信號(hào)與線性系統(tǒng)：第3章信號(hào)分析

第三章信號(hào)分析§3.1引言信號(hào)分析——研究信號(hào)如何表示為各分量的疊加，并從信號(hào)分量的組成情況去考察信號(hào)的特性。

問(wèn)題：1、選擇作為信號(hào)分量的單元函數(shù)的原則是什么？2、怎樣的一個(gè)函數(shù)集才能完全地表示各種復(fù)雜信號(hào)？付里葉級(jí)數(shù)式中若已知An和

n，則f(t)就決定了。頻譜分析§3.2信號(hào)表示為正交函數(shù)集3.2——1矢量的分量和矢量的分解

稱為矢量在矢量上的投影式或分量。C12——標(biāo)量系數(shù)

則誤差矢量為和的模為

從解析角度：令可得C12是在最小平方誤差的意義上標(biāo)志著兩個(gè)矢量和相互近似程度的量。令其為0，則有故簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)12結(jié)論：若要用一矢量的分量去代表原失量而誤差矢量最小，則此分量只能是原矢量的垂直投影。當(dāng)=0時(shí)，隨著，C12

當(dāng)時(shí)，稱與為正交矢量正交的條件是

C12=0或?=0yx一個(gè)平面矢量可以毫無(wú)誤差地用一個(gè)二維的正交矢量集來(lái)表示。稱此正交矢量集為完備正交矢量集。0正交矢集，令、分別表示x方向和y方向的單位矢量，則和應(yīng)具有如下關(guān)系：0xyz其中有、、的關(guān)系：在n維空間中,構(gòu)成的矢量集||N維正交矢量集的單位矢量的關(guān)系：成為歸一化正交矢量集。r=1,2,3,…,n.l

m矢量各分量的模為r=1,2,3,…,n.系數(shù)當(dāng)k=1時(shí)，就成為歸一化正交矢量集。3.2——2信號(hào)的分量和信號(hào)的分解

信號(hào)=函數(shù)

單值函數(shù)1、正交函數(shù)設(shè)在區(qū)間（t1,t2)內(nèi)，有f1(t)和f2(t),若再此區(qū)間內(nèi)用f1(t)在f2(t)中的分量c12f2(t)來(lái)近似地代表原函數(shù)f1(t),將有一誤差函數(shù)

(t)為：

(t)=f1(t)-c12f2(t)(3---9)

令由此可得當(dāng)C12=1時(shí)，f1(t)=f2(t),

(t)=0隨著C12，

(t)

當(dāng)C12=0時(shí)，f1(t)=f2(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)正交。顯然，f1(t)和f2(t)在區(qū)間正交的條件是：C12=0或系數(shù)C12---------相關(guān)系數(shù)例2—1設(shè)矩形脈沖f(t)有如下定義f(t)=+1(0<t<

)-1(

<t<2）4

-f(t)014

-1

2試用sint在區(qū)間（0，2

）內(nèi)近似表示此函數(shù)，且使方均誤差最小。解：f(t)在區(qū)間（0，2

）內(nèi)近似為f(t)

C12sintf(t)4

-014

-1

2例2—1設(shè)矩形脈沖f(t)有如下定義f(t)=+1(0<t<

)-1(<t<2）

0例2—2試用正弦函數(shù)sint在區(qū)間（0，2

）內(nèi)來(lái)近似表示余弦函

數(shù)cost。

解：由于2、正交函數(shù)集設(shè)有n個(gè)函數(shù)g1(t),g2(t),…gn(t)構(gòu)成的一個(gè)函數(shù)集，這些函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)滿足如下關(guān)系：故C12=0因此不能用sint表示cost。Km為一常數(shù)l

m則此函數(shù)集稱為正交函數(shù)集。當(dāng)Km=1時(shí)，成為歸一化函數(shù)集。同時(shí)令亦即l

m這樣3、信號(hào)在完備正交函數(shù)集中的分解定義一：如果在正交函數(shù)集{g1(t),g2(t),…gn(t)}之外，不存在函數(shù)x(t)。得于是分別求得c1,c2,…,cn。滿足等式r=1,2,…,n則此函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集。定義二：如果在正交函數(shù)集{g1(t),g2(t),…gn(t)}在區(qū)間（t1,t2）內(nèi)近似表示函數(shù)f(t),即方均誤差為若令n

則此函數(shù)集稱為完備正交函數(shù)集。當(dāng)時(shí)，就意味著函數(shù)f(t)可以毫無(wú)誤差地由相互正交的函數(shù)組成的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示:f(t)=c1g1(t)+c2g2(t)+…+crgr(t)+…3.2—3復(fù)變函數(shù)的分解設(shè)f1(t)和f2(t)是實(shí)變量t的復(fù)變函數(shù)，若f(t)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)，可以由c12f2(t)來(lái)近似，則有：

f1(t)

c12f2(t)

方均誤差由誤差函數(shù)的模的平方來(lái)計(jì)算，即可得：由此時(shí)可看出兩函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)正交的條件是：

c12=0

或如果在區(qū)間(t1,t2）內(nèi)，復(fù)變函數(shù)集

g1(t),g2(t),…gn(t)滿足以下關(guān)系：l

m則此函數(shù)集為正交函數(shù)集

f(t)在區(qū)間(t1,t2）內(nèi)可表示為：f(t)=c1g1(t)+c2g2(t)+…+crgr(t)+…

各分量的系數(shù)為：§3.3信號(hào)表示為付里葉級(jí)數(shù)

三角函數(shù)是一種完備正交函數(shù)集，周期信號(hào)展開(kāi)為各三角函數(shù)分量的疊加。

3.3—1三角付里葉級(jí)數(shù)mnm、n為任意整數(shù)其中為上述三角函數(shù)的公共周期，m和n均為正整數(shù)。Cos0°=1,則函數(shù)1、cost、cos2t、…cosnt、…sin

t、sin2

t、…sinn

t、…合起來(lái)形成一正交函數(shù)集。對(duì)于任何一個(gè)周期為T的周期信號(hào)f(t),若滿足狄利希萊(Dirichlet)條件，則可在區(qū)間(t1,t1+T)內(nèi)表示為三角付里葉級(jí)數(shù)：式中a0/2和an、bn均為相關(guān)系數(shù)當(dāng)n=0時(shí)，直流分量為當(dāng)n=1時(shí)，a1cos

t和b1sin

t合成一（角）頻率為

T的正弦分量，稱為基波分量，

稱為基波頻率。當(dāng)n>1時(shí)，可將ancosn

t和bnsinn

t合成一正弦分量為：ancosn

t+bnsinn

t=Ancos(

nt-

n)故表示f(t)的付利葉級(jí)數(shù)又可寫成an、bn與An、相位

n之間的關(guān)系為

an=Ancos

nbn=

Ansin

n

T2一般來(lái)說(shuō)，n越大，越??；當(dāng)n，

即式中誤差函數(shù)f(t)=10<t<T/2-1T/2<t<Tf(t)10-1TT/2t方波當(dāng)n為奇數(shù)當(dāng)n為偶數(shù)1相關(guān)系數(shù)a和b.(a)近似函數(shù)與原信號(hào)的差別(b)誤差函數(shù)(a)近似函數(shù)與原信號(hào)的差別(c)誤差的平方及均方誤差(b)誤差函數(shù)因此，在區(qū)間(0,T)內(nèi)f(t)可表示為：f(t)=4/(sint+1/3sin3t+1/5sin5t+…)14/

sint0T2TT

4T

20

Tt14/（sint+1/3sint）0T2TT

4T

20

3TtT2T433T2T4(a)近似函數(shù)與原信號(hào)的差別(c)誤差的平方及均方誤差14/(sint+1/3sint+1/3sint）0T2T(b)誤差函數(shù)

5T

4T

20Tt(c)誤差的平方及均方誤差T2T407.021=e553.3—2指數(shù)付里葉級(jí)數(shù)當(dāng)n取

至

包括0在內(nèi)的所有整數(shù)，則函數(shù)集ejn

t（其中n=0、±1、±2）為一完備的正交函數(shù)集。任意函數(shù)f(t),可在（t1,t1+T)內(nèi)用此函數(shù)集表示為：mn式中為指數(shù)函數(shù)的公共周期，m和n均為整數(shù)。式中相關(guān)系數(shù)1根據(jù)歐拉公式cos

1/2(eje-j),可知

cos（ntn)

1/2[ej（ntn)e-j(ntn)]

又An=A-n,-n=-n令a0=A0,得令n=-k,即k=-n,當(dāng)n=1時(shí),k=-1,當(dāng)n=

時(shí)，k=-,故有Cn=1/2?n即當(dāng)T=2/時(shí)，

cosn

t=cosn(t+kT)

sinnt=sinn(t+kT)

ejnt=ejn(t+kT)其中，k為任意正負(fù)整數(shù)。周期信號(hào)的函數(shù)，只要在以任何時(shí)間t1為起始點(diǎn)的一個(gè)周期內(nèi)將它表示為付氏級(jí)數(shù)，則此級(jí)數(shù)也就從-

到+

的整個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)表示了這一周期信號(hào)。C--

式中?=Ane-j

n3.3—3函數(shù)的偶、奇性質(zhì)及其與諧波含量的關(guān)系

波形的對(duì)稱性分兩類：（1）、對(duì)整周期對(duì)稱。如偶函數(shù)和奇函數(shù)。（2）、對(duì)半周期對(duì)稱。如偶諧函數(shù)和奇諧函數(shù)。1、偶函數(shù)和奇函數(shù)若f(t)=f(-t)時(shí)，稱之為t的偶函數(shù)；當(dāng)滿足f(t)=-f(-t)時(shí)，則稱之為t的奇函數(shù)。Af(t)-TTt0T2T4A2偶函數(shù)的特點(diǎn)：偶函數(shù)對(duì)于縱軸對(duì)稱；奇函數(shù)對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱。對(duì)于偶函數(shù)有f(t)-TTt0A2T2T2A2-或?qū)τ谄婧瘮?shù)有：或x其中是任意時(shí)間值。周期性偶函數(shù)和奇函數(shù)的諧波含量：當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，bn=0,只含ancosn

t或a0/2無(wú)bnsinn

t當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，a0=an=0,

只含

bnsinn

t無(wú)直流分量和ancosn

t令t1=T/2例：周期三角形脈沖和鋸齒形脈沖展開(kāi)為n=1,3,5,……對(duì)于一般的非奇非偶的信號(hào)總可以分解為一個(gè)偶分量與一個(gè)奇分量的疊加，即f(t)=fe(t)+fo(t)(3---40)考慮到

fe(t)=fe(-t)，fo(t)=-fo(-t)，則有f(-t)=fe(-t)+fo(-t)=fe(t)-fo(t)(3---41)解之fe(t)=f(t)+f(-t)2fo(t)=f(t)-f(-t)2，(3---42)2、偶諧函數(shù)和奇諧函數(shù)若滿足f(t

T/2)=f(t)時(shí),則稱之為偶諧函數(shù)；而滿足f(t

T/2)=-f(t)時(shí)，則稱之為奇諧函數(shù)。f(-t)10-2T2T-TTt(b)f(t)10-2T2T-TTt(a)fe(t)0-2T2T-TTt12(c)fo(t)0-2T2T-TTt1212-(d)f1(t)tAT2T2T403T4-T3T4TT4

偶諧函數(shù)特點(diǎn)：偶諧函數(shù)是兩半周期完全相同的周期性函數(shù)。

奇諧函數(shù)特點(diǎn)：奇諧函數(shù)是周期為T的周期函數(shù)，它的任意半個(gè)波形可由前半周期沿橫軸移動(dòng)半個(gè)周期后反褶得到。T2T2f2(t)tA0-TT對(duì)于f2(t)可求得又

同樣可求得故TTT依此類推，可得a0=0an=bn=0(n為偶數(shù)）a2=0b2=0(n為奇數(shù)）表3—1對(duì)稱情況偶函數(shù)f(t)=f(-t)奇函數(shù)f(t)=-f(-t)性質(zhì)只有常數(shù)項(xiàng)及余弦項(xiàng)a0an(n0)n=1,2,3,…bn0只有正弦項(xiàng)00偶諧函數(shù)f(t

)=f(t)只有偶次諧波只有奇次諧波n=2，4，6，…n=1,2,3,…n=2，4，6，…奇諧函數(shù)f(t

)=-f(t)0n=1，3，5，…n=1，3，5，…§3.4周期信號(hào)的頻譜f(t)10-1T/2Tt方波f(t)={0<t<T-1T/2<t<T其三角付氏級(jí)數(shù)表示式為奇次諧波的振幅用長(zhǎng)度不同的線段表示An0

357

頻譜圖振幅頻譜相位頻譜周期信號(hào)頻譜的三個(gè)特點(diǎn)：1.離散性——譜線是離散的而不是連續(xù)的；故稱之離散頻譜。2.諧波性——譜線所在頻率軸上的位置是的整數(shù)倍。3.收斂性——譜線隨n而衰減到零。A為脈沖幅度

為脈沖寬度T為脈沖重復(fù)周期在一周期內(nèi)A0f(t)A----------''-T0T周期性矩形脈沖信號(hào)t''（1）將f(t)展開(kāi)為三角形式付氏級(jí)數(shù)xsinxxSa=)(注：——抽樣函數(shù)

bn=0故（2）將f(t)展開(kāi)成指數(shù)形式的付氏級(jí)數(shù)在的表示式中，令n=0，得直流分量第n次諧波的振幅為可見(jiàn)，振幅與/T之比有關(guān)。02A5An

n=0

n=

n=

n=0

n

2

4

6

(a)T=5

0A5An

n

2

4

6

(b)T=10

0A10An

n

2

4

6

(c)T=20

（3）求振幅頻譜若令T=5,并依次令n=0,n=1,n=2,，分別求出A0、A1、A2…等各次諧波的振幅值。將其用相應(yīng)長(zhǎng)度的線段代表并按頻率高地依次排列，即得振幅頻譜。

由可看出，為實(shí)數(shù)，（而）即（4）求相位頻譜=cos0=1cos=–1當(dāng)角度在第一、二象限時(shí),sin為正，為正實(shí)數(shù),即=1,故

n=0。

…三、四.…負(fù),…….負(fù)…-1…….。即當(dāng)2n<n/T<(2n+1)時(shí)，

n=0