安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)2022-2023學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué) 含解析

2022-2023學(xué)年度高二第一學(xué)期10月月考試卷

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，滿分60分）

11

AB+—BC+—BD=

1.如圖，如空間四邊形A8C0中，E,尸分別是BC,8的中點(diǎn)，22（）

A.ADB.AFC.FAD.EF

【答案】B

【解析】

【分析】利用空間向量運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】AB+-BC+-BD=AB+BF=AF.

22

故選：B

2.已知A,B,C,D,E是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A,B,C不共線，則“存在實(shí)數(shù)x,y,使得

Z）E=xAB+yAC是“?！?/平面ABC"的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

UUUUUUUUIU

【分析】利用存在實(shí)數(shù)X,y,使得。后=》48+）法（70。石//平面/18（?或。石匚平面48。，結(jié)合充分

必要條件的定義即可求解.

UUtlUUUL1LU11

【詳解】若￡>E//平面ABC,則AB,AC共面，故存在實(shí)數(shù)x,y，使得。E=xA3+yAC,所以必

要性成立；

ULIUUUUUUU

若存在實(shí)數(shù)X,?使得OE=xA8+），AC,則。及AB,AC共面，則?！?/平面ABC或DEu平面

ABC,所以充分性不成立；

所以“存在實(shí)數(shù)x,y,使得OE=xA8+yAC是“。E//平面ABC，的必要不充分條件，

故選：B

UUUUUUUUU

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間向量共面的問(wèn)題，理清存在實(shí)數(shù)X,y,使得。E=xA8+)，ACo

DE//平面ABC或DEu平面ABC是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知四面體A8CQ，所有棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)E,尸分別為棱AB,CD的中點(diǎn)，則()

A.1B.2C.-lD.-2

【答案】D

【解析】

【分析】在四面體ABC。中，取定一組基底向量，表示出4尸，CE，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.

【詳解】四面體ABC。的所有棱長(zhǎng)均為2,則向量A3,AC,AO不共面，兩兩夾角都為60，

則A6-AC=ACA￡)=ADAB=2x2xcos60=2，

因點(diǎn)E,F分別為棱AB,CD的中點(diǎn)，則AF='(AC+AQ),CE=AE-AC=-AB-AC,

22

AFCE=-(AC+AD)-(AB-2AC)=-(AC-AB+AD-AB-2AC2-2AC-AD)

44

=；(2+2—2x2?—2x2)=—2,

所以AF-CE=-2.

故選：D

4.已知空間向量q,。，忖=1,忖=&，且a—b與a垂直，則a與b的夾角為()

A.60B.30C.135D.45

【答案】D

【解析】

【分析1根據(jù)已知可得(a-b)s=0,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出cos(a,b)=g,進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榕ca垂直，所以("4。=0，

即a—"一"?bcos(a/)=l-V^cos(Q,b)=0,

所以cos(a,/?)=.

rr

又0<(?,^<180,所以(a,")=45。.

故選：D

5.在長(zhǎng)方體ABCD-A4GA中，若A8=3f,AD=21,AA=53則向量患在基底?,/,Z｝下的坐標(biāo)

是()

A.(1,1,1)B，(n'g)C.(3,2,5)D.(3,2,—5)

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合圖形，利用空間向量加法運(yùn)算的幾何表示與基本定理即可得解.

【詳解】如圖，長(zhǎng)方體ABC。-中，若A6=3i,A￡)=2),A4,=5Z,

則AC；=AB+BC+CC1=AB+AD+AA,=3i+2j+5k,

所以向量患在基底下的坐標(biāo)是(3,2,5).

故選：C.

6.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正四面體A3CD中，以△8C。的中心。為坐標(biāo)原點(diǎn)，Q4為z軸，。。為V

軸建立坐標(biāo)系，M為A8中點(diǎn)，則M的坐標(biāo)為()

【解析】

【分析】

先求出a-b的坐標(biāo)，然后由(。->)_Lc可得(。-勿?，=(),再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?=(2,0,3),1=(4,-2,1),所以。一。=(一2,2,2),

因?yàn)?a-Z?)_LC,所以(a-/?)-c=0,即4+2x+4=0,解得x=T.

故選：B

8.已知空間向量a=(1,2,3),b={ni,-\,ii),若a〃匕，則加+〃=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】由空間向量平行的坐標(biāo)公式求出人〃即可.

【詳解】由—————，解得/〃=—,n——,則/?!+〃=—2.

12322

故選：A.

9.在三棱柱ABC-A與G中，如圖所示，側(cè)棱A&J?底面ABC，點(diǎn)。是A圈的中點(diǎn)，片是AG的中

點(diǎn)，N8C4=90°,8C=CA=2,CC1=3,則8。與A4所成角的余弦值是()

,V30R4師

A.------fc>.----------------

1055

「炳n6A/H0

1555

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，從而求得00,4耳的坐標(biāo)表示，進(jìn)而利用空間向量夾角余弦的

坐標(biāo)表示求得所求.

【詳解】因?yàn)樵谥比庵鵄BC中，N5C4=90。，

所以易得CA,C3,CG兩兩垂直，則以C為原點(diǎn)，C4為x軸，CB為了軸，C&為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系C一孫z,

因?yàn)锽C=CA=2,CG=3,所以A（2,0,0）,3（0,2,0）,G（0,0,3）,A（2,0,3）,旦（0,2,3）,

又點(diǎn)A，4分別是4。的中點(diǎn),所以t（1,0,3）,“（1,1,3）,

故=(1,—1,3),A4=(—1,0,3),

設(shè)BQ與A&所成的角為。，

則cos”犯產(chǎn)=/H+°+?=8型

BD^AE^71+1+9x7179VllxVlO55

所以BD｝與AEy所成角的余弦值為生叵.

55

10.若直線/的方向向量為。=（1,0,2）,平面a的法向量為“=（一2,1,1）,則（）

A.I//aB.ILaC./ua或/〃aD./與。斜交

【答案】C

【解析】

【分析】利用直線的方向向量和平面的法向量垂直來(lái)判斷直線和平面的位置關(guān)系.

【詳解】Va=(1,0,2),?=(-2,1,1),

a?〃=0即。_L〃，

/〃?；?ua.

故選：C.

11.若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3),且在x軸上的截距的取值范圍是(-1,3),則其斜率左的取值范圍是()

A.(~℃,—3)(1,+oo)

D.(-oo,-l)uf1,+oo

C.(-3,1)

【答案】A

【解析】

【分析】將截距范圍轉(zhuǎn)化為直線與線段有交點(diǎn)，利用斜率計(jì)算公式及其意義即可得出.

【詳解】取直線/與x軸的交點(diǎn)N(3,0).

%二有不=1'y三

.直線/與線段MN相交，

二.左>1或&<—3.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線在坐標(biāo)軸上截距的定義、斜率計(jì)算公式及其意義，考查了轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

12如果直線x+2沖-1=0與直線(3a-l)x—ay-1=0平行，則”等于()

1“小

A.OB.-C.0或1D.0或一

66

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)直線平行的條件，列出關(guān)于a的方程并解之，即可得到實(shí)數(shù)。的值.

【詳解】?.?直線X+劃一1=0與直線（3。-1）%-政-1=0平行,

—a—2a（3a—1）解之得a=0或,,

6

故選D.

【點(diǎn)睛】本題給出兩條直線互相平行，求參數(shù)的值，著重考查了直線的方程與直線的位置關(guān)系等知識(shí)，

屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.已知點(diǎn)M（-l,l）,N（3,-3）,且過(guò)點(diǎn)尸（3,0）的直線/分別到點(diǎn)"，N的距離相等，則直線/的斜率為

【答案】3或T

【解析】

【分析】直線/與點(diǎn)M,N的距離相等，則直線/與直線MN平行或直線/經(jīng)過(guò)M,N的中點(diǎn)，可求直線

斜率.

[詳解】當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線/與直線MN平行時(shí)，直線/與點(diǎn)N的距離相等，所以用=kMN==-1：

當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線/經(jīng)過(guò)N的中點(diǎn)時(shí)，直線/與點(diǎn)"，N的距離相等，由M,N的中點(diǎn)坐標(biāo)為。（1,一1）,

P（3,0）,所以&=即2=*=4.

故答案為：■或T.

14.若過(guò)點(diǎn)（—3,0）的直線人的傾斜角是直線/2：J§x—3y+a=0傾斜角的兩倍，則直線4的方程為

【答案】Gx-y+3百=0

【解析】

【分析】求出直線，2的傾斜角，從而得到直線4的傾斜角及斜率，寫出直線4的方程.

【詳解】設(shè)直線&：6彳-3y+a=0的傾斜角為%ee[0,兀），

則tana=，故。=g,

36

7T

設(shè)直線4的傾斜角為尸，則尸=2。=],

故直線/,的斜率為tan/?=tany=V3>

故直線4的方程為y=g(x+3),即可一y+3G=0.

故答案為：百x-y+3百=0.

15.若向量“=(',4,5),。=(1,一2,2),且n與人的夾角的余弦值為也，則實(shí)數(shù)x的值為

6

【答案】3

【解析】

【分析】由向量的夾角公式列方程求解.

【詳解】向量￡=(x,4,5),ft=(1,-2,2),

***a.b=x—8+10=x+2，

a-y/x2+42+52="l+f‘

W="+(—2)2+22=3.

又“，匕夾角的余弦值為正，

6

V2abx+2

6|a||/?|"l+j?x3，

解得x=3.

故答案為：3.

16.如圖，M是四面體。43c的棱SC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且

13

MN=-ON,AP=—AN,用向量Q4，OB>OC表示OP，則OP=______.

24

o

【答案】-OA+-OB+-OC

444

【解析】

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算直接求解

【詳解】由題意OP=OA+-AN=OA+-（ON-OA\=-OA+-X-OM=-OA+-x-x^^

44V74434432

=-OA+-OB+-OC

444

故答案為：-OA+-OB+-OC

444

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.已知AQ2,0）,5（0,4,0）,C（2,3,3）.

（1）求cos（A8,AC）；

（2）已知點(diǎn)P（—3,北〃）在直線AC上，求的值；

（3）當(dāng)之為何值時(shí)，A8與A6+XAC垂直？

【答案】（1）叵

55

（2）-14

（3）A=-5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解；（2）利用空間向量共線的坐標(biāo)表示求解；（3）利

用空間向量垂直的坐標(biāo)表示求解.

【小問(wèn)1詳解】

A3=(-1,2,0),AC=(1,1,3),

AB|=逐JAC|=VTT,A8AC=-1+2=1,

cos(AB,AC\=一尸1；—=.

\/底幅55

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)尸(一3,也〃)在直線AC上，.?.茄與AC共線，

則存在〃eR使得AP="AC,即(一3—1,"L2,〃-0)=〃(1,1,3),

-4二〃

=解得加=—2,〃=—12,m+九=—14；

〃二3〃

【小問(wèn)3詳解】

AB+/lAC=(-l,2,0)+"1/,3)=(2-1"+2,34),

AB與A8+2AC垂直，

-lx(2-1)+2x(2+2)+0x3A=0,

4=—5,

.?.4=—5時(shí)，48與AB+AAC垂直.

18.已知直線與x軸正半軸交于點(diǎn)A(a,0),與)'軸正半軸交于點(diǎn)3(0,。)，點(diǎn)M在線段A8上，滿

足忸M|=2|M4],直線(。為原點(diǎn))的斜率為*.

(1)求2的值；

a

(2)設(shè)點(diǎn)。與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，N為線段AC的中點(diǎn)，求證：MN1AB.

【答案】(1)必

5

(2)證明見解析

【解析】

【分析】⑴根據(jù)忸M|=2|M4|及A(a,0),3(0,。)坐標(biāo)即可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為從而可得

心“=2='5,即可得2的值；

OM2a10a

（2）根據(jù)對(duì)稱可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-。），從而可得N的坐標(biāo),計(jì)算《外，心B，驗(yàn)證

1，即可證明結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

解：點(diǎn)M在線段AB上且滿足忸叫=2|M4|,所以8M=§區(qū)4n（如，將叫=3（。，一匕），

21（21、

則?=~a^M=gb,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為J.

又因?yàn)橹本€的斜率為好,于是自M=迎=3—=3=交，

10XM2a2a10

所以2=亞；

a5

【小問(wèn)2詳解】

證明：「點(diǎn)。與點(diǎn)5關(guān)于x軸對(duì)稱，

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-匕），

線段AC的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為一；人），

于是==-正=-1，

所以MN工A5.

19.已知已=（3,4,x）,〃=（2,y,-2）.

（1）若由+21）〃（￡」），求為y的值.

（2）若（a+0）_L（a—b）,且忖=5,求x的值.

Q

【答案】（1）x=-3,y=-；

(2)x=o.

【解析】

【分析】(1)利用向量的線性運(yùn)算和向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，列方程求解.

(2)利用向量垂直的充要條件和向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，列方程求解.

【小問(wèn)1詳解】

a=(3,4,x),b=(2,y,-2)

<7+=(7,4+2y,x-4),a-Z?=(1,4-j,x+2).

(5+')〃(「』)，孑=^^=法,解得*=-3,y=g

【小問(wèn)2詳解】

由(a+8)得(a+Z>>(a_/>)=0,二a2-b2=0,，同=|可，

由W=5,有同=5,即/=25，,-.32+42+X2=25.

解得x=0.

20.如圖，三棱柱ABC-A4G中，M,N分別是4仇4G上的點(diǎn)，且助W=2AM，GN=2B1N.設(shè)

AB=aAC=b?AA,=c-

(1)試用a,b，c表示向量MN；

(2)若/84。=90。,/如]=NC4A=6()o,A8=AC=A4]=1,求MN的長(zhǎng).

【答案】(1)MN^-a+-b+-c

333

⑵叵

3

【解析】

【分析】(1)利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

(2)根據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：MN=MA]+A,Cl+CiN

=-BA.+AC+-CB

33

u-gAB+gM+AC+^(AB-AC)

I11

=-AB+-A4,+-AC,

11-1

：.MN=-a+-b+-c；

333

【小問(wèn)2詳解】

解：AB=AC=A4,=1,.*.|a\=^b\=^c\=l,

ABAC=90°,.\ab=O,ZBA^=ZCAA,=60°,

,1

:.ac-