習題課十一電磁感應中的動力學動量和能量問題（桿＋導軌模型）

第十一章電磁感應習題課十一電磁感應中的動力學、動量和能量問題（桿＋導軌模型）目錄CONTENT著眼“四翼”·探考點聚焦“素養(yǎng)”·引思維020301鎖定“目標”·提素能Part01著眼“四翼”·探考點?考點一

電磁感應中的動力學問題

[互動共研類]1.兩種狀態(tài)及處理方法狀態(tài)特征處理方法平衡態(tài)加速度為零根據平衡條件列式分析非平衡態(tài)加速度不為零根據牛頓第二定律結合運動學公式進行分析2.力學對象和電學對象間聯系的橋梁——感應電流I、切割速度v【典例1】

如圖甲所示，兩根足夠長的直金屬導軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導軌間距為L，M、P兩點間接有阻值為R的電阻，一根質量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，并與導軌垂直。整套裝置處于磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直于斜面向下。導軌和ab桿的電阻可忽略，讓ab桿沿導軌由靜止開始下滑，導軌和ab桿接觸良好，不計它們之間的摩擦。（重力加速度為g）解析

（1）由右手定則可知，ab桿中電流方向為a→b。如圖所示，ab桿受重力mg，方向豎直向下；支持力FN，方向垂直于導軌平面向上；安培力F安，方向沿導軌向上。答案

（1）見解析圖

（1）由b向a方向看到的裝置如圖乙所示，請在此圖中畫出ab桿下滑過程中某時刻的受力示意圖；（2）在加速下滑過程中，當ab桿的速度大小為v時，求桿中的電流及其加速度的大小；

（3）求在下滑過程中，ab桿可以達到的速度最大值。

｜解題技法｜用“四步法”分析電磁感應中的動力學問題?1.[電磁感應中水平面內的動力學問題]如圖所示，M、N為同一水平面內的兩條平行長直導軌，左端串聯電阻R，金屬桿ab垂直導軌放置，金屬桿和導軌的電阻不計，桿與導軌間接觸良好且無摩擦，整個裝置處于豎直方向的勻強磁場中?，F對金屬桿ab施加一個與其垂直的水平方向的恒力F，使金屬桿從靜止開始運動。在運動過程中，金屬桿的速度大小為v，R上消耗的總能量為E，則下列關于v、E隨時間變化的圖像可能正確的是（

）解析：D

對金屬桿ab施加一個與其垂直的水平方向的恒力F，使金屬桿從靜止開始運動；由于金屬桿切割磁感線產生感應電動勢和感應電流，受到隨速度的增大而增大的安培力作用，所以金屬桿做加速度逐漸減小的加速運動；當安培力增大到等于水平方向的恒力F時，金屬桿做勻速直線運動，故A、B錯誤。由功能關系知，開始水平方向的恒力F做的功一部分使金屬桿動能增大，另一部分轉化為電能，被電阻R消耗掉；當金屬桿勻速運動后，水平方向的恒力F所做的功等于R上消耗的總能量E，故D正確，C錯誤。2.[電磁感應中斜面內的動力學問題]（2023·江蘇鎮(zhèn)江二模）如圖所示，兩電阻不計的足夠長光滑導軌傾斜放置，上端連接一電阻R，空間有一垂直導軌平面向上的勻強磁場B，一質量為m的導體棒與導軌接觸良好，從某處自由釋放，下列四幅圖像分別表示導體棒運動過程中速度v與時間t關系、加速度a與時間t關系、機械能E與位移x關系、以及通過導體棒電量q與位移x關系，其中可能正確的是（

）

3.[電磁感應中豎直面內的動力學問題]（2023·江蘇南京外國語學校模擬）為了提高城市摩天大樓中電梯的運行效率并縮短候梯時間，人們設計了一種電磁驅動的無繩電梯，如圖甲。圖乙所示為電磁驅動的簡化模型：光滑的平行長直金屬導軌置于豎直面內，間距L＝1m。導軌下端接有阻值

R＝1Ω的電阻，質量m＝0.1kg的導體棒（相當于電梯車廂）垂直跨接在導軌上，導軌和導體棒的電阻均不計，且接觸良好。在導軌平面上存在磁感應強度大小B＝0.5T，方向垂直紙面向里的勻強磁場，導體棒始終處于磁場區(qū)域內，g取10m/s2。t＝0時刻，磁場以速度v1＝10m/s速度勻速向上移動的同時靜止釋放該導體棒。（1）求t＝0時刻導體棒的加速度大?。?/p>

答案：（1）15m/s2

（2）若導體棒隨之運動并很快達到一個恒定速度，求該恒定速度的大小。解析：（2）若導體棒隨之運動并很快達到一個恒定速度，此時導體棒受向上安培力大小等于重力，則有F安2＝BI2L＝mg＝1

N解得此時回路中的電流為I2＝2

A由電磁感應定律可得E2＝BLv2＝I2R解得v2＝4

m/s由電磁感應定律可知，v2是導體棒相對磁場的運動速度，則有導體棒的恒定速度為v＝v1－v2＝10

m/s－4

m/s＝6

m/s。答案：（2）6m/s考點二

電磁感應中的能量問題

[互動共研類]1.電磁感應中的能量轉化其他形式的能量?電能?焦耳熱或其他形式的能量2.求解焦耳熱Q的三種方法（1）焦耳定律：Q＝I2Rt；（2）功能關系：Q＝W克服安培力；（3）能量轉化：Q＝ΔE其他能的減少量?！镜淅?】

如圖所示，一對平行的粗糙金屬導軌固定于同一水平面上，導軌間距L＝0.2m，左端接有阻值R＝0.3Ω的電阻，右側平滑連接一對彎曲的光滑軌道。僅在水平導軌的整個區(qū)域內存在豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小

B＝1.0T。一根質量m＝0.2kg、電阻r＝0.1Ω的金屬棒ab垂直放置于導軌上，在水平向右的恒力F作用下從靜止開始運動，當金屬棒通過位移x＝9m時離開磁場，在離開磁場前已達到最大速度。當金屬棒離開磁場時撤去外力F，接著金屬棒沿彎曲軌道上升到最大高度

h＝0.8m處。已知金屬棒與水平導軌間的動摩擦因數μ＝0.1，導軌電阻不計，金屬棒在運動過程中始終與導軌垂直且與導軌保持良好接觸，取g

＝10m/s2。求：

（1）金屬棒運動的最大速率v；答案

（1）4m/s

答案

（2）1m/s2（3）金屬棒在磁場區(qū)域運動過程中，電阻R上產生的焦耳熱。

?1.[導體棒在磁場中運動時的能量轉化]一空間有垂直紙面向里的勻強磁場B，兩條電阻不計的平行光滑導軌豎直放置在磁場內，如圖所示，磁感應強度B＝0.5T，導體棒ab、cd長度均為0.2m，電阻均為0.1Ω，重力均為0.1N。現用力向上拉動導體棒ab，使之勻速上升（導體棒ab、cd與導軌接觸良好），此時導體棒cd靜止不動，則導體棒ab上升時，下列說法正確的是（

）A.經過導體棒cd的電流方向為從d到cB.導體棒ab受到的拉力大小為2NC.導體棒ab向上運動的速度為2m/sD.在2s內，拉力做的功中有0.6J的機械能轉化為電能

2.[金屬框在磁場中運動時的能量轉化]兩個完全相同的正方形勻質金屬框，邊長為L，通過長為L的絕緣輕質桿相連，構成如圖所示的組合體。距離組合體下底邊H處有一方向水平、垂直紙面向里的勻強磁場。磁場區(qū)域上下邊界水平，高度為L，左右寬度足夠大。把該組合體在垂直磁場的平面內以初速度v0水平無旋轉拋出，設置合適的磁感應強度大小B，使其勻速通過磁場，不計空氣阻力。下列說法正確的是（

）B.通過磁場的過程中，金屬框中電流的大小和方向保持不變C.通過磁場的過程中，組合體克服安培力做功的功率與重力做功的功率不相等D.調節(jié)H、v0和B，只要組合體仍能勻速通過磁場，則其通過磁場的過程中產生的熱量不變

【典例3】

（2023·江蘇鹽城一模）如圖所示，相互平行，相距L的兩條金屬長導軌固定在同一水平面上，電阻可忽略不計，空間有方向豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B，質量均為m，長度均為L，電阻均為R的導體棒甲和乙，可以在長導軌上無摩擦左右滑動。開始時，甲導體棒具有向左的初速度v，乙導體棒具有向右的初速度2v，求：（1）開始時，回路中電流I；

（2）當一根導體棒速度為零時，另一個導體棒加速度a的大??；

（3）運動過程中通過乙導體棒的電荷量最大值qm。

｜解題技法｜靈活選用“三大力學觀點”解決電磁感應中的綜合問題動力學觀點即應用牛頓運動定律及運動學公式分析物體的運動問題。能量觀點即應用動能定理、機械能守恒定律、功能關系、能量守恒定律等規(guī)律處理有關問題。動量觀點?

[動量定理在電磁感應中的應用]如圖所示，兩光滑平行金屬導軌置于水平面內，兩導軌間距為L，左端連有阻值為R的電阻，一金屬桿置于導軌上，金屬桿右側存在一磁感應強度大小為B、方向豎直向下的有界勻強磁場區(qū)域。已知金屬桿質量為m，電阻也為R，以速度v0向右進入磁場區(qū)域，做減速運動，到達磁場區(qū)域右邊界時速度恰好為零。金屬桿與導軌始終保持垂直且接觸良好，導軌電阻忽略不計。求：（1）金屬桿運動全過程中，在電阻R上產生熱量QR；

（2）金屬桿運動全過程中，通過電阻R的電荷量q；

（3）磁場左右邊界間的距離d。

Part02聚焦“素養(yǎng)”·引思維?“專項研究”拓視野?“桿＋導軌”模型模型一

“單桿＋導軌”模型如圖，兩光滑金屬導軌在水平面內，導軌間距為L，導體棒的質量為m，回路總電阻為R。導體棒在水平力F的作用下運動，某時刻速度為v0，導體棒在磁場中的運動情況分析如下：運動條件運動情況分析F為恒力合力為零，做勻速運動v↑?BLv↑?I↑?BIL↑?a↓?a＝0，勻速運動v↓?BLv↓?I↓?BIL↓?a↓?a＝0，勻速運動F隨時間t按一定線性規(guī)律變化【典例1】

如圖1所示，兩水平放置的光滑平行金屬導軌MN、PQ固定在絕緣水平面上，導軌間距離為

L＝1m。M、P間接有阻值為R＝10Ω的定值電阻，理想電壓表接在定值電阻兩端。導軌處在垂直于導軌平面向上的勻強磁場中，磁場的磁感應強度大小為B＝1T。一根質量m＝0.1kg的金屬棒放在導軌上，金屬棒接入電路的電阻也為R＝10Ω?，F對金屬棒施加一個水平向右的拉力，使金屬棒由靜止開始向右運動，金屬棒運動后電壓表的示數U隨時間t變化的規(guī)律如圖2所示，金屬棒運動過程中與導軌接觸良好且始終與導軌垂直，導軌電阻不計。求：（1）t＝5s時，拉力F的大小；

答案

（1）0.7N（2）金屬棒在運動的前5s內，拉力F的沖量大??；

答案

（2）2.25N·s（3）金屬棒運動10s時，撤去拉力F，則撤去拉力后金屬棒運動0.5m時速度的大小。

模型二

“雙桿＋導軌”模型1.初速度不為零，不受其他水平外力光滑的平行導軌光滑不等距導軌示意圖?質量m1＝m2電阻r1＝r2長度L1＝L2桿MN、PQ間距足夠長?質量m1＝m2電阻r1＝r2長度L1＝2L2桿MN、PQ間距足夠長且只在各自的軌道上運動光滑的平行導軌光滑不等距導軌規(guī)律??分析桿MN做變減速運動，桿PQ做變加速運動，穩(wěn)定時，兩桿的加速度均為零，以相等的速度做勻速運動桿MN做變減速運動，桿PQ做變加速運動，穩(wěn)定時，兩桿的加速度均為零，兩桿的速度之比為1∶22.初速度為零，一桿受到恒定水平外力光滑的平行導軌不光滑平行導軌示意圖?質量m1＝m2電阻r1＝r2長度L1＝L2?摩擦力Ff1＝Ff2質量m1＝m2電阻r1＝r2長度L1＝L2光滑的平行導軌不光滑平行導軌分析開始時，兩桿做變加速運動；穩(wěn)定時，兩桿以相同的加速度做勻加速運動開始時，若F≤2Ff，則PQ桿先變加速后勻速運動，MN桿靜止。若F＞2Ff，PQ桿先變加速后勻加速運動，MN桿先靜止后變加速最后和PQ桿同時做勻加速運動，且加速度相同規(guī)則??【典例2】

如圖所示，光滑水平導軌置于磁場中，磁場的磁感應強度為B，左側導軌間距為L，右側導軌間距為2L，導軌均足夠長。質量為m的導體棒ab和質量為2m的導體棒cd均垂直于導軌放置，處于靜止狀態(tài)。ab的電阻為R，cd的電阻為2R，兩棒始終在對應的導軌部分運動，兩金屬棒始終與導軌垂直且接觸良好，導軌電阻不計?，F瞬間給cd一水平向右的初速度v0，則此后的運動過程中下列說法正確的是（

）A.導體棒ab和cd組成的系統(tǒng)動量守恒B.兩棒最終以相同的速度做勻速直線運動

答案

C｜特別提醒｜

“桿＋導軌”模型是電磁感應中的常見模型，選擇題和計算題均有考查。該模型以單桿或雙桿在導體軌道上做切割磁感線運動為情境，綜合考查電路、動力學、功能關系等知識。在處理該模型時，要以導體桿切割磁感線的速度為主線，由楞次定律、法拉第電磁感應定律和歐姆定律分析電路中的電流，由牛頓第二定律分析導體桿的加速度及速度變化，由能量守恒分析系統(tǒng)中的功能關系。Part03鎖定“目標”·提素能?1.如圖所示，在一勻強磁場中有一U形導線框abcd，線框處于水平面內，磁場與線框平面垂直，R為一電阻。ef為垂直于ab的一根導體桿，它可在ab、cd上無摩擦地滑動。ef及線框中導線的電阻不計。開始時，給ef一個向右的初速度，則（

）A.ef將減速向右運動，但不是勻減速運動B.ef將勻減速向右運動，最后停止C.ef將勻速向右運動D.ef將往返運動

2.用一段橫截面半徑為r、電阻率為ρ、密度為d的均勻導體材料做成一個半徑為R（r?R）的圓環(huán)。圓環(huán)豎直向下落入如圖所示的徑向磁場中，圓環(huán)的圓心始終在N極的軸線上，圓環(huán)所在位置的磁感應強度大小均為B。圓環(huán)在加速下滑過程中某一時刻的速度為v，忽略電感的影響，則（

）A.此時在圓環(huán)中產生了（俯視）順時針的感應電流B.圓環(huán)因受到了向下的安培力而加速下落

3.（2023·江蘇宿遷二模）如圖所示，勻強磁場中水平放置兩足夠長的光滑平行金屬導軌，導軌的左側接有不帶電的電容器C。金屬棒ab在導軌上向右運動，運動過程中棒始終與導軌垂直且兩端與導軌保持良好接觸，不計導軌電阻。在t0時刻閉合開關S，則金屬棒兩端電壓Uab、速度v、電容器所帶電荷量q、回路中電流強度i隨時間t變化的關系圖像可能正確的是（

）解析：A

開關原來斷開，金屬棒勻速運動，金屬棒兩端電壓Uab＝BLv，在t0時刻閉合開關S，金屬棒兩端電壓等于電容器兩端電壓，開始電容器兩端電壓為0，金屬棒給電容器充電，使得電容器兩端電壓增大，此過程有電流經過金屬棒，且充電電流逐漸減小，根據左手定則可知安培力方向向左，金屬棒做減速運動，最終電容器兩端電壓等于ab切割磁感應線產生的感應電動勢，回路中的電流為零，金屬棒再次勻速運動，但速度要小于原來的速度，此時ab兩端電壓恒定不變，故A正確，B、D錯誤；閉合開關后，電容器充電過程中，其電荷量從零開始增大，最后不變，故C錯誤。4.（2023·江蘇南京市中華中學模擬預測）兩根足夠長的光滑導軌豎直放置，間距為L，頂端接阻值為R的電阻。質量為m、電阻為r的金屬棒在距磁場上邊界某處由靜止釋放，金屬棒和導軌接觸良好，導軌所在平面與磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場垂直，如圖所示。不計導軌的電阻，重力加速度為g，則下列說法正確的是（

）A.金屬棒在磁場中運動時，流過電阻R的電流方向為a→bB.金屬棒剛進磁場時一定做加速運動

5.（2023·江蘇蘇錫常一模）如圖所示，一無限長通電直導線固定在光滑水平面上。一質量為0.02kg的金屬圓環(huán)在該平面內以大小v0＝2m/s、方向與電流方向成60°角的初速度滑出，直到達到穩(wěn)定。求：（1）整個過程金屬圓環(huán)產生的電能；

答案：（1）0.03J（2）整個過程金屬圓環(huán)受到安培力的沖量。

6.（2023·江蘇鹽城一模）某實驗小組利用塑料小車模擬探究電磁剎車的效果，在遙控小車底面安裝與小車底面長寬均相同的n匝矩形導線框，其總電阻為R，其平面與水平地面平行，如圖所示，小車在車場外以恒定功率做直線運動，受到地面阻力恒為f，車頭剛進入磁場時已達到最大速度v，牽引力立即變?yōu)?；車尾剛出磁場時速度恰好為零，已知底面長為x，寬為L的小車總質量為m，寬為d的有界磁場感應強度為B，方向豎直向上，不計空氣阻力；求小車：（1）剛進磁場時，導線框中的電流強度I；

（2）從進磁場到完全出磁場過程，安培力做的功W。

?7.（2023·蘇錫常鎮(zhèn)四市教學調研）如圖所示，一根足夠長的直導線水平放置，通以向右的恒定電流，在其正上方O點用細絲線懸掛一銅制圓環(huán)。將圓環(huán)從a點無初速釋放，圓環(huán)在直導線所處的豎直平面內運動，經過最低點b和最右側c后返回，下列判斷正確的是（

）A.從a到c的過程中圓環(huán)中的感應電流方向先逆時針后順時針B.運動過程中圓環(huán)受到的安培力方向與速度方向相反C.圓環(huán)從b到c的時間大于從c到b的時間D.圓環(huán)從b到c產生的熱量大于從c到b產生的熱量解析：D

根據右手定則可知，導線上方磁場垂直紙面向外，且越靠近導線磁場越強，從a到c的過程中，圓環(huán)中的磁通量先增加再減小，根據楞次定律，圓環(huán)產生的感應磁場先向里再向外，由安培定則可知，感應電流方向先順時針后逆時針，A錯誤；圓環(huán)運動過程中，磁場的作用力一直做負功，則圓環(huán)從b到c的速度要大于從c到b相同位置的速度，故從b到c磁場的作用力相對大些，產生的熱量也較多，可知圓環(huán)從b到c的時間小于從c到b的時間，故C錯誤，D正確；將圓環(huán)分為上、下兩部分，兩部分的等效電流沿水平方向，由左手定則可知，運動過程中圓環(huán)受到的安培力沿豎直方向，B錯誤。8.（2023·江蘇蘇錫常二模）如圖所示，足夠長的水平光滑金屬導軌所在空間中，分布著垂直于導軌平面且方向豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小為B。兩導體棒a、b均垂直于導軌靜止放置，接觸良好。已知導體棒a質量為2m，導體棒b質量為m，長度均為l，電阻均為r，其余部分電阻不計?，F使導體棒a獲得瞬時平行于導軌水平向右的初速度v0。除磁場作用外，兩棒沿導軌方向無其他外力作用，在兩導體棒運動過程中，下列說法正確的是（

）A.從開始到最終穩(wěn)定的任意一段時間內，導體棒b的動能增加量等于導體棒a的動能減少量B.從開始到最終穩(wěn)定的任意一段