聯(lián)立高級中學三周導學案

第十篇計數(shù)原理、排列組合、二項式定理導學第1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原【20142．結(jié)合分類討論和“補集”思想考查兩個原理的區(qū)別應用考第十篇計數(shù)原理、排列組合、二項式定理導學第1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原【20142．結(jié)合分類討論和“補集”思想考查兩個原理的區(qū)別應用考點梳 nm1N＝m1＋m2＋…＋mn種方法(也稱加法原理 nm1種方法，做第二1．(教材習題改編)0，1，2，3四位數(shù)共有A．238個B．232個C．174個D．168解析0，1，2，33×43＝192(個)中無重復的數(shù)字的四位數(shù)共有3A3＝18(個)，故共有192－18＝174(個3C四位數(shù)共有A．238 B．232C．174D．168解析，故共有答案的坐法種數(shù)為 解析3家，所以有(3！)4答案A．3 B．4C．5D．10解析x＝0，y＝0，1，2，34個；x＝1，y＝0，1，23＝0，12個；x＝3，y＝0，1個．∴M(x，y)4＋3＋2＋1＝10答案A．81 B．12C．7答案A．81 B．12C．7 D．256解析33×3×3×3＝81答案積是5的倍數(shù)的取法有 解析1100520520190208080×20＝16001600＋190＝1790答案1用書D．66A．60 B．63C．65[審題視點]先找出和為偶數(shù)的各種情況，再利用分類加法計數(shù)原理求解解析51，3，5，7，94C45＝5(種)5個奇數(shù)中任取24個偶數(shù)15＋60＋1＝66(種答案的三角形 個解析答案的三角形 個解析答案這樣的四位數(shù)共 個(用數(shù)字作答[審題視點]組成這個四位數(shù)須分4步完成，故用分步乘法計數(shù)原理解析法 用2，3組成四位數(shù)共有2×2×2×2＝16(個)，其中不出現(xiàn)23216－2＝14(個法二第二類含有三個2，一個3共有4個；第三類含有二個2，二個3共有6(個)，因此滿足條件的四位數(shù)共有2×4＋C24＝14(個6(個)，因此滿足條件的四位數(shù)共有2×4＋C24＝14(個答案完成2】(2012·新課標全國)2名教師，42到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2的安排方案共有A．12 B．10C．9D．8解析答案則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有A．10 B．15C．20D．30[審題視點]比賽場數(shù)至少3場，至多5場，通過分類討論，用分類加法計解析324局(3＋6＋12＝20答案(1)解決此類綜合題的關鍵在于區(qū)分該問題是“分類”還是“分步(2)解決既有“分類”又有“分步”的綜合問題時，應“先分類，后分步限內(nèi)不同的點的個數(shù)是 解析M中的元素作點的橫坐標，N個．所求不同的點的個數(shù)是答案用書【命題研究】【真題探究】?(2012·四川)方程ay＝b2x2＋c中的共有A．60 B．62C．71D共有A．60 B．62C．71D．80[教你審題]帶字母系數(shù)的曲線方程，字母系數(shù)的不同取值個數(shù)即為所求[解法]法一a＝1時，若c＝0，則b24，92條拋物線；若c≠0，則c4種取值，b2有兩種，共有2×4＝8(條)拋物線；當a＝2時，若c＝0，b21，4，9三種取值，共有3條拋物線；若c≠0，c1時，b2有22條拋物線，c取－2時，b222條拋物線，c3時，b233條拋物線．c取－3時，b2333＋2＋2＋3＋3＝13(條)拋物線．同理，a＝－2，－3，3時，共有拋物2法二ay＝bx＋cab≠0y＝c(1)c＝0時，從{－3，－2，1，2，3}2個數(shù)作a，b的值55(2)c≠0時，從{－3，－2，1，2，3}3個數(shù)作a，b，c的值5A3－12＝4835[答案[備考]計數(shù)原理往往與其他知識相結(jié)合綜合命題，所以試題的綜合性比較強答案用書A級基礎演練(時間：30分 滿分：55分一、選擇題(520分1同的選法有A．6 B．12C．24D．30解析414選1門，有21選1門，有21，故選答案解析答案則不同的參加方法的種數(shù)為解析(1)從乙、丙、丁、戊中選一人(如乙)參加“圍棋苑”，有C4142人(如丙、丁)(2)從乙、丙、丁、戊中選2人(如乙、丙)參加“圍棋苑”，有C24綜合(1)(2)，共C14C24A3＋C24A3＝180種參加方法答案“平行線面組”的個數(shù)是解析答案“平行線面組”的個數(shù)是解析6個表面構(gòu)成的“平行線面組”6×6＝364答案二、填空題(510分線方程Ax＋By＋C＝0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標原點的直線有 解析C＝01，2，3，5，7，116答案 解析一種填法，55的每一種填法，6、7、83答案三、解答題(25分(1)(1)(2)解(1)數(shù)原理知共可構(gòu)成m·n·k個三角形．(2)m n k解法計數(shù)原理得N＝3×2＝6個．B級能力突破(時間：30滿分：45分一、選擇題(510分覽，則不同的選擇方案共有A．300 B．240C．144D．96解析A．300 B．240C．144D．96解析答案A．1或 B．1或C．2D．2解析說明有兩次交換沒有發(fā)生，此時可能有兩種情況：(1)32a－ba－c4b，c(2)由4人構(gòu)成的2次交換，如a－b和c－e之間的交換沒有發(fā)生，則收到4a，b，c，e答案二、填空題(510分3．(2013·新余期中)如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫作“好1，2，3，4四個數(shù)字組成的有重復數(shù)字的四位數(shù)中 解析由分類加法計數(shù)原理得共有“好數(shù)”C13＋C13C13＝12個答案一種填法，則不同的填寫方法共 種解析由于3×3解析由于3×3612答案三、解答題(25分5．(12分)A，B，C，D，E，F(xiàn)A、D、E4×3×2＝24B、C、F的BED1×(1×1＋1×2)＝3種涂法．所以解2，3，…，982A2882＝26(個第2 排列與組綜合應用排列、組合知識解決簡單的實際問題用書一列，叫作從n個不同的元素中任意取出m個元素的一個排列．nmAn表示．Ann的階乘CnAnCnAn Cmn＝＝mn＋ Cn(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①Cn－mmAn－nmCn序，關鍵是在計算中體現(xiàn)“有序”和“無序8個點最多確定的圓的個數(shù)為 8個點最多確定的圓的個數(shù)為 解析83C384C34答案2．C1＋C2＋…＋C17等于 解析原式…答案排方案的種數(shù)是解析1C13C24A3＝1082＝18108＋18＝126答案A．4 A．4 B．10C．18D．20解析①224位朋友有C24＝66＋4＝10答案 解析答案用書考向一解(1)(元素分析法88法二(位置分析法86 ＝336×720＝241920(種)法三(等機會法969法二(位置分析法86 ＝336×720＝241920(種)法三(等機會法969×241920(種9法四(間接法988 (3)(插空法45 ＝2880(種)常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考慮位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是解析32人“捆”在一起記作A(A共有C23A2＝6(種)第二類：“捆綁”AB綜上，不同的排法種類有答案考向二綜上，不同的排法種類有答案考向二(4)(5)[審題視點]解組合問題時，常從特殊元素解(1)一名女生，四名男生．故共 C1·C4＝350(種 (3)至少有一名隊長含有兩類：只有一名隊長和兩名隊長．故共有＋ C2·C3＝825(種)或采用排除法：C5－C5＝825(種 (4)2·3＋1·48C58 (5)分兩類：第一類女隊長當選：C4；第二類女隊長不當選 C4＋C1·C3＋C2·C2＋C3·C1＋C4＝790(種 (2)“至少”或“最多”105輛，問下列情況下分別有多少種選購方式？(2)“至少”或“最多”105輛，問下列情況下分別有多少種選購方式？解(1)202C2102 ＝855001C1C42輛甲型汽車的選法為：C5－C5－C120 20(3)分三類C1C1C3＋C1C3C1C2C22010 2010 10C2C2C1＋C2C1C22010 20103C3C1C12010共有選法：2C1C1C3＋2C2C2C1＋C1C2C2＋C3C1C120102010 2010 2010(1)[審題視點](1)可直接用分步乘法計數(shù)原理(2)問題轉(zhuǎn)化為：“4(3)問題轉(zhuǎn)化為：[審題視點](1)可直接用分步乘法計數(shù)原理(2)問題轉(zhuǎn)化為：“4(3)問題轉(zhuǎn)化為：“4解(1)444＝256(種)．(2)為保證“恰有一個盒子不放球”，先從四個盒子中任意拿出去1個，即將44C1A2＝144(種3(3)先從四個盒子中任意拿走兩個有C2種，問題轉(zhuǎn)化為：“4444 C2·14＝84(種4N2的所有排列的個數(shù) 解析66C13答案用書【命題研究】答案用書【命題研究】組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為[教你審題]由組成無重復數(shù)字的三位數(shù)且為奇數(shù)知，個位必是奇數(shù)，因此[解法]當從0，2中選取2時，組成的三位奇數(shù)的個位只能是奇數(shù)，十位百03212＋6＝183[答案[備考]備考中要掌握解決排列與組合問題的解題思路、方法與思想先【試一試】(2012·湖北)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整【試一試】(2012·湖北)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整99.3位回文數(shù)有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.則4位回文數(shù) 個2n＋1(n∈N＋)位回文數(shù) 個解析109×10＝90(個)490(2)首位和末位不能取0，故有910102n＋1(n∈N＋)位回文數(shù)9×10n答案 用書A級基礎演練(時間：30分 滿分：55分一、選擇題(520分相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有A．12 B．18C．24D．36解析答案答案D．120A．24 B．60C．90解析C、D、EA35A、B答案022＋…＋Cn＋C－nn解析(特例法)n＝2C02＋C2＝2A、答案目．如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為解析12＋30＝42種排法(答案二、填空題(510分5．(2013·汕頭調(diào)研)7AA 解析a、b、ca，b22－1＝3支線c2解析a、b、ca，b22－1＝3支線c23－1＝7AA3×3×7＝63答案y＝ax2＋bx＋ca，b，c 解析a，b，c0A37個；a，b，c02A27A37＋2A27＝294個不同的二次函答案三、解答題(25分(1)A，B必須當選；(2)A，B必不當選；(3)A，B不全當選解(1)A，B103C3120A，BC5－C3 672(4)注意到“至少有2名女生 (5) (5) 37 C1·A3＝12600 解法 第1步，涂A區(qū)域有C1種方法；第2步，涂B區(qū)域有C1種方法54D3C1種涂法．故共C1·C1·(4＋C1·C1)＝260種不同的涂色方法3 法二553255A2＋C3C1C1A2＋C4A4＝260種不同的涂色方法 532 5B級能力突破(時間：30滿分：45分一、選擇題(510分鄰兩數(shù)都互質(zhì)的排列方式共有A．576 B．720C．864 D．1152解析1，3，5，7，有A4種排法；再排C．864 D．1152解析1，3，5，7，有A4種排法；再排66不能和36324642答案不同取法的種數(shù)為解析3答案二、填空題(510分3．(2013·深圳模擬)522，3張為A5 解析出牌的方法可分為以下幾類：(1)5A52一起出，3AA25種方法；(3)22一起出，3A32分開出，3AA35種方法；(6)22分開出，3AA＋A＋A＋CA＋A35C23860(種答案答案后執(zhí)行程序C后須立即執(zhí)行程序按此要求小王的編程方法 解析對于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CDF520答案三、解答題(25分5．(12分解(1)183C3＝816(種(3)C1C4＋C3＝6936(種2 (4)法一(直接法C1C4＋C2C3＋C3C2＋C4C1＝14656(種12 12 12 12法二(間接法 ＋C5)＝14656(種8(n＋1)n(n－1) ＋C5)＝14656(種8(n＋1)n(n－1)…321an.a1＝1，排a2＝3，排(2)令 (1)解由已知562＝.nn＋2 1 (2)證n 1 11n1 1－第3 二項式定會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題用書011(a＋b)nan n－rnr b＋…＋Cnb(n∈N)－nnn＋其中的系數(shù)nCr(r＝0，1，…，用書011(a＋b)nan n－rnr b＋…＋Cnb(n∈N)－nnn＋其中的系數(shù)nCr(r＝0，1，…，n)rnr b－＋＋(1)項數(shù)為n＋1．冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數(shù)從C0，C1，一直到n－n ． rn－ nnkk 2nnC2n，C2n(3)各二項式系數(shù)和：C0＋C1＋C2＋…＋C＋…＋Cnn 024135n－C 運用二項式定理一定要牢記通 Tr＋1＝Crn項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指(1)(2)展開式的應用：①證明與二項式系數(shù)有關的等式；②證明不等式；③證明(1)(2)展開式的應用：①證明與二項式系數(shù)有關的等式；②證明不等式；③證明1．(2012·四川)(1＋x)7的展開式 解析x2答案( x＝1x＝－1答案 解析 答案．解析＝－2) ，令r＝3，得常數(shù)項為 答案．解析＝－2) ，令r＝3，得常數(shù)項為rrr33－( 答案5．(2012·陜西)(a＋x)5展開式中x2的系數(shù)為10，則實數(shù)a的值 ，解得5答案用書考向一3【例1】已知在3x2[審題視點]準確記住二項展開式的通項公式是解此類題的關鍵 rrrr解1＝Cnx3(－3)x－＝(－3)＋33(2)3 33(3)由題意知0≤r≤10，＝k(k 33(3)由題意知0≤r≤10，＝k(k∈Z)10－2r＝3k∵r∈Z，∴k405x2，－61236，295【訓練1】(2012·福建)(a＋x)4的展開式中x3的系數(shù)等于則實數(shù) 解析答案【例2】?在(2x－3y)10[審題視點]求二項式的系數(shù)的和，常用賦值法求解設(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)各項系數(shù)和即解＋…＋a10，奇數(shù)項系數(shù)和為a0＋a2＋…＋a10，偶數(shù)項系數(shù)和為 (2)令x＝y(tǒng)＝1，各項系數(shù)和為 C1＋C3＋…＋C9 令x＝1，y＝－1(C1＋C3＋…＋C9 令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，；2.2(1)對形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展開式的(2)f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxnf(x)f(1)數(shù)項系數(shù)之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為2.22(2013·九江質(zhì)檢)(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，則|a2|＋…＋|a6|的值為 －1，則答案考向三 [審題視點]求多個二項式積的某項系數(shù)，要會轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式解析(1＋2x)3(1－x)4展開式中的x3[審題視點]求多個二項式積的某項系數(shù)，要會轉(zhuǎn)化成二項式定理的形式解析(1＋2x)3(1－x)4展開式中的x3答案53(2012·安徽)(x＋2－12的展開式的常數(shù)項是 1解析二項式·Tx22r－10＝－2r＝4答案用書【命題研究】 x－16的二項展開式中的常數(shù)項為【真題探究1】?(2012·湖南 (用數(shù)字作答[教你審題]求二項展開式中的常數(shù)項，首先應正確寫出通項公式，然后r －r6－rrr6－r【命題研究】 x－16的二項展開式中的常數(shù)項為【真題探究1】?(2012·湖南 (用數(shù)字作答[教你審題]求二項展開式中的常數(shù)項，首先應正確寫出通項公式，然后r －r6－rrr6－r＝C6(－1) ＋答案61 2 84r 1解析＝Cr8 ) 2 ＝Crr8 －04 r＝4，所以展開式中的常數(shù)項為82＝8答案 數(shù)相等，則該展開式中x2的系數(shù) [教你審題]由二項式系數(shù)相等n的值，然后進一步借助于通項37C2＝C6n [教你審題]由二項式系數(shù)相等n的值，然后進一步借助于通項37C2＝C6n rrxxr 8＋52r＝－2?r＝5，所以x2答案[備考 求二項展開式中的特定項或特定項的系數(shù)是高考考查二項式定理的3(用數(shù)字作答 26r解析x2的展開式的通項為Tr＋1＝C6(x ·－r－xx答案用書A級基礎演練(時間：30分 滿分：55分一、選擇題(520分131．(2013·蚌埠模擬)在(A．3 B．4C．5D．6 C r＝0，6，12，18，24解析＝r36 5答案nA．3 B．4C．5D．6 C r＝0，6，12，18，24解析＝r36 5答案n 解析4n－2n＝240-1x＝(－)5 C - ，rrr42令43r＝1，得2答案則展開式中各項系數(shù)的和是D．1 C．1C·(－a)4＝14．(2012·天津)在2x2－15的二項展開式中，x的系數(shù)為解析因為＝25－r·(1xr2－C5(2xr5 r＝3x的系數(shù)為答案二、填空題(510分1的展開式中含 的項的系數(shù)(結(jié)果3值表示r32r，令－ ＝Cr＝15，解得( 1)C答案二、填空題(510分1的展開式中含 的項的系數(shù)(結(jié)果3值表示r32r，令－ ＝Cr＝15，解得( 1)Crr33212＝2.所以所求系數(shù)為(－1)· C23答案6．(2012·浙江)f(x)＝x5a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則 解析f(x)＝x5＝(1＋x－1)5答案三、解答題(25分7．(12分)已知二項式x(1)求n；(2)解(1)由題意，得C0＋C1＋C2Cnn256，即2n＝256，解得 33Tr 8－ 8x＋＝0，得r＝2，此時，常數(shù)項8試探究在楊輝三角形的某一行能否出現(xiàn)三個連續(xù)的數(shù)，使它們的比是0123456…1111 31 … 11解n0123456…1111 31 … 11解nr－r－rr＋(3)nnr－C r3 ＝4，得44 ＝， ＝r＋55Cn B級能力突破(時間：30滿分：45分一、選擇題(510分1．已知0<a<1，方程a|x|＝|logax|的實根個數(shù)為n，且＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，作出與作出與答案 解析512012＋a＝(13×4－1)2012＋a131＋a時，512012＋a13答案二、填空題(510分 x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，則 解析x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.答案6x若B＝4A，則a的值 3 －-，Cr2x2答案三、解答題(25分1 11rTr＋1＝C55x11rTr＋1＝C55x 解r2 ＝16.又(a2＋1)nx5的各項系數(shù)之和等于2n，由題意知2n＝16，得n＝4.(a2＋1)nC2a4＝54，解T3，故46．(13分 (2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79解 n∴n＝7C3144的系數(shù)為 ＝23TC71727＝38 (1＋4x)11C 124≥C12 －－，∴kk1k Ck4 11C 124≥C12 －－，∴kk1k Ck4 T ·2·x＝16896x2小題專項集訓（十六 計數(shù)原用書(時間：40分 滿分：75分一、選擇題(550分 解析答案25名男醫(yī)生、43A．70 B．80C．100D．140解析分恰有2名男醫(yī)生和恰有1名男醫(yī)生兩類，從而組隊方案共有答案1＋42n8C3nn 解析 解析答案開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有A．400 B．460C．480 D．496解析A6種方法，B5種，C4種，D、A1種，D、36×5×4×(1＋3)＝480(種)答案5．若(x＋3y)n展開式中所有項的系數(shù)和等于(7a＋b)10展開式的二項式系數(shù)之和，則n的值等于( 解析令x＝y(tǒng)＝1，得(x＋3y)n展開式中所有項的系數(shù)和為4n，(7a＋b)10答案A．6 B．8C．10D．16解析510答案的安排方法共有 A．20 B．30C．40D．60解析答案的安排方法共有 A．20 B．30C．40D．60解析A24答案系數(shù)，則一共可以確定不同的雙曲線的條數(shù)為解析取出的三個數(shù)要能成為雙曲線的系數(shù)，則a，b異號即可，先取33答案2的展開式)四位同學作出四種判斷＋n∈N＋展開式中有n∈N＋展開式x上述判斷中正確的是AD4r－n＝0AD4r－n＝0，n＝4r，(r＝0，1，2，…n)r＝1，n＝4，故①1，2…n)如：r＝1，n＝3，存在，故④答案 a210．若(1－2x)2014＝a0＋a1x＋…＋a2014x2014(x∈R)，則＋22＋…＋22( 解析觀察所求數(shù)列和的特點，令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a2014＝02222222222答案二、填空題(525分 解析01，3，510＝48答案 解析分兩種情況：(1)A4答案化學學科的課代表，若某女生必須擔任語文課代表，則不同的選法共有 種(用數(shù)字作答解析由題意知，從剩余7人中選出4人擔任4個學科課代表，共有840(種答案 解析當每個臺階上各站1人時有A3C37化學學科的課代表，若某女生必須擔任語文課代表，則不同的選法共有 種(用數(shù)字作答解析由題意知，從剩余7人中選出4人擔任4個學科課代表，共有840(種答案 解析當每個臺階上各站1人時有A3C37A3C＋C2C176336(種答案6aa的值 r解析 ＝C －x2 ax ，令＝0＝－r6r6 r6(1)2(12a16a，＝2242±1)1a641答案易失分點清零(十三 計數(shù)原用書易失分點 兩個原理不清而致A．24 B．4種C．43D．34(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不(2)某人從甲地到乙地，可以乘火車，也可以坐輪船，在這一天的不同時間里火車有4趟，輪船有3次，問此人的走法可 種解析(1)1424343(2)因為某人從甲地到乙地，乘火車的走法有4種，坐輪船的走法有3種，每種方法都能從甲地到乙地，根據(jù)分類計數(shù)原理，可得此人的走法可有7(種)．故填答案警示易失分點 排列與組合問題錯位或出現(xiàn)“重復”“遺漏”致門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有A．30 B．35C．42D．48解析法 可