2023-2024學(xué)年廣東省河源市聯(lián)考高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省河源市聯(lián)考高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列岀的選項中，選出符合題目的一項）

1.若復(fù)數(shù)z的虛部小于0,且z2=-l,則z（l-z）=（）

A.1+iB.1—iC.—1+iD.-1—i

2.已知集合”={%WZ|y=ln（l——）},N=則MnN=（）

A.{0}B.{-1,1}C.{-1,0,1}D.0

3.最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的做書九章丿（1247年）.該書第二章為

“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻

積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時用一個圓臺形的器皿收集雪量（平地

降雪厚度=器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：單位cm）,則平地降雪厚

度的近似值為（）

A.—cmB.—cmC.—cmD.—cm

1241212

4.已知公差不為零的等差數(shù)列{斯}的前律項和為％，a6=2a3,則需=（）

A.17B.34C.48D.51

5.已知a'。。3a=3'°以81,貝lja=（）

A.9或；B.81或；C.9或：D.81或上

357ol

6.已知/（普=5皿卜+0）（96[0,兀））在（_堤）上單調(diào)遞減，且/（0）=事則（）

4OO4

7r7r

AA.9-=不B.=-C.<p=—27rnD.<p=—57r

7.已知直線x-y+；=0與拋物線y=/相交于a,B兩點(diǎn)，過線段4B的中點(diǎn)P作一條垂直于

x軸的直線m與直線/：y=-[交于點(diǎn)Q,則AQAB的面積為（）

A.7B.flC.1D.y/~2

42

8,若Q=0.001+sm0.001,b=/nl.OOl,c=e0001-l,則（）

A.b>c>aB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.鐵棍的長度隨環(huán)境溫度的改變而變化，某試驗(yàn)室從9時到16時每隔一個小時測得同一根鐵

棍的長度依次為3.62,3.61,3.65,3.62,3.63,3.63,3.62,3.64（單位:cni）,貝収）

A.鐵棍的長度的極差為0.04cmB.鐵棍的長度的眾數(shù)為3.62cm

C.鐵棍的長度的中位數(shù)為3.625cmD.鐵棍的長度的第80百分位數(shù)為3.63cm

10.已知圓C：x2+y2-2x-6=0,M（尤,y）為圓C上任意一點(diǎn)，4（1,一1）,則（）

A.\MC\=1

B.直線I：y=x+b過點(diǎn)4則C到直線/的距離為好

C.<7-1<\MA\^y/~7+l

D.圓C與坐標(biāo)軸相交所得的四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為4口

H.已知瓦|=|司=1,瓦:隹=；,若在△ABC中，CB=a>AC=S.a+b=e；，a-2b=

宅，則（）

A.瓦\(yùn)瓦的夾角為？B.a-b=^

c.若@+則4=,D.Zi/IBC的邊4B上的中線長為，

NO

12.若實(shí)數(shù)％,y滿足/一、2一xy=2,貝義）

A.|x|>2B.|x|>-C.|x+y|>——D.%24-y2>—g—

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若5出戊=今cosp-則cos（a+當(dāng)+sin（￡—岑）=?

14.函數(shù)/（%）=2%+>/1一％的最大值為.

15.已知橢圓C：買+，=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)為尸，若F關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)P落在C

上或C內(nèi)，則橢圓C的離心率的取值范圍為.

16.在長方體4BCD-4道心。1中，AB=BC=3,A&=2,P,Q為4也，么口的中點(diǎn)，S在

BC上，且BS=1.過P,Q,S三點(diǎn)的平面與長方體的六個面相交得到六邊形PQRSMN,則點(diǎn)M

到直線QR的距離為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對邊長分別為a,b,c,且(a—c)?=d—(2—V~N)ac.

(1)求角B；

(2)若4=*周長1%+2/耳+3/2，求b.

18.(本小題12.0分)

正項等比數(shù)列｛每｝的前幾項和為又，53=彳且％,I，。3成等差數(shù)列，an+1<an(yn&N^.

(1)求｛aj的通項公式；

(2)若生="皿1,求｛%｝的前n項和

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P—4BC。中，E,F分別為P。，PB的中點(diǎn)，連接EF.

(1)當(dāng)G為PC上不與點(diǎn)P、C重合的一點(diǎn)時，證明：EF〃平面BDG；

(2)已知G,Q分別為PC,AC的中點(diǎn)，△PAD是邊長為2的正三角形，四邊形BCDQ是面積為2的

矩形，當(dāng)CD丄PQ時，求PC與平面8GD所成角的正弦值.

20.(本小題12.0分)

已知雙曲線E：標(biāo)-5=l(a>0,b>0)的一個焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)重合，且離心率

為2.

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)P(2,0)的直線與雙曲線E交于A,B兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，是否存在直線，，使CM1OB成立？

若存在，求岀直線1的方程；若不存在，請說明理由.

21.(本小題12.0分)

某學(xué)校組織一項競賽，在初賽中有兩輪答題：第一輪從4類的三個問題中隨機(jī)選兩題作答，

每答對一題得20分，答錯得。分；第二輪從B類的分值分別為20,30,40的3個問題中隨機(jī)選

兩題作答，每答對一題得滿分，答錯得0分.若兩輪總積分不低于90分，則晉級復(fù)賽.甲、乙同

時參賽，在4類的三個問題中，甲每個問題答對的概率均為右乙只能答對兩個問題；在B類

的3個分值分別為20,30,40的問題中，甲答對的概率分別為1,|,乙答對的概率分別為

311

-用

不2-乙回答任一問題正確與否互不影響.設(shè)甲、乙在第一輪的得分分別為x,y.

4,

(1)分別求x,y的概率分布列；

(2)分別計算甲、乙晉級復(fù)賽的概率，并請說明誰更容易晉級復(fù)賽？

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=ln(x+1),gfx)=/(x)+aex,其中a6R.

(1)求過點(diǎn)且與函數(shù)/(x)的圖象相切的直線方程；

(2)①求證：當(dāng)x>0時，ex>1+x+y：

②若函數(shù)g(x)有兩個不同的零點(diǎn)%2>求證：%-%I<2J；-L

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,b<0,因?yàn)閦2=—l,

所以z2=a?—爐+2abi,所以a=0,b=-1,z=—i,

所以z(l—z)=-i(l+i)=-i-i2=1-i.

故選：B.

設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,b<0,然后根據(jù)z2=—l,解得z=-i,最后代入求解即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由1一芯2>0得，-1<%<1,所以M={0},

因?yàn)镹={-l,0,l},所以MDN={0}.

故選：A.

先求出集合“，再求兩集合的交集即可.

本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域，一元二次不等式的解法，交集的運(yùn)算，考查了計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：如圖，可求得器皿中雪表面的半徑為型?竺=15cm,\

所以平地降雪厚度的近似值為八=匕=式1°+15+4X15W2O=曳(cm>\/

S20'12'-------------'

故選C.

依題意求得器皿中雪表面的半徑，從而求得雪的體積，即可求得答案.

本題考查了幾何體的體積計算，屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】解：由題意，設(shè)等差數(shù)列{&}的公差為d(d40),

則=a3+(6-3)d=.3+3d=2a3,

整理，得=3d,

...Si7=(。1+。17)*17_2a9x17_17a9,

且（19=a6+3d=2a3+=3a3,

???=17x303_5i

a3a3?

故選：D.

先設(shè)等差數(shù)列｛冊｝的公差為d（d*0）,根據(jù)題干已知條件及等差數(shù)列的通項公式推導(dǎo)出as=3d,

再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計算S"的關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)一步代入推導(dǎo)即可得到結(jié)果.

本題主要考查等差數(shù)列的基本運(yùn)算，考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列的通項公式與

求和公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由已知兩邊取對數(shù)得log3a?log3a=log381,

所以（log3aA=4,

所以log3a=2或-2,

所以a=9或!.

故選：c.

由已知結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?（0）=：,”［0,兀），所以3屋或9=手

當(dāng)=［時,梟+級臉,［）,y=sinx在哈A）上單調(diào)遞增，

此時/（X）=5也（梟+看）在（一技）上單調(diào)遞增，舍去；

當(dāng)”時,恭+直,巖），y=sinx在卷，巖）上單調(diào)遞減,

此時/（x）=sinf^x+：）在（一卷，》上單調(diào)遞減，

所以9=等.

O

故選：D.

類比y=sinx的單調(diào)性判斷w的取值.

本題考查三角函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：因?yàn)橹本€刀-丫+,=0與拋物線丫=/相交于4,8兩點(diǎn),

,1

聯(lián)立x-丿y4-74=0

{y=x厶2

解得4(上匕筈)，5(-1+，73+2/7、

-2~/-4-)'

若過線段AB的中點(diǎn)P作一條垂直于%軸的直線m與直線厶y=-"交于點(diǎn)Q,

此時P0，｝，Q&，_》，

所以仍、1=弓一(一》1=1，

lilil_1?.?1—V-21+V-2.1.I~<V-2

則SAQ48='|PQIXI------------|=2x1xV2=—.

故選:B.

由題意，先求出4B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，求出|PQ|的值，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)

行求解即可.

本題考查拋物線的性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

8.【答案】D

【解析】解：令/'(x)=x+sinx,g(x)=ln(x4-1),h(x)=ex-1,

p(x)—h(x)—/(x)=ex—1—x—sinx,q(x)=h(x)—g(x)=ex—1—ln(x+1),

則p'(x)=ex-1-cosx,q'(x)=ex——二,

當(dāng)時，q'(x)=ex_+》0,

所以q(x)在［0；)上單調(diào)遞增，

所以q(0.001)>q(0)=0,

所以c>b；

令m(X)=p'(x)，M(x)=ex-Fsinx,

當(dāng)％G[0，)時，M(x)>0,

所以p'(x)在[0,3時單調(diào)遞增，

所以當(dāng)久G[0,g)時>p'(x)<p%)=V-e—1—cos1<y/-e—1—cos=V-e—1<0>

所以p(x)在xe[0,》時單調(diào)遞減，

所以p(O.OOl)<p(0)=0,

所以c<a：

綜上，a>c>b.

故選：D.

令f(x)=x+sinx,g(x)=ln(x+1),h(x)=ex—1,p(x)=h(x)—f(x),q(x)=h(x)—g(x),

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)p(x)和q(x)的單調(diào)性，由此可得a,b,c的大小.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查實(shí)數(shù)的大小，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】解：鐵棍的長度從小到大排列依次為3.61,3.62,3.62,3.62,3.63,3.63,3.64,3.65(單

位：cm),

對于4：極差為3.65—3.61=0.04,故A正確；

對于B：眾數(shù)為3.62,故8正確；

對于C：中位數(shù)為362；3-63=3￡25,故C正確；

對于。：因?yàn)?x80%=6.4,所以鐵棍的長度的第80百分位數(shù)為從小到大排列的第7個數(shù)，是3.64,

所以。不正確.

故選：ABC.

將數(shù)據(jù)從小到大排序，利用極差、眾數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)的概念求解即可得結(jié)論.

本題考查極差、眾數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：對于選項4,圓C：%2+丫2一2%-6=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為。一1)2+丫2=7,

圓心C的坐標(biāo)為(1,0),則|MC|=/7故A選項錯誤；

|1-2-0|C

對于選項B,直線/過點(diǎn)4則-1=1+h,b=-2,所以C到直線I的距離為I?2=〒，故8

J12+12

選項正確；

對于選項C,<7-1=r-\CA\<\MA\<r+|C/1|=<7+1，故C選項正確；

對于選項D,圓C與x軸相交所得的弦長為2，7,圓C與y軸相交所得的弦長為2，石，

所以圓C與坐標(biāo)軸相交所得的四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為gx2cx2<6=2，友,故。選項錯誤.

故選：BC.

對于A,將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得圓的半徑，從而可求得|MC|；對于8,求出直線方程,

利用點(diǎn)到直線的距離公式求解，對于C；由圓的性質(zhì)得r-|C4|〈財川Wr+對于。；分別

求出圓。與％軸相交所得的弦長和圓C與y軸相交所得弦長，然后可求岀其面積.

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對于4cos<可，石>=二;N=—^―=%:<瓦<，電>€[0,"],ei，e2>=§,

|eil|e2|1x123

故A正確；

一一卜=1瓦+：亙

對于B,由五+6=可，d—2b=葭,可得：LJ；_，

揷一次

???方7=（|瓦+g6.（強(qiáng)-料）=紺2—括電一拓2=絆9?小靑故8正確；

對于C,五+/=|可+媽+4（拓得荀=（|+勺瓦+《一勺慈，

「0+2b）〃6,;存在唯一實(shí)數(shù)〃使得五+2b=〃b，即（弓+J）瓦+（、-J）/=與瓦"一與麗

OOOOOJ

???；無解，故c錯誤；

V3-3=-3

對于O,設(shè)4B的中點(diǎn)為O,則而=：而+庁）=,0一石）=）（指一!百一[可+，冇）=沼.+

/）厶厶DODD4。

2一、1一,1一

?。?評1+薩2，

??.?麗?=j（頃+螞2=j，可可?1+'部2=J±+lXl+l=?’故O正確.

故選：ABD.

由平面向量的夾角公式計算可判斷4

由條件將&,3用樂孩不是出來，再用數(shù)量積的計算公式計算可判斷B；

由（為+/1石）〃方得存在唯一實(shí)數(shù)4使得m+4方）=〃&從而建立方程組，求解即可判斷C；

設(shè)AB的中點(diǎn)為。，由平面向量的線性運(yùn)算得麗=，（往一方），再求|而|即可判斷D.

本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，模等，屬于中檔題.

12.【答案】BD

【解析】解：由已知得，y24-xy4-2—%2=0,

因?yàn)?=x2—4（2—%2）=5%2—8>0,即/>

所以閉》?，所以4不正確，B正確；

令％+y=3即y=-工+3代入M-y?-=2得，%2+tx-(t2+2)=0,

所以4=t2+4(t2+2)=5/+8>0對于任意t恒成立，即％+yER,所以C錯誤；

令/+y2=t,t>0,令％=，工cos。，y=V"±sin。，代入到/-y2一％y=2,整理得tcos?。一

tsin29—，7cos。?yT-tsin0=2,

、t-2_4_4

,聽以cos20-sir^02cos20-sin26V_5cos(2e+3)'

所以舊》警，即/+丫2》誓，所以。正確.

故選：BD.

由已知先對已知等式進(jìn)行整理，然后結(jié)合二次方程根的存在條件可求》的范圍，從而可判斷力B；

利用三角換元，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)選項CD

本題主要考查了方程根的存在條件，三角換元在函數(shù)取值范圍求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】1

【解析】解：因?yàn)閟ina=cos/?=p

所以cos(a+岑)+sin(B-y)=sina+cos￡=|+|=|.

故答案為：

o

由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】1

【解析】解：令，1-x=t(t>0).則x=1-t2,

1-In

???y=-2t2+t+2=-2(t--)24-

.I—丄時

,,1~?yvmax~—18Z,

故答案為：y.

利用換元法將函數(shù)f(x)變形為y=-2t2+t+2(t>0),再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

本題考查換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

15.【答案】(05]

22

【解析】解：知橢圓C：a+方=1(。>6>0)的左焦點(diǎn)為/7，

設(shè)C的半焦距為c,則F(-c,0)關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,c),

因?yàn)镻落在C上或C內(nèi)，所以b》c,

所以。2—c2b2>c2,所以ee(0,3].

故答案為：((),?].

求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知條件，列出不等式,轉(zhuǎn)化求解離心率的范圍即可.

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

16.【答案】瑪亜

65

【解析】解：如圖所示，在長方體4BCD-

4181cl5中，

■■■AB=BC=3,BS=1,：.BM=1,

延長SM與04的延長線交于E,再連接PE,

PE與4遇的交點(diǎn)為N,

同理確定R.

r.AMAE

■■A-AEz///DBSr,

又BS=BM=1,AM=2,???A￡=2,

???&0i=3,P為的中點(diǎn),

AArP=I，-A^/fAE,

工維=務(wù)，又厶遇=2，；.4N=’

同理可得CR=3,￡R=號

在CD上取一點(diǎn)X,使得CX=1,過X作XY與QR垂直，垂足為y,連接MX,

易證MY丄QR,且MX=3.

S^XQR=Sxcc\Q—S&XCR—S^QC述=斤QR=JC】Q2+C]R2=*

???根據(jù)等面積法可得現(xiàn)R-XY=l，解得XY12

22

MY=VMX+XY=65

故答案為：喀1

先根據(jù)空間中的基本事實(shí)，作出過P,Q,S三點(diǎn)的平面，再利用等面積法思想，方程思想，即可

求解.

本題考查點(diǎn)到直線的距離的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

17.【答案】解：（1）已知（Q—c）2=b2—（2—，"幻ac,

化簡整理得彥+c2—匕2=yJ2aC^

2_|_2_/j2yf~2

：?cosB-a----c-------------,

2ac2

vBE(0,7T)，

n

-BD=4-

(2)若4=1，

則sinC=sin(7r—A—B')=sin(X+B)=sin?+.)

.nn,Ti.7T7+D

sin-cos-4-cos-sin-=-----；-----

34344

由正弦定理得，爲(wèi)=為=短,

_____I______b

sinA+sinB+sinCstnB'

.IsinB

b=--------------------

sinA+sinB+sinC

_（療+2￡+3QX?不

~~WE鼻--2V2?

【解析】（1）根據(jù)余弦定理進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可.

本題主要考查解三角形，正余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：（1）設(shè)等比數(shù)列｛即｝的公比為q，

因?yàn)榈?成等差數(shù)列，所以ai+diq2=3,

7

2--4

因?yàn)镾3=所以%+arq+atq

所以q=言，

=1,

因?yàn)閍n+i＜冊(016N*),所以q=4,

L

所以即=%qnT=戸.

n

(2)由已知得，bn=-n-2,

n-1n

Tn——[1x2+2x2^+3x2^+…+(n—l)2+n-2],(J)，

所以27；=-[1X22+2X23+3X24+???+(n-l)2n+n-2n+1],②，

①-②得：-T"=-(2+22+23+24+-+2n-n-2n+1),

所以7；=2+22+23+24+-+2n-n-2n+1=(1-n)2n+1-2.

【解析】(1)利用等比數(shù)列的性質(zhì)求岀數(shù)列的首項和公比，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項公式；

(2)利用乘公比錯位相減法求出數(shù)列的和.

本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項公式的求法，數(shù)列的求和，乘公比錯位相減法，主要考查學(xué)生

的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：⑴:E,尸分別為P。，PB的中點(diǎn)，

EF//BD,又EFC平面BDG,BDu平面BDG,

EF〃平面BOG；

(2)?.?三角形PAD是正三角形，Q為40的中點(diǎn)，

；?PQ丄AD,又CD丄PQ,ADdCD=D,

PQ丄平面4BCD,又BQu平面4BCD,

???PQ1BQ,

???四邊形BCOQ是矩形，ABQLAD,

直線QP,AD,QB兩兩垂直，

二以QB,QD,QP所在直線分別為x,y,z軸，建系如圖，

???四邊形BCDQ是面積為2的矩形，BC=QD=1,BQ=2,

???根據(jù)題意可得P(0,0,<3),8(200),C(2,l,0),0(0,1,0),

.??正=(2,1,一門)，G(l4,?)，.?.打=(一13,三)，前=(-2,1,0),

設(shè)平面BGD的一個法向量為元=(x,y,z),

則匹,元=。，.JT+N+2?Z=0,取元=(I,2,0),

(BO,n=0[-2x+y=0

設(shè)PC與平面BGD所成的角力。，

則sin。=\cos(PC,n)\=書焉=爲(wèi)%=等，

PC與平面8GD所成角的正弦值為?.

【解析】(1)先根據(jù)題意易知EF〃BD,再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明：

(2)先根據(jù)題意易證直線QP,AD,QB兩兩垂直，再建系，從而利用向量法，向量夾角公式，即可

求解.

本題考查線面平行的證明，向量法求解線面角問題,

20.【答案】解：(1)設(shè)雙曲線E的半焦距為c,

因?yàn)閽佄锞€必=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

所以c=2,

因?yàn)镋的離心率為2,

所以a=1,b2=c2—a2=3,

所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為/一[=1.

(2)當(dāng)直線，的斜率為0時，顯然不合題意：

當(dāng)直線，的斜率不為0時，設(shè)直線厶x=my+2(7n#±T)，AQ1,月),B(x2,y2)，

由｛；工23,消去X，得(3巾2-l)y2+12my+9=0,

則3m2-1片0且厶=(12m)2-36(3m2-1)=36(m2+1)>0,

則%+%=一晟，％及=/，

所以旳上=O%+2)(my2+2)=m2yly2+2m(y1+為)+4

2924m23m2+4

=m，3^1-3^1+4=-3^1，

zi，

令丄/+丿yi丄y丿i“--3:標(biāo)哼—十1；+3mI-l=o

解得?n=士篝，此時。A丄。B,

所以存在直線，：V3x+v5y—2V3=0＞使。4丄。B成".

【解析】（1）利用拋物線求得焦點(diǎn)（2,0）即c=2,再利用離心率求得a=1,從而求出雙曲線方程;

（2）分類討論，設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，利用。4丄。8得打犯+%、2=。，代

入韋達(dá)定理即可求出直線［的方程.

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查直線與雙曲線的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于

中檔題.

21.【答案】解：（1）由題意可知，X=0,20,40,

所以P(X=0)=C°(l-1)2=pP(X=20)=?x；x(1-；)=J,P(X=40)=舊x(1)2=

故X的分布列為:

X02040

11

P

44

由題意可知，Y=20,40,

所以p（y=40）=旨=%p（y=20）=1-1=I，

故y的分布列為：

r2040

21

p

33

（2）甲在第二輪得分分類如下：

選20分和30分的題所得分?jǐn)?shù)為20分和50分,

選20分和40分的題所得分?jǐn)?shù)為20分和60分,

選30分和40分的題所得分?jǐn)?shù)為0分、30分、40分和70分,

乙在第二輪得分分類如下:

選20分和30分的題所得分?jǐn)?shù)為0分、20分、30分和50分,

選20分和40分的題所得分?jǐn)?shù)為0分、20分、40分和60分,

選30分和40分的題所得分?jǐn)?shù)為0分、30分、40分和70分,

所以甲兩輪的總積分不低于90分的概率為:

11J21215

-1]

P=-XXX+-X-X1X-+X-+-X-=

甲2433333

36

乙兩輪的總積分不低于90分的概率為：

c2l,1E,.1J1/31,31,11、5

=3X[r3X(2X4)]+3X[3X](4X2+4X4+2X4)=48,

因?yàn)镻科〉P乙，所以甲更容易晉級復(fù)賽.

【解析】(1)由題意可知，X=0,20,40,再利用獨(dú)立事件的概率公式求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而得

到X的分布列，由己知可得丫=20,40,利用古典概型的概率公式求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到丫的

分布列；

(2)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求出甲、乙晉級復(fù)賽的概率，再比較即可.

本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題.

22.【答案】解：(1)/'。)=擊，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(&，/(g))，

1

則切線方程為y-ln(與+1)=等(X—殉)，由切線過點(diǎn)(_1,一1),

X。十丄

則一1_Ingo+1)=-殉)，解得￡°=0,

故切線方程為y=