4.1課時1棱柱棱錐棱臺的結(jié)構(gòu)特征課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)

第4章

立體幾何初步4.1

空間的幾何體課時1

棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征#b#1.通過對實物模型的觀察，歸納簡單多面體——棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征.（直觀想象）#b#2.能運用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征解決簡單多面體的有關(guān)計算.（數(shù)學(xué)運算）1.空間幾何體的定義是什么？[答案]

如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形叫作空間幾何體.2.常見的空間幾何體分為哪幾類？[答案]

常見的空間幾何體分為多面體與旋轉(zhuǎn)體兩類.3.常見的多面體有哪些？[答案]

棱柱、棱錐、棱臺.4.棱柱有哪些結(jié)構(gòu)特征？[答案]

棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行.5.什么是棱錐？棱錐怎么分類？什么是正棱錐？[答案]

幾何體有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，像這樣的多面體叫作棱錐.按底面多邊形的邊數(shù)分，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等.如果棱錐的底面是正多邊形，將底面水平放置后，它的頂點又在過正多邊形中心的鉛垂線上，則這樣的棱錐稱為正棱錐.6.什么是棱臺？棱臺怎么分類？[答案]

過棱錐任一側(cè)棱上不與側(cè)棱端點重合的一點，作一個與底面平行的平面去截棱錐，截面和原棱錐底面之間的這部分多面體叫作棱臺.由三棱錐、四棱錐、五棱錐截得的棱臺，分別叫作三棱臺、四棱臺、五棱臺.1.判斷下列結(jié)論是否正確.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫作棱錐.(

)

×（2）棱柱的兩個底面是全等的多邊形.(

)

√（3）將棱臺的各側(cè)棱延長可交于一點.(

)

√（4）棱錐的所有面都可以是三角形.(

)

√2.下列說法正確的是(

)

.AA.棱柱的面中，至少有兩個面互相平行B.棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一條側(cè)棱就是棱柱的高D.棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形[解析]

棱柱的兩個底面互相平行，故A正確；棱柱的側(cè)面也可能有平行的面（如正方體），故B錯誤；對齊后立在一起的一摞書可以看成一個四棱柱，當(dāng)把這摞書推至傾斜時，它的側(cè)棱就不是棱柱的高，故C錯誤；由棱柱的定義知，棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形,但它的底面可以是平行四邊形，也可以是其他多邊形，故D錯誤.3.下列幾何體中，________是棱柱，____是棱錐，____是棱臺.（僅填相應(yīng)的序號）①③④⑥⑤①②③④⑤⑥探究1

空間幾何體

觀察下面兩組物體：（1）（2）問題1：

你能說出各組物體的共同點嗎？[答案]

第（1）組中每個物體都是由多個平面多邊形圍成，第（2）組中每個物體都是由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到.問題2：

構(gòu)成多面體的面最少是多少個？[答案]

三棱錐是面最少的多面體，共有3個側(cè)面和1個底面，故構(gòu)成多面體的面最少是4個.新知生成1.空間幾何體（1）概念：如果只考慮物體的______和______，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的__________叫作空間幾何體.形狀大小空間圖形（2）多面體：由若干個____________（包括三角形）所圍成的封閉體叫作多面體（如圖），圍成多面體的各個多邊形叫作多面體的面；相鄰兩個面的________叫作多面體的棱；棱與棱的______叫作多面體的頂點.平面多邊形公共邊交點2.旋轉(zhuǎn)體把平面上一條封閉曲線內(nèi)的區(qū)域繞著該平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)而成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.新知運用例1

中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖①）.“半正多面體”是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，“半正多面體”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖②是一個棱數(shù)為48的“半正多面體”，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該“半正多面體”共有____個面，其棱長為_______.26

①②

方法指導(dǎo)

第一空可從圖②直接得到，第二空需在正方體中簡單還原出物體的位置，利用對稱性，根據(jù)平面幾何的性質(zhì)解決.

六子聯(lián)方起源于古代中國建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合得十分巧妙.六子聯(lián)方類玩具比較多，一般都是易拆難裝.如圖①，這是一種常見的六子聯(lián)方玩具，圖②是該六子聯(lián)方玩具的直觀圖.它有多少條棱？它有多少個頂點和面？①②[解析]

由圖知六子聯(lián)方玩具的上部分有16條棱，中間有4條棱，下部分有16條棱，共有36條棱;上、下兩面各有8個頂點，中間部分也有8個頂點，共有24個頂點；八邊形有6個，三角形有8個，共有14個面.探究2

棱柱的結(jié)構(gòu)特征

小明用包裝盒做了幾個幾何體，如圖所示：問題1：

觀察圖中的多面體，想一想：這些多面體各有什么特點？[答案]

直觀上可以發(fā)現(xiàn)，圖中的每個多面體的上、下兩面都是邊數(shù)相同的全等多邊形，且上、下兩個面所在平面都不會相交，其余各面都是平行四邊形.問題2：

棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形嗎？[答案]

棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形.新知生成1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征定義有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫作棱柱圖示及相關(guān)概念底面：兩個互相平行的面.側(cè)面：底面以外的其余各面.側(cè)棱：相鄰兩個側(cè)面的公共邊.頂點：側(cè)棱與底面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱、四棱柱……2.棱柱的高與兩個底面都垂直的直線夾在兩底面間的線段長叫作棱柱的高.3.棱柱的分類（1）按底面多邊形的邊數(shù)來分：底面可能為三角形、四邊形、五邊形等，這樣的棱柱分別叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱等.（2）按側(cè)棱是否與底面垂直：側(cè)面都是矩形的棱柱稱為直棱柱.底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱.如果棱柱的底面和側(cè)面都是矩形，這樣的棱柱是長方體，所有棱長都相等的長方體是正方體.兩個底面是平行四邊形的棱柱稱為平行六面體.新知運用

（1）這個長方體是棱柱嗎？若是，是幾棱柱？為什么？

方法指導(dǎo)

根據(jù)棱柱的定義、結(jié)構(gòu)特征判斷.

&1&

有關(guān)棱柱結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略

（1）有關(guān)棱柱的概念辨析問題應(yīng)緊扣棱柱的定義：①兩個面互相平行；②其余各面是平行四邊形；③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行.求解時，首先看是否有兩個面平行，再看是否滿足其他特征.

（2）多注意觀察一些實物模型和圖片，便于反例排除.（多選題）下列關(guān)于棱柱的說法正確的是(

)

.ABDA.所有的棱柱的兩個底面都平行B.所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行C.有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱D.棱柱至少有五個面

探究3

棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征（1）（2）（3）（4）問題1：

觀察圖（1）（2）中的幾何體，它們有什么共同特點？[答案]

直觀地看，它們的側(cè)面都是有一個公共頂點的三角形，底面是多邊形.問題2：

觀察圖（3）（4）中的幾何體，它們有什么共同特點？[答案]

上下底面平行，側(cè)棱延長交于一點.新知生成1.棱錐的結(jié)構(gòu)特征定義有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體叫作棱錐圖示及相關(guān)概念底面：多邊形面.側(cè)面：有同一個公共頂點的三角形面.側(cè)棱：相鄰兩個側(cè)面的公共邊.頂點：各側(cè)面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……2.棱錐的分類（1）按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐、四棱錐……（2）底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐稱為正棱錐.3.棱臺的結(jié)構(gòu)特征定義用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,把原棱錐底面和截面之間的那部分多面體叫作棱臺圖示及相關(guān)概念上底面：原棱錐的截面.下底面：原棱錐的底面.側(cè)面：除上、下底面以外的面.側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊.頂點：側(cè)棱與上（下）底面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分:三棱臺、四棱臺……新知運用一、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征例3

下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：（1）用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；（2）棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；（3）棱錐的側(cè)面只能是三角形；（4）由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；（5）棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.其中正確說法的序號是__________.

[解析]

（1）錯誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，則棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺；（2）正確，棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；（3）正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；（4）正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；（5）錯誤，如圖所示的四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.&2&

有關(guān)棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征問題的判斷方法：（1）舉反例法，結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確;（2）直接根據(jù)棱錐、棱臺的定義判斷.觀察如圖所示的四個幾何體，其中判斷不正確的是(

)

.B①②③④A.①是棱柱

B.②不是棱錐

C.③不是棱錐

D.④是棱臺[解析]

結(jié)合棱柱、棱錐、棱臺的定義可知①是棱柱，②是棱錐，③不是棱錐，④是棱臺，故B錯誤.二、多面體的表面展開圖例4

畫出如圖所示的幾何體的表面展開圖.（1）（2）

[解析]

幾何體的表面展開圖如圖所示：（1）（2）&3&

多面體展開圖問題的解題策略

（1）繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型.

在解題過程中，常常給多面體的頂點標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖.

（2）由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把（1）中過程逆推.同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖.水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，已知一個正方體的表面展開圖如圖所示（圖中數(shù)和字寫在正方體的外表面上），若圖中的“2”在正方體的“上面”，則這個正方體的“下面”是(

)

.BA.1

B.7

C.快

D.樂[解析]

由題意，將正方體的展開圖還原成正方體，“1”與“樂”相對，“2”與“7”相對，“0”與“快”相對，所以“下面”是“7”.

C

2.下列說法正確的是(

)

.CA.直四棱柱是長方體B.有兩個面互相平行，其余各