第五章數(shù)列專題9數(shù)列放縮求范圍 講義（含解析） 2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考新教材）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題9

數(shù)列的放縮求范圍問題【2024屆合肥一中高三第二次質(zhì)檢第8題】．已知數(shù)列的前項和為，且，若，則（）A．

B．

C．

D．根據(jù)條件配方化簡，開方得，結(jié)合累加法得通項，再由裂項相消計算即可.根據(jù)題意易知：，顯然由可得，且故即，故，上述式子累加，得，故，當(dāng)時，滿足上式，所以，所以，所以，故，因為，所以，所以，故選A．（注：的放縮結(jié)構(gòu)不唯一，如也可放縮為）感悟反思：求數(shù)列放縮問題可放縮為累加法求通項，可放縮為裂項求和（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）1．己知正項數(shù)列滿足，則下列正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．2．已知數(shù)列滿足，，、、，若對任意的，都有，則（

）A． B． C． D．根據(jù)條件構(gòu)造，利用等比數(shù)列的求和公式放縮求和即可.根據(jù)題意易知：，顯然由可得，因為故，故故，又，故，故，選A．感悟反思：數(shù)列放縮問題可放縮為等比數(shù)列求通項和求和總評數(shù)列證明題中，有的迭代遞推式可求通項，有的不可求通項.在遇到相關(guān)問題時，審遞推式特征很重要，能幫助預(yù)測或把握解答方向．本題屬于不可求通項的類型，所以估計上下界時需要用到放縮的方法，這一類通項型數(shù)列放縮的問題：關(guān)鍵點有如下部分：①先判斷出數(shù)列的單調(diào)性和大致的取值范圍，方便后續(xù)放縮；②將用的形式表示（其中因式分解，取倒數(shù)，取對數(shù)、根號平方等次數(shù)變形，裂項等等是常用的變形技巧），再累加法求通項，但是顯然求不了和，需要放縮為能求和的形式（特別的，放縮為常數(shù)時對應(yīng)等差數(shù)列）．（：變換成這種形式同理，累乘放縮，特別的放縮為常數(shù)時對應(yīng)等比數(shù)列）（2023年11月重慶市一中高三上月考第12題）3．已知數(shù)列的首項，且滿足，以下正確的有（

）A．，數(shù)列一定單調(diào)遞增B．，使得數(shù)列單調(diào)遞增C．若，則D．，數(shù)列的前項和（江蘇省南通市海安市2023年11月高三期中第12題）4．已知數(shù)列滿足，且，則（

）A．為遞增數(shù)列B．C．D．（2024屆華南師大附中高三綜合測試（二）第12題）5．已知數(shù)列滿足，，則（

）A．為單調(diào)遞減數(shù)列 B．C． D．（2023·遼寧大連·大連二十四中校考模擬預(yù)測）6．已知數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．（2024·全國·高三專題練習(xí)）7．黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國著名的數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其定義為:時，.若數(shù)列，則下列結(jié)論:①的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱；②；③；④；⑤.其中正確的是（

）A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤（2024上·福建·高二期末）8．記是各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和，．?dāng)?shù)列滿足，且則下列選項錯誤的是（

）A．B．C．?dāng)?shù)列的最大項為D．（2024·全國·高三專題練習(xí)）9．已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）10．?dāng)?shù)列前n項和為，且滿足：，，，，下列說法錯誤的是（

）A．B．?dāng)?shù)列有最大值，無最小值C．，使得D．，使得（2023·全國·高三專題練習(xí)）11．已知數(shù)列中，，，記，，則下列結(jié)正確的是（

）A． B． C． D．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D【分析】選項A、D，需要借助放縮法進(jìn)行判斷；選項B、C，判斷數(shù)列的單調(diào)性，需要對數(shù)列的前后項作商并與比較大?。弧驹斀狻恳驗?，故，得，對于選項A，由可得：，兩邊同乘，可得：，，則選項A錯誤；對于選項B，易知，，因此，則，選項B錯誤；對于選項C，，，因此，又，同時，得，即，選項C錯誤；對于選項D，當(dāng)時，，則，則有，則選項D正確．故選：D.2．C【分析】將等式變形為，可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而可求得該數(shù)列的通項公式，再利用累加法可求得，根據(jù)題意得出，進(jìn)而可求得的值.【詳解】當(dāng)且時，由可得，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，，，對任意的，都有，，即，因此，.故選：C.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、考查累加法求數(shù)列通項、極限性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．3．ABD【分析】運用作差比較法、特殊值法，取對數(shù)法逐一判斷即可.【詳解】對于A，根據(jù)條件可知數(shù)列每項均正，，所以數(shù)列單增，正確：對于，取，由可知，當(dāng)時，，由此類推可得正確；對于，由條件數(shù)列每項均正，，又，所以，C錯；對于D，，因此有，所以有，即，設(shè)，當(dāng)時，，所以此時函數(shù)單調(diào)遞增，故所以，因此有，即，所以D對，故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用取對數(shù)法、特殊法.4．ABC【分析】作差比較大小判斷單調(diào)性判斷A；推導(dǎo)得，計算判斷B；利用裂項相消法求和判斷C；借助基本不等式及等比數(shù)列前n項和公式計算判斷D.【詳解】顯然，而，則，，又，即有與同號，而，則，對于A，，即，為遞增數(shù)列，A正確；對于B，，則，因此，B正確；對于C，由，得，即，因此，C正確；對于D，，因此（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，D錯誤.故選：ABC【點睛】思路點睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，可借助累加、累乘求通項的方法分析、探討項間關(guān)系而解決問題.5．ABD【分析】根據(jù)，得，結(jié)合選項利用各項間關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)依次求解即可.【詳解】由題意可得，對于A，令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，若，又，則得，則與題設(shè)矛盾，所以，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，由可知當(dāng)時，，則，，即，同理可得，…，，所以當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，選項A正確；對于B，只需證明，令，，令，，則由均值不等式可知，所以在上單調(diào)遞增，所以，，選項B正確；對于C，，設(shè)，，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以隨著減小，增大，又因為隨著的增大減小，所以，即，選項C錯誤；對于D，由累乘法可知要證只需證明，令，，則，所以恒成立，所以，所以，累乘得，，所以，選項D正確；故選：ABD【點睛】本題考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用，結(jié)合構(gòu)造的模型函數(shù)進(jìn)行求解.6．A【分析】解法一：直接利用關(guān)系式的變換和數(shù)列的遞推關(guān)系式，進(jìn)一步利用數(shù)列的求和的應(yīng)用和裂項相消法的求和，放縮法的應(yīng)用求出結(jié)果；解法二：由于數(shù)列單調(diào)遞減，結(jié)合Stolz定理可得，由數(shù)學(xué)歸納法與放縮裂項求和即可求得結(jié)論.【詳解】解法一：由，且，所以；所以，故，，，所以，即；故，所以；所以；故；故，由于，所以.解法二：因為，則，所以，所以單調(diào)遞減，又，排除等比放縮，嘗試比較與趨于0的速度，由Stolz定理：，故當(dāng)時我們有，事實上，結(jié)合及，下面試證．用歸納法證明：當(dāng)時，有成立．當(dāng)時，，故成立；假設(shè)時，有成立．則當(dāng)時，，即，故時命題成立．綜合可知：當(dāng)時，有成立，故，，又，所以.故選：A．7．D【分析】根據(jù)黎曼函數(shù)的定義和性質(zhì)逐項分析.【詳解】對于①：若，則，，關(guān)于對稱，若為無理數(shù)，則也是無理數(shù)，，也關(guān)于對稱，若，并且是既約的真分?jǐn)?shù)，則，并且是互質(zhì)的，，也是真分?jǐn)?shù)，若不是既約分?jǐn)?shù)，則與必定存在公約數(shù)，不妨假設(shè)，則有，即存在大于1的公約數(shù)，與題設(shè)矛盾，故也是既約分?jǐn)?shù)，，即關(guān)于對稱，故①正確；對于②，時，，故②錯誤；對于③，當(dāng)時，有，，但當(dāng)時，故③錯誤；對于④，，，構(gòu)造函數(shù)，，則，單調(diào)遞增，，即當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，，故④正確；對于⑤，，故⑤正確；故選：D.8．C【分析】由已知條件結(jié)合與的關(guān)系，解出數(shù)列的通項公式，再求選項中數(shù)列求和和最值問題.【詳解】由與，得，又，所以，即因為，所以，所以.又，所以數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列.則，所以．當(dāng)時，，也符合.∴，A選項正確；當(dāng)時，，而時，也成立，故B選項正確；設(shè)，，當(dāng)時，解得，故數(shù)列的最大項為，C選項錯誤；，D選項正確.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：題中數(shù)列不等式涉及放縮，通項放縮技巧證明數(shù)列不等式的關(guān)鍵在于觀察通項特征和所證結(jié)論，適當(dāng)調(diào)整放縮幅度，做到放縮得恰到好處，同時還要做到放縮求和兩兼顧.9．B【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去，其他項都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

10．D【分析】A選項，令求出，再令，求出；B選項，先得到，再求出，單調(diào)遞減，故B正確；C選項，當(dāng)時，，時，，證明出C正確；D選項，作差，并結(jié)合C選項中結(jié)論計算出，故D錯誤.【詳解】A選項，中，令得，因為，解得，解得，中，令得，即，解得，負(fù)值舍去，A正確；B選項，當(dāng)時，，故，，故，因為，故，，故，則單調(diào)遞減，數(shù)列有最大值，無最小值，B正確；C選項，當(dāng)時，，此時等號成立，當(dāng)時，由于，所以，綜上，，使得，C正確；D選項，，由C選項可知，，，故，所以恒成立，故不存在，使得，D錯誤.故選：D【點睛】數(shù)列不等式問題，常常需要進(jìn)行放縮，放縮后變形為等差數(shù)列或等比數(shù)列，在結(jié)合公式進(jìn)行證明，又或者放縮后可使用裂項相消法進(jìn)行求和，常常使用作差法和數(shù)學(xué)歸納法，技巧性較強(qiáng).11．D【分析】根據(jù)數(shù)列特征得到，且與同號，結(jié)合裂項相消法求得，與比較，發(fā)現(xiàn)不恒成立，判斷出A選項；結(jié)合，可得，判斷出B選項；利用可得：，構(gòu)造新函數(shù)可得：，得到，而根據(jù)一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長速度，可得不恒成立，故判斷C選項；根據(jù)題干條件得到，，進(jìn)而求出，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得：，故D選項正確.【詳解】由，，可得：，故，所以，因為，所以，故，所以與同號，因為，所以，綜上：，又因為，可得：，所以，因為，所以，所以