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文檔簡介
第3節(jié)二項式定理
考試要求能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理,會用二項式定理解
決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.
知識診斷?基礎(chǔ)夯實
知識梳理
1.二項式定理
⑴二項式定理:。+:)"=(2M"+(2儲"-^^---…+C<"SEN*);
(2)通項公式:71+i=CSa"-%*,它表示第1+1項:
⑶二項式系數(shù):二項展開式中各項的系數(shù)C9,C,!,…,C;;.
2.二項式系數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)性質(zhì)描述
對稱性與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等,即c#=ca
n~\~1
當時,是遞增的
二項式系
增減性
數(shù)C6
當上>2("GN*)時,是遞減的
當〃為偶數(shù)時,中間的一項c:取得最大值
二項式
系數(shù)最大值
當〃為奇數(shù)時,中間的兩項1“與1”相等且取得最大值
3.各二項式系數(shù)和
(1)3+與"展開式的各二項式系數(shù)和:C9+G+&+…+&=£.
(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即C9+G+C4+…
=或+心+心+…=2"」
|常用結(jié)論
(a+加”的展開式形式上的特點
⑴項數(shù)為〃+L
(2)各項的次數(shù)都等于二項式的爆指數(shù)n,即。與匕的指數(shù)的和為n.
⑶字母a按降寨排列,從第一項開始,次數(shù)由“逐項減1直到零;字母匕按升
箱排列,從第一項起,次數(shù)由零逐項增1直到幾
(4)二項式系數(shù)從c9,cl,一直到a」,a.
診斷自測
1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)
(1)。加廠&公是二項展開式的第七項.()
(2)二項展開式中,系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.()
(3)3+。)"的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a,b無關(guān).()
(4)(a+b)"某項的系數(shù)是該項中非字母因數(shù)部分,包括符號等,與該項的二項式
系數(shù)不同.()
答案(1)X(2)X(3)V(4)V
解析二項展開式中C加"r及是第女+1項,二項式系數(shù)最大的項為中間一項或
中間兩項,故(1)(2)均不正確.
'ra>
2.(易錯題)已知十3L(。為常數(shù))的展開式的二項式系數(shù)之和為32,常數(shù)項為
80,則a的值為()
A.lB.+lC.2D+2
答案C
解析根據(jù)題意,該二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為32,
則有2"=32,可得"=5,
「f—Y15-5斤[5—5k
則二項式的展開式通項為「+1=&(m)5-=*cs丁,令一^J=o,得女
=3,
則其常數(shù)項為CW/,
根據(jù)題意,有Cg〃=80,可得。=2.
3.(多選)(2022?淄博調(diào)研)對于二項式g+爐)(〃GN*),以下判斷正確的有()
A.存在“WN*,展開式中有常數(shù)項
B.對任意〃GN*,展開式中沒有常數(shù)項
C.對任意“6N”,展開式中沒有x的一次項
D.存在〃WN*,展開式中有x的一次項
答案AD
解析該二項展開式的通項為冗+i=c(Jay=cw*-",當〃=較時,展開式
中存在常數(shù)項,A正確,B錯誤;當〃=4%—1時,展開式中存在x的一次項,D
正確,C錯誤.
4.(2020.全國I卷)(x+?)a+>)5的展開式中x3/的系數(shù)為()
A.5B.10C.15D.20
答案C
解析法一(x+g(x+y)5=+5%4y+1QxV+1Ox2y3+5xy4+y5),
.?./V的系數(shù)為10+5=15.
2
法二當x+?中取》時,vy的系數(shù)為eg,
當x+1■中取?時,xY的系數(shù)為eg,
.?.%y的系數(shù)為a+d=io+5=i5.
5.(易錯題)在(2/一?的展開式中,所有二項式系數(shù)的和是32,則展開式中各項
系數(shù)的和為.
答案1
解析因為所有二項式系數(shù)的和是32,
所以2"=32,解得〃=5.
在(2/一鄉(xiāng)中,令兀=1可得展開式中各項系數(shù)的和為(2—1)5=1.
6.(2021?浙江卷)已知多項式(尤一l)3+(x+l)4=X4+6nX3+d!2X2+<23x+6!4,則a\=
;Q2+Q3+Q4=.
答案510
4
解析a—廳展開式的通項,+1=(2濟丁?(一i),,a+i)4展開式的通項nn=cu
-k
則ai=C9+Cl=1+4=5;
?2=Ci(-l)'+C^=3;
〃3=CK-1)2+C?=7;Q4=d(—1)3+C4=O,
所以。2+。3+44=3+7+0=10?
考點突破?題型剖析
考點一展開式中的通項問題
角度1求二項展開式的特定項
例1(1)(2020.全國HI卷),十號的展開式中常數(shù)項是(用數(shù)字作答).
答案240
解析,十|)的展開式的通項為O+inCSaVF停)=C82%i2-3,?,令12—3r=0,
解得廠=4,得常數(shù)項為Cg24=240.
’3廠1
(2)巾一丁的展開式中所有的有理項為.
較安—.2_且-2
口木41'8'256入
解析二項展開式的通項公式為
Tk+\=C|()^—2J3,
LHH上10—2%?,,
由題意一—GZ,且0W女W10,ZGN.
10—2A
令3-=?GZ),
3
則10—2A:=3r,k=511r.
?.NGN,應(yīng)為偶數(shù),
可取2,0,-2,即攵可取2,5,8,
.?.第3項,第6項與第9項為有理項,它們分別為條2,一笑,熬-2.
角度2兩個二項式之積、三項展開式問題
例2(1)。+§(1+討的展開式中/的系數(shù)為()
A.15B.20C.30D.35
答案C
解析因為(l+x)6的通項為C^,所以(l+±)(l+x)6的展開式中含X2的項為
1C靚2和已.(2前\
因為G+C2=2C2=2X好=30,
ZA1
所以。+§(1+無?的展開式中f的系數(shù)為30.
(2)C?+x+y)5的展開式中,必產(chǎn)的系數(shù)為()
A.10B.20C.30D.60
答案C
解析法一(/+尤+>)5=[(/+*)+)[5,
含y2的項為73=C5(x2+x)3y.
其中(/+x)3中含%5的項為Cix4-x=Clx5.
所以ty的系數(shù)為c$Ci=30.
法二(f+x+y),表示5個V+x+y之積.
...爐>2可從其中5個因式中,兩個取因式中/,剩余的3個因式中1個取X,其
余因式取》因此x5y2的系數(shù)為c支4c3=3O.
感悟提升(1)求二項展開式中的特定項,一般是化簡通項公式后,令字母的指
數(shù)符合要求(求常數(shù)項時,指數(shù)為零;求有理項時,指數(shù)為整數(shù)等),解出項數(shù)k
+1,代回通項公式即可.
(2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題,一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)
律,結(jié)合組合思想求解,但要注意適當?shù)剡\用分類方法,以免重復或遺漏;也可
利用排列組合的知識求解.
(3)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決,或利用展開式的原理求解.
訓練1(1)。2+》+1)。-1)4的展開式中,X3的系數(shù)為()
A.-3B.-2C.lD.4
答案B
解析(X—1)4的通項為Tk+l=Cix4^k(—1)k,(x2+x+1)(無一1)4的展開式中,的
系數(shù)為c3(-l)3+a(-l)2+cl(-1)=-2.
(2)(2x+1一3)的展開式中常數(shù)項是.
答案一1683
解析(2x+:一3)表示五個(2x+:一3)相乘,則展開式中的常數(shù)項由三種情況產(chǎn)
生,第一種是從五個(2九+;—3)中分別抽取2x,2x,-3,則此時的常數(shù)
項為C±C%22.(—3)=—360;第二種情況是從五個(2r+:—3)中都抽取一3,則此
時的常數(shù)項為(-3)5=-243;第三種情況是從五個3+:—3)中分別抽取2x,p
-3,-3,-3,則此時的常數(shù)項為C&Cl2“-3>=—1080,則展開式中常數(shù)項
為一360—243—1080=—1683.
考點二二項式系數(shù)的和與各項系數(shù)的和問題
角度1二項式系數(shù)和與系數(shù)和
例3(1)(2022.廣州模擬)若二項式卜一孑)的展開式的二項式系數(shù)之和為8,則該
展開式每一項的系數(shù)之和為()
A.-lB.lC.27D.-27
答案A
解析依題意得2,=8,解得〃=3.取x=l得,該二項展開式每一項的系數(shù)之和
為(1—2)3=—1.
(2)(多選)(2022。濟南調(diào)研)若(1—2x)5=ao+a\x+aix1+。3丁+a4X4+公%5,則下列結(jié)
論中正確的是()
A.ao=1
8.0+02+03+04+45=2
C.4O—a\+。2—g+s—45=3,
D.ao--1〃3|+。4—1〃5|=-1
答案ACD
解析令x=0,則40=15=1,故A正確;
令X=1得-1=。0+。1+〃2+。3+。4+。5,所以〃1+。2+〃3+的+。5=—1—。0=—
2,故B錯誤;
令X=-1得35=40—a\+。2一曲+。4—。5,故C正確;
因為二項式(1-2x)5的展開式的第r+1項為7;+i=CS(—2)丫,
所以當「為奇數(shù)時,C5(—2)『為負數(shù),即G<0(其中i為奇數(shù)),
所以ao—1。1|+。2—1。3|+。4—1。5|=〃0+。1+〃2+。3+。4+。5=-1,故D正確.
感悟提升1.“賦值法”普遍適用于恒等式,是一種重要的方法,對形如(如+
b)fl,(ax2+bx+cr(a,〃£R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法.
2.若/(?uao+aix+azPHFoW,則/(x)展開式中各項系數(shù)之和為人1),奇數(shù)項
系數(shù)之和為〃()+&2+。4+…=,()偶數(shù)項系數(shù)之和為。1+曲+。5
/⑴一/(一I)
+…=2
角度2展開式的逆用
例4已知一C100(2~x)+C?oo(2—x)2—C?oo(2-%)34---FC188(2-x)loo=ao+aix+
av?-\----Faioftx1<K\則ai+s+a3H-----Fa99=()
2"-1
A.-1B.12C.299—1D.2
答案B
解析記7(x)=1—Cloo(2—x)+C?oo(2—x)2—C?oo(2—x)34---FC188(2—x)1(x)—1=
[l-(2-x)]100-l=(x-l)l00-l,
即(x—1=ao+aix+a2x2-l----Faiooo:100.
令x=1,得ao+ai+斂+…+aioo=-1.
令x=0,得ao=O.
又易知aioo=l,所以ai+s+/H----1-。99=—2.
感悟提升根據(jù)所給式子的特點結(jié)合二項式展開式的要求,使之具備二項式定理
右邊的結(jié)構(gòu),然后逆用二項式定理求解.
訓練2(1)(2022.山西八校聯(lián)考)已知(1+x)"的展開式中第5項和第7項的二項式
系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()
A.29B.210C.2"D.212
答案A
解析由題意知C4=C9,由組合數(shù)性質(zhì)得〃=10,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為
2門=22
(2)(多選)(2021?武漢模擬)若(1—2x)2021=ao+aix+a2%2+a3X3+…+。2021%2
°2i(xGR),則()
A.no==1
3202,+l
Bai+03+45+…+〃2021—3
11132021-l
C.QO+Q2+44+???+02020=
42021
D^+冬+22021——1
答案ACD
解析由題意,當X=0時,&0=12。21=1;
當X=1時,。。+0+。2+。3+,??+。2021=(-I)2021=-1,
當尸一1時,00—01+02—03+—02021=32021,
、32021+1
所以“1+03+45+…+42021=-5,
32021—1
00+02+44+…+。2020=;
22(P1
,02I1a20211.,flY
7+駐H卜2近21=〃1X/+a2=b1------1-。2021義61
當x=T時,O=ao+mX^+zX1
+…+儀202]X
22021
Q[+…+a202lxg)
所以aiX^
-m=-1.
(3)設(shè)復數(shù)是虛數(shù)單位),則Cl022x+C?O22X2+022X3H-----FC?8^2O22=
()
A.OB-2C.-l+iD.-l-i
答案B
4aL2i2i(1+i),..,,,
解71析x=Y^y=(IT)~(]+.=-]+i,由于Ci022X+Ci022X2+C2022X3H—
+Ci8?ir2022=(l+x)2°22—1=i2°22—1=—1—1=—2.
I考點三二項式系數(shù)的最值問題
例5二項式43x+1的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大,則展開式中
Iw
x的指數(shù)為整數(shù)的項的個數(shù)為()
A.3B.5C.6D.7
答案D
解析根據(jù)y女十3的展開式中只有第11項的二項式系數(shù)最大,得〃=20,
:.’x十目的展開式的通項為九+1=?0?(小x)2°{J=(#嚴火&0,0-彳,
要使x的指數(shù)是整數(shù),需k是3的倍數(shù),.?"=(),3,6,9,12,15,18,...尤
的指數(shù)是整數(shù)的項共有7項.
感悟提升二項式系數(shù)最大項的確定方法:當〃為偶數(shù)時,展開式中第W+1項
的二項式系數(shù)最大,最大值為I”;當〃為奇數(shù)時,展開式中第一y一項和第三一
項的二項式系數(shù)最大,最大值為或CJ.
訓練3⑴已知(3xT)"展開式的第5項的二項式系數(shù)最大,且〃為偶數(shù),則(3x
—1)"展開式中f的系數(shù)為()
A.-252B.252C.-28D.28
答案B
解析由題意可得〃=8,則(3%一1)8的展開式的通項是T,+l=Cg(3x)8-r.(-l)r,
令8—r=2,解得r=6,則展開式中%2的系數(shù)為Cg2=252.
(2)(2022.杭州調(diào)研)在卜一卡)的展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,則展
開式中系數(shù)最小的項的系數(shù)為()
A.-126B.-70C.-56D.-28
答案C
解析:只有第5項的二項式系數(shù)最大,
...〃=8,卜一山的展開式的通項為
3
〃+i=(—IpCk8-7伙=0,1,2,8),
...展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)與相應(yīng)奇數(shù)項的系數(shù)相等,偶數(shù)項的二項式系數(shù)
與相應(yīng)偶數(shù)項的系數(shù)互為相反數(shù),而展開式中第5項的二項式系數(shù)最大,因此展
開式中第4項和第6項的系數(shù)相等且最小,為(一1)3&=-56.
【I分層訓練?鞏固提升
|A級基礎(chǔ)鞏固
1.已知,一5)的展開式的第4項等于5,則x等于()
A.;B.—1C.7D.—7
答案B
解析由A=C%4(一力=5,得%=—3.
2.(1r—2y)的展開式中/y3的系數(shù)是()
A.-20B.-5C.5D.20
答案A
解析Tr+i=C.^)?(—2y)『=cs]£|?(—當r=3時,展開式中x2/
2
的系數(shù)為弟)X(-2)3=-20.
3.(2021.青島二模)已知(x+1)("—J的展開式中常數(shù)項為-40,則a的值為
()
A.2B.—2C.±2D.4
答案c
解析(如一的展開式的通項公式為77+i=C5(ar)5F(—U
=(-l)^5-rC§x5-2r,
令5—2r=-1可得r=3,
令5-2r=0可得r=|,不符合題意,舍去.
;.(一1那53cg=-40,即10/=40,
;?。=±2.
4cL+2C2+4G+…+2門?=()
A.3"B.2-3"
3"3"-1
C萬一1D.-2-
答案D
21I
解析以+2a+4或+…+2"一I=2℃,'i+2'C^+2C^+-+2^'C;!=1(2C,(+
3IIM
22cM+2C^+-+2"C,)=|(2℃2+2CI+22c2+23G+…+2"C;)-1=1(1+2)-
13M-1
2=2,
5.(多選)在二項式,2—號的展開式中,有()
A.含x的項B.含土的項
C.含d的項D.含9的項
答案ABC
解析二項式(3/一多的展開式的通項為「+1=田5飛(一2)3f,仁o,1,2,
3,4,5,結(jié)合所給的選項,知ABC的項都含有.
6.(多選)(2022?棗莊模擬)已知?!?)5=〃()+0(%+1)+〃2(%+1/+…+〃5(X+1)5,則
()
A.a()=—32
B.Q2=-80
C.G3+4S=0
D.ao+oi+…+。5=1
答案ABC
解析令x=—1得(一1—l)5=qo,即。o=-32,故A正確.
令x=0得(一l)5=ao+m+…+。5,即。()+。1+—+。5=—1,故D不正確.
令x+1=y9則(x-l)5=ao+ai(x+l)+a2(x+l)2-|1-〃5。+1)5就變?yōu)椋▂—2>=
ao+a\y+a2y2~\---1~。5日根據(jù)二項式定理知,。2即二項式(y-2)5展開式中9項
的系數(shù),7Vi=C一(一2汽故斂=C*—2)3=-80,B正確.
?4=Ci(—2)'=—10,a3=Cg(—2>=40,故C正確.
7.(2020?天津卷的展開式中,%2的系數(shù)是
答案10
2r5-3r
解析\"Tr+l=C^=2CSx,令5—3r=2,得r=1,...乃=2C1?=10f,
??.f的系數(shù)是10.
8.在(1-/)7+(也+制
的展開式中,若%2的系數(shù)為19,則。=
答案2
33
解析(1—5),+的展開式中含X2的項為c9(—Vx)6+Ci(
CW+CVa,則aCg+C3=19,解得a=2.
2
9.(2020?浙江卷)二項展開式(1+2%)5=加+。1尤+4以+。3/+。4%4+。5%5,則。4=
,a\+03+45=.
答案80122
解析由題意,得ai=Cg義2,=5X16=80.
當x=1時,(1+2)5=〃o+m+02+03+04+05=35=243,①
當X=11時,(1—2)5=40—41+〃2—。3+。4一。5=-1.②
由①一②,得2(〃1+。3+。5)=243—(—1)=244,
可得。1+。3+。5=122.
屋,、
廠1n
10.已知在Vx—二的展開式中,第6項為常數(shù)項.
<2
⑴求〃;
(2)求含x2的項的系數(shù).
解(1)通項公式為Tr+I=
〃-2r
?..第6項為常數(shù)項,,r=5時,有一y-=0,即〃=10.
n—2rj
(2)令一^—=2,得/■=](〃-6)
=^X(10—6)=2,
...含/的項的系數(shù)為
11.(2021.重慶質(zhì)檢)在①只有第6項的二項式系數(shù)最大,②第4項與第8項的二
項式系數(shù)相等,③所有二項式系數(shù)的和為2?這三個條件中任選一個,補充在
下面(橫線處)問題中,解決下面兩個問題.
注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.
已知(2%一+…+a?x"(〃eN*),若(2兀-1)”的展開式中,
(1)求n的值;
⑵求|ai|+㈤+1。3|H---F㈤的值.
解(1)選擇條件①:
若(2元—1)”的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大,則^=5.
所以n=10.
選擇條件②:
若(2%—1)”的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,C2=CZ.
所以”=10.
選擇條件③:
若(2無一D"的展開式中所有二項式系數(shù)的和為2】。,則2?=210.
所以〃=10.
⑵由(1)知n=10,則(2x—l)i°=ao+auJ+a2?2+a3X3+…+aio%i°,
令x=0,則ao=l,
令x=-1,則
3io=ao-a\+<22-B+…+aio
=1+|川+|閡+|。31H--
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