2023-2024學年江西高一年級下冊期中考試數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年江西高一下冊期中考試數(shù)學試題

一、單選題

1.cos210°=（）

A.--B.；C.-3D.正

2222

【正確答案】C

【分析】根據(jù)誘導公式可求函數(shù)值.

【詳解】cos210°=cos（180°+30°）=-cos30°=-y,

故選：C.

sinct

2.若2--<0,且cosa-tana<0,則角a是

tana

A.第一象限B.第二象限C.第四象限D(zhuǎn).第三象限

【正確答案】D

【詳解】分析：根據(jù)三角函數(shù)符號規(guī)律確定角a所在象限.

詳解：因為絲里<0,所以角a在第二、三象限，

tana

因為cose-tana<0,所以角a在第四、三象限，

因此角a在第三象限，

選D.

點睛：三角函數(shù)符號規(guī)律：正弦函數(shù)在第一、二象限為正，在第三、四象限為負；余弦函數(shù)

在第一、四象限為正，在第二、三象限為負;正切函數(shù)在第一、三象限為正，在第二、四象

限為負.

3.設a=lg2,ZJ=COS2,c=202,則（）

A.b<c<aB.c<b<a

C.h<a<cD.a<h<c

【正確答案】C

【分析】分別利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)單調(diào)性，限定的取值范圍即可得出

結(jié)論.

【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)），=電工在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增可知o=igi<】g2<igio=i,即

?€（0,1）;

IT

由三角函數(shù)y=cosX單調(diào)性可知Z?=cos2<cos-=0；

利用指數(shù)函數(shù)y=2、為單調(diào)遞增可得C=20-2>2°=1；

所以

故選：C

4.下列函數(shù)中最小值為4的是（）

4

A.y=x+—B.y—G

x

D.y=tanXH-----

tanx

【正確答案】B

【分析】A、D討論工、tanx為負數(shù)即可判斷；B、C應用基本不等式求最值，結(jié)合根式、

正弦函數(shù)性質(zhì)判斷等號是否能成立.

4

【詳解】A：當x為負數(shù)時丫=工+—<0,不滿足；

x

廠4"2^^=4,

B：由丁=〃+下僅當x=4時等號成立，滿足;

\JX

C：由y=binH+i-Jz2』sinM-i"上=4,僅當|sinx|=2時等號成立,

|sinx\V|sinx\

顯然等號無法成立，故y=kinx|+島>4,不滿足；

4

D：當tanx為負值時丁=1@門+----<0,不滿足.

tanx

故選：B

5.已知函數(shù)/（x）=g+1cosx,則其圖象可能是（）

【正確答案】A

【分析】計算函數(shù)值”兀）后可得.

【詳解】由條件知/（兀）=[!）+gcOS7t=

故選：A.

6.中國空間站的主體結(jié)構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.安排甲、乙、丙、

丁4名航天員到空間站開展工作，每個艙至少安排1人，若甲、乙兩人不能在同一個艙開展

工作，則不同的安排方案共有（）

A.36種B.B種C.24種D.30種

【正確答案】D

【分析】先將甲乙兩人分別安排到兩個不同艙中，后分兩種方法安排丙、丁.

第一種安排丙、丁到第三個艙中；第二種先安排丙、丁中的一人到第三個艙中，再安排剩下

一人到甲乙二人所在的艙中.

【詳解】先將甲乙兩人分別安排到兩個不同艙中，有A；=6種安排方法.

后分兩種方法安排丙、丁，第一種安排丙、丁到第三個艙中，有1種方法；第二種先安排丙、

丁中的一人到第三個艙中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的艙中，有2x2=4種方法.則不

同的安排方案共有6x（1+4）=30種.

故選：D

7.如圖是古希臘數(shù)學家波克拉底研究的兒何圖形，此圖由三個半圓構成，直徑分別為直角

三角形ABC的斜邊48、直角邊8C、AC,N為AC的中點，點。在以AC為直徑的半圓上,

3

已知以直角邊AC,8c為直徑的兩個半圓的面積之比為3,sinND48=j,貝iJcosNDVC"的

值為（）

D

246+702473-7?773+24卜7G-24

AA.------D.-------C.------LL-------

50505050

【正確答案】A

【分析】根據(jù)面積比得到NB4c=?,確定cosND48=3,cosZDAN=^-+—,再根據(jù)

65510

cosNDNC=cos2ZDAN計算得到答案.

【詳解】兩個半圓的面積之比為3,則半徑之比為G，即tanNBAC=3，

3

ZBACe(0,3,故/BACq,

sinZDAB=|,ZDABe^O.^,故cosNDAB=Jl-sin?NZMB=，,

cosZDAN=cosf4DAB-->1=—cos4DAB+-sinNDAB=—+—,

IGJ22510

cosNDNC=cos2NDAN=2cos2ZDAN-1=2|—+—|-1=之,用」,

510J50

故選：A

8.一般地，設函數(shù)y=〃x）的定義域為4,區(qū)間/qA,如果對任意的士,々€/,fe（0,l）,

當看時,都有/[(1T)X|+/]>(1T)〃X[)+/&),則稱y=/(x)在區(qū)間/上是“"-函數(shù)”

下列函數(shù)中是區(qū)間（0,2兀）上是“〃-函數(shù)”的是（）

A.y=sin2xB.y=cos2x

C.y=sin—D.y=cos-

272

【正確答案】C

【分析】當，=g時，如果對任意的士,々?0,2兀），當占＜當時，都有

f（土產(chǎn)）〉工（嗎g,故函數(shù)為凸函數(shù)，進而分析各選項即可得答案.

【詳解】解：由題知，當/=；時，如果對任意的X/w（0,2兀），當玉時，都有

,1Al叫/伍）,故函數(shù)為凸函數(shù)；

對于A選項，>=sin2x的最小正周期為兀，由于正弦函數(shù)在一個周期內(nèi)凸函數(shù)性質(zhì)，又有

凹函數(shù)性質(zhì)，所以y=sin2x在（0,2兀）不具有始終為凸函數(shù)的性質(zhì)，故錯誤；

對于B選項，、=8$2》的最小正周期為兀，由于余弦函數(shù)在一個周期內(nèi)凸函數(shù)性質(zhì)，又有

凹函數(shù)性質(zhì)，所以y=cos2x在（0,2兀）不具有始終為凸函數(shù)的性質(zhì)，故錯誤;

對于C選項，y=sin5的最小正周期為4兀，其函數(shù)圖像在（0,2兀）始終具有為凸函數(shù)的性質(zhì),

故正確；

對于D選項，y=cos5的最小正周期為4兀，其函數(shù)圖像在（0,2兀）上即具有凸函數(shù)性質(zhì)，又

有凹函數(shù)性質(zhì)，故錯誤；

故選：C

9.下列等式成立的是（）

A.1<O6+6「1-cos2a

A.sin15=-----B.--------=tana

4sin2a

?a

sin—i

C.（l+tan4°）（l+tan41°）=3D.-——^—=------

「cosa2sin?

2

【正確答案】B

【分析】由兩角差的正弦公式可判斷A；由二倍角的正弦和余弦公式可判斷B,D；由兩角

和的正切公式可判斷C.

【詳解】對于A,sin15°=sin(6()°-45°)=sin6()°cos450-cos6()osin45°

=在'"一'、立=在二也，故A不正確；

22224

對于B,1-cos2a=l-(l-2sin-a)=2sin2a.一故B正確；

sin2a2sinacosa2sinacosa

對于C,(1+tan4°)(l+tan4I°)=l+tan4°+tan410+tan4°tan41°

tan40+tan410

tan(4°+41o)=則

1-tan4°tan41°

tan4o4-tan41o=tan45o（l-tan4otan41o）=l-tan4°tan41o,

所以（1+13114°）（1+341。）=1+1-12114。」31141。+12114。?131141。=2,故C不正確;

.a.a.a

sin—sinsin

2_221

對于D,22T=TT^a―7a，故D不正確?

1-cos"asirra、.aa

2sin—cos—4sin-cos—一

2222

故選：B.

二、多選題

10.我們平時聽到的樂音不只是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復合音?復合音的

產(chǎn)生是因為發(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生頻率為/的基音的同時，其各部分如二分之一、三分之

一、四分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如"，3/,V等.這些

音叫諧音，因為其振幅較小，一般不易單獨聽出來，所以我們聽到的聲音的函數(shù)為

y=sinx+gsin2x+gsin3x+：sin4x+.則函數(shù)y=sinx+；sin2x+；sin3x的周期不可能

為（）

C.|兀c兀

A.兀B.2兀D.-

2

【正確答案】ACD

【分析】函數(shù)的周期性可由/住+7）=/（工），結(jié)合選項和誘導公式一一驗證即可求解.

【詳解】由y=fM=sinx+sin2x4-sin3x,

對A：/（x+7u）=sin（x4-7i）+^sin[2（x4-7i）]+^sin[3（x+7c）]^/（x）,故A不可能.

對B：

/（1+2兀）=sin（x+2冗）+gsin[2（x+27r）]+；sin[3（x+27t）]=sinx+gsin2x+gsin3x=/（x）

，故B可能;

對C：/卜+|兀=sinx+<+1tin22Lisin3*22兀

wf（x）,故C不可能;

32333

=sin714sin2”71+'n3”71

對D：工〃力，故D不可能;

22232

故選：ACD.

11.下圖是函數(shù)/（x）=Asin（0x+e）（其中A>0,少>0,0<|。|<乃）的部分圖象，下列結(jié)論正

確的是（）

A.函數(shù)y=/（x-^|）的圖象關于y軸對稱

B.函數(shù)/（X）的圖象關于點卜卷,0）對稱

C.若/（玉）/天）=7,則|%+引的最小值為?

D.方程/'（x）=l在區(qū)間［-高，等J上的所有實根之和為［

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)圖象求出周期，再根據(jù)圖象所經(jīng)過的點，求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦型函

數(shù)的對稱性、最值進行逐一判斷即可.

【詳解】由已知，A=2,《=與一普=（，因此7=不，

<w=—=2

7T

所以/(x)=2sin(2x+e),過點■

eu4打3萬c,

因此――+(p=――+2k兀,keZ,又。<lsK萬，

32

所以"（x）=2sin（2x+7）

對A,>=小-卷=2sin2x圖象關于原點對稱，故A錯誤;

對B,當》=-合時，/（-3=0,故B正確；

對C,因為|/(為)區(qū)2,依%)|<2,%>/(%)=-4,

所以有/(司)=2,/(芻)=-2,或/(5)=-2,/但)=2,

當/?)=2J?)=-2時,

TTTTTTJ7T

2x+—=2Z]7TH——(kGZ),2xi+—=2&2乃H---(k,￡Z),

t62t62

則有%=%乃十三(k、GZ),x2=攵24+至(&￡Z),

63

|%+司=K乃+^+憶2萬+半....57r

—(匕+&)乃+—,

因為K，&eZ,所以當仁+他=-1時，卜|+司“血=?

當/a)=-2J(w)=2時,

2x+—=2k.^+—(k.eZ),2x,+—=2k,兀+三(k,eZ),

62-62

27r7t

則有％=&九+——(%eZ),x=A2"+—(%€Z),

362

7r+-2^7r-+k7T+—71=+k)7T+—,

上+即=A22

h3~66

因為K&eZ,所以當匕+&=-1時，|內(nèi)+4汕=》故。不正確；

對D,當-々4x4冬時，2x+Je[0,4汨，所以y=1與函數(shù)y=〃”有4個交點令橫坐

12126

標為X],x,x,x,%1+x,+x+Xj=—x2+——x2=--,故D正確.

234~3663

故選：BD

12.下列幾個說法，其中正確的有()

已知函數(shù)“X)的定義域是(；，8,則/優(yōu))的定義域是(-1,3]

A.

B.函數(shù)/(x)=sinx-x有且只有1個零點

—x~+(3Q—2)X—8,XK14

C.若〃力=,在R上是增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是+8

logax,x>l

2在區(qū)間一最；上的最大值與最小值分別為M和

D.若函數(shù)7(xbsinx+x-^^m,則

Af+〃？=-2

【正確答案】ABD

【分析】對A：根據(jù)函數(shù)的定義域的定義運算求解；對B：先證/(x)為奇函數(shù)，分類討論,

結(jié)合奇函數(shù)的對稱性、正弦函數(shù)的有界性以及三角函數(shù)的定義分析運算；對C：根據(jù)分段函

2

數(shù)的單調(diào)性分析運算；對D：構建g(x)=sinx+x-算行+1,先證g(x)為奇函數(shù)，結(jié)合奇

函數(shù)的性質(zhì)分析運算.

【詳解】對A：令]<2*48,即2一：2"23,

注意到y(tǒng)=2*在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則—1<x43,

故/(2、)的定義域是(-1,3],A正確；

對B：*.*/(x)+/(―x)=(sinx—x)+[sin(―x)—(―=(sinx—x)+(―sinx+x)=0,

???/(x)為奇函數(shù)，

當%>四時，，則/(x)=sinx-xvsinx—二KI—二vO,

222

故在C，+s)內(nèi)無零點；

當xe畤時，令/(x)=sinx_x=O,則sinx=x,

如圖所示：點P為任意角x與標準單位圓的交點，點A(1,O),則x為AP的長/,sinx=\PB\,

由圖可得儼網(wǎng)4/,即sinxWx,當且僅當x=O時，等號成立，

故f(x)的零點為0；

綜上所述：函數(shù)f(x)=sinx-x在[0,+司內(nèi)有且只有?1個零點0,

結(jié)合奇函數(shù)的對稱性可得：函數(shù)f(x)=sinx-x有且只有1個零點0,B正確；

yf

log“x,x>l

411

貝ljv。>1,解得—<a<—r

3a-\l<0

411

故實數(shù)。的取值范圍是-,y,C錯誤;

2

對D：4>^(^)=sinx+x-——-+1,

3+1

sin(-x)+(-x)-^-j-+l

；g(X)+g(T)=sinx+x—+1|+

3'+l)

sinx+x—+112X3X22(3,+】)0

+-sinx--x--------F12----------=U,

3V+1)3V+13X+1

:，g(x)為奇函數(shù),

設g(x)在一；，；上的最大值為M'=g(x0),

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得g(x)在上的最小值為m'=g(To)=-g(Xo)=-M',

2

rff

***/(X)=sinx+x-=g(x)-l,可得M=M-l9/n=/n-l=—M-l,

3r+l

故M+“=(M'—1)+(——=—2,D正確;

故選：ABD.

方法定睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解

題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函

數(shù)的性質(zhì)解決問題.

三、雙空題

13.已知sinc,cosa是關于x的一元二次方程2x2_x-，〃=0的兩根，則

sina+cosa=,m=.

13

【正確答案】y/0.5-/0.75

【分析】根據(jù)給定條件，利用韋達定理結(jié)合同角公式求解作答.

【詳解】因為sina,cosa是關于無的一元二次方程2九2_尤_機=。的兩根，則△=1+8加之0,

即m>--,

8

1

sina+cosa=—

顯然，2又si/a+cos2a=1,B|J(sina+coscz)2-2sinacosa=1,

.m

sinacosa=---

12

于是%"=八解得吟，而當，"V時，方程改7-＞。的兩根為竽，滿足

,符合題意,

13

所以sina+cosa=一,m=一.

24

跖13

故萬；4

四、填空題

14.由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的

六位數(shù)有一個.（用數(shù)字作答）

【正確答案】300

【分析】先求出總的排列數(shù)，再根據(jù)題意消去不符合的情況.

【詳解】不考慮限制條件，由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)有&種.

題中要求個位數(shù)字比十位數(shù)字小，即個位與十位上的數(shù)字一定，則所求的六位數(shù)有

筆=300（個）

故300

15.若sinx+sin3x+sin5x=。，cosx+cos3x+cos5x=Z?,則tan3x=結(jié)果用b表

示.

【正確答案】f

【分析】由和差化積公式求出sin5x+sinx=2sin3xcos2x,cos5x+cosx=2cos3xcos2x,

口…sinx+sin3x+sin5x

從而得到cs3x+cos5x=tan3x,得到答案.

土

【詳解】由和差化積公式得:sin5x+sinx=2sin.'cos__-=2sin3xcos2x

22

尸3x+5x5x-x^c

cos5x+cosx=2cos--------cos--------=2cos3xcos2x,

22

sinx+sin3x+sin5x=2sin3xcos2x+sin3x=sin3x(2cos2x+l),

cosx+cos3x+cos5x=2cos3xcos2x+cos3x=cos3x(2cos2x+l),

山sinx+sin3x+sin5xsin3x(2cos2x+l)

故---------；------丁=tan3x

cosx+cos3x+cos5xcos3x(2cos2x+l)

故tan3x=—.

h

故答案為9

b

16.已知函數(shù)y（x）=4sinxcosx-2sin2x+2cos2x+l,則下列說法中正確的是.

①/（X）一條對稱軸為X=-;

O

②將八幻圖象向右平移二個單位，再向下平移1個單位得到的新函數(shù)為奇函數(shù)；

4

③若，圖=6+1,貝（Jtanx=4+V15;

④若函數(shù)y=f（等｝。>0）在區(qū)間方,兀上恰有2個極大值點，則實數(shù)。的取值范圍是

'll

【正確答案】①③

【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡/“）,根據(jù)利用整體代換可計算判斷出①，根據(jù)

三角函數(shù)的平移規(guī)律可判斷②，根據(jù)三角函數(shù)和、差公式可計算得出③，利用特殊值可判斷

④.

【詳解】/（x）=4sinxcosx-2sin2x+2cos2x+1=2sin2x+2cos2x+1=2夜sin（2x+；）+l

令2XH—=—i-kit,解得x=—i--,ZeZ,當k=0時，x=—,①正確；

42828

/（X）圖象向右平移;個單位，再向下平移1個單位后

4

y=2五sin21-力+：+1-1=2應sin（2x-：）,新函數(shù)非奇非偶,②錯誤；

sinx+cosx=^-,等號左右兩邊平方可得2sinxcosx=],

24

2sinxcosx12tanx

則「-------一=—?----—，解得tanx=4±V15③正確;

sm-x+cos-x4tanx+14

>=/（三）=2夜sin（@x+：J+l,當兀恰好是函數(shù)極大值時，那么函數(shù)一個周期正好為

〉吟…，因為3忖，卦所以④錯誤；

故①③

五、解答題

17.已知角a的終邊經(jīng)過點尸?！?逐），cosa=顯

6

⑴求tana的值；

?cos（7i+a）-sin--a-

（2）求（2J的值.

sin（-a）

【正確答案】（1）有

⑵乎

【分析】（1）先由三角函數(shù)定義列方程求得機，再以三角函數(shù)定義求得tana的值即可;

（2）先依據(jù)三角函數(shù)誘導公式化簡代數(shù)式，再以同角三角函數(shù)關系去求解即可解決.

【詳解】(1)由cosa=9=-y=q=,解得加=1.

6\]nr+5

所以tana=—=y/5

m

cos(7i4-a)-sinl-a-coscz-costz

(2)

-sina

sin(-a)

2cosa22y]5

sinatana5

18.已知函數(shù)/(x)=sin(<yx+°)[°>0,網(wǎng)<]x=2是函數(shù)/（X）的對稱軸，且在區(qū)間

6

712乃

上單調(diào).

（1）從條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使得/*）的解析式存在，并求出其解析

式;

條件①：函數(shù)"X）的圖象經(jīng)過點

條件②：是f（x）的對稱中心；

條件③：（卷刀］是/⑴的對稱中心?

(2)根據(jù)(1)中確定的/(x),求函數(shù)y=/(x)xe0,]的值域.

TT

【正確答案】(l)/(x)=sin(2x+7)

rr-jr

【分析】(1)根據(jù)題意得到0＜。＜2和2xty+gM)+1(ZeZ),

再根據(jù)選擇的條件得到第三個方程，分析方程組即可求解；

(2)先求出2x+TJT所在的范圍，再根據(jù)圖像求出函數(shù)值域即可.

【詳解】(1)因為f(x)在區(qū)間(1,尋］上單調(diào)，所以9=9，

VoJJ2362

2冗

因為7=］77，且。＞0，解得0＜。42；又因為x=/是函數(shù)f(x)的對稱軸,

畫6

所以軍x＜y+(p=k7t+—(^eZ)；

62

若選條件①：因為函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點A(o,；1所以Sine=g,

因為I0＜g，所以8=2，所以gx＜y+￡=Z;r+3,即O=6k+2(keZ),

TT

當％=0時，①=2,滿足題意，故/(x)=sin(2x+：).

6

若選條件②：因為(?，0)是/(X)的對稱中心，所以?*0+*=根開(機eZ),

—XG+夕41+一

所以，()<GK2

此方程無解，故條件②無法解出滿足題意得函數(shù)解析式.

71

—xa)+(p=m7r

若條件③：因為［w，oj是/(X)的對稱中心，所以石■X0+s=,"；r(WJ€Z),

7T,71

—XCO+(p=K7r+—

71

所以1O<342，解得W(0—6—,所以f(x)=sin(2x+TTB).

c6

54

—xa)+(p=m7r

TT

(2)由(1)知，/(x)=sin(2x+-),

6

TT71

所以y=.f(x)xe等價于〃x)=sin(2x+”xe0八,y,

717117t71i

所以2X+工€所以sin(2x+")w--,1

oo2

即函數(shù)y=f（x）xe0,1］的值域為?一；」

19.某條公共汽車線路沿線共有11個車站（包括起點站和終點站），在起點站開出的一輛公

共汽車上有6位乘客，假設每位乘客在起點站之外的各個車站下車是等可能的.

（1）這6名乘客在不一樣的車站下車的概率為多少？

（2）這6名乘客中恰有3人在終點站下車的概率為多少？

【正確答案】（1）0.1512；

（2）0.01458.

【分析】（1）試驗發(fā)生的所有事件是6名乘客選一個車站下車，共有io,種結(jié)果，而滿足條

件的事件是6位乘客在其不相同的車站下車共有種結(jié)果，根據(jù)公式得到結(jié)果；

（2）試驗發(fā)生的所有事件是6名乘客選一個車站下車，共有106種結(jié)果，而滿足條件的6

位乘客中恰有3人在終點站下車有C；。種結(jié)果，根據(jù)公式得到結(jié)果.

【詳解】（1）解：試驗發(fā)生的所有事件是6名乘客選一個車站下車，共有io,種結(jié)果，

而滿足條件的事件是6位乘客在其不相同的車站下車共有種結(jié)果，

根據(jù)古典概型的概率公式得到P=^=0.1512.

（2）解：試驗發(fā)生的所有事件是6名乘客選一個車站下車，共有IO,種結(jié)果，

而滿足條件的6位乘客中恰有3人在終點站下車有戢種結(jié)果，

其他三人在其余9個車站下車的可能有9*,共有9,C：,

???根據(jù)古典概型的概率公式得到尸=崇=001458.

20.己知<0,cosa=,sinp=—^~.

22105

⑴求cos（a-￡）的值；

（2）求a-2s的大小.

【正確答案】（1）-巫

10

【分析】（1）先通過條件求出sina,COS/,再利用兩角差的余弦公式計算cos（a-⑶即可;

(2)通過(1)求出tana,tan2夕，再利用兩角差的正切公式計算tan(a-24),即可求出

a-2￡的大小.

【詳解】⑴0<a</JT</?<0,cosa=^-,sin/3=一更~

210Z5

..r.------7及

.sincr=VI-cosa=----，cos/?=Jl-sin2/?,

10

:.cos(a-jS)=cosacos+sinasin/3-xx--=-----.

5)10,

/八,/八psma+osin/?

(2)由(1)得tana=----=7,tan/?=-J

cosacosp

tana-tan2/7

tan(a-2yff)=

1+tanatan2/7

由0<a<]IF,-y7T</?<0M0<a-2/?<37yr,

:.a-2/3=—

21.已知函數(shù)/(x)=2sin<yxcos0x+2&cos2(yx(<w>0)的最小正周期為兀.

(1)求f(x)的解析式;

⑵若關于x的方程f(x)=G+a在區(qū)間0胃上有相異兩解小士

求：①實數(shù)。的取值范圍；

②sin(X1+&)的值.

【正確答案】⑴/(x)=2sin(2x+?+6

⑵①［君,2),②3

【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換公式將“X)化簡，然后由“X)的最小正周期為兀，解得。，

即可得到函數(shù)“X)的解析式；

(2)將方程有兩解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像有兩個交點，然后結(jié)合圖像即可求得〃的范圍，然后由

正弦函數(shù)的對稱性即可得到sin(5+X?)的值.

【詳解】(1)/(x)=2sin@xcos0x+2Gcos2s

=sin2(ox4-5/3cos2cox+\[3=2sin(2s+1)+G.

因為f(x)的最小正周期為兀，所以盧=兀，解得0=1.

,八兀/口。瓦兀4兀

由xw。，/,得2尤+§￡y，—，

y=2sinx在號/上單調(diào)遞增，在py上單調(diào)遞減,且2s嗚=百，

7[47r

做出y=2sinx在-,y上的圖像如圖，

由圖可知，要使函數(shù)y=2sin(2x+5)與N=a的圖像在區(qū)間0段上有兩個交點，則有

y/3<a<2>

所以實數(shù)4的取值范圍為[6,2).

②由(1)和正弦函數(shù)的對稱性可知2%+g與2%+g關于直線對稱，

則有2%+自+2占+^=兀，所以%+々=?，

336

所以sin(N+/)的值為g.

22.已知函數(shù)〃x)=log2(x+l),g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當04x41時，

g(x)=f(x)，且對任意xeR,都有g(x)+g(x+2)=0.

⑴求使得/(lan》T)+/(3tanx-l)<0成立的x的取值集合；

⑵求證：g(x)為周期為4的周期函數(shù)，并理按3學g(x)在區(qū)間[-2,2]上的解析式;

⑶若不等式g(-sin2x+sinx+4)<a(e>+e-，)對任意x,yeR恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【正確答案】(1),兀,加+e)(%€2)

log2(-x+3),XG(l,2]

log2(x+l),xe[0,l]

(2)證明見詳解,g(x)=<

-log?(-X+l),x€[—1,0)

-log?(x+3),xe[—2,—1)

(3)[-l+-log25,+co

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)運算求解；

(2)根據(jù)題意結(jié)合周期的定義分析證明，再根據(jù)函數(shù)g(x)的性質(zhì)求解析式；