高考數(shù)學一輪復習試題第3節(jié) 二項式定理

第3節(jié)二項式定理

考試要求能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解

決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.

知識診斷?基礎(chǔ)夯實

知識梳理

1.二項式定理

⑴二項式定理：。+:)"=(2M"+(2儲"-^^---…+C<"SEN*)；

(2)通項公式：71+i=CSa"-%*,它表示第1+1項:

⑶二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)C9,C,!,…，C;；.

2.二項式系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)描述

對稱性與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即c#=ca

n~\~1

當時，是遞增的

二項式系

增減性

數(shù)C6

當上>2("GN*)時，是遞減的

當〃為偶數(shù)時，中間的一項c：取得最大值

二項式

系數(shù)最大值

當〃為奇數(shù)時，中間的兩項1“與1”相等且取得最大值

3.各二項式系數(shù)和

(1)3+與"展開式的各二項式系數(shù)和：C9+G+&+…+&=￡.

(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即C9+G+C4+…

=或+心+心+…=2"」

|常用結(jié)論

(a+加”的展開式形式上的特點

⑴項數(shù)為〃+L

(2)各項的次數(shù)都等于二項式的爆指數(shù)n,即。與匕的指數(shù)的和為n.

⑶字母a按降寨排列，從第一項開始，次數(shù)由“逐項減1直到零；字母匕按升

箱排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到幾

（4）二項式系數(shù)從c9,cl,一直到a」,a.

診斷自測

1.思考辨析（在括號內(nèi)打“J”或“X”）

（1）。加廠&公是二項展開式的第七項.（）

（2）二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.（）

（3）3+。）"的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a,b無關(guān).（）

（4）（a+b）"某項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分，包括符號等，與該項的二項式

系數(shù)不同.（）

答案（1）X（2）X（3）V（4）V

解析二項展開式中C加"r及是第女+1項，二項式系數(shù)最大的項為中間一項或

中間兩項，故（1）（2）均不正確.

'ra>

2.（易錯題）已知十3L（。為常數(shù)）的展開式的二項式系數(shù)之和為32,常數(shù)項為

80,則a的值為（）

A.lB.+lC.2D+2

答案C

解析根據(jù)題意，該二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為32,

則有2"=32,可得"=5,

「f—Y15-5斤[5—5k

則二項式的展開式通項為「+1=&（m）5-=*cs丁，令一^J=o,得女

=3,

則其常數(shù)項為CW/,

根據(jù)題意，有Cg〃=80,可得。=2.

3.（多選）（2022?淄博調(diào)研）對于二項式g+爐）（〃GN*）,以下判斷正確的有（）

A.存在“WN*,展開式中有常數(shù)項

B.對任意〃GN*,展開式中沒有常數(shù)項

C.對任意“6N”,展開式中沒有x的一次項

D.存在〃WN*,展開式中有x的一次項

答案AD

解析該二項展開式的通項為冗+i=c（Jay=cw*-",當〃=較時，展開式

中存在常數(shù)項，A正確，B錯誤；當〃=4%—1時，展開式中存在x的一次項，D

正確，C錯誤.

4.（2020.全國I卷）（x+?）a+>）5的展開式中x3/的系數(shù)為（）

A.5B.10C.15D.20

答案C

解析法一（x+g（x+y）5=+5%4y+1QxV+1Ox2y3+5xy4+y5）,

.?./V的系數(shù)為10+5=15.

2

法二當x+?中取》時，vy的系數(shù)為eg,

當x+1■中取?時，xY的系數(shù)為eg,

.?.%y的系數(shù)為a+d=io+5=i5.

5.（易錯題）在（2/一?的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32,則展開式中各項

系數(shù)的和為.

答案1

解析因為所有二項式系數(shù)的和是32,

所以2"=32,解得〃=5.

在（2/一鄉(xiāng)中，令兀=1可得展開式中各項系數(shù)的和為（2—1）5=1.

6.（2021?浙江卷）已知多項式（尤一l）3+（x+l）4=X4+6nX3+d!2X2+<23x+6!4,則a\=

；Q2+Q3+Q4=.

答案510

4

解析a—廳展開式的通項，+1=（2濟丁?（一i）,,a+i）4展開式的通項nn=cu

-k

則ai=C9+Cl=1+4=5；

?2=Ci(-l)'+C^=3；

〃3=CK-1)2+C?=7；Q4=d(—1)3+C4=O,

所以。2+。3+44=3+7+0=10?

考點突破?題型剖析

考點一展開式中的通項問題

角度1求二項展開式的特定項

例1(1)(2020.全國HI卷),十號的展開式中常數(shù)項是(用數(shù)字作答).

答案240

解析,十|)的展開式的通項為O+inCSaVF停)=C82%i2-3,?，令12—3r=0,

解得廠=4,得常數(shù)項為Cg24=240.

’3廠1

(2)巾一丁的展開式中所有的有理項為.

較安—.2_且-2

口木41'8'256入

解析二項展開式的通項公式為

Tk+\=C|()^—2J3,

LHH上10—2%?,,

由題意一—GZ,且0W女W10,ZGN.

10—2A

令3-=?GZ),

3

則10—2A:=3r,k=511r.

?.NGN,應(yīng)為偶數(shù)，

可取2,0,-2,即攵可取2,5,8,

.?.第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為條2,一笑，熬-2.

角度2兩個二項式之積、三項展開式問題

例2(1)。+§(1+討的展開式中/的系數(shù)為()

A.15B.20C.30D.35

答案C

解析因為(l+x)6的通項為C^，所以(l+±)(l+x)6的展開式中含X2的項為

1C靚2和已.(2前\

因為G+C2=2C2=2X好=30,

ZA1

所以。+§(1+無?的展開式中f的系數(shù)為30.

(2)C?+x+y)5的展開式中，必產(chǎn)的系數(shù)為()

A.10B.20C.30D.60

答案C

解析法一(/+尤+>)5=[(/+*)+)[5,

含y2的項為73=C5(x2+x)3y.

其中(/+x)3中含％5的項為Cix4-x=Clx5.

所以ty的系數(shù)為c$Ci=30.

法二(f+x+y)，表示5個V+x+y之積.

...爐>2可從其中5個因式中，兩個取因式中/,剩余的3個因式中1個取X,其

余因式取》因此x5y2的系數(shù)為c支4c3=3O.

感悟提升(1)求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項公式后，令字母的指

數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k

+1,代回通項公式即可.

(2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)

律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當?shù)剡\用分類方法，以免重復或遺漏；也可

利用排列組合的知識求解.

(3)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決，或利用展開式的原理求解.

訓練1(1)。2+》+1)。-1)4的展開式中，X3的系數(shù)為()

A.-3B.-2C.lD.4

答案B

解析(X—1)4的通項為Tk+l=Cix4^k(—1)k,(x2+x+1)(無一1)4的展開式中，的

系數(shù)為c3(-l)3+a(-l)2+cl(-1)=-2.

(2)(2x+1一3)的展開式中常數(shù)項是.

答案一1683

解析（2x+:一3）表示五個（2x+:一3）相乘，則展開式中的常數(shù)項由三種情況產(chǎn)

生，第一種是從五個（2九+；—3）中分別抽取2x,2x,-3,則此時的常數(shù)

項為C±C%22.（—3）=—360；第二種情況是從五個（2r+:—3）中都抽取一3,則此

時的常數(shù)項為（-3）5=-243；第三種情況是從五個3+:—3）中分別抽取2x,p

-3,-3,-3,則此時的常數(shù)項為C&Cl2“-3>=—1080,則展開式中常數(shù)項

為一360—243—1080=—1683.

考點二二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題

角度1二項式系數(shù)和與系數(shù)和

例3（1）（2022.廣州模擬）若二項式卜一孑）的展開式的二項式系數(shù)之和為8,則該

展開式每一項的系數(shù)之和為（）

A.-lB.lC.27D.-27

答案A

解析依題意得2，=8,解得〃=3.取x=l得，該二項展開式每一項的系數(shù)之和

為（1—2）3=—1.

（2）（多選）（2022。濟南調(diào)研）若（1—2x）5=ao+a\x+aix1+。3丁+a4X4+公%5,則下列結(jié)

論中正確的是（）

A.ao=1

8.0+02+03+04+45=2

C.4O—a\+。2—g+s—45=3，

D.ao--1〃3|+。4—1〃5|=-1

答案ACD

解析令x=0,則40=15=1,故A正確；

令X=1得-1=。0+。1+〃2+。3+。4+。5,所以〃1+。2+〃3+的+。5=—1—。0=—

2,故B錯誤；

令X=-1得35=40—a\+。2一曲+。4—。5,故C正確；

因為二項式（1-2x）5的展開式的第r+1項為7；+i=CS（—2）丫,

所以當「為奇數(shù)時，C5(—2)『為負數(shù)，即G<0(其中i為奇數(shù))，

所以ao—1。1|+。2—1。3|+。4—1。5|=〃0+。1+〃2+。3+。4+。5=-1,故D正確.

感悟提升1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(如+

b)fl,(ax2+bx+cr(a,〃￡R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法.

2.若/(?uao+aix+azPHFoW,則/(x)展開式中各項系數(shù)之和為人1),奇數(shù)項

系數(shù)之和為〃()+&2+。4+…=，()偶數(shù)項系數(shù)之和為。1+曲+。5

/⑴一/(一I)

+…=2

角度2展開式的逆用

例4已知一C100(2~x)+C?oo(2—x)2—C?oo(2-%)34---FC188(2-x)loo=ao+aix+

av?-\----Faioftx1<K\則ai+s+a3H-----Fa99=()

2"-1

A.-1B.12C.299—1D.2

答案B

解析記7(x)=1—Cloo(2—x)+C?oo(2—x)2—C?oo(2—x)34---FC188(2—x)1(x)—1=

[l-(2-x)]100-l=(x-l)l00-l,

即(x—1=ao+aix+a2x2-l----Faiooo:100.

令x=1,得ao+ai+斂+…+aioo=-1.

令x=0,得ao=O.

又易知aioo=l,所以ai+s+/H----1-。99=—2.

感悟提升根據(jù)所給式子的特點結(jié)合二項式展開式的要求，使之具備二項式定理

右邊的結(jié)構(gòu)，然后逆用二項式定理求解.

訓練2(1)(2022.山西八校聯(lián)考)已知(1+x)"的展開式中第5項和第7項的二項式

系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()

A.29B.210C.2"D.212

答案A

解析由題意知C4=C9,由組合數(shù)性質(zhì)得〃=10,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為

2門=22

(2)(多選)(2021?武漢模擬)若(1—2x)2021=ao+aix+a2%2+a3X3+…+。2021%2

°2i(xGR),則()

A.no==1

3202,+l

Bai+03+45+…+〃2021—3

11132021-l

C.QO+Q2+44+???+02020=

42021

D^+冬+22021——1

答案ACD

解析由題意，當X=0時，&0=12。21=1；

當X=1時，。。+0+。2+。3+,??+。2021=(-I)2021=-1,

當尸一1時，00—01+02—03+—02021=32021,

、32021+1

所以“1+03+45+…+42021=-5,

32021—1

00+02+44+…+。2020=；

22(P1

,02I1a20211.,flY

7+駐H卜2近21=〃1X/+a2=b1------1-。2021義61

當x=T時，O=ao+mX^+zX1

+…+儀202]X

22021

Q[+…+a202lxg)

所以aiX^

-m=-1.

(3)設(shè)復數(shù)是虛數(shù)單位)，則Cl022x+C?O22X2+022X3H-----FC?8^2O22=

()

A.OB-2C.-l+iD.-l-i

答案B

4aL2i2i(1+i),..,,,

解71析x=Y^y=(IT)~(]+.=-]+i,由于Ci022X+Ci022X2+C2022X3H—

+Ci8?ir2022=(l+x)2°22—1=i2°22—1=—1—1=—2.

I考點三二項式系數(shù)的最值問題

例5二項式43x+1的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，則展開式中

Iw

x的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為（）

A.3B.5C.6D.7

答案D

解析根據(jù)y女十3的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大，得〃=20,

：.’x十目的展開式的通項為九+1=?0?(小x)2°{J=(#嚴火&0，0-彳，

要使x的指數(shù)是整數(shù)，需k是3的倍數(shù)，.?"=(),3,6,9,12,15,18,...尤

的指數(shù)是整數(shù)的項共有7項.

感悟提升二項式系數(shù)最大項的確定方法：當〃為偶數(shù)時，展開式中第W+1項

的二項式系數(shù)最大，最大值為I”；當〃為奇數(shù)時，展開式中第一y一項和第三一

項的二項式系數(shù)最大，最大值為或CJ.

訓練3⑴已知(3xT)"展開式的第5項的二項式系數(shù)最大，且〃為偶數(shù)，則(3x

—1)"展開式中f的系數(shù)為()

A.-252B.252C.-28D.28

答案B

解析由題意可得〃=8,則(3%一1)8的展開式的通項是T,+l=Cg(3x)8-r.(-l)r,

令8—r=2,解得r=6,則展開式中％2的系數(shù)為Cg2=252.

(2)(2022.杭州調(diào)研)在卜一卡)的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展

開式中系數(shù)最小的項的系數(shù)為()

A.-126B.-70C.-56D.-28

答案C

解析：只有第5項的二項式系數(shù)最大，

...〃=8,卜一山的展開式的通項為

3

〃+i=(—IpCk8-7伙=0,1,2,8),

...展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)與相應(yīng)奇數(shù)項的系數(shù)相等，偶數(shù)項的二項式系數(shù)

與相應(yīng)偶數(shù)項的系數(shù)互為相反數(shù)，而展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，因此展

開式中第4項和第6項的系數(shù)相等且最小，為(一1)3&=-56.

【I分層訓練?鞏固提升

|A級基礎(chǔ)鞏固

1.已知，一5)的展開式的第4項等于5,則x等于()

A.；B.—1C.7D.—7

答案B

解析由A=C%4(一力=5,得％=—3.

2.(1r—2y)的展開式中/y3的系數(shù)是()

A.-20B.-5C.5D.20

答案A

解析Tr+i=C.^)?(—2y)『=cs]￡|?(—當r=3時，展開式中x2/

2

的系數(shù)為弟)X(-2)3=-20.

3.(2021.青島二模)已知(x+1)("—J的展開式中常數(shù)項為-40,則a的值為

()

A.2B.—2C.±2D.4

答案c

解析(如一的展開式的通項公式為77+i=C5(ar)5F(—U

=(-l)^5-rC§x5-2r,

令5—2r=-1可得r=3,

令5-2r=0可得r=|,不符合題意，舍去.

；.（一1那53cg=-40,即10/=40,

;?。=±2.

4cL+2C2+4G+…+2門?=（）

A.3"B.2-3"

3"3"-1

C萬一1D.-2-

答案D

21I

解析以+2a+4或+…+2"一I=2℃,'i+2'C^+2C^+-+2^'C；!=1（2C,（+

3IIM

22cM+2C^+-+2"C，）=|（2℃2+2CI+22c2+23G+…+2"C；）-1=1（1+2）-

13M-1

2=2,

5.（多選）在二項式,2—號的展開式中，有（）

A.含x的項B.含土的項

C.含d的項D.含9的項

答案ABC

解析二項式（3/一多的展開式的通項為「+1=田5飛（一2）3f，仁o,1,2,

3,4,5,結(jié)合所給的選項，知ABC的項都含有.

6.（多選）（2022?棗莊模擬）已知?！?）5=〃（）+0（%+1）+〃2（%+1/+…+〃5（X+1）5,則

（）

A.a（）=—32

B.Q2=-80

C.G3+4S=0

D.ao+oi+…+。5=1

答案ABC

解析令x=—1得（一1—l）5=qo,即。o=-32,故A正確.

令x=0得（一l）5=ao+m+…+。5,即。（）+。1+—+。5=—1,故D不正確.

令x+1=y9則（x-l）5=ao+ai（x+l）+a2（x+l）2-|1-〃5。+1）5就變?yōu)椋▂—2>=

ao+a\y+a2y2~\---1~。5日根據(jù)二項式定理知，。2即二項式（y-2）5展開式中9項

的系數(shù)，7Vi=C一（一2汽故斂=C*—2）3=-80,B正確.

?4=Ci(—2)'=—10,a3=Cg(—2>=40,故C正確.

7.(2020?天津卷的展開式中，％2的系數(shù)是

答案10

2r5-3r

解析\"Tr+l=C^=2CSx,令5—3r=2,得r=1,...乃=2C1?=10f,

??.f的系數(shù)是10.

8.在（1-/）7+（也+制

的展開式中，若％2的系數(shù)為19,則。=

答案2

33

解析（1—5），+的展開式中含X2的項為c9（—Vx）6+Ci（

CW+CVa,則aCg+C3=19,解得a=2.

2

9.（2020?浙江卷）二項展開式（1+2%）5=加+。1尤+4以+。3/+。4%4+。5%5,則。4=

,a\+03+45=.

答案80122

解析由題意，得ai=Cg義2，=5X16=80.

當x=1時，（1+2）5=〃o+m+02+03+04+05=35=243,①

當X=11時，（1—2）5=40—41+〃2—。3+。4一。5=-1.②

由①一②，得2（〃1+。3+。5）=243—（—1）=244,

可得。1+。3+。5=122.

屋,、

廠1n

10.已知在Vx—二的展開式中，第6項為常數(shù)項.

<2

⑴求〃；

（2）求含x2的項的系數(shù).

解（1）通項公式為Tr+I=

〃-2r

?..第6項為常數(shù)項，，r=5時，有一y-=0,即〃=10.

n—2rj

(2)令一^—=2,得/■=](〃-6)

=^X(10—6)=2,

...含/的項的系數(shù)為

11.（2021.重慶質(zhì)檢）在①只有第6項的二項式系數(shù)最大，②第4項與第8項的二

項式系數(shù)相等，③所有二項式系數(shù)的和為2?這三個條件中任選一個，補充在

下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

已知（2%一+…+a?x"（〃eN*）,若（2兀-1）”的展開式中，

（1）求n的值；

⑵求|ai|+㈤+1。3|H---F㈤的值.

解（1）選擇條件①：

若（2元—1）”的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則^=5.

所以n=10.

選擇條件②：

若（2%—1）”的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，C2=CZ.

所以”=10.

選擇條件③：

若（2無一D"的展開式中所有二項式系數(shù)的和為2】。,則2?=210.

所以〃=10.

⑵由（1）知n=10,則（2x—l）i°=ao+auJ+a2?2+a3X3+…+aio%i°,

令x=0,則ao=l,

令x=-1,則

3io=ao-a\+<22-B+…+aio

=1+|川+|閡+|。31H--