四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2023-2024學年高二年級上冊入學聯(lián)考數(shù)學題 含解析

2023-2024學年度上期高中2022級入學聯(lián)考

數(shù)學試卷

考試時間120分鐘，滿分150分

注意事項：

1.答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準考證號用0.5毫米的黑色簽字

筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”.

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干

凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應區(qū)域內(nèi)作答，超出

答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1,復數(shù)z=（2-31）（1+21）,則1的虛部為（）

A.-1B.1

C.-iD.i

【答案】A

【解析】

【分析】利用復數(shù)的乘法法則及共軌復數(shù)的定義，結(jié)合復數(shù)的概念即可求解.

【詳解】z=（2—3i）（l+2i）=2+4i—3i—6i2=8+i,

所以三=8—i，

所以［的虛部為-1.

故選:A.

2.己知機,〃是非零向量，則加J_〃是機.〃=0（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)充分必要性以及向量數(shù)量積的運算規(guī)則進行判斷.

【詳解】解：因為加，〃是非零向量且〃?_L〃，

所以加?〃=（）,滿足充分性;

又因為〃八〃=0，且〃,2〃是非零向量，

所以時.cos＜m,〃＞=0,

故vW＞=90,即機_L〃，滿足必要性.

故選：C.

3.已知偶函數(shù)/（力在（-oo,0］上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（）

A./(-1)>/(5)>/(2)B./(2)>/(-1)>/(5)

C./（-1）＞/（2）＞/（5）D./（5）＞/（2）＞/（-1）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】由于函數(shù)“X）為偶函數(shù),故〃5）=/（—5）,〃2）=/（—2）,

且了（力在（7,0］上單調(diào)遞減,

所以/(—5)>/(-2)>/(-1),即/(5)>/(2)>/(-1),

故選:D.

4.設(shè).ABC的內(nèi)角A8,C的對邊分別為a,4c,已知8=工,。=12,。=6及，則C=（）

4

71it

A.-B.一

63

c.N或型兀3.2兀

D.一或一

6633

【答案】A

【解析】

【分析】正弦定理求解.

12672

b

【詳解】由正弦定理得:，即一sinC，

sinBsinCsin—

4

則sinC=’.又TT

c<b,則C<3,則c=一，

26

故選:A.

5.已知a,/是空間中兩個不同的平面，加，〃是空間中兩條不同的直線，下列說法正確的是（）

A.若a_L￡,m_L，，則m//a

B.若zn//a,”///?,a//p,則向/〃

C.若m10,m//n,nua,則a_L，

D,若加」a,〃/〃?,c_L￡,則加_L〃

【答案】C

【解析】

【分析】利用空間中線面關(guān)系的判定與性質(zhì)定理逐項驗證即可.

【詳解】對于A,若a_L/7,m，￡,則m//a或能ua,故A錯誤；

對于B,若加//a,〃//p,a//Q,則加〃〃或者〃7鹿=「或者〃異面，故B錯誤；

對于C,若加_1_耳,〃?//”,，則〃_L￡,又"ua,則a_!_/?,故C正確；

對于D,若〃//￡,a_Lp,則〃可以垂直a,又m_La,則加〃小故D錯誤.

故選：C.

6.某中學校園內(nèi)有一水塔，小明同學為了測量水塔的高度，在水塔底的正東方向的A處測得塔頂?shù)难鼋?/p>

為30。，在水塔底的南偏西60。方向的8處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°,已知AB=91m,則水塔的高度為

（）

A.1377mB.7V13m

C12MoD.8vHm

【答案】A

【解析】

【分析】畫出圖象，在qABC,利用余弦定理解出即可.

【詳解】如圖：設(shè)水塔高為/?，則AC=6〃,3C=/Z，

則在zuABC中,9/="+（血」一2x力xV3/ixcosl50°，

化簡得：9產(chǎn)=7*,即〃=13j7m，

設(shè)~D=AB=2a,

在△EOC中，EO=6a,OC=品，EC=瓜

所以cosNCEO=g°=>

EC5

故選:B.

8擎正運的值為（）

A/3COS100

AV6V6cV6nx/6

3462

【答案】C

【解析】

【分析】利用二倍角公式及誘導公式化簡即可.

【詳解】由題意得：

sin5O°Jl-cos80。_及sin50°?sin40。_夜cos40°?sin40°_及sin80。_76

gcoslO°&coslO°V3cosl0o2^cosl006

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求；全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.若集合A={x|or-3=0},8={x|V_2x—3=0},且AqB,則實數(shù)。的取值為（）

A.OB.1

C.3D.-3

【答案】ABD

【解析】

【分析】解出集合B,根據(jù)4勺8,討論集合A,解出實數(shù)〃的值即可.

【詳解】5={X|X2_2X—3=0}={—1,3},又A=B,

當A=0,則。=0,

當4={-1},則口=一3,

當4={3},則a=l.

故選：ABD.

10.已知加=b2sinx,\5sinx),"=(sinx,2cosx),函數(shù)/(x)=m?〃+1,則下列結(jié)論正確的是

()

A.函數(shù)/(龍)的初相是2

6

B.x=：是函數(shù)"X)圖象的一條對稱軸

C.他0)是函數(shù)“X)圖象的對稱中心

D.函數(shù)/(x)的圖象向左平移B個單位后關(guān)于y軸對稱

6

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標表示及二倍角公式，利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象的平

移變換即可求解.

【詳解】因為m=^-2sinx,>/3sinxj,n=(sinx,2cosx),

所以/(x)=mn+\=-2sin2x+2\Z3sinrcosx+1=-73sin2x+cos2x=2sin(2x+^J,

易知函數(shù)/(x)的初相是V，故A正確；

6

由/(T=2sin(2xE+2)=2sing=6w±2,得*=:不是函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸，故B

錯誤；

由/(x)=2sin^2xj1+^j=2sin7t=0,得(著，0］是函數(shù)/(x)圖象的一個對稱中心，故C正確；

/71\71(兀、

對于D選項：y=2sin2lx+—l+—=2sin2x+-=2cos2x為偶函數(shù)，函數(shù)關(guān)于y軸對稱，故D

\2)

正確.

故選：ACD.

TlTI

11.如圖，在四面體ABCO中，平面平面BCQ,NA3C=N8CO=—,NCBD=—,

26

AB=BD=2,則下列結(jié)論正確的是()

J

A.四面體ABC。的體積為g

B.ABA.CD

C.二面角A—CO—8的余弦值為叵

7

4

D.四面體ABCQ外接球體積為g7r

【答案】BC

【解析】

7T

【分析】根據(jù)平面ABC1平面BC2ZBCO=一，得到CD_L平面ABC,從而CDL43,再由

2

7T

NABC=—得到A813C,從而AB1平面BCD,可判斷AB選項；易得二面角A—CD—8的平面

2

角是NAC8判斷C選項；將原幾何體補成長方體判斷D選項.

7F

【詳解】因為平面43cl平面BCD,/58=一，平面ABCc平面88=BC,

2

所以CDJ?平面ABC,ABu平面ABC,

所以CD_LAB,

Tt

又NABC=—，則AB_Z3C,且CE>cBC=C,

2

所以AB上平面BCD,

TTTT

在△38中，因為NBCO=—,NC5D=—,BD=2,

26

所以。C=6OsinC=2x』=l,8C=8Ocos^=2x3=^,

6262

所以S=-BCDC=-xlxV3=—.

BwCrDn322

所以匕IBe=—SRe-AB=—xx2=,A不正確，B正確；

n-Dv^u3D\.LJ323

二面角A-CD-3的平面角是NACE,易得cos/A。8=生=叵，C正確;

AC7

將原幾何體補成長方體，如圖所示：

-------715

則四面體ABCD的外接球即為長方體的其外接球，外接球的直徑為AD,且

\AD\=yj\ABf+\BDf=2V2，

所以半徑R=0,

故L=g7I（A/2）3=-71>D錯誤.

故選：BC.

12.設(shè)ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,4c,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若sinA>sin5,則4>夕

B.若C=而,C=色，則二ABC外接圓的半徑為叵

36

3

C.若a=2,。=3,c=vlO，則AC,BC=—

D.若asinA+Z?sin3>csinC,則一ABC為銳角三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)大邊對大角即可判斷A；利用正弦定理即可判斷B；先利用余弦

定理求出COSC，再根據(jù)數(shù)量積的定義即可判斷C；利用正弦定理化角為邊，正在跟進余弦定理即可判斷

D.

【詳解】對于A,因為sinA>sin3,由正弦定理得a>九,A>8,故A正確；

2R=C扇

對于B,由正弦定理:一二萬，得尺=衛(wèi)，

T

即,ABC外接圓的半徑為叵，故B錯誤;

3

^2>2_24+9-101

對于C,由余弦定理cos。二幺二一-

2ab2x2x3-4

13

則AC?C8=2x3x—=—,故C正確；

42

對于D,因為asinA+hsinB>csinC,

『扇2

由正弦定理得/+。2Ac?，則/+尸〉。？，故COSC="------------>0，

2ab

所以角C為銳角，但不一定為銳角三角形，故D錯誤.

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

/x2x+1,x>0/\

13.已知函數(shù)〃x）={2，若/（a）=2,則。=______.

x—x,x<0

【答案】-1

【解析】

【分析】根據(jù)己知條件及分段函數(shù)分段處理的原則即可求解.

【詳解】當a>0時，2"+1=2,解得。=0,此時“無解，

當時，?2-<2=2>解得a=T或。=2（舍去），

所以a=-l.

故答案為：T.

14.已知。e（0,5）,l+cos2e=2sin2。，貝i]cos〃=.

【答案】拽#。石

55

【解析】

【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可求解.

【詳解】由l+cos26=2sin2e,得2852。=45111夕85。，

（

因為。w0,—<

乙）

所以cos>0,sin>0,tan,

2

八sin。1sin?=——

tan0=-------=—5

vcos02解得

a2亞'

sin2。+cos?6=1cos0=------

5

所以COS9=26.

5

故答案為：2叵.

5

15.已知等腰直角三角形的斜邊長為2cm,以該三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸將該三角形旋轉(zhuǎn)

一周，所得的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為cm2.

【答案】2舟

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解.

【詳解】由題可知，等腰三角形的腰長為血cm，

所以所得旋轉(zhuǎn)體是以r=夜為底面圓的半徑,1=2為母線長的圓錐，

所以側(cè)面積為—x2兀rx/=2及兀cm?,

2

故答案為：2正冗?

16.在」48。中，已知BA-BC='C4-C3+2AC-A3,則tanB的最大值為.

33

【答案】2^1##1714

22

【解析】

【分析】由平面向量數(shù)量積公式和余弦定理得到2/+。2=3必，進而由余弦定理和基本不等式求出

COS8=/+2C~n",從而求出tanB有最大值，最大值為恒.

6ac32

1?12

【詳解】由A4,BC=-CA-CB+—AC-AB得accosB=—ahcosC+—hccosA,

3333

即3accosB=abcosC+2/?ccosA，

2212222222

又由余弦定理得：3aca+C~=ab--a+b-cC,b+c—a

■+2bc—

2aclab2hc

化簡得：2/+。2=3必，

222a2+c2

222612二夜，

Da+c-b+c_fl+2c22\j2ac

>-------------:

laclac6acGac3

當且僅當a=時，等號成立，

將。=后代入2a?=3/中，可得匕,滿足任意兩邊之和大于第三邊,

singV14

故cosB有最小值，且8為銳角，此時Sin5，tanB

cosB2

由于y=cosx在（0卷）上單調(diào)遞減，y=tanx在（0,5）上單調(diào)遞增,

故tanB有最大值，最大值為恒.

2

故答案：叵

2

【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題,

或與角度有關(guān)的范圍問題，

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，

通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知加=.

（1）加+2〃與〃—根的夾角為。,求

（2）若攵幾一根與〃2+2〃垂直，求女.

7T

【答案】（1）

4

（2）k=0.

【解析】

【分析】(1)利用平面向量的夾角公式求解;

(2)根據(jù)無一機與〃?+2〃垂直，由(左〃一根)?(加+2〃)=0求解.

【小問1詳解】

解：因為加=(1,-1),〃=(1,2),

所以+2〃=(3,3),力一加=(0,3),

（加+2〃）?（〃一",=9,|m+2/?|=3五,卜一/“二3,

所以cos9二

|zn+2n||n—2

jr

又。?0,可,.?.￡=“

【小問2詳解】

kn-m=[k-l,2k+\）y,m+2n=（3,3）,

kn-m與〃z+2〃垂直，

二伏〃-加）.（〃?+2〃）=0,

即3（I）+3（2Z+l）=0,

解得k=0.

18.如圖，在斜三棱柱ABC-A4G中，\BLACVAAX=AB,〃為BC的中點.

(1)證明：AC"/平面A8M；

(2)證明：平面平面48c.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】（1）由三角形中位線可得OM〃AG，進而結(jié)合線面平行的判定定理分析證明;

（2）由題意可得平面AB。，進而結(jié)合面面垂直的判定定理分析證明.

【小問1詳解】

設(shè)A8與AB1交于點。，連接OM,如圖，

在斜三棱柱ABC-AgG中，四邊形ABB/是平行四邊形，則點。為A81的中點，

因為點。為Ng的中點，點M為BQ的中點，則OA7〃AG，

且OMu平面ABM,AC1<Z平面ABM,AC|〃平面A8M.

【小問2詳解】

因為AA=A6,則四邊形是菱形，則

又因為A8LAG，AG=A,可知A3,平面A8G，

且ABu平面ABC,所以平面AgG，平面ABC.

19.如圖，在四邊形ABC。中，/ZM5與N0CB互補，AB=6,BC=4,CD=4,A￡>=2.

⑴求AC；

（2）求四邊形ABCD的面積.

【答案】（1）AC=2百

⑵8百

【解析】

【分析】(1)連接AC,在△AOC,98C中，利用余弦定理分別求出，cosNAOCcos/ABC,利用兩

值相反，建立等式，解出即可；

(2)分別求出△ADCA45C的面積，相加即可.

【小問1詳解】

連接AC,如圖，

與N0C6互補，,NADC與/ABC互補，

在AADC中，AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC，

即AC2=4+16-2x2x4xcosZADC.

陽…萬20-AC2

得cosZADC----------.

16

在,ABC中，AC2=AB-+BC2-2AB-BC-cosZABC.

即AC2=36+16-2X6X4XCOSZABC）

得cosZABC=AU,

48

又/ADC與/ABC互補，

/.cosZADC+cosZABC=0,

故AC=2幣;

【小問2詳解】

iG

由（1）得cosZAOC二一一sinZADC=—,

22

??SMM=—AD-CD-sinZADC=273,

Ih

由（1）得cosNA8C=-,:.sinNA8C=?,

22

/.S△ABC=gA3-BC-sinZABC=6A/3,

S四邊形A8CD=S4BC+%4co=8>/3.

20.已知函數(shù)/(x)=Gsin(2x+5)-2sin22+x

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程;

(2)若存在x°eR，使得不等式/(七)4一3成立，求cos

l^TTJT

【答案】(1)最小正周期為兀，對稱軸方程為x=---------MwZ；

212

(2)cos

2

【解析】

【分析】(1)化簡/(x),得/(x)=2cos[2x+Wj-l,從而可得周期；令2x+^=加,ZeZ,求解即

6

可得到對稱軸方程;

jr27r

2XQ—=2&兀H----，&￡Z,從而可得cos

632

小問1詳解】

/(x)=V3sin|2x+—j-2sin2—+x=V3cos2x+cos2x+--1

4JI2

=V3cos2x-sin2x-l=2cos^2x+^-j-l,

27r

\/(x)的最小正周期7=/=兀，

ITKTTTT

令2x+—=E,ZwZ,解得尤=-------,kwZ,

6212

jZTTIT

???對稱軸方程為x=--------/GZ；

212

【小問2詳解】

即

/(x0)=2cos1<-3,cos

一兀712兀

則2x°H—-—2kli+Tt、keZ,故2x0—=2knH----,keZ,

663

cosAsinA

21.已知d45c的內(nèi)角A民。的對邊分別為a,b,%

sinA+sinCcosA+cosC

（1）若。=不~,求角A;

14

（2）求次三的取值范圍.

a

3兀

【答案】（1）A=—

14

3b-c

(2)-------e

【解析】

【分析】（1）逆用余弦和角公式，結(jié)合二倍角公式和誘導公式，得到cosB=cos2A,結(jié)合角的范圍得到

5713兀

B=2A，由A+6+C=TE,C='求出A=H；

1414

（2）由正弦定理和三角函數(shù)恒等變換得到獨二=-4（COSA—3]+—,計算出0<A〈色，從而求出

aL4j43

生￡的取值范圍.

a

【小問1詳解】

cosA_sinA

sinA+sinCcosA+cosC

cos2A+cosAcosC=sin2A+sinAsinC，

即cosAcosC-sinAsinC=sin2A-cos2A，

cos(A+C)=-cos2A,

cos(TC-B)=-COS2A,

/.cosB=cos2A,

0<B<TI,0<2A<2TI,

/?3=2A或3+24=2兀，

又0<4+3<兀,0<4<兀，故0<24+3<2兀，

所以8=2A，

5兀

A+B+C=K,C=—,

14

57r37i

A3A+—=7i,解得A=世；

1414

【小問2詳解】

3b-c3sinB—sinC3sin2A-sin（兀-3AL）

由正弦定理得：-----=-----;------=---------:-------,

asinAsinA

3b-c_3sin2A-sin3A_6sinAcosA-sin（2A+A）

asinAsinA

6sinAcosA-（sin2AcosA+cos2AsinA）

----------------------------------------------=6cosA-2cos2A-cos2A

sinA

L4+6cosA+l=4cosA-牙+巴

I4j4

又，A-bB-hC=7i,B=2A,

:.C=7i—3A>0,

0<<—.

3

—<cosA<1,

2

22.圖①是由矩形ABCD和梯形WE組成的一個平面圖形，其中3E=EF=2,A尸=4,

DG

BE〃AF,NBEF=90。,AB=2BC,點G為。。邊上一點，且滿足證=2（0＜九＜1）,現(xiàn)將其沿著

折起使得平面平面A5EE,如圖②.

①②

(1)在圖②中，當/1=,時，

2

(i)證明：AG_L平面5R7；

(ii)求直線AG與平面EEG所成角的正弦值；

(2)在圖②中，記直線AG與平面EFG所成角為4,平面ABG與平面EFG的夾角為%,是否存在；I

使得4=%?若存在，求出2的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)(i)證明見解析；(ii)打巨；

11

(2)存在；［=1一走

2

【解析】

【分析】(1)(i)分別利用勾股定理得到AG2+GB2=AB2,故AGLG5,AB2+BF2^AF2＞故

BF±AB,再利用平面ABC。1平面ABEF,得到B/7_1_平面ABCD，從而5ELAG,再利用線面

垂