有限元與有限差分法基礎(chǔ)超詳細版本

關(guān)于有限元與有限差分法基礎(chǔ)超詳細版本有限元法基礎(chǔ)有限元發(fā)展過程有限元應用有限元發(fā)展方向第2頁,共162頁，2024年2月25日，星期天有限元法的基本思想基本思想

1）將連續(xù)的求解系統(tǒng)離散為一組由節(jié)點相互聯(lián)在一起的單元組合體2）在每個單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)來分片表示系統(tǒng)的求解場函數(shù)

第3頁,共162頁，2024年2月25日，星期天有限元法的基本思想第4頁,共162頁，2024年2月25日，星期天有限元法的基本思想第5頁,共162頁，2024年2月25日，星期天有限元法的基本思想第6頁,共162頁，2024年2月25日，星期天有限元法的基本思想第7頁,共162頁，2024年2月25日，星期天有限元法的基本思想離散為單元網(wǎng)格的件仍然要保證是一個連續(xù)體，單元與單元之間沒有裂縫、不能重疊，所有單元通過單元節(jié)點相互關(guān)聯(lián)著變形體無論產(chǎn)生多大的塑性變形，單元與單元之間依然不會產(chǎn)生裂縫、交叉和重疊，關(guān)聯(lián)單元的節(jié)點也不能脫開第8頁,共162頁，2024年2月25日，星期天有限元法的基本思想不合格單元單元裂縫單元重疊第9頁,共162頁，2024年2月25日，星期天有限元法的基本思想變形前后單元之間都是連續(xù)的變形前的網(wǎng)格變形后的網(wǎng)格第10頁,共162頁，2024年2月25日，星期天有限元法的基本思想基本思想通過在單元內(nèi)假設(shè)不同的插值函數(shù)，建立不同的單元模型，適應各種各樣的變形模式和受力模式XFXF第11頁,共162頁，2024年2月25日，星期天有限元法的基本思想有限元法分類1）位移法：基于最小勢能原理或虛功原理

2）力法：基于最小余能原理3）混合法：基于修正余能原理第12頁,共162頁，2024年2月25日，星期天有限元法的基本思想基本過程離散化過程

約束處理過程

單元平衡方程組裝過程

應變、應力回代過程

方程組求解過程

第13頁,共162頁，2024年2月25日，星期天離散化過程最小勢能原理

彈性體的勢能為彈性體變形后所具有的內(nèi)能

為彈性體所受的外力功

第14頁,共162頁，2024年2月25日，星期天離散化過程

為彈性體的應變

為彈性體的應力

u為彈性體的可容位移彈性體處于平衡狀態(tài)時，其勢能應為最小

0第15頁,共162頁，2024年2月25日，星期天離散化過程單元插值關(guān)系

單元幾何關(guān)系單元本構(gòu)關(guān)系

N為單元形函數(shù)矩陣

L為單元幾何微分算子為單元彈性矩陣

單元節(jié)點自由度向量第16頁,共162頁，2024年2月25日，星期天離散化過程B稱為應變矩陣

單元平衡方程或單元剛度方程

k稱為單元剛度矩陣

f稱為單元載荷向量

第17頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元剛度矩陣的特性

對稱性

奇異性主元恒正且對角占優(yōu)離散化過程第18頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題幾何方程—三維問題

三維問題第19頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題幾何方程—二維問題

二維問題平面應力和平面應變狀態(tài)

第20頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題幾何方程—二維問題

二維問題軸對稱狀態(tài)

第21頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題幾何方程—一維問題

一維問題第22頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題本構(gòu)方程—三維問題

三維問題E為彈性模量；

為泊松比

第23頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題本構(gòu)方程—平面應力

二維問題平面應力狀態(tài)

第24頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題本構(gòu)方程—平面應力

平面應力狀態(tài)

第25頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題本構(gòu)方程—平面應變

二維問題平面應變狀態(tài)

第26頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題本構(gòu)方程—平面應變

平面應變狀態(tài)

第27頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題本構(gòu)方程—軸對稱

二維問題軸對稱狀態(tài)

第28頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題本構(gòu)方程—軸對稱

二維問題軸對稱狀態(tài)

第29頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題本構(gòu)方程—軸對稱

軸對稱狀態(tài)

第30頁,共162頁，2024年2月25日，星期天線彈性問題本構(gòu)方程—一維問題

一維問題第31頁,共162頁，2024年2月25日，星期天常用單元模型

單元模型插值關(guān)系一一對應單元類型一維單元、二維單元、三維單元等參單元、超參單元、次參單元第32頁,共162頁，2024年2月25日，星期天常用單元模型一維單元

2節(jié)點線單元3節(jié)點線單元梁單元第33頁,共162頁，2024年2月25日，星期天常用單元模型二維單元3節(jié)點三角形線性單元6節(jié)點三角形二次單元第34頁,共162頁，2024年2月25日，星期天常用單元模型二維單元10節(jié)點三角形三次單元4節(jié)點四邊形雙線性單元第35頁,共162頁，2024年2月25日，星期天常用單元模型二維單元8節(jié)點四邊形二次單元12節(jié)點四邊形三次單元第36頁,共162頁，2024年2月25日，星期天常用單元模型三維單元4節(jié)點四面體線性單元10節(jié)點四面體二次單元第37頁,共162頁，2024年2月25日，星期天常用單元模型三維單元8節(jié)點六面體線性單元20節(jié)點六面體二次單元第38頁,共162頁，2024年2月25日，星期天常用單元模型準三維空間單元桁架單元一維2節(jié)點線單元+單元局部隨體坐標系

為什么要建立單元局部隨體坐標系？簡化分析問題的復雜程度。在局部坐標系中，空間桁架的每根桿每變成了一維2節(jié)點線單元第39頁,共162頁，2024年2月25日，星期天常用單元模型準三維空間單元框架單元三維梁單元+一維2節(jié)點線單元+單元局部隨體坐標系

兩端都是剛性聯(lián)結(jié)

可以要承受拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)3種變形模式

框架單元的特點第40頁,共162頁，2024年2月25日，星期天常用單元模型準三維空間單元板單元薄板單元中厚板單元彎曲和橫向剪切2種變形模式抵抗板的變形如果板很薄，忽略橫向剪切抗力，認為抵抗載荷的主要因素是彎矩第41頁,共162頁，2024年2月25日，星期天常用單元模型準三維空間單元殼單元

抵抗拉壓變形的二維單元+板單元+單元局部隨體坐標系。適合于薄殼單元和中厚殼單元從幾何上分為薄殼單元和中厚殼單元①組合單元第42頁,共162頁，2024年2月25日，星期天常用單元模型準三維空間單元②殼理論單元

由空間殼理論嚴格構(gòu)造的殼單元。適合于薄殼單元和中厚殼單元

③退化單元

由三維實體單元退化成的殼單元。只適合于中厚殼單元

第43頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造

有限元法的基本思想

通過單元分片近似，在每個單元內(nèi)假設(shè)近似函數(shù)來分片表示系統(tǒng)的場函數(shù)

選擇近似函數(shù)簡單、實用的原則在有限元法中，近似函數(shù)稱為插值函數(shù)

第44頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造插值函數(shù)

一般都采用多項式函數(shù)，主要原因是:

采用多項式插值函數(shù)比較容易推導單元平衡方程，特別是易于進行微分和積分運算。隨著多項式函數(shù)階次的增加，可以提高有限元法的計算精度。從理論上說，無限提高多項式的階數(shù)，可以求得系統(tǒng)的精確解。第45頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造方法

整體坐標系法局部坐標系法

Lagrange插值方法Hermite插值方法第46頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造方法2節(jié)點線單元12

oxu1u2x1x2ux1.假設(shè)插值多項式2.利用節(jié)點值求a0和a1第47頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造方法3.代入a0和a1，得插值多項式u(x)4.按u1和u2合并同類項，設(shè)l=x2-x1第48頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造方法關(guān)鍵

如何構(gòu)造插值多項式u?二維問題三維問題，如何構(gòu)造插值多項式?第49頁,共162頁，2024年2月25日，星期天收斂性條件

①在單元內(nèi)，場函數(shù)必須是連續(xù)的；②完備性：插值多項式的階次必須由低到高依次增加，不能出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象；

③協(xié)調(diào)性：各單元邊界必須連續(xù)，單元邊界不能出現(xiàn)開裂現(xiàn)象。插值多項式收斂性條件

收斂：當單元逐漸縮小時，如果插值多項式滿足收斂性條件，則數(shù)值解將收斂于精確解

第50頁,共162頁，2024年2月25日，星期天插值多項式收斂性條件協(xié)調(diào)單元

滿足插值多項式收斂性條件①和③的單元

完備單元

滿足插值多項式收斂性條件②的單元cr

階連續(xù)性

插值多項式的第r階導數(shù)是連續(xù)的

第51頁,共162頁，2024年2月25日，星期天插值多項式收斂性條件非協(xié)調(diào)單元與部分協(xié)調(diào)單元

對于一般固體力學問題來說，協(xié)調(diào)性要求單元在變形時，相鄰單元之間不應引起開裂、重疊或其它不連續(xù)現(xiàn)象。例如，梁、板、殼等單元，在單元邊界不但要求位移是連續(xù)的，而且其一階導數(shù)也必須是連續(xù)的。板、殼單元位移函數(shù)沿單元邊界的法向?qū)?shù)（轉(zhuǎn)角）的連續(xù)性一般比較難實現(xiàn)，因此出現(xiàn)了許多不完全滿足協(xié)調(diào)性要求的“非協(xié)調(diào)單元”或“部分協(xié)調(diào)單元”，有時它們的精度也很好。

第52頁,共162頁，2024年2月25日，星期天插值多項式選擇條件

插值多項式應該盡可能滿足其收斂性條件（收斂性）由插值多項式所確定的場函數(shù)變化應該與局部坐標系的選擇無關(guān)（各向同性）

假設(shè)的插值多項式系數(shù)的數(shù)量應該等于單元的節(jié)點數(shù)（解的唯一性）

選擇條件第53頁,共162頁，2024年2月25日，星期天插值多項式選擇條件深入分析由收斂性條件②可知，插值多項式中必須含有常數(shù)項（剛體位移項），高階項的次數(shù)必須依次增加，不允許有跳躍

第54頁,共162頁，2024年2月25日，星期天插值多項式選擇條件由選擇條件②可知，插值多項式函數(shù)在所有自由度方向上要滿足各向同性性，這樣就不會隨局部坐標系變化而改變了

深入分析

第55頁,共162頁，2024年2月25日，星期天插值多項式選擇條件深入分析選擇條件③是為了能由單元節(jié)點值唯一確定插值多項式

4節(jié)點四邊形的插值多項式應該是

插值多項式系數(shù)

i(i=0,1,2,3)

也是4個

第56頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法基本思想

針對彈性體有限元網(wǎng)格建立一個統(tǒng)一的坐標系，每個單元的插值多項式都在這個坐標系上建立

第57頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法2節(jié)點線單元12

oxu1u2x1x2ux1.假設(shè)插值多項式2.利用節(jié)點值求a0和a1第58頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法3.代入a0和a1，得插值多項式u(x)4.按u1和u2合并同類項，設(shè)l=x2-x1第59頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法N1和N2稱為單元的形函數(shù)；N稱為單元的形函數(shù)矩陣；ue

稱為單元節(jié)點位移向量。

2節(jié)點線的單元形函數(shù)第60頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法二維3節(jié)點三角形單元

建立整體坐標系oxy

第61頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法1.假設(shè)插值多項式2.首先，利用節(jié)點值求

0、

1和

2二維3節(jié)點三角形單元

第62頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法A為單元面積第63頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法3.將

0、

1和

2代入插值多項式，按u1、u2、u3合并同類項第64頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法4.同理可得第65頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法5.單元插值多項式為第66頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法6.單元插值多項式寫成矩陣形式（常用）第67頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法7.單元插值多項式的另一種矩陣形式（不常用）第68頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法4節(jié)點四面體單元第69頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法1.假設(shè)插值多項式2.插值多項式為第70頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法（i=1,2,3,4）循環(huán)輪換腳標1、2、3、4，相應可以得到a2，b2，c2，d2、a3，b3，c3，d3、a4，b4，c4，d4

第71頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法3.單元插值多項式寫成矩陣形式（常用）第72頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法4.單元插值多項式另一種矩陣形式（不常用）第73頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法從理論上講，整體坐標系法可以求任意單元的形函數(shù)，但計算過程太復雜只能求一維2節(jié)點線單元、二維3節(jié)點三角形單元和三維4節(jié)點四面體單元3種簡單單元的形函數(shù)復雜的或二次以上的單元必須采用局部坐標系法求位移場u是形函數(shù)Ni的線性組合，因此形函數(shù)Ni同樣具有插值多項式的特性第74頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元剛度矩陣—2節(jié)點線單元一維2節(jié)點線單元單元插值關(guān)系

單元幾何關(guān)系單元本構(gòu)關(guān)系

N=[N1N2]

De=E第75頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元剛度矩陣—2節(jié)點線單元單元剛度矩陣A為單元截面積；l為單元長度矩陣B第76頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元剛度矩陣—三角形單元二維3角形單元單元插值關(guān)系

第77頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元剛度矩陣—三角形單元單元幾何關(guān)系第78頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元剛度矩陣—三角形單元單元本構(gòu)關(guān)系

平面應力問題第79頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元剛度矩陣—三角形單元矩陣B第80頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元剛度矩陣—三角形單元單元剛度矩陣h為單元厚度k為對稱的6*6常數(shù)矩陣A為單元面積第81頁,共162頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)求4節(jié)點四面體單元的單元剛度矩陣第82頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型構(gòu)造—整體坐標系法單元形函數(shù)的特性正規(guī)性：單元形函數(shù)之和等于1。

正交性：形函數(shù)在本節(jié)點的值等于1，在其它節(jié)點的值等于0。

例如:2節(jié)點線單元形函數(shù)第83頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型—等參單元等參單元

單元內(nèi)任意一點的位移u與單元節(jié)點位移ue之間的關(guān)系為

一般單元坐標的插值關(guān)系也采用與位移插值關(guān)系相同的變換關(guān)系即單元內(nèi)任意一點的坐標x與單元節(jié)點坐標xe之間的關(guān)系為

第84頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型—等參單元等參單元凡是幾何形狀和位移場采用同階同參數(shù)插值關(guān)系來描述的單元，稱為等參單元

前面介紹的所有單元都屬于等參單元

在描述單元的幾何形狀和位移場時，并不一定非采用同階插值關(guān)系

第85頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型—等參單元等參單元3節(jié)點三角形等參單元

第86頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元模型—等參單元超參單元如果幾何形狀插值函數(shù)的階數(shù)高于位移場插值函數(shù)的階數(shù)，稱為超參單元

次參單元如果幾何形狀插值函數(shù)的階數(shù)低于位移場插值函數(shù)的階數(shù)，稱為次參單元

第87頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元平衡方程組裝過程

為什么要組裝?

消除內(nèi)力組裝的原則是什么?

單元自由度與結(jié)構(gòu)自由度對應第88頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元平衡方程組裝過程

2

F

1

3

①

②

③

U3U4U2U1U5U6結(jié)構(gòu)自由度向量U第89頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元平衡方程組裝過程

2

1

①

U3U4U2U11’u1u2u3u4

3

②

U61’1

U2U12’u1u2U5u3u42’第90頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元平衡方程組裝過程2

1

①

U3U4U2U11’u1u2u3u42’第91頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元平衡方程組裝過程組裝單元①第92頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元平衡方程組裝過程

3

②

U61’1

U2U12’u1u2U5u3u4第93頁,共162頁，2024年2月25日，星期天單元平衡方程組裝過程再組裝單元②總體剛度方程

K稱為總體剛度矩陣

U稱為位移向量

F稱為載荷向量

第94頁,共162頁，2024年2月25日，星期天總體剛度矩陣K的特性

對稱性

奇異性

稀疏性

非零元素帶狀分布第95頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程

為什么要約束處理?總體平衡方程組是奇異的消除無限制的剛體運動

使總體平衡方程組存在唯一一組解第96頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—邊界條件邊界條件分類

力(載荷)邊界條件位移邊界條件

集中載荷力

表面分布力

自重力熱交換引起的溫度載荷

固定位移約束

強制位移約束

關(guān)聯(lián)位移約束

第97頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—模型簡化xy第98頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—模型簡化yxxy第99頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—約束方程123456789101112yx第100頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—約束處理方法位移約束處理方法

賦0賦1法

乘大數(shù)法

第101頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—賦0賦1法強制位移約束條件處理U4=C第102頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—賦0賦1法強制位移約束條件處理U4=C第103頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—賦0賦1法有6個方程，5個未知數(shù)，如果約束方程可以消除有限元平衡方程組的奇異性，則取任意5個方程聯(lián)立求解，都會得到方程組的唯一一組解。

系數(shù)矩陣由原來的對稱的變成了非對稱的，這對于大規(guī)模有限元方程組求解是十分不利的，采用相同的求解方法，在求解時間和矩陣存貯容量方面都增加了一倍。

第104頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—賦0賦1法為了保證系數(shù)矩陣的對稱性，去掉方程組第4行第105頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—賦0賦1法引入強制位移約束方程U4=C，使方程組求解時直接將自由度U4求出第106頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—賦0賦1法固定位移約束條件處理U4=0第107頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—賦0賦1法基本原理利用初等變換對求解方程組進行相同的行列變換，既保證方程組解不會改變，又可以保持方程組系數(shù)矩陣的對稱性。在進行初等變換時，只要保證對方程組系數(shù)矩陣做相同的行列變換，就可以保持方程組系數(shù)矩陣的對稱性。

第108頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—乘大數(shù)法乘大數(shù)法基本原理利用矩陣的初等變換不改變方程組解的思想。

第109頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—乘大數(shù)法強制位移邊界條件

第110頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—乘大數(shù)法強制約束方程

A是一個大數(shù)，是系數(shù)矩陣中對角線元素K44的1010倍量級以上為什么要乘以大數(shù)A？放大位移約束方程的優(yōu)勢第111頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—乘大數(shù)法強制位移邊界條件

第112頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—乘大數(shù)法固定位移邊界條件

C=0約束后的方程組簡化為

第113頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—兩種方法比較賦0賦1法在約束處理過程中是嚴格精確的，而乘大數(shù)法是一種近似約束處理方法，它的精度取決于所乘大數(shù)A值兩種方法都可以消除有限元平衡方程的奇異性，得到符合實際邊界條件的唯一一組解。但兩種方法還是有很大的區(qū)別第114頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—兩種方法比較采用乘大數(shù)法約束處理后的有限元平衡方程在求解時可能造成解的失真，大數(shù)A值越大可能解的偏差會越大，而賦0賦1法就不會出現(xiàn)類似的問題，它在約束過程和求解過程都是精確的乘大數(shù)法相對于賦0賦1法在約束處理過程上簡單一些

第115頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—兩種方法比較賦0賦1法實際上是將關(guān)聯(lián)位移約束方程代入到有限元平衡方程中的，是代入法。而乘大數(shù)是將占絕對優(yōu)勢的關(guān)聯(lián)位移約束方程合并到有限元平衡方程中的，是罰方法，計算誤差來自于合并過程，計算精度取決于關(guān)聯(lián)位移約束方程的優(yōu)勢大小商業(yè)軟件中，位移邊界條件的約束處理都采用賦0賦1法，乘大數(shù)很少被采用主要原因是它是一種近似方法，而且大數(shù)的大小也不好確定，有時還會造成求解失敗

第116頁,共162頁，2024年2月25日，星期天約束處理過程—彈簧單元假設(shè)柔性彈簧kOXYU4f

f=kU4k第117頁,共162頁，2024年2月25日，星期天彈簧約束方程

f=kU4約束處理過程—彈簧單元第118頁,共162頁，2024年2月25日，星期天方程組求解過程—特點方程組求解有限元計算過程中很重要的一部分，在有限元法的發(fā)展過程中，有限元方程的求解效率一直是其應用的最大瓶頸之一有限元方程組的特點：有限元方程組的系數(shù)矩陣具有對稱、稀疏、帶狀分布以及正定、主元占優(yōu)。有效地利用這些特點，以減少系數(shù)矩陣的存貯量，提高方程組求解效率

第119頁,共162頁，2024年2月25日，星期天方程組求解過程—分類比較線性方程組的解法主要分兩大類:

直接解法：以高斯消去法基礎(chǔ)，以等帶寬或變帶寬方式存貯系數(shù)矩陣內(nèi)元素，對于求解規(guī)模比較大的問題，要存貯的元素非常巨大。

迭代解法：只需要存貯系數(shù)矩陣中非零元素，存貯量很小，一般是變帶寬存貯量的20%或更少，有些算法的求解效率也非常高，適合求解大規(guī)模線性方程組。但是這種解法對接近病態(tài)的方程組很難保證收斂性。

第120頁,共162頁，2024年2月25日，星期天方程組求解過程—帶寬定義有限元方程組系數(shù)矩陣是稀疏的、非零元素呈帶狀分布，帶寬就是它的寬度，帶寬的大小是由系統(tǒng)有限元網(wǎng)格的節(jié)點號排序決定的，具體求法是帶寬=(單元最大節(jié)點號之差+1)*節(jié)點自由度數(shù)

帶寬是網(wǎng)格節(jié)點標注方法直接決定的，不同標注方法帶寬可能相關(guān)很大

第121頁,共162頁，2024年2月25日，星期天方程組求解過程—帶寬帶寬是網(wǎng)格節(jié)點標注方法直接決定的，不同標注方法帶寬可能相關(guān)很大

第122頁,共162頁，2024年2月25日，星期天方程組求解過程—帶寬所示四邊形網(wǎng)格的三種節(jié)點號標注方法，每個節(jié)點是2個自由度結(jié)構(gòu)的帶寬分別是12，18，56，相差很大，其中12和56之間相差近5倍，這就意味著系數(shù)矩陣的存貯量也是相差5倍，因此，對于大規(guī)模復雜系統(tǒng)的節(jié)點號優(yōu)化是十分必要的

第123頁,共162頁，2024年2月25日，星期天方程組求解過程—系數(shù)矩陣存貯

系數(shù)矩陣存貯如果節(jié)點號排序優(yōu)化的比較好，系數(shù)矩陣的存貯量就會減少很多。根據(jù)系數(shù)矩陣的對稱性，一般都是按半帶寬存貯。系數(shù)矩陣存貯的方法二維等帶寬存貯一維變帶寬存貯第124頁,共162頁，2024年2月25日，星期天方程組求解過程—二維等帶寬存貯二維等帶寬存貯

第125頁,共162頁，2024年2月25日，星期天方程組求解過程—二維等帶寬存貯二維等帶寬存貯消除了最大帶寬以外的全部零元素，節(jié)省了系數(shù)矩陣元素的存貯量。但是由于取最大帶寬為存貯范圍，因此不能排除在帶寬內(nèi)的大量零元素。當系數(shù)矩陣的各行帶寬變化不大時，適合采用二維等帶寬存貯，方程組求解過程中系數(shù)矩陣元素的尋址也比較方便，求解效率較高。當出現(xiàn)局部帶寬特別大的情況時，采用二維等帶寬存貯時，將由于局部帶寬過大而使整體系數(shù)矩陣的存貯大大增加。第126頁,共162頁，2024年2月25日，星期天方程組求解過程—一維變帶寬存貯

一維變帶寬存貯

一維變帶寬存貯方法就是把變化的帶寬內(nèi)的元素按一定的順序存貯在一個一維數(shù)組中。由于它不按最大帶寬存貯，因此比二維等帶寬存貯更節(jié)省內(nèi)存。按照解法可分為按行一維變帶寬存貯和按列一維變帶寬存貯。

第127頁,共162頁，2024年2月25日，星期天按行一維變帶寬存貯

方程組求解過程—一維變帶寬存貯

輔助的尋址數(shù)組M

第128頁,共162頁，2024年2月25日，星期天一維變帶寬存貯是最節(jié)省內(nèi)存的一種方法，但是由于要借助于尋址數(shù)組尋找系數(shù)矩陣元素的位置，相對二維等帶寬存貯方法來說要復雜一些，而且在程序?qū)崿F(xiàn)時也要復雜得多，方程組求解過程中也要消耗一些數(shù)組尋址時間。因此，在選用存貯方法時要權(quán)衡二者的利弊，統(tǒng)盤考慮。一般當帶寬變化不大，計算機內(nèi)存允許時，采用二維等帶寬存貯方法是比較合適的。

方程組求解過程—一維變帶寬存貯

第129頁,共162頁，2024年2月25日，星期天方程組求解過程—求解方法方程組求解方法高斯消去法

三角分解法

雅可比（Jacobi）迭代法

高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）迭代法

第130頁,共162頁，2024年2月25日，星期天應變、應力回代過程

單元應變和應力回代求解

通過求解有限元平衡方程得到有限元節(jié)點位移后，就可以進行系統(tǒng)的剛度校核。如果所分析問題要進行強度校核，就要回代求解單元的應變和應力。由插值關(guān)系和幾何關(guān)系可得單元應變，再通過本構(gòu)關(guān)系得到單元應力第131頁,共162頁，2024年2月25日，星期天有限差分法第132頁,共162頁，2024年2月25日，星期天

從彈性力學的基本方程建立以來，這些方程在各種問題的邊界條件下如何求解，一直是很多數(shù)學工作者和力學工作者研究的內(nèi)容。即彈性力學的經(jīng)典解法存在一定的局限性，當彈性體的邊界條件和受載情況復雜一點，往往無法求得偏微分方程的邊值問題的解析解，許多工程重要問題，不能夠得出函數(shù)式的解答。因此，彈性力學問題的各種數(shù)值解法便具有重要的實際意義。第133頁,共162頁，2024年2月25日，星期天工程中常用的數(shù)值解法有有限單元法和差分法。有限單元法

是以有限個單元的集合體來代替連續(xù)體，屬于物理上的近似。差分法

是把彈性力學的基本方程和邊界條件（一般均為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來表示，把求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題，屬于數(shù)學上的近似。第134頁,共162頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)差分方程第二節(jié)應力函數(shù)的差分解第三節(jié)深梁應力函數(shù)的差分解第135頁,共162頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)差分方程

差分法是沿用已久的一種數(shù)值解法。隨著計算機的普及和相應的軟件發(fā)展，此法成為解彈性力學問題的一種有效的方法。第136頁,共162頁，2024年2月25日，星期天我們在彈性體上，用相隔等間距h而平行于坐標軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格，Δx=Δy=h，如圖。設(shè)f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個連續(xù)函數(shù)。該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，如在３-０-１上,它只隨x坐標的改變而變化。在鄰近結(jié)點０處，函數(shù)f可展為泰勒級數(shù)如下：第137頁,共162頁，2024年2月25日，星期天我們將只考慮離開結(jié)點０充分近的那些結(jié)點，即（x-x0）充分小。于是可不計（x-x0）的三次及更高次冪的各項，則上式簡寫為：在結(jié)點３，x=x0-h,在結(jié)點1,x=x0+h，代入(b)得：第138頁,共162頁，2024年2月25日，星期天聯(lián)立(c),(d),解得差分公式：

同理，在網(wǎng)線４-０-２上可得到差分公式第139頁,共162頁，2024年2月25日，星期天差分公式(１-１)及(１-３)是以相隔2h的兩結(jié)點處的函數(shù)值來表示中間結(jié)點處的一階導數(shù)值，可稱為中點導數(shù)公式。以相鄰三結(jié)點處的函數(shù)值來表示一個端點處的一階導數(shù)值，可稱為端點導數(shù)公式。應當指出：中點導數(shù)公式與端點導數(shù)公式相比，精度較高。因為前者反映了結(jié)點兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點一邊的函數(shù)變化。因此，我們總是盡可能應用前者，而只有在無法應用前者時才不得不應用后者。第140頁,共162頁，2024年2月25日，星期天以上(１-１)~(１-４)是基本差分公式,從而可導出其它的差分公式如下：第141頁,共162頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)應力函數(shù)的差分解當不計體力時，我們已把彈性力學平面問題歸結(jié)為在給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程的問題。用差分法解平面問題，就應先將雙調(diào)和方程變換為差分方程，而后求解之。第142頁,共162頁，2024年2月25日，星期天一旦求得彈性體全部節(jié)點的φ值后，就可按應力分量差分公式（對節(jié)點0）算得彈性體各節(jié)點的應力。第143頁,共162頁，2024年2月25日，星期天可見，用差分法解平面問題，共有兩大任務(wù)：一、建立差分方程將（1-6~8）代入雙調(diào)和方程對于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點，都可以建立這樣一個差分方程。整理即得第144頁,共162頁，2024年2月25日，星期天二、聯(lián)立求解這些線性代數(shù)方程，就能求得各內(nèi)結(jié)點處的值。為了求得邊界上各結(jié)點處的φ值，須要應用應力邊界條件，即：一般建立和求解差分方程，在數(shù)學上不會遇到很大困難。但是，當對于邊界內(nèi)一行的（距邊界為h的）結(jié)點，建立的差分方程還將涉及邊界上各結(jié)點處的φ值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點處的φ值。第145頁,共162頁，2024年2月25日，星期天代入上式，即得：

l1=cos(N,x)=cosα=dy/ds,l2=cos(N,y)=sinα=-dx/ds,于是，式（a）可改寫為：由右圖可見，第146頁,共162頁，2024年2月25日，星期天關(guān)于邊界上任一點處由此得：

的值，可將（b）式從A點到B點對s積分得到：第147頁,共162頁，2024年2月25日，星期天將此式亦從A點到B點沿s進行積分，就得到邊界上任一點B處的φ值。為此利用分部積分法，得：

由高等數(shù)學可知，第148頁,共162頁，2024年2月25日，星期天將式(b),(c)代入，整理得：由前知，把應力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影響應力。因此，可設(shè)想把應力函數(shù)加上a+bx+cy，然后調(diào)整a，b，c三個數(shù)值，使得由式(d)及式(c)可見，設(shè)即可根據(jù)面力分量及導數(shù)求得為已知，第149頁,共162頁，2024年2月25日，星期天從圖易看出，式（2－3）右邊的積分式表示A與B之間的