全國初中生數(shù)學(xué)競賽真題試卷及詳細(xì)答案

全國初中生數(shù)學(xué)競賽真題試卷及詳細(xì)答案

一、填空題（共7小題，每空2分，滿分20分）

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點尸［機（m+1）,m-］］（加為實數(shù)）不可能在第象限.

2.某校組織師生春游，如果單獨租用45座客車若干輛，剛好坐滿；如果單獨租用60座客

車,可以少租一輛，且余30個座位.則該校去參加春游的人數(shù)為；若己知45座

客車的租金為每輛250元，60座客車租金為每輛300元，這次春游同時租用這兩種客車

其中60座客車比45座客車多租1輛，所以租金比單獨一輛客車要節(jié)省，按這種方案需

要租金____元.

3.已知m-w=-5,m2+n2—13,那么“Aw/：.

4.如圖，以A8為直徑畫一個大半圓，BC^2AC,分別以AC,為直徑在大半圓內(nèi)部畫

兩個小半圓，那么陰影部分的面積與大半圓面積的比等于.

5.加油站A和商店8在馬路的同一側(cè)（如圖），A到的距離大于8到的距離

AB=7米，一個行人尸在馬路上行走，問：當(dāng)P到A的距離與P到B的距離之差最

大時，這個差等于米.

MPN

6.如圖，有_____個正方形，有個三角形.

7.如圖，尸是平行四邊形ABCZ）內(nèi)一點，且S△如B=5,S△如D=2,則陰影部分的面積為

第1頁共14頁

D

二、選擇題（共1小題，每小題4分，滿分2分）

8.（2分）如果a,b,c均為正數(shù)，且a（6+c）=152,b（c+a）=162,c（a+6）=170那

么abc的值是（）

A.672B.688C.720D.750

三、解答題（共9小題，滿分100分）

9.（8分）已知a,b,c都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式7a+26+3c的值能被13整除時，那么代數(shù)式5a+lb

-22c的值是否一定能被13整除，為什么？

10.（8分）如圖所示，在四邊形A8CD中，AM=MN=ND,BE=EF=FC,四邊形

C

MEFN,N/CD的面積分別記為Si,S2和S3,求——-?

S1+S3

（提示：連接AE、EN、NC和AC）

11.（9分）已知〃是正整數(shù)，且2什1與3〃+1都是完全平方數(shù).是否存在%使得5見+3是

質(zhì)數(shù)？如果存在，請求出所有〃的值；如果不存在，請說明理由.

第2頁共14頁

12.（10分）某市電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位數(shù)和第二位數(shù)之間加上3成為

一個七位數(shù)；第二次升位是在首位數(shù)前加上2成為一個八位數(shù)，某人發(fā)現(xiàn)他家中的電話

號碼升位后的八位數(shù)恰好是原六位數(shù)的電話號碼33倍.問這家原來的電話號碼是多少？

13.（10分）如圖，一個9義9的方格圖，由粗線隔為9個橫豎各有3個格的“小九宮”格

其中，有一些方格填有1至9的數(shù)字，小鳴在第九行的空格中各填入了一個不大于9的

正整數(shù)，使每行、每列和每個“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)，然后小鳴將第九行的數(shù)

字從左向右寫成一個9位數(shù).請寫出這個9位數(shù)，簡單說明理由.

14.（10分）平面上有6個點，其中任何3個點都不在同一條直線上，以這6個點為頂點

可以構(gòu)造多少個不同的三角形？從這些三角形中選出一些，如果要求其中任何兩個三角

形沒有公共頂點，最多可以選出多少個三角形？如果要求其中任何兩個三角形沒有公共

邊，最多可以選出多少個三角形？（前兩問不要求說明理由）

15.（15分）壯壯、菲菲、路路出生時，他們的媽媽都是27歲，某天三位媽媽王雪、劉芳

和李薇閑談時，王雪說：“菲菲比劉芳小歲”；李薇說：“路路和劉芳的年齡的和是36歲”劉

芳說：“路路和王雪的年齡的和是35歲”.已知壯壯、菲菲、路路和他們的媽媽6個人年齡

的總和是105歲.請回答：是路路的媽媽？壯壯、菲菲和路路的年齡各是歲

歲,歲？

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11

16.（15分）請回答：-能否表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和？一能否表示為3個互異的

88

完全平方數(shù)的倒數(shù)的和？如果能，請給出一個例子；如果不能，請說明理由.

17.（15分）甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時從同一地點出發(fā)沿

相反方向跑，每人跑完第一圈到達出發(fā)點后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度

211

是甲速度的一，甲跑第二圈時速度比第一圈提高了一，乙跑第二圈時速度提高了二已知

335

甲、乙二人第二次相遇點距第一次相遇點190米，問：這條橢圓形跑道長多少米？

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參考答案與試題解析

一、填空題(共7小題，每空2分，滿分20分)

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點P[機(m+1),m-1](機為實數(shù))不可能在第二象限.

(?71V0

或)，所以機>0或能<7,因此

m+1>0Im+1<0

機-1>-1或-1<-2,即P[m(加+1),加-1]可能經(jīng)過第一或四象限.

⑵當(dāng)機(〃什1)<0時，有或產(chǎn)〈°,所以因此

lm+1<01m+1>0

1<-1,即P[mm-1]經(jīng)過第三象限.

綜合地，P[m(m+1),相-1]不經(jīng)過第二象限.

2.某校組織師生春游，如果單獨租用45座客車若干輛，剛好坐滿；如果單獨租用60座客

車，可以少租一輛，且余30個座位.則該校去參加春游的人數(shù)為270；若已知45座

客車的租金為每輛250元，60座客車租金為每輛300元，這次春游同時租用這兩種客車

其中60座客車比45座客車多租1輛，所以租金比單獨一輛客車要節(jié)省，按這種方案需

要租金1400元.

aa+30

解：設(shè)該校去參加春游的人數(shù)為。人，則有:=-----+1,解的：。=270

4560

設(shè)租用45座客車x輛，則租用60座客車(x+1)輛，由題意

若單獨租45座客車需要270?45=6輛，租金250X6=1500元，若單獨租60座客車需

要(270+30)+60=5輛，租金300X5=1500元，則有：

(250x+300(x+l)<1500；解地:2<#<24

[45%+60(%+1)>27011

:尤為正整數(shù)；.x=2

即租45座客車2輛，60座客車3輛，此時租金為：250X2+300X3=1400(元).

故答案為270,1400.

3.已知祖-“=-5,〃，+〃2=]3,那么〃z4+w4=97.

解："."m-n=-5,m2+n2=13

(m-H)2=m2+n2-2mn

mn=-6

又(m2+n2)2=m4+n4+2m2n2

故機4+〃4=]32_2X36=97.

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故答案為：97.

4.如圖，以為直徑畫一個大半圓，BC=2AC,分別以AC,CB為直徑在大半圓內(nèi)部畫

4

兩個小半圓，那么陰影部分的面積與大半圓面積的比等于f

解：設(shè)AC=2x

U：BC=2AC

.*.BC=4x,AB=6x

?121212

S陰影部分=27r(3x)—(2x)—2兀^

=2m；2

陰影部分的面積與大半圓面積的比為：

2TVC2：一兀(3x)2=4：9

2

4

故答案為：

5.加油站A和商店B在馬路的同一側(cè)(如圖)，A到的距離大于2到的距離

AB=7米，一個行人P在馬路MN上行走，問：當(dāng)尸到A的距離與P到8的距離之差最

大時，這個差等于7米.

解：當(dāng)A、B、尸三點不在同一直線上時

此時三點構(gòu)成三角形.

兩邊AP與BP的差小于第三邊AB.

.?.A、B、P在同一直線上

：.P到A的距離與P到B的距離之差最大

這個差就是的長

故答案為：7.

6.如圖，有95個正方形,有155個三角形.

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X4+3X3+2X2+1X1=91.

另外還有4個正方形.

所以正方形的個數(shù)為91+4=95；

(2)①直角邊長為1的三角形的個數(shù)為6X6X2=72個.

②直角邊長為2的三角形8+6+2+8+6=30個.

③直角邊長為3的直角三角形4+2+4=10個

④直角邊長為4的直角三角形有2個.

⑤斜邊長為2的三角形12+3+1+4=20個.

⑥斜邊長為4的三角形1+2+1=4個.

(7)1—6列依次還有3+3+3+2+3+3=17個.

所以三角形的個數(shù)為72+30+10+2+20+4+17=155個.

故答案為：95；155.

7.如圖,P是平行四邊形ABCD內(nèi)一點，且S△朋B=5,SAT?W=2,則陰影部分的面積為

解：S^PAB+S^PCD=-^SSABCD—S/XACD

SAACD~S/\PCD=S^FAB

貝-S^PCD-S/^PAD

=S^PAB~S/\B\D

=5-2

=3.

故答案為：3.

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二、選擇題（共1小題，每小題4分，滿分2分）

8.（2分）如果a,b,c均為正數(shù)，且。（6+c）=152,b（c+a）=162,c（a+6）=170那

么abc的值是（）

A.672B.688C.720D.750

解：Vtz（Z?+c）=152,b（c+a）=162,c（i+Z?）=170

/.ab+ac=152①

bc+ba=162（2）

ca+cb=170③

（D+（2）+（5）,并化簡,得：tz/?+Z?c+cd!—242（4）

④-①地：be=90

（4）-②地：C4=8O

④-③地：ab=72

「?8c?co?〃/?=90X80X72

即（abc）2=72。2

?二〃，b,c均為正數(shù)

??〃Z?c=720.

故選：C.

三、解答題（共9小題，滿分100分）

9.（8分）已知a,b,c都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式la+2b+3c的值能被13整除時，那么代數(shù)式5a+76

-22c的值是否一定能被13整除，為什么？

解：設(shè)x,y,z,r是整數(shù)

并且假設(shè)5a+76-22c=x(7a+26+3c)+13(ya+zb+tc)(1)

比較上式a,b,c的系數(shù)

應(yīng)當(dāng)有7x+13y=52x+13z=7(2)

3x+13f=-22,取x=-3

可以得到y(tǒng)=2,z—1,t--1

貝ij有13(2a+b-c)-3(7a+26+3c)=5a+7b-22c(3)

既然3(7a+2b+3c)和13(2a+b-c)都能被13整除

5a+7b-22c就能被13整除.

10.（8分）如圖所示，在四邊形43a）中，AM=MN=ND,BE=EF=FC,四邊形ABEM

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s

MEFN,N/C。的面積分別記為Si,S2和S3,求——?=?

S1+S3

（提示：連接AE、EN、NC和AC）

解：如圖〃所示：連接AE、EN和NC,設(shè)四邊形AECN的面積為S

?；AM=MN=ND,BE=EF=FC

S^AEM=S^MEN,S^CNF=SAEFN

上面兩個式子相加的SAAEM+SACNF=S2

并且四邊形AECN的面積S=2S2,即：S2=15,SMEM+S^CNF=

連接AC,如圖b所示：

?：AM=MN=ND,BE=EF=FC

：.CE=2BE,NA=2DN

.11

??Sj^ABE—2s△AEC,S叢CDN=2s△C7VA

上面兩個式子相加的SAABE+SRDN=Ix四邊形AECN的面積=

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H.(9分)已知”是正整數(shù)，且2w+l與3”+1都是完全平方數(shù).是否存在〃，使得5〃+3是

質(zhì)數(shù)？如果存在，請求出所有w的值；如果不存在，請說明理由.

解：如果2〃+]=必,3w+l=w2

則5〃+3=4(2/1+1)-(3/1+1)—4k1-m2=(2k+m)(2k-m).

因為5w+3>(3n+l)+2=m2+2>2m+l

所以M-mW1(否貝lj5n+3=2k+m=2m+l).

而5w+3=C2k+m)(2k-m)是合數(shù).

12.(10分)某市電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位數(shù)和第二位數(shù)之間加上3成為

一個七位數(shù)；第二次升位是在首位數(shù)前加上2成為一個八位數(shù)，某人發(fā)現(xiàn)他家中的電話

號碼升位后的八位數(shù)恰好是原六位數(shù)的電話號碼33倍.問這家原來的電話號碼是多少？

解：設(shè)原電話號碼為仍加小則升位后為2a3bc的令bcdef=x

由題意的33a尤=2°3無

即33(100000?+x)=20300000+1OOOOOOA+X

化簡得32x=20300000-2300000。(3aW9,0/x<100000的整數(shù))

故0Wx=3125(203-23a)<100000

解得171<23aW203

所以a=8.

于是x=3125(203-23X8)=59375.

故所求的電話號碼為859375.

13.(10分)如圖，一個9義9的方格圖，由粗線隔為9個橫豎各有3個格的“小九宮”格

其中，有一些方格填有1至9的數(shù)字，小鳴在第九行的空格中各填入了一個不大于9的

正整數(shù)，使每行、每列和每個“小九宮”格內(nèi)的數(shù)字都不重復(fù)，然后小鳴將第九行的數(shù)

字從左向右寫成一個9位數(shù).請寫出這個9位數(shù)，簡單說明理由.

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5874

627

13498

49

31756

917

6395

7369

4182

解：填數(shù)的方法是排除法，用（m,n）表示位于第m行和第"列的方格.

第七行、第八行和第3列有9,所以，原題圖6左下角的“小九宮”格中的9應(yīng)當(dāng)填在

（9,2）格子中；

第1歹U、第2列和第七行有數(shù)字5,所以，在圖右下角的“小九宮”格中的數(shù)字5只能

填在（9,3）中；

第七行、第八行有數(shù)字6,圖6中下部的“小九宮”格的數(shù)字6應(yīng)當(dāng)填在（9,6）；

此時，在第九行尚缺數(shù)字7和3,由于第9列有數(shù)字7

所以，7應(yīng)當(dāng)填在（9,8）；3自然就填在（9,9）了

填法見圖.

九位數(shù)是：495186273.

3S74

627

1349S

49

31756

917

6393

7369

495186273

14.（10分）平面上有6個點，其中任何3個點都不在同一條直線上，以這6個點為頂點可

以構(gòu)造多少個不同的三角形？從這些三角形中選出一些，如果要求其中任何兩個三角形

沒有公共頂點，最多可以選出多少個三角形？如果要求其中任何兩個三角形沒有公共邊

最多可以選出多少個三角形？（前兩問不要求說明理由）

解：（1）先從6個點中選取1個做三角形的一個頂點

有6種取法；再從余下的5個點中選取1個做三角形的第二個頂點

有5種取法；再從余下的4個點中選取1個做三角形的第三個頂點

有4種取法.因為任何3個點不在同一條直線上

所以，這樣選出的三個點可以作出1個三角形.

第11頁共14頁

但是，如果選出的三個點相同的話，則作出的三角形相同，

三個點相同的取法有3X2X1=6種，

所以，以這6個點為頂點可以構(gòu)造文四=20個不同的三角形；

3x2x1f

（2）每個三角形有3個頂點

所以，6個點最多只能構(gòu)造2個沒有公共頂點的三角形；

（3）用英文大寫字母A、B、C、D、E、F記這6個點

假設(shè)可以選出兩兩沒有公共邊的5個三角形

它們共有15個頂點，需要15個英文大寫字母.

這里不同的英文大寫字母僅有6形兩兩沒有公共邊

即除去公共頂點A之外，其余6個頂點互不相同

即表示這6個頂點的字母不相同.

但是，除A之外，我們僅有5個不同的字母.

所以不可能存在5個三角形，它們兩兩沒有公共邊.

又顯然△ABC,△ADE,△8。尸和這4個三角形兩兩沒有公共邊.

所以，最多可以選出4個三角形，其中任何兩個三角形都沒有公共邊.

15.（15分）壯壯、菲菲、路路出生時，他們的媽媽都是27歲，某天三位媽媽王雪、劉芳

和李薇閑談時，王雪說：“菲菲比劉芳小歲”；李薇說：“路路和劉芳的年齡的和是36歲”

劉芳說：“路路和王雪的年齡的和是35歲”.已知壯壯、菲菲、路路和他們的媽媽6個人

年齡的總和是105歲.請回答：王雪是路路的媽媽?壯壯、菲菲和路路的年齡各是

5歲,3歲,4歲?

解：設(shè)劉芳的年齡為尤歲.

①劉芳和路路的年齡和是36歲

是個偶數(shù)，他們的年齡差也是一個偶數(shù)

而路路和媽媽的年齡的差是奇數(shù)

因此路路的媽媽不是劉芳.

注意到菲菲比劉芳小29歲

菲菲的媽媽不是劉芳

所以，壯壯的媽媽是劉芳.

②壯壯和媽媽劉芳的年齡的和為（2x-27）

第12頁共14頁

路路(36-x)歲，他的媽媽應(yīng)當(dāng)是(36-X+27)歲，和為(99-2x)

菲菲(x-29)歲，她的媽媽應(yīng)當(dāng)是(x-29+27)歲,和為(2%-31)

由于6個人共105歲，所以，(2%-27)+(99-2x)+(2x-31)=105.

③解出工=32,菲菲比劉芳小29歲，所以菲菲3歲；

路路和劉芳的年齡的和是36,路路4歲；

路路和王雪的年齡的和是35歲，所以王雪31歲.

答：王雪是路路的媽媽；壯壯5歲、菲菲3歲和路路4歲.

故填：王雪，5,3,4.

11

16.(15分)請回答：:能否表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和？;能否表示為3個互異的

88

完全平方數(shù)的倒數(shù)的和？如果能，請給出一個例子；如果不能，請說明理由.

111

解：(1)由于一+-+-=1,

236

1111111

故有一=-X(―+—+—)=——+——+——.

8836，162448

所以，:能表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和(表示法不唯一).

(2)不妨設(shè)

現(xiàn)在的問題就是尋找整數(shù)〃，b,c

、“1111

病足二=—+—+

8a2b2c2

由則有，

,,11113

從而二=f

8於bzczaz

11

所以42V24.又有3>溫

所以。2>8,故〃2=9或16.

11111

若〃2=9,則有77+W=\一1二二7

匕2c28972

一11-2111

由于并且77>77+=7Z

72b2b2b2c272

所以房>72,72<Z?2<144.

2

故戶=81,100或121.將房=81、io。和121分別代入,2=沒有一個是完全平

b-72

方數(shù)

1111

說明當(dāng)〃2=9時，；；=w+7?+:■無解.

8a2b2c2

第13頁共14頁

,11111

右。~=16,貝U77+f--=-?

b2c281616

類