKKQ

X,+1x2+l(x,+l)(x2+l)(x,+l)(x2+l)

乂午+%乎+%+84%%(必+y)+凹+87(-4)4W+4W

=44__________4___________________4__________Q

2

(x,+l)(x2+l)(x,+1)(x,+^4M?+4

所以/PKF=/QKF,故D正確.

三、填空題

13.數(shù)列｛?！埃凉M足log3a?+1=log,a?+1("eN*),且q+%+%=9,則bgg(%+%+%)=

【正確答案】-2

【分析】由log3%+l=log3a,,+i("GN),得bg3a,+i=bg3(3a.)，即。川=3?！?，從而可得數(shù)

列｛4｝是以4=3為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)/+%+%=(4+%+。5)/即可得解.

【詳解】因?yàn)镮og3%+l=log3%(〃eN*),得log3am=log?(3%),

所以4+i=3%,

又因％+%+“5=9,所以q#0,

所以數(shù)列｛%｝是以4=3為公比的等比數(shù)列，

貝加+牝+%=(1+%+%)q?=81,

++a=2192

所以bgi(a3?57)-°g9=-.

9

故答案為「2

14.集成電路E由3個(gè)不同的電子元件組成，現(xiàn)由于元件老化，三個(gè)電子元件能正常工作

112

的概率分別降為萬,5,且每個(gè)電子元件能否正常工作相互獨(dú)立.若三個(gè)電子元件中至少

有2個(gè)正常工作，則E能正常工作.否則就需要維修，則集成電路E需要維修的概率為

【正確答案】卷

【分析】根據(jù)題意可得集成電路E需要維修時(shí)，三個(gè)電子元件中只有一個(gè)或都不能正常工

作，再根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可得解.

【詳解】根據(jù)題意可得集成電路E需要維修時(shí)，三個(gè)電子元件中只有一個(gè)或都不能正常工

作，

112

因?yàn)槿齻€(gè)電子元件能正常工作的概率分別降為;3,

所以三個(gè)電子元件不能正常工作的概率分別降為;，,；，

故集成電路E需要維修的概率為卜入：+葭1:+卜卜：+卜卜卜白.

22322322322312

故答案為.得

15.已知數(shù)列｛2｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，卬=2,24=0,則數(shù)列7-------g―

前10項(xiàng)的和為.

【正確答案】黑

【分析】運(yùn)用因式分解法，結(jié)合等比數(shù)列的定義、裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.

【詳解】由-%?！?|-2a：=0=>(a?+l-2an)(a?+1+q)=0nan+l=2an,或all+t=-an,

當(dāng)。的=-?！皶r(shí)，即芳=T，所以數(shù)列｛對(duì)｝是以T為公比的等比數(shù)列，這不符合數(shù)列｛對(duì)｝的

各項(xiàng)均為正數(shù)；

當(dāng)°,川=加“時(shí)，即子=2,所以數(shù)列｛%｝是以2為公比的等比數(shù)列，又q=2,

所以a“=2x2i=2",

2"11

因?yàn)?%+1)應(yīng)+1)-(2”"+1)(2"+1)-2"+12"+1+1'

所以，前10項(xiàng)的和為

(。角+1)(%+1)

11111111682

―+11+,,,+'—,=

2'+122+122+123+12,°+12"+1320492049

682

故

2049

16.在直四棱柱/8C。-44GA中，底面Z8CD為正方形，AAt=2AB=2.點(diǎn)尸在側(cè)面

BCCd內(nèi)，若4c，平面BDP,則點(diǎn)尸到CD的距離的最小值為.

【正確答案】4

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用4c，平面8D尸列方程,求得P到CD

的距離的表達(dá)式，進(jìn)而求得所求的最小值.

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

4(l,0,2),C(0,l,0),S(l,l,0),^C=(-l,l,-2),設(shè)p(x,l,z),而=(x,o,z).

由于％CJ■平面

…A.C-DB=-\+\+0=0

所以｛J-----所以x+2z=1.

AlCDP=-x+\-2z=0

由于比?麗=0，即CPJ.OC,

P到CD的距離為|CP|=Jx2+z2=-^(1—2z)2+z2=yj5z2—4z+l,

-421aL=,/4、|+1邛.

所以當(dāng)z=-A=q時(shí),

即P到CD的距離的最小值為手.

75

故

5

四、解答題

17.己知數(shù)列｛%｝是公比為2的等比數(shù)列，其前"項(xiàng)和為5,,,%,4%-1,2s4成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛““｝的通項(xiàng)公式；

（2）令6,=%+噫+”,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

【正確答案】（1）q=2"；（2）7],=2"'-2+彗

【分析】（1）由%,4%-1,2s4成等差數(shù)列，可得2（4%-l）=q+2s…利用等比數(shù)列通

項(xiàng)公式和求和公式，求解可得q=2,結(jié)合夕=2,即得解

（2）代入%=2”可得，=2"+〃，分組求和即得解

【詳解】（1）由《，4%-1,2s4成等差數(shù)列，且公比2,

所以2（4%-1）=%+2s4,

即8al.2?-2=%+2x%。"）,

'11-2

整理得32%-2=%+30%,解得4=2,

所以數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為a”=2x2"T=2”.

(2)4=a“+log2%=2"+〃.

所以｛%｝為等比數(shù)列，令q,=",%-c“T=l,故仁｝為等差數(shù)列

因此分組求和可得：

1=4+4+4+…+如]+bn

=(2,+1)+(2?+2)+僅3+3)+…+[2"-'+(〃-1)]+(2"+")

=(2i+22+23+―+2"T+2")+a+2+―+〃)

_2(l-2")〃(〃+1)

1-2+-2-

=2“+i2i+

---T~

18.已知圓C的圓心為原點(diǎn)，且與直線3x+4y-10=0相切，直線/過點(diǎn)加(1,2).

(1)若直線/與圓C相切，求直線/的方程；

(2)若直線/被圓C所截得的弦長為20,求直線/的方程.

【正確答案】(1)尸2或4x+3y-10=0

(2)3x-4y+5=0或x=l

【分析】(1)首先根據(jù)圓與直線3x+4y-10=0相切的幾何特征求解圓的方程，再分別討論

斜率存在與斜率不存在兩種情況，采用待定系數(shù)法，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解切

線方程即可；

(2)首先根據(jù)弦長求出圓心到直線的距離d,再分別討論斜率存在與斜率不存在兩種情況,

采用待定系數(shù)法，根據(jù)圓心到直線的距離求解直線方程即可.

【詳解】(1)圓心解0)到直線3x+4y-10=0的距離d==2，

圓C的半徑為2,所以圓。的方程為》2+/=4；

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，圓心到直線的距離為1<,，不相切.

直線斜率存在，設(shè)直線/：y-2=k6-1),

,\2-k\4

由"=7=7=2,得％=0或4=一:

Jl+/3

所以切線方程為V=2,或4x+3y-10=0.

（2）設(shè)圓心到直線的距離為d,則24/一屋=26，由/'=2,解得4=1.

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=l,

圓心（0,0）到直線/的距離d=l,即直線/被圓C所截得的弦長為2百，符合題意；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線/：y-2=kG-1）,

則"=33=1,解得：k=J

yJk2+\4

故/的方程是y-2=：（x-l）,即3x-4y+5=0,

綜上所述，直線/的方程為3x-4y+5=0或x=l.

19.江蘇省高考目前實(shí)行“3+1+2”模式，其中“3”指的是語文、數(shù)學(xué)，外語這3門必選科目，“1”

指的是考生需要在物理、歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治、

地理、化學(xué)、生物這4門再選科目中選擇2門.已知南京醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求是

首選科目為物理，再選科目為化學(xué)、生物至少1門.

（1）從所有選科組合中任意選取1個(gè)，求該選科組合符合南京醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科

要求的概率；

（2）假設(shè)甲、乙、丙三人每人選擇任意1個(gè)選科組合是等可能的，求這三人中至少有兩人的選科

組合符合南京醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的概率.

【正確答案】（1），

【分析】（1）利用古典概型求概率的方法求概率即可；

（2）根據(jù)互斥事件概率加法公式求概率即可.

【詳解】（1）用。力分別表示“選擇物理”“選擇歷史”，用c,d,e,f分別表示選擇“選擇化學(xué)”“選

擇生物”“選擇思想政治，，“選擇地理，，，

則所有選科組合的樣本空間

Q={acd,ace,acf,ade,adf,aef,bcd9bee,bcf.bde,bdj,bef},=12,

設(shè)〃="從所有選科組合中任意選取1個(gè)，該選科組合符合南京醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選

科要求”則M=[acd,ace,acf,ade,adf),n^M)=5,

l7〃⑼12

(2)設(shè)甲、乙、丙三人每人的選科組合符合南京醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要求的事件分

別是由題意知事件M，N2，M相互獨(dú)立.

由⑴知P(NJ=P(M)=尸(M)$.

記％="甲、乙、丙三人中至少有兩人的選科組合符合南京醫(yī)科大學(xué)臨床醫(yī)學(xué)類招生選科要

求’‘，

則N=NMMuN\N2N3UN\N風(fēng)uN\NM

易知以上子事件兩兩互斥，根據(jù)互斥事件概率加法公式得

P(N)=P(NMM)+P(N瓦%)+尸(而2%3)+尸(乂乂%3)

55J51,555

1212(12)121212

二325

~864,

20.已知正項(xiàng)數(shù)列{叫前〃項(xiàng)和為S“，且滿足4s“=(%+1R

⑴求4；

(2)令4=裝，記數(shù)列也“}前"項(xiàng)和為7；，若對(duì)任意的〃均有

(3"+4)〃?>(2〃-5)(y-T?)-2"恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【正確答案】(l)a.=2〃-M〃eN*)

【分析】(1)根據(jù)?！芭cS,,的關(guān)系即可求解;

(2)利用錯(cuò)位相減法求解得力,，參變分離即可求，〃的范圍.

【詳解】(1)因?yàn)?s“=(%+1)2,

當(dāng)〃22,〃eN?時(shí)，有4S,i=(a,i+l)2,

兩式相減得

22

4a?=an-a?.｝+2an-2a?_t,移項(xiàng)合并同類項(xiàng)因式分解得

(勺+凡一1)(。“-《1-2)=0,

因?yàn)?>0,

所以有。“一《1-2=0,

在4s“=(%+1>中，當(dāng)"=1得％=1，

所以數(shù)列｛見｝是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列,

故有％=2〃-l("eN.)

(2)由(1)知"=^7="X(；)"T,

T,23n

,u=i+z+L”+尸

4"442434"

1_±，，

4"n441/7

士=—上-----=——x--------,

4"444"'4'〔I41334l41

4

.163n+4

"~9~9x4"

由題意，對(duì)任意的”eN,,均有例+外/心⑵一乂?-公丁恒成立,

(2〃-5)(3〃+4)

/.(3〃+4)m>?2",

9x4'i

42〃一5

即陽恒成立,

設(shè)?！?票

2〃—32〃—57—2〃

所以「---------------------------

q,+c.2〃+12〃2"+'

當(dāng)"43時(shí)，c?+1-c?>0,即c“+i>c”；

當(dāng)〃24時(shí)，c〃+i-J<0,即cn+l<cn,

所以％的最大值為=白3，

16

月LLI"9以加2-4x—3=一1.

91612

故〃?的取值范圍是

21.如圖，在三棱柱/5C-4AG中，底面是邊長為2的等邊三角形，

CC,=2,ZACC,=60°.D,E分別是線段ZC,CG的中點(diǎn)，二面角G-/。一8為直二面角.

（1）求證：4c，平面5DE；

（2）若點(diǎn)尸為線段4G上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角尸-8O-E的余弦值的取值范圍.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵

【分析】（1）首先證明4c然后證明平面/4GC,可得即可證明；

（2）首先證明平面N8C,然后以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗，刀,西所在直線為x）,z軸建

立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x,y,z）,于=2場(chǎng)（0<2<1）,算出兩個(gè)平面的法向量，然后求出

二面角的余弦值，然后可得答案.

【詳解】（1）連接"G，由題設(shè)知四邊形44CC為菱形，??.4C_LNC1,

分別為AC,CC,中點(diǎn)，DE//AC?.-.AXC1DE；

又。為/C中點(diǎn)，

B

因?yàn)槎娼荂,-AC-8為直二面角，

即平面44CCJ.平面ABC,平面/&GCn平面ABC=AC,BD^^ABC,

BD1平面AA,C,C,又4。u平面AA,CiC,:.BD14c

又BD\DE=D,BD,u平面BDE,&C_L平面BDE.

（2）???CA=CC,=2,ZACC,=60°,

??.△4CG為等邊三角形，??.CQLZC,

???平面AA,C,C1平面/8C,平面44GCCl平面ABC=AC,CQu平面NCG4，

????。，平面/8。，

則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗，萬口函所在直線為x）,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

二八

則0（0,0,0）,8（b,0,0）,E1（）,-；，￥）,￡（0,0,b）,q（J

3,l,^）,C（0,-l,0）,4（0,2,6）,

二.DB=

設(shè)尸（x,y,z）,于=/1場(chǎng)（0<2<1）,則k，y,z-6）=

X=>/3A.,y=A,,Z=y/3,.'.,.,.DP?

由（1）知：4C，平面2。瓦.?.平面BDE的一個(gè)法向量加=石|=（0,3,0）；

設(shè)平面PBD的法向量萬=(區(qū)瓦。)