2023-2024學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)人教版必修第一冊(cè)基本不等式講義

基本不等式講義（一）

題型一、兩個(gè)數(shù)和的最值問題（基礎(chǔ)）

1.已知x>0,求x的最小值。-變1:已知xVO,求x的最值

XX

--變2：已知x>2,求x的最值

X

4

2.已知x>-l,則x+l+——的最小值

x+1

1Q

3.已知x>2,求x+——的最小值。--變1：已知x>l,求2x+「二的最小值

x-2x-1

4.求函數(shù)丁=/+工的最小值，并求出y取得最小值時(shí)的x值

%-+1

5.已知（Xx<l,則工+_1_的最小值

Xl-x

6.已知x>2,—2*>-1)=4,則x+y的最小值

題型二、兩個(gè)數(shù)積的最值問題（基礎(chǔ)）

1.已知x>0,y>0,且x+y=4,則個(gè)的最大值

一變式1：已知x>0,y>0,且x+4y=I,則—的最大值

一變式2：已知x>0,y>0,且三+?=1,則孫的最大

2.已知0VxW2,求x（4-x）的最大值

3.已知OVx<l,求x（3-3x）的最大值

4.若,則代數(shù)式（3x—2）（7—5尤）的最大值

題型三、構(gòu)造一元二次不等式

1.已知%>0,y>0,x+2y+2沖=8,求x+2y的最小值

2.已知x>0,y>0,個(gè)=龍+丁+3,求母的最小值

3.已知x>0,y>0,盯=x+2y+4,求1+y的最小值

題型四、拆項(xiàng)裂項(xiàng)（分離常數(shù)）（分母次數(shù)大于等于分子次數(shù)）

1.已知xX）,求立業(yè)的最值2.已知x>l,求3的最小值

Xx-l

3.已知一求［二2^+2的最大值4.已知%>-1,求「+1的最值

2x—2x+2x+2

5.已知x>-1,求x=3x+l的最值

X+1

題型五、兩個(gè)變量問題（顛倒、常數(shù)代換法、“1”的妙用）

1.已知x>0,y>0,求上+二的最小值

x4y

2.已知x>0,y>0,2x+5y=l,求工+工的最小值

%y

_19

3.已知x>0,y>0,x+2y=2,求一+—的最小值

xy

--變1:已知x>0,y>0,y=1-—,求2x+，的最小值

%y

1Y

4.已知x>0,y>0,x+2y=1.求一+—的最小值

%y

5.已知x>0,y>O,x+y=l,求1+!卜+1）的最小值

49

--變1：已知X>0,y>0,且x+y=l,求---+----的最小值

x+1y+2

一x+39

--變2:已知%>0,y>0,且x+y=l,求12+----的最小值

x+1y+2

179

6、已知OVxVL,則』+二_的最小值

2x1-2%

7.已知x>0,y>0,且3x+y=5孫，求4x+3y的最小值

求(x+1玲+1)的最小值

8.已矢口x>0,y>0,且x+2y=5

題型六、代入消元法、換元法

I110

1.已知x>0,y>0,—+—=1,求---+----的最小值

xyx-ly-1

2.已知x>0,y>0,爐+2到一3=0,貝您+y的最小值

3.已知0<xVl,求工+/一的最小值

X1-x

21

4.已知x>0,y>0,x+y=2,則---+——的最小值

x+3yx-1

題型七、多次應(yīng)用基本不等式

2

1.已知x>0,y>0,求1+〉+-^=的最小值

J孫

2.已知x>0,y>0,求己+/1、的最小值

小一田

題型八、利用基本不等式證明不等式

1.已知aX),bX),cX),.求證：—+—+—>a