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文檔簡介
2023-2024學(xué)年度上期高中2022級入學(xué)聯(lián)考
數(shù)學(xué)試卷
考試時間120分鐘,滿分150分
注意事項:
1.答題前,考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號、準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色簽字
筆填寫清楚,考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”.
2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上,如需改動,用橡皮擦擦干
凈后再填涂其它答案;非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答,超出
答題區(qū)域答題的答案無效;在草稿紙上、試卷上答題無效.
3.考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回.
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一
項是符合題目要求的.
1,復(fù)數(shù)z=(2-31)(1+21),則1的虛部為()
A.-1B.1
C.-iD.i
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法法則及共軌復(fù)數(shù)的定義,結(jié)合復(fù)數(shù)的概念即可求解.
【詳解】z=(2—3i)(l+2i)=2+4i—3i—6i2=8+i,
所以三=8—i,
所以[的虛部為-1.
故選:A.
2.己知機,〃是非零向量,則加J_〃是機.〃=0()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)充分必要性以及向量數(shù)量積的運算規(guī)則進行判斷.
【詳解】解:因為加,〃是非零向量且〃?_L〃,
所以加?〃=(),滿足充分性;
又因為〃八〃=0,且〃,2〃是非零向量,
所以時.cos<m,〃>=0,
故vW>=90,即機_L〃,滿足必要性.
故選:C.
3.已知偶函數(shù)/(力在(-oo,0]上單調(diào)遞減,則下列結(jié)論正確的是()
A./(-1)>/(5)>/(2)B./(2)>/(-1)>/(5)
C./(-1)>/(2)>/(5)D./(5)>/(2)>/(-1)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】由于函數(shù)“X)為偶函數(shù),故〃5)=/(—5),〃2)=/(—2),
且了(力在(7,0]上單調(diào)遞減,
所以/(—5)>/(-2)>/(-1),即/(5)>/(2)>/(-1),
故選:D.
4.設(shè).ABC的內(nèi)角A8,C的對邊分別為a,4c,已知8=工,。=12,。=6及,則C=()
4
71it
A.-B.一
63
c.N或型兀3.2兀
D.一或一
6633
【答案】A
【解析】
【分析】正弦定理求解.
12672
b
【詳解】由正弦定理得:,即一sinC,
sinBsinCsin—
4
則sinC=’.又TT
c<b,則C<3,則c=一,
26
故選:A.
5.已知a,/是空間中兩個不同的平面,加,〃是空間中兩條不同的直線,下列說法正確的是()
A.若a_L£,m_L,,則m//a
B.若zn//a,”///?,a//p,則向/〃
C.若m10,m//n,nua,則a_L,
D,若加」a,〃/〃?,c_L£,則加_L〃
【答案】C
【解析】
【分析】利用空間中線面關(guān)系的判定與性質(zhì)定理逐項驗證即可.
【詳解】對于A,若a_L/7,m,£,則m//a或能ua,故A錯誤;
對于B,若加//a,〃//p,a//Q,則加〃〃或者〃7鹿=「或者〃異面,故B錯誤;
對于C,若加_1_耳,〃?//”,,則〃_L£,又"ua,則a_!_/?,故C正確;
對于D,若〃//£,a_Lp,則〃可以垂直a,又m_La,則加〃小故D錯誤.
故選:C.
6.某中學(xué)校園內(nèi)有一水塔,小明同學(xué)為了測量水塔的高度,在水塔底的正東方向的A處測得塔頂?shù)难鼋?/p>
為30。,在水塔底的南偏西60。方向的8處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°,已知AB=91m,則水塔的高度為
()
A.1377mB.7V13m
C12MoD.8vHm
【答案】A
【解析】
【分析】畫出圖象,在qABC,利用余弦定理解出即可.
【詳解】如圖:設(shè)水塔高為/?,則AC=6〃,3C=/Z,
則在zuABC中,9/="+(血」一2x力xV3/ixcosl50°,
化簡得:9產(chǎn)=7*,即〃=13j7m,
設(shè)~D=AB=2a,
在△EOC中,EO=6a,OC=品,EC=瓜
所以cosNCEO=g°=>
EC5
故選:B.
8擎正運的值為()
A/3COS100
AV6V6cV6nx/6
3462
【答案】C
【解析】
【分析】利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡即可.
【詳解】由題意得:
sin5O°Jl-cos80。_及sin50°?sin40。_夜cos40°?sin40°_及sin80。_76
gcoslO°&coslO°V3cosl0o2^cosl006
故選:C.
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項
符合題目要求;全部選對的得5分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分.
9.若集合A={x|or-3=0},8={x|V_2x—3=0},且AqB,則實數(shù)。的取值為()
A.OB.1
C.3D.-3
【答案】ABD
【解析】
【分析】解出集合B,根據(jù)4勺8,討論集合A,解出實數(shù)〃的值即可.
【詳解】5={X|X2_2X—3=0}={—1,3},又A=B,
當(dāng)A=0,則。=0,
當(dāng)4={-1},則口=一3,
當(dāng)4={3},則a=l.
故選:ABD.
10.已知加=b2sinx,\5sinx),"=(sinx,2cosx),函數(shù)/(x)=m?〃+1,則下列結(jié)論正確的是
()
A.函數(shù)/(龍)的初相是2
6
B.x=:是函數(shù)"X)圖象的一條對稱軸
C.他0)是函數(shù)“X)圖象的對稱中心
D.函數(shù)/(x)的圖象向左平移B個單位后關(guān)于y軸對稱
6
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二倍角公式,利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合圖象的平
移變換即可求解.
【詳解】因為m=^-2sinx,>/3sinxj,n=(sinx,2cosx),
所以/(x)=mn+\=-2sin2x+2\Z3sinrcosx+1=-73sin2x+cos2x=2sin(2x+^J,
易知函數(shù)/(x)的初相是V,故A正確;
6
由/(T=2sin(2xE+2)=2sing=6w±2,得*=:不是函數(shù)/(x)圖象的一條對稱軸,故B
錯誤;
由/(x)=2sin^2xj1+^j=2sin7t=0,得(著,0]是函數(shù)/(x)圖象的一個對稱中心,故C正確;
/71\71(兀、
對于D選項:y=2sin2lx+—l+—=2sin2x+-=2cos2x為偶函數(shù),函數(shù)關(guān)于y軸對稱,故D
\2)
正確.
故選:ACD.
TlTI
11.如圖,在四面體ABCO中,平面平面BCQ,NA3C=N8CO=—,NCBD=—,
26
AB=BD=2,則下列結(jié)論正確的是()
J
A.四面體ABC。的體積為g
B.ABA.CD
C.二面角A—CO—8的余弦值為叵
7
4
D.四面體ABCQ外接球體積為g7r
【答案】BC
【解析】
7T
【分析】根據(jù)平面ABC1平面BC2ZBCO=一,得到CD_L平面ABC,從而CDL43,再由
2
7T
NABC=—得到A813C,從而AB1平面BCD,可判斷AB選項;易得二面角A—CD—8的平面
2
角是NAC8判斷C選項;將原幾何體補成長方體判斷D選項.
7F
【詳解】因為平面43cl平面BCD,/58=一,平面ABCc平面88=BC,
2
所以CDJ?平面ABC,ABu平面ABC,
所以CD_LAB,
Tt
又NABC=—,則AB_Z3C,且CE>cBC=C,
2
所以AB上平面BCD,
TTTT
在△38中,因為NBCO=—,NC5D=—,BD=2,
26
所以。C=6OsinC=2x』=l,8C=8Ocos^=2x3=^,
6262
所以S=-BCDC=-xlxV3=—.
BwCrDn322
所以匕IBe=—SRe-AB=—xx2=,A不正確,B正確;
n-Dv^u3D\.LJ323
二面角A-CD-3的平面角是NACE,易得cos/A。8=生=叵,C正確;
AC7
將原幾何體補成長方體,如圖所示:
-------715
則四面體ABCD的外接球即為長方體的其外接球,外接球的直徑為AD,且
\AD\=yj\ABf+\BDf=2V2,
所以半徑R=0,
故L=g7I(A/2)3=-71>D錯誤.
故選:BC.
12.設(shè)ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,4c,則下列結(jié)論正確的是()
A.若sinA>sin5,則4>夕
B.若C=而,C=色,則二ABC外接圓的半徑為叵
36
3
C.若a=2,。=3,c=vlO,則AC,BC=—
D.若asinA+Z?sin3>csinC,則一ABC為銳角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正弦定理化角為邊,再根據(jù)大邊對大角即可判斷A;利用正弦定理即可判斷B;先利用余弦
定理求出COSC,再根據(jù)數(shù)量積的定義即可判斷C;利用正弦定理化角為邊,正在跟進余弦定理即可判斷
D.
【詳解】對于A,因為sinA>sin3,由正弦定理得a>九,A>8,故A正確;
2R=C扇
對于B,由正弦定理:一二萬,得尺=衛(wèi),
T
即,ABC外接圓的半徑為叵,故B錯誤;
3
^2>2_24+9-101
對于C,由余弦定理cos。二幺二一-
2ab2x2x3-4
13
則AC?C8=2x3x—=—,故C正確;
42
對于D,因為asinA+hsinB>csinC,
『扇2
由正弦定理得/+。2Ac?,則/+尸〉。?,故COSC="------------>0,
2ab
所以角C為銳角,但不一定為銳角三角形,故D錯誤.
故選:AC.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
/x2x+1,x>0/\
13.已知函數(shù)〃x)={2,若/(a)=2,則。=______.
x—x,x<0
【答案】-1
【解析】
【分析】根據(jù)己知條件及分段函數(shù)分段處理的原則即可求解.
【詳解】當(dāng)a>0時,2"+1=2,解得。=0,此時“無解,
當(dāng)時,?2-<2=2>解得a=T或。=2(舍去),
所以a=-l.
故答案為:T.
14.已知。e(0,5),l+cos2e=2sin2。,貝i]cos〃=.
【答案】拽#。石
55
【解析】
【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式,結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系即可求解.
【詳解】由l+cos26=2sin2e,得2852。=45111夕85。,
(
因為。w0,—<
乙)
所以cos>0,sin>0,tan,
2
八sin。1sin?=——
tan0=-------=—5
vcos02解得
a2亞'
sin2。+cos?6=1cos0=------
5
所以COS9=26.
5
故答案為:2叵.
5
15.已知等腰直角三角形的斜邊長為2cm,以該三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸將該三角形旋轉(zhuǎn)
一周,所得的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為cm2.
【答案】2舟
【解析】
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解.
【詳解】由題可知,等腰三角形的腰長為血cm,
所以所得旋轉(zhuǎn)體是以r=夜為底面圓的半徑,1=2為母線長的圓錐,
所以側(cè)面積為—x2兀rx/=2及兀cm?,
2
故答案為:2正冗?
16.在」48。中,已知BA-BC='C4-C3+2AC-A3,則tanB的最大值為.
33
【答案】2^1##1714
22
【解析】
【分析】由平面向量數(shù)量積公式和余弦定理得到2/+。2=3必,進而由余弦定理和基本不等式求出
COS8=/+2C~n",從而求出tanB有最大值,最大值為恒.
6ac32
1?12
【詳解】由A4,BC=-CA-CB+—AC-AB得accosB=—ahcosC+—hccosA,
3333
即3accosB=abcosC+2/?ccosA,
2212222222
又由余弦定理得:3aca+C~=ab--a+b-cC,b+c—a
■+2bc—
2aclab2hc
化簡得:2/+。2=3必,
222a2+c2
222612二夜,
Da+c-b+c_fl+2c22\j2ac
>-------------:
laclac6acGac3
當(dāng)且僅當(dāng)a=時,等號成立,
將。=后代入2a?=3/中,可得匕,滿足任意兩邊之和大于第三邊,
singV14
故cosB有最小值,且8為銳角,此時Sin5,tanB
cosB2
由于y=cosx在(0卷)上單調(diào)遞減,y=tanx在(0,5)上單調(diào)遞增,
故tanB有最大值,最大值為恒.
2
故答案:叵
2
【點睛】解三角形中最值或范圍問題,通常涉及與邊長,周長有關(guān)的范圍問題,與面積有關(guān)的范圍問題,
或與角度有關(guān)的范圍問題,
常用處理思路:①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案;
②采用正弦定理邊化角,利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍,如果三角形為銳角三角形,或其他的限制,
通常采用這種方法;
③巧妙利用三角換元,實現(xiàn)邊化角,進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知加=.
(1)加+2〃與〃—根的夾角為。,求
(2)若攵幾一根與〃2+2〃垂直,求女.
7T
【答案】(1)
4
(2)k=0.
【解析】
【分析】(1)利用平面向量的夾角公式求解;
(2)根據(jù)無一機與〃?+2〃垂直,由(左〃一根)?(加+2〃)=0求解.
【小問1詳解】
解:因為加=(1,-1),〃=(1,2),
所以+2〃=(3,3),力一加=(0,3),
(加+2〃)?(〃一",=9,|m+2/?|=3五,卜一/“二3,
所以cos9二
|zn+2n||n—2
jr
又。?0,可,.?.£=“
【小問2詳解】
kn-m=[k-l,2k+\)y,m+2n=(3,3),
kn-m與〃z+2〃垂直,
二伏〃-加).(〃?+2〃)=0,
即3(I)+3(2Z+l)=0,
解得k=0.
18.如圖,在斜三棱柱ABC-A4G中,\BLACVAAX=AB,〃為BC的中點.
(1)證明:AC"/平面A8M;
(2)證明:平面平面48c.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】(1)由三角形中位線可得OM〃AG,進而結(jié)合線面平行的判定定理分析證明;
(2)由題意可得平面AB。,進而結(jié)合面面垂直的判定定理分析證明.
【小問1詳解】
設(shè)A8與AB1交于點。,連接OM,如圖,
在斜三棱柱ABC-AgG中,四邊形ABB/是平行四邊形,則點。為A81的中點,
因為點。為Ng的中點,點M為BQ的中點,則OA7〃AG,
且OMu平面ABM,AC1<Z平面ABM,AC|〃平面A8M.
【小問2詳解】
因為AA=A6,則四邊形是菱形,則
又因為A8LAG,AG=A,可知A3,平面A8G,
且ABu平面ABC,所以平面AgG,平面ABC.
19.如圖,在四邊形ABC。中,/ZM5與N0CB互補,AB=6,BC=4,CD=4,A£>=2.
⑴求AC;
(2)求四邊形ABCD的面積.
【答案】(1)AC=2百
⑵8百
【解析】
【分析】(1)連接AC,在△AOC,98C中,利用余弦定理分別求出,cosNAOCcos/ABC,利用兩
值相反,建立等式,解出即可;
(2)分別求出△ADCA45C的面積,相加即可.
【小問1詳解】
連接AC,如圖,
與N0C6互補,,NADC與/ABC互補,
在AADC中,AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC,
即AC2=4+16-2x2x4xcosZADC.
陽…萬20-AC2
得cosZADC----------.
16
在,ABC中,AC2=AB-+BC2-2AB-BC-cosZABC.
即AC2=36+16-2X6X4XCOSZABC)
得cosZABC=AU,
48
又/ADC與/ABC互補,
/.cosZADC+cosZABC=0,
故AC=2幣;
【小問2詳解】
iG
由(1)得cosZAOC二一一sinZADC=—,
22
??SMM=—AD-CD-sinZADC=273,
Ih
由(1)得cosNA8C=-,:.sinNA8C=?,
22
/.S△ABC=gA3-BC-sinZABC=6A/3,
S四邊形A8CD=S4BC+%4co=8>/3.
20.已知函數(shù)/(x)=Gsin(2x+5)-2sin22+x
(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程;
(2)若存在x°eR,使得不等式/(七)4一3成立,求cos
l^TTJT
【答案】(1)最小正周期為兀,對稱軸方程為x=---------MwZ;
212
(2)cos
2
【解析】
【分析】(1)化簡/(x),得/(x)=2cos[2x+Wj-l,從而可得周期;令2x+^=加,ZeZ,求解即
6
可得到對稱軸方程;
jr27r
2XQ—=2&兀H----,&£Z,從而可得cos
632
小問1詳解】
/(x)=V3sin|2x+—j-2sin2—+x=V3cos2x+cos2x+--1
4JI2
=V3cos2x-sin2x-l=2cos^2x+^-j-l,
27r
\/(x)的最小正周期7=/=兀,
ITKTTTT
令2x+—=E,ZwZ,解得尤=-------,kwZ,
6212
jZTTIT
???對稱軸方程為x=--------/GZ;
212
【小問2詳解】
即
/(x0)=2cos1<-3,cos
一兀712兀
則2x°H—-—2kli+Tt、keZ,故2x0—=2knH----,keZ,
663
cosAsinA
21.已知d45c的內(nèi)角A民。的對邊分別為a,b,%
sinA+sinCcosA+cosC
(1)若。=不~,求角A;
14
(2)求次三的取值范圍.
a
3兀
【答案】(1)A=—
14
3b-c
(2)-------e
【解析】
【分析】(1)逆用余弦和角公式,結(jié)合二倍角公式和誘導(dǎo)公式,得到cosB=cos2A,結(jié)合角的范圍得到
5713兀
B=2A,由A+6+C=TE,C='求出A=H;
1414
(2)由正弦定理和三角函數(shù)恒等變換得到獨二=-4(COSA—3]+—,計算出0<A〈色,從而求出
aL4j43
生£的取值范圍.
a
【小問1詳解】
cosA_sinA
sinA+sinCcosA+cosC
cos2A+cosAcosC=sin2A+sinAsinC,
即cosAcosC-sinAsinC=sin2A-cos2A,
cos(A+C)=-cos2A,
cos(TC-B)=-COS2A,
/.cosB=cos2A,
0<B<TI,0<2A<2TI,
/?3=2A或3+24=2兀,
又0<4+3<兀,0<4<兀,故0<24+3<2兀,
所以8=2A,
5兀
A+B+C=K,C=—,
14
57r37i
A3A+—=7i,解得A=世;
1414
【小問2詳解】
3b-c3sinB—sinC3sin2A-sin(兀-3AL)
由正弦定理得:-----=-----;------=---------:-------,
asinAsinA
3b-c_3sin2A-sin3A_6sinAcosA-sin(2A+A)
asinAsinA
6sinAcosA-(sin2AcosA+cos2AsinA)
----------------------------------------------=6cosA-2cos2A-cos2A
sinA
L4+6cosA+l=4cosA-牙+巴
I4j4
又,A-bB-hC=7i,B=2A,
:.C=7i—3A>0,
0<<—.
3
—<cosA<1,
2
22.圖①是由矩形ABCD和梯形WE組成的一個平面圖形,其中3E=EF=2,A尸=4,
DG
BE〃AF,NBEF=90。,AB=2BC,點G為。。邊上一點,且滿足證=2(0<九<1),現(xiàn)將其沿著
折起使得平面平面A5EE,如圖②.
①②
(1)在圖②中,當(dāng)/1=,時,
2
(i)證明:AG_L平面5R7;
(ii)求直線AG與平面EEG所成角的正弦值;
(2)在圖②中,記直線AG與平面EFG所成角為4,平面ABG與平面EFG的夾角為%,是否存在;I
使得4=%?若存在,求出2的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(i)證明見解析;(ii)打巨;
11
(2)存在;[=1一走
2
【解析】
【分析】(1)(i)分別利用勾股定理得到AG2+GB2=AB2,故AGLG5,AB2+BF2^AF2>故
BF±AB,再利用平面ABC。1平面ABEF,得到B/7_1_平面ABCD,從而5ELAG,再利用線面
垂
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