高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第29講 8.4.1 平面（學(xué)生版）

第06講8.4.1平面課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解平面的表示方法，點、直線與平面的位置關(guān)系。②掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個基本事實。③會用符號表示點、直線、平面之間的位置關(guān)系。1.認(rèn)識新的幾何元素“平面”及其性質(zhì)；2.讓學(xué)生經(jīng)歷將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言的過程；3.讓學(xué)生在直觀感受的基礎(chǔ)上形成三個基本事實和三個推論，初步體會歐幾里得公理化體系；知識點01：平面的概念與畫法（1）平面的概念幾何里所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是無限延展的.平面是絕對平的；平面是無限延展的，不可度量；平面沒有厚度.（2）平面的畫法①水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形,用平行四邊形表示平面,平行四邊形的銳角通常畫成,且橫邊長等于其鄰邊長的2倍.如圖(1).②如果一個平面被另一個平面遮擋住,為了增強它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫出來.如圖(2).（3）平面的表示平面通常用希臘字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面、平面等.知識點02：點、直線、平面之間的位置關(guān)系（是點，、是直線，、是平面）文字語言表達(dá)圖形語言表達(dá)符號語言表達(dá)點在直線上點在直線外點在平面內(nèi)點在平面外直線在平面內(nèi)直線在平面外平面,相交于知識點03：平面的基本性質(zhì)（1）基本事實1①過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面；②圖形語言：③應(yīng)用：確定平面的依據(jù)；判斷兩個平面是否重合；證明點線共面.④說明：對于基本事實1中的“有且只有一個”，這里的“有”是說圖形存在,“只有一個”是說圖形唯一,本公理強調(diào)的是存在性和唯一性兩個方面,因此“有且只有一個”,必須完整地使用,不能僅用“只有一個”來代替“有且只有一個”.否則就沒有表達(dá)存在性.確定一個平面中的“確定”是“有且只有一個”的同義詞,也就是存在性和唯一性這兩個方面的,這個術(shù)語今后學(xué)習(xí)中會經(jīng)常出現(xiàn).（2）基本事實2①如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)；②符號語言和圖形語言符號語言：，，且，③應(yīng)用：判斷直線或點是否在平面內(nèi)的依據(jù).④說明：基本事實2表明，可以用直線的“直”刻畫平面的“平”，用直線的“無限延伸”刻畫平面的“無限延展”.如圖,由基本事實勝于雄辯,給定不共線的三點,它們可以確定一個平面;連接,,,由基本事實2.這三條直線都在平面內(nèi)，進(jìn)而連接這三條直線上任意兩點所得直線也都在平面內(nèi),所有這些直線可以編織成一個“直線網(wǎng)”，這個“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面.組成“直線網(wǎng)”的直線的“直”和向各個方向無限延伸，說明了平面的“平”和“無限延展”.（3）基本事實3①如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線②符號語言和圖形語言，且③應(yīng)用：判斷兩平面是否相交及確定交線的依據(jù)；證明三點共線；證明三線共點；作兩平面的交線.④說明：基本事實3告訴我們，如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面一定相交于過這個公共點的一條直線.兩個平面相交成一條直線的事實，使我們進(jìn)一步認(rèn)識了平面的“平”和“無限延展”.知識點04：基本事實1和基本事實2的三個推論（1）推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面（2）推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面（3）推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面【即學(xué)即練1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）有下列四個判斷：①兩條相交直線確定一個平面；②兩條平行直線確定一個平面；③三個點確定一個平面；④一條直線和一點確定一個平面.正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】兩條相交直線確定一個平面，兩條平行直線確定一個平面，①②正確.在同一直線上的三個點不能確定一個平面，③錯誤.直線和直線上一點不能確定一個平面，④錯誤.所以正確的個數(shù)為個.故選：B題型01文字語言、符號語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)化【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）用符號表示“點A不在直線上，直線在平面內(nèi)”，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【典例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，點，線，面之間的數(shù)學(xué)符號語言關(guān)系為（

）A．， B．， C．， D．，【典例3】（2023下·高一課時練習(xí)）已知，為不重合的兩個平面，A，B，M，N為空間中不同的四個點，a為直線，則下列推理正確的是.（填序號）①，，，；②，，，；③，.【變式1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如果A點在直線上，而直線在平面內(nèi)，點在內(nèi)，可以用集合語言和符號表示為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式2】（2023上·新疆阿克蘇·高二?？茧A段練習(xí)）用集合符號表示下列語句：(1)點在直線上，點不在直線上；(2)平面與平面相交于過點的直線．題型02平面性質(zhì)基本事實及推論的應(yīng)用【典例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（

）

A． B．9 C． D．【典例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示的正方體中，是棱上的一點，試說明、、三點確定的平面與平面相交，并畫出這兩個平面的交線.【變式1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)平面與平面相交于直線,直線，直線,,則M（用符號表示）．【變式2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在長方體，P為棱的中點，畫出由，，P三點所確定的平面與長方體表面的交線．

題型03四點共面問題【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在正方體中，、、、分別是該點所在棱的中點，則下列圖形中、、、四點共面的是（

）A． B．C． D．【典例2】（多選）（2023上·山西大同·高三大同一中?？茧A段練習(xí)）已知正方體中，為的中點，直線交平面于點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三點共線 B．四點共面C．四點共面 D．四點共面【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在長方體中，點為正方形的中心，點為的中點，點為的中點，則（

）A．、、、四點共面，且與平行B．、、、四點共面，且與相交C．、、、四點共面，且與平行D．、、、四點不共面【變式2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在四面體ABCD中，H、G分別是AD、CD的中點，E、F分別是AB、BC邊上的點，且.求證：E、F、G、H四點共面；【變式3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在空間四面體中，分別是，的中點，分別是，上的點，且.求證：（1）四點共面；題型04三點共線問題【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平面外，三邊AB，AC，BC所在直線分別交平面于P，Q，R三點．求證：P，Q，R三點在同一直線上．【典例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且．設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）在正方體中，棱長，M，N，P分別是，，的中點．(1)直線交PN于點E，直線交平面MNP于點F，求證：M，E，F(xiàn)三點共線．(2)求三棱錐的體積．【變式2】（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線.題型05三線共點問題【典例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，分別為，的中點．

(1)求證：直線、、交于一點；(2)若，求多面體的體積．

【典例2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在正四棱臺中，．(1)求正四棱臺的體積；(2)若分別為棱的中點，證明：相交于一點．【變式1】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點，點F在CD上，點H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求證：EF，GH，BD交于一點．【變式2】（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，不共面的四邊形ABB'A'，BCC'B'，CAA'C'都是梯形．求證：三條直線AA'，BB'，CC'相交于一點．A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·全國·高二專題練習(xí)）三個平面不可能將空間分成（

）個部分A．5 B．6 C．7 D．82．（2024·全國·高二專題練習(xí)）下列各圖符合立體幾何作圖規(guī)范要求的是（）A．直線在平面內(nèi) B．平面與平面相交 C．直線與平面相交 D．兩直線異面3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）下列圖形表示兩個相交平面，其中畫法正確的是（

）A．B．C．D．4．（2023下·湖北黃岡·高一校考階段練習(xí)）若點A在平面內(nèi)，直線l在平面內(nèi)，點A不在直線l上，下列用集合表示這些語句的描述中，正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．且5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下面表述與結(jié)論都正確的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合B．若四點不共面，則其中任意三點不共線C．空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)D．三個不重合的平面最多可將空間分成七個部分二、多選題7．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．棱柱的側(cè)面一定是矩形B．三個平面至多將空間分為3個部分C．圓臺可由直角梯形以高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成D．任意五棱錐都可以分成3個三棱錐8．（2023下·四川成都·高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下面四個命題中，正確的為（

）A．相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)．B．在平面外，其三邊延長線分別和交于P，Q，R，則P，Q，R一定共線C．一個角的兩邊所在直線分別平行于另一個角的兩邊所在直線，則這兩角相等D．在三維空間中，三個平面最多把空間分成八部分．三、填空題9．（2023·全國·高三對口高考）一個平面把空間分為部分；兩個平面把空間分為部分；三個平面把空間分為部分．四、解答題11．（2023下·黑龍江大慶·高一校考期中）（1）直線和兩條異面直線都相交，畫出每兩條相交直線所確定的平面，并標(biāo)上字母；（2）如圖，已知是空間四點，且點在同一直線上，點不在直線上．求證：直線在同一平面內(nèi)．

12．（2023下·高一單元測試）如圖，P是所在平面外一點，分別是和的中點，試過點做平行于的平面，要求：

(1)畫出平面分別與平面，平面，平面的交線；(2)試對你的畫法給出證明．B能力提升1．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（

）

A． B．9 C． D．2．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為，點在上且滿足，過點的平面與平面平行，且與正四棱臺各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為1的正方體中，M為底面的中心，，，N為線段AQ的中點，則（

）

A．CN與QM共面B．三棱錐的體積跟的取值無