yuying第29講-等比數(shù)列

第1頁共3頁等比數(shù)列三．要點精講1．等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：：（注意：“從第二項起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項都不為零）2．等比數(shù)列通項公式為：。說明：（1）由等比數(shù)列的通項公式可以知道：當(dāng)公比時該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項公式知：若為等比數(shù)列，則。3．等比中項如果在中間插入一個數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項（兩個符號相同的非零實數(shù)，都有兩個等比中項）。4．等比數(shù)列前n項和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項和是，當(dāng)時，或；當(dāng)q=1時，（錯位相減法）。說明：（1）和各已知三個可求第四個；（2）注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時，必要時應(yīng)討論的情況。四．典例解析題型1：等比數(shù)列的概念例1．“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個命題中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解析：四個命題中只有最后一個是真命題。命題1中未考慮各項都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列；命題2中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，當(dāng)首項a1<0時，an<0，則an>an，即an+1>an，此時該數(shù)列為遞增數(shù)列；例5．一個等比數(shù)列有三項，如果把第二項加上4，那么所得的三項就成為等差數(shù)列，如果再把這個等差數(shù)列的第三項加上32，那么所得的三項又成為等比數(shù)列，求原來的等比數(shù)列。解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2；則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=－5；故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，－，。點評：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點是思路簡單、實用，缺點是有時計算較繁。例6．已知正項數(shù)列，其前項和滿足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項解析：∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3。又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0,∴an－an－1=5(n≥2)。當(dāng)a1=3時，a3=13，a15=73，a1,a3,a15不成等比數(shù)列∴a1≠3；當(dāng)a1=2時,，a3=12，a15=72，有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3。點評：該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。題型4：等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用例7．（1）在等比數(shù)列中,,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．（2）（2006年北京卷）設(shè)，則等于（） A． B．C． D．（3）（1996全國文，21）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，若S3＋S6＝2S9，求數(shù)列的公比q；解析：（1）因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C。（2）D；（3）解：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。因a1≠0，得S3+S6≠2S9，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q≠1。由S3+S6=2S9，得，整理得q3（2q6－q3－1）=0，由q≠0，得2q6－q3－1=0，從而（2q3＋1）（q3－1）=0，因q3≠1，故q3=－，所以q=－。例9．（1）在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，前三項和為21，則a3＋a4＋a5＝（）（A）33（B）72（C）84（D）189（2）（2000上海，12）在等差數(shù)列｛an｝中，若a10＝0，則有等式a1+a2+…＋an=a1+a2+…＋a19－n（n＜19，n∈N成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列｛bn｝中，若b9＝1，則有等式成立。解析：（1）答案：C；解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=－3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故選C。（2）答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）；解：在等差數(shù)列｛an｝中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1，又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1∴a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n，若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a17－n，相應(yīng)地等比數(shù)列｛bn｝中，則可得：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。例11．已知公比為的無窮等比數(shù)列各項的和為9，無窮等比數(shù)列各項的和為。(Ⅰ)求數(shù)列的首項和公比；(Ⅱ)對給定的，設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列．求數(shù)列的前10項之和。解析：(Ⅰ)依題意可知：，(Ⅱ)由(Ⅰ)知,，所以數(shù)列的的首項為,公差，,即數(shù)列的前10項之和為155。點評：對于出現(xiàn)等差、等比數(shù)列的綜合問題，一定要區(qū)分開各自的公式，不要混淆。五．思維總結(jié)（1）掌握等比數(shù)列定義＝q（常數(shù)）（nN），同樣是證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由an·an＋2＝來判斷；（2）等比數(shù)列的通項公式為an＝a1·qn－1；（3）對于G是a、b的等差中項，則G2＝ab，G＝±；（4）特別要注意等比數(shù)列前n項和公式應(yīng)分為q＝1與q≠1兩類，當(dāng)q＝1時，Sn＝na1，當(dāng)q≠1時，Sn＝，Sn＝。2．等比數(shù)列的判定方法①定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等