概率論1二維隨機(jī)向量分布

從本講起，我們開始從本講起，我們開始第三章的學(xué)習(xí)它是第二章內(nèi)容的推廣一維隨機(jī)變量及其分多維隨機(jī)向量及其分由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)向.2S一般E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間e設(shè)X1X1e,X2e,Xne,Xn是定義在上的隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的一維n量X1X2Xnn維隨機(jī)向量以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)向請(qǐng)注意與一維情形的對(duì).3一、二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)的一、二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)的定X,Y)是二維隨機(jī)向量,對(duì)于任二元函Fx,yPXx,Yy,x,y稱為二維隨機(jī)向量X,Y的分布函數(shù)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)或者稱為隨4一維隨機(jī)變量X的分布函數(shù)FxPXx,xP(X (Y分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解Fx,yP分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解Fx,yPXx,YFxPXYxxXXOFx,y在x,y處的值為隨機(jī)向量X,Y落在5yOx二、二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布的求1、離定義如果二維隨機(jī)向量(Y)二、二維隨機(jī)向量的聯(lián)合分布的求1、離定義如果二維隨機(jī)向量(Y)的全部可能取為有限個(gè)或可列個(gè),則稱Y)為二維離散型隨機(jī)向量定義設(shè)X,Y的所有可能取值為xi,yji,j1,.PXxi,Yyjpiji,j1,,為X,Y的聯(lián)合概率分布.Xyp1p2piP{X},k1,kk為離散型隨機(jī)變量X的概率分或概率函數(shù)或分布律6聯(lián)合概率分布有下面的性質(zhì)聯(lián)合概率分布有下面的性質(zhì)ij(xi,yjP{(X,Y)D}pij7例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,取球兩Y第二次取白第二次取黑第一例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,取球兩Y第二次取白第二次取黑第一次取白第一次取黑X分別求出在重復(fù)抽樣和非重復(fù)抽樣兩種情況XY)的聯(lián)合分布,及解：1.重復(fù)抽(X,Y)的所有可能取值為4P{X0,Y0}P{X0}P{Y0}22 23P{X0,Y1}P{X0}P{Y1} P{X1,Y0}326P{X1,Y1}339 例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,次每次一個(gè),定義下列隨機(jī)變量Y第二次取白第二次取黑第例袋中有5只球,其中2只白球,3只黑球,次每次一個(gè),定義下列隨機(jī)變量Y第二次取白第二次取黑第一次取白第一次取黑非重復(fù)抽X(X,Y)的所有可能取值為1P{X0,Y0}P{X0}P{Y0|X0}23 P{X0,Y1}P{X0}P{Y1|X0}2 P{X1,Y0}33P{X1,Y1}339 X01X0101012.非重復(fù)抽Y1.F(0,1)X01X0101012.非重復(fù)抽Y1.F(0,1)P{X0,Y1}·P{X0,Y0}P{X0,Y46,0·X2.F(0,1)1535例二維隨機(jī)向量例二維隨機(jī)向量(3))的聯(lián)合概率分布為Y012X0a1解：1由pij=1a2由PX,YDijpij(xi,yjP{X0,Y1}P{X0,Y1}P{X0,YP{X1,Y1}P{X1,Y0}Y012XaY012Xa13P{X1,Y1}P{X1,Y1}P{X1,YP{X0,Y1}P{X0,YP{X1,Y1}P{X1,Y0}Y~N（0,1）,|Y|Y~N（0,1）,|Y||Y|1|Y||Y|X1X2求X1,X2的聯(lián)合概率分布(X1,X2的所有可能取值為P{X10,0}P{|Y|1,|Y|2}P{|Y|1P{|Y|2}1[2(2)1]2[1P{X10,1}P{|Y|1,|Y|2}P{1|Y|2P{1Y2}2[(2)(1)]|Y||Y|Y||Y|1|Y||Y|X1X20}P{|Y|1,|Y|2}P{}1}P{|Y|1,|Y|2}P{|Y|2(1)1P{X11,X2P{X11,X21.設(shè)隨機(jī)變X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1到X中等可能地取一整數(shù)值試求（X,Y）的聯(lián)合概率分布(1.設(shè)隨機(jī)變X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值另一個(gè)隨機(jī)變量Y在1到X中等可能地取一整數(shù)值試求（X,Y）的聯(lián)合概率分布(X的可能取值為(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,(3,3),(4,1),(4,2),(4,Y1234X1400000012341142421114343431111444444442.已知隨機(jī)變XY的聯(lián)合概率分(x(0,1)(1,0)(1,1)2.已知隨機(jī)變XY的聯(lián)合概率分(x(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)AP{X≤1,Y≤1}；X、YAP{X1,Y1}P{X1,Y1}P{X1,YP{X0,Y1}P{X0,Y0.100.150.250.2X的所有可能取值為,P{X0}P{X0,Y0}P{X0,Y1}P{X1}P{X2}Y的所有可能取值為,P{YY的所有可能取值為,P{Y0}P{X0,Y0}P{X1,YP{X2,Y0}P{Y1}XY的所有可能取值為：01,2P{XY0}P{X0,Y0}P{XY1}P{X0,Y1}P{X1,Y0}0.4P{XY2}P{X2,Y0}P{X1,Y1}0.35P{XY3}P{X2,Y1}0.15(x(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)0.100.150.250.20 甲.乙二人獨(dú)立地各進(jìn)行兩次射擊,假設(shè)甲,乙的中率分別為0.2,0.5,以甲.乙二人獨(dú)立地各進(jìn)行兩次射擊,假設(shè)甲,乙的中率分別為0.2,0.5,以求X,Y的聯(lián)合概率分布表示甲,乙的命中次數(shù)解X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表為由X,Y的獨(dú)立性得1)的聯(lián)合概率分布X02012Y P X P 回憶內(nèi)f(x,D區(qū)域D 回憶內(nèi)f(x,D區(qū)域D的兩種表示方X型區(qū)域：Dxy|axbu1xyu2u2(Dbu(x2f(x,f(x,au1(xaObu1(f(x,DY型區(qū)域f(x,DY型區(qū)域：Dxy|cyd,v1yxv2Ddv(yf(x,y)dxdy2f(x,cv1(ydv(v(21cO設(shè)區(qū)域D是由曲線yxy設(shè)區(qū)域D是由曲線yxyxy圍成例區(qū)域,計(jì)算二重積分2yDyy(0,0),(2,2),(2,xOX型：Dxy|2x0,xy{(x,y)|0x2,xyY型：Dxy|0y2,yxyX型：Dxy|2x0,xy{(x,y)|0x2,xyyy02(22x2xOD22yX型：Dxy|2x0,xy{(x,y)|0x2,xyyy02(22x2xOD222202(2220xx0x2122022||222yx(x20x02x)dx2x(42x(4x020x)dx(4x33(4x0(2x21x4 (2x21x444440yyyxOY型：Dxy|0y2,yyyxOY型：Dxy|0y2,yx2yD2y(222y0y0y(1x2|y22022y002、連定對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y2、連定對(duì)于二維隨機(jī)向量(X,Y),若存在非負(fù)可函數(shù)fx,y),使1.對(duì)于平面上任意可度量區(qū)域D,都P{(x,y)D}f(x,D1或?qū)τ谌我鈞y,xyfu,v x, 則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)向量fx,y)f(x,X,Y的聯(lián)合概率密度函數(shù),記作X,Y)連續(xù)型隨機(jī)向量的密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)向量的密度函數(shù)fx,y)具有下面性1.f(x,y)f(x,y)dxdy3DxOy平面上則fx,ydxdyPX,YDDx,yD,求f(x,y),f(x,y)x,yD,求f(x,y),f(x,y)例設(shè)X,Y)(x,y)fx,y)dxdy1得 由解f(x,y)dxdyλdxdyλdxdyDD1λ,其中表示區(qū)域的面積DSD1(x,y)即fxyD(x,y)1(x,y)f(x,1(x,y)f(x,y),f(x,y)定若X,Y),D(x,y)則稱X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布Ae(xyx,y其f(x,y)例設(shè)X,Y)f(x,,Ae(xyx,y其f(x,y)例設(shè)X,Y)f(x,,02.F(x,求3.(X,Y)落在區(qū)域內(nèi)的概y4.P{YXxyD解1.由f(x,xO(xy00xy 00A(ex)|(ey)A00e(xyx,y其F(x,y)(f(u,v)dv)duf(x,y),02x0,y0YxyF(x,y)(f(u,v)dv)duxe(xyx,y其F(x,y)(f(u,v)dv)duf(x,y),02x0,y0YxyF(x,y)(f(u,v)dv)dux0,yyxy(uv(ey00xy 0xX00(eu|x)(ev|yx0,yx0,y00(1ex)(1ey(1x)(10x0,yye)F(x,y)其xe(xyx,y其f(x,y)03.P{(X,Y)D}f(x,e(xyx,y其f(x,y)03.P{(X,Y)D}f(x,yDxe(xyxy11(D010x1Oxxye( 001ex(ey)|1001x(1x1e01xe1(ex)00(1e1)e11e(xyx,y其f(x,y),0Y4.P{YX}f(x,e(xyx,y其f(x,y),0Y4.P{YX}f(x,x (xye0x xy( 0X0xx(1e0xe2x0111e2x)(e0222例設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密k6xy0x2,2y x,y其它例設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密k6xy0x2,2y x,y其它(1)4PX1,Y3(2求概2fx,y41xo226xy0222(6x)y24(12|202k18.3x016xy0x2,2其它yyfx,y(2)PX1,Y16xy0x2,2其它yyfx,y(2)PX1,Y13fx,ydy181843136xy0252x1(6x10188 20三、邊緣分二維三、邊緣分二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變(X,Y)的取值及其概率規(guī)律而單個(gè)隨機(jī)變量也具有自己的概率分布那么要問(wèn):二者之間什么關(guān)系呢1、邊緣分布函二維隨機(jī)向量)1、邊緣分布函二維隨機(jī)向量)作為一個(gè)整體,具有分布FxyX數(shù)也有各自的都是隨機(jī)變FXx,FYy,依次稱為二維隨分別記布函數(shù)(X,Y)XY的邊緣分布函數(shù)FXxPXxPXx,YFx,PX,YyF,yYFYyPYyOX2、離散型隨機(jī)向量的邊緣分定義(X,Y),P(Xxi,Yyj2、離散型隨機(jī)向量的邊緣分定義(X,Y),P(Xxi,Yyj)pij(X,Y)關(guān)于Xi,j1,PXxi,YPXxipiypji1,2,關(guān)于YPXxyPYyjpij.iij1,2,分別等于聯(lián)合概率分布表的行和與列和例：（X,Y）的聯(lián)合概率分布如下01231418例：（X,Y）的聯(lián)合概率分布如下01231418018000000123求:(X,Y)分別關(guān)于X和Ypi.,p.j,i,j1,2,3,解：由(X,Y)的聯(lián)合概率分布以及離散型隨機(jī)向量邊緣分布的概念可得P{XP{XpP{P{XP{X0,Y0,Y解：由(X,Y)的聯(lián)合概率分布以及離散型隨機(jī)向量邊緣分布的概念可得P{XP{XpP{P{XP{X0,Y0,Y0,Y000114400同理 181184014140123pi014000p0.41181800p1.420p2.43p3.4p114180018同理00p000p1230123Yp.X1p114180018同理00p000p1230123Yp.X14141414pi0123pi014000p0.41181800p1.420p2.43p3.4p.3、連續(xù)型隨機(jī)向量的邊緣概率密X,Y~fx3、連續(xù)型隨機(jī)向量的邊緣概率密X,Y~fxf(x,y)dyx(x)f(x)XfX1(X,Y)Yf(x,y)dxyf(y)f(y)YY2xfu,ydy x,事實(shí)上 xFxfx,ydyXX其中Dx,y|其中Dx,y|axbcyd},X,Y的邊緣密度函數(shù)f1x)和f2解：由二維均勻分布的定義1axb,cyf(x,y)(ba)(d0其當(dāng)xa或xb時(shí),fXx)f(x)f(x,10dy1axb,cyf(x,y)(ba1axb,cyf(x,y)(ba)(d0其ax時(shí),ff(x,當(dāng)1 dy d(ba)(dbc1ax其f(x)b10注意到X~0dyyyf(y)f(x,y)dxcd當(dāng)或2c0dyyyf(y)f(x,y)dxcd當(dāng)或2cyd時(shí),fy當(dāng)f(x,2 (ba)(d dba1cy其f(y)d20Y~U[c,dyx,0x其X,Y~fx,yyx,0x其X,Y~fx,y0,1.判斷X)是否服從D2.求隨機(jī)向量X,Y的邊緣密度函數(shù)f1x)和(yy1SD(x2xy2011x2310x)2Ox(11)236X,Y)服從D上的yx,0x其f(x,y)f(x)fyx,0x其f(x,y)f(x)f(x,y)dy10x,f(f(x,當(dāng)時(shí)1xyy2xy6(xx200x2xf(x)1Oxyy區(qū)域的Y型表示方法為D{(x,y)|0yyy區(qū)域的Y型表示方法為D{(x,y)|0y1,yx當(dāng)y0或y時(shí),f2yyy0y,f(y)f(x,當(dāng)時(shí)Ox2yy0y其6dxyy)yf(y)26e2x3x0,yX,Y~fx,y,01.PX6e2x3x0,yX,Y~fx,y,01.PX1,Y1};2.PXY};3f1x)和f2求1P{X1}(f(x, 112x323(e(e0102312113e)e)016e2x3(e21)(e3)e3(1e2Oyx2.P{XY}(6e2x300x23e(e001e3y)yx2.P{XY}(6e2x300x23e(e001e3y)2exO3023e0e2x5051e2x)1e5202(115523.當(dāng)x時(shí)f1xx,f(x)f(x,當(dāng)時(shí)13.當(dāng)x時(shí)f1xx,f(x)f(x,當(dāng)時(shí)12x3dy23e006e2x2e21e3y)30y2e2xf1(x)6e2x30O當(dāng)y時(shí),f2yy,f(y)f(x,當(dāng)時(shí)2當(dāng)y時(shí),f2yy,f(y)f(x,當(dāng)時(shí)22x332e006e3y3e3y1e2x)203e3yf2(y)6e2x30O四、隨機(jī)四、隨機(jī)變量的獨(dú)立1、兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立X,Y是兩個(gè)隨機(jī)向量,1).對(duì)abcd,P(aXb,cYd)P(aXb)P(cYd1ab,P(Xa,Yb)P(Xa)P(YXY可改為對(duì)x,y,P(X對(duì)x,y,P(Xx,Yy)P(Xx)P(Y即FxyFXx)FY定理設(shè)(X,Y)是離散型隨機(jī)向量,其概率分布P{Xxi,Yyj}pij,i,j1,則X與Y相互獨(dú)立的充要條件P{Xxi,Yyj}P{Xxi}P{Yyj},i,j1,..簡(jiǎn)記為：pijpi.pji,j1,.i,j,都有pijpi.pjX與Y相互獨(dú)立P{Xi,j,都有pijpi.pjX與Y相互獨(dú)立P{X0,Y0}P{X0}P{YX與Y不獨(dú)立X 01p1 3 3 3 . X 014 6 6 9 5p. 3 例已知隨機(jī)變量X和Y的概率分布XY0101且P{XY0P1412141212P求(1)X,Y例已知隨機(jī)變量X和Y的概率分布XY0101且P{XY0P1412141212P求(1)X,Y的聯(lián)合(2X與Y是否獨(dú)立P{XY0}解P{XY0}即0=P{XY1P{XY1P{X1,Y1}P{X1,YP{X1,Y1}P{X1,Y1}P{X1,Y0}14X與Y不獨(dú)立P{X1}P{Y0}18X 12 4141214p. 設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)向量,其密度定設(shè)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)向量,其密度定數(shù)為f(x,y),則X與Y相互獨(dú)立的充要條件f(x,y)fX(x)fY(y),x,0xy,設(shè)X,Y~fx,y80判斷X與Y是否獨(dú)立0xyf(x,y)80y解：將區(qū)域D表示為X0xyf(x,y)80y解：將區(qū)域D表示為X型區(qū)域1D{(x,y)|0x1,xy81}當(dāng)x0或x時(shí),f1x當(dāng)0x時(shí),f1(x) f(x,Ox114x(xx4x(1x24x4x34x4x00x3f(x)10xyf(x,y)80將區(qū)域D表示為Y0xyf(x,y)80將區(qū)域D表示為Y型區(qū)域yD{(x,y)|0y1,0x當(dāng)y0或y時(shí),f2y180y,f(y)f(x,當(dāng)時(shí)Ox2y4y(|y00440y34f(y)204x4x00x0y334f(x4x4x00x0y334f(x)f(y)1200xy(X,Y)~f(x,y)當(dāng)x1y1時(shí)22(y)(21)2f(x,y)2,(x)XY24X與Y不獨(dú)立例設(shè)(X,Y)xe(xy)x0,y例設(shè)(X,Y)xe(xy)x0,y其f(x,y)判斷X和Y是否獨(dú)立f1(x)解f(x,當(dāng)x>0時(shí)(xy0xex(ey)0xexxx其,f(1(y)f(x,y)dxxe(xy)當(dāng)y>0時(shí),20(y)f(x,y)dxxe(xy)當(dāng)y>0時(shí),20yxdexyx(e e00ey(xee00|)eey(e0eyy(y)2xe(xy)x0,yxe(xy)x0,yf(x,y)eyx其yf1(x)(2可見(jiàn)對(duì)一x,均有f(x,y)f1(x)f2(X2、多個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立X1X2,Xn)是n維隨機(jī)向量,2、多個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立X1X2,Xn)是n維隨機(jī)向量,如對(duì)于任意的aibii1,nP{a1X1b1,a2X2b2,anXnbnP{a1X1b1}P{a2b2P{anbnanP{X1a1,X2a2P{X1a1}P{X2a2an,P{Xnan則稱X1,X2,Xn可改為離散型隨機(jī)變量X1離散型隨機(jī)變量X1X2,Xn相互獨(dú)立充要條件是：聯(lián)合概率分布等于邊緣概率分的乘連續(xù)型隨機(jī)變量X1X2,Xn相互獨(dú)立充要條件是：聯(lián)合概率密度函數(shù)等于邊緣概密度函數(shù)的乘積定義稱隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn,…為相特別,若每個(gè)Xi(i=1,2,…)的分布相同,則稱之五、隨機(jī)變量函數(shù)1、Z=X+Y設(shè)隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立,分別服從二項(xiàng)分五、隨機(jī)變量函數(shù)1、Z=X+Y設(shè)隨機(jī)變量X1與X2相互獨(dú)立,分別服從二項(xiàng)分例p)和p),求Y=X1+X2的概率分布解:Y的取值為:0,1,,n1n2kP{X1i,X2kP{Yk}ikP{X1i}P{X2kikiCkpkiqn2k iikikiCiCkipkqn1n2pkqn1n2Ci Ck nn12knniCkkpC12k iknniCkkpC12k i0pkqn1n2kCkn1k1P{Yk}pkqn1n2kCkn1k,n1n2Y~B(n1n2,0k定若X,Y)fxy),且X與Y相互獨(dú)立定若X,Y)fxy),且X與Y相互獨(dú)立則ZXYfZ(z)fX(zy)fY(fX(x)fY(z例若X,Y~fx,yX與Y相互獨(dú)立,且0x其eyy(x)fY(y)fX00求ZXY的密度函數(shù)1(z)fX(x)fY(zfY(zfZ0zxz(t)dt1(z)fX(x)fY(zfY(zfZ0zxz(t)dtff(tYYz當(dāng)z時(shí)fY(t)dtzztf(t)dt 當(dāng)z10z0Y0zzetdtef(t)dtzYe1zez0zzz0zz01ezZXY的密度函數(shù)為f(z)Z1ee1、兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的1、兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的隨機(jī)變量之和仍從正態(tài)分布即:若X1~N(μ1,σ1X2~N(μ2,σ2X1X2獨(dú)立,2222X1+X2~ +σ2即:若Xi~N(μi,σi2i=1,2,...,nX1X2Xn互獨(dú)立,實(shí)數(shù)a1,a2,...,an不全為零,例設(shè)X和Y獨(dú)立同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N求Z1XYZ2例設(shè)X和Y獨(dú)立同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N求Z1XYZ2XYX~N(0,1)和Y~N(0,1),且X和YZ1XY~N(0,XY~N(0,141e(z) (z)e2π22π~N(μ,σ2特別,若X1X2Xn相互獨(dú)立,且Xi~N(μ,σ2n1nXii1則X~N(μ,σ2特別,若X1X2Xn相互獨(dú)立,且Xi~N(μ,σ2n1nXii1則Xn1nnn1nn1nn1iii1X2XX~Nσii2niN(1nσ2nN(μ,1σ2n2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y2、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y),我們來(lái)Nmin(X,Y的分布函數(shù)M=1.Mmax(X,Y函數(shù)為FM(z)即FM(z)=Nmin(X,YNmin(X,YFN(z)=P(N≤z)=1-=1-XY相互獨(dú)立,N=min(X,Y)函數(shù)為FN(z)=1-即X1,…,Xn分布函數(shù)分別個(gè)相互獨(dú)立的X1,…,Xn分布函數(shù)分別個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們zi(i=1,…,M=max(X1,…,Xn和的分布函數(shù)用與二維時(shí)完全類似的方法，可M=max(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為FMz z1zzn2N=min(X1,…,Xn)的分布函FNz1[1 z][1zz[112n特別特別地，當(dāng)X1,…,Xn相互獨(dú)立且具有相同布函數(shù)F(x)時(shí)FMz[FzFNz1[1FzL1,例6設(shè)系統(tǒng)L(L1損壞時(shí)系(i)串聯(lián)(ii)并聯(lián),L2開始工作),X,Y,已知它們的所示.L1,例6設(shè)系統(tǒng)L(L1損壞時(shí)系(i)串聯(lián)(ii)并聯(lián),L2開始工作),X,Y,已知它們的所示.的壽命分別率密度分別αeβe,x0x0,y0y0fXxfYy00α0,β0αβL的壽命Z的概率密度式寫L1XYLLY12XYX解(i)由于當(dāng)系L1L2中有一個(gè)損壞時(shí)L就系止解(i)由于當(dāng)系L1L2中有一個(gè)損壞時(shí)L就系止工作所以此L的壽命ZminX,Y的概率密度αe,x0x0fXx0的分布函數(shù)xx tFXXxx tFXXx0dt當(dāng)xFxX0Fxxx tFXXx0dt當(dāng)xFxX0Fxxe1x當(dāng)x0eX0xx1ex0x0,FXx故0類似地可求Y的分布函數(shù)1ey0y0,FYy0ZminX,Y于的分布函數(shù)FminZminX,Y于的分布函數(shù)Fminz=1-[1-FX(z)][1-1e(αβ),z0z00ZminX,Y的概率密αβe(αβ),z0z0fzz0(ii)由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)L1,L2都損(ii)由于當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)L1,L2都損壞時(shí)L才系止工作所以此L的壽命ZmaxX,YZmaxX,Y的分布函數(shù)故FmaxzFXxy(1eαz)(1eβz),z00z0ZmaxX,Y的概率密度于fmaxZmaxX,Y的概率密度于fma