高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第27講 8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積（學(xué)生版）

第04講8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積的計算公式。②理解并掌握側(cè)面展開圖與幾何體的表面積之間的關(guān)系，并能利用計算公式求幾何體的表面積與體積。1.通過閱讀課本培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和抽象思維能力；2.柱、錐、臺的側(cè)面積和體積問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，現(xiàn)就柱、錐、臺的側(cè)面積和體積的常見問題分類解析以下。對于棱柱、棱錐、棱臺的表面積，多采用面積累加的方式求解；3.特別地，若為正棱柱（錐、臺），各側(cè)面積相等，可用乘法計算；計算其體積時，關(guān)鍵是求底面積和高，并注意公式的運(yùn)用；知識點(diǎn)1：棱柱、棱錐、棱臺的表面積（1）正方體、長方體的表面積正方體、長方體的表面積就是各個面的面積的和長、寬、高分別為的長方體的表面積：棱長為的正方體的表面積：.（2）棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開圖棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形，一邊為棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長.如圖:棱錐的側(cè)面展開圖由若干個三角形拼成如圖棱臺的側(cè)面展開圖由若干個梯形拼成如圖（3）棱柱、棱錐、棱臺的表面積棱柱的表面積：棱錐的表面積：棱臺的表面積：知識點(diǎn)2：棱柱、棱錐、棱臺的體積（1）棱柱的體積①棱柱的高：柱體的兩底面之間的距離，即從一底面上任意一點(diǎn)向另一底面作垂線，這點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長.②棱柱的體積：柱體的體積等于它的底面積和高的乘積，即.（2）棱錐的體積①棱錐的高：錐體的頂點(diǎn)到底面之間的距離，即從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長.②棱錐的體積：錐體的體積等于它的底面積和高的乘積的,即理解.（3）棱臺的體積①棱臺的高：臺體的兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，此點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離，即垂線段的長②棱臺的體積：(,分別為上下底面面積，為臺體的高)題型01棱柱的表面積【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）某幾何體為棱柱或棱錐，且每個面均為邊長是2的正三角形或正方形，給出下面4個值：①；②24；③；④．則該幾何體的表面積可能是其中的（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【典例2】（2023下·全國·高一專題練習(xí)）棱柱中，底面三角形的三邊長分別為3、4、5，高為（）.過三條側(cè)棱中點(diǎn)的截面把此三棱柱分為兩個完全相同的三棱柱，用這兩個三棱柱拼成一個三棱柱或四棱柱，小明嘗試了除原三棱柱之外的所有情形，發(fā)現(xiàn)全面積都比原三棱柱的全面積小，則a的取值范圍是.【典例3】（2023上·上海·高二專題練習(xí)）已知一個正四棱柱的對角線的長是9，表面積等于144，求這個棱柱的側(cè)面積（）.【變式1】（2023上·北京海淀·高二?？茧A段練習(xí)）在長方體中，.該長方體的表面積為（）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，用若干棱長為的小正方體組成一個模型，該模型的表面積是.【變式3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長是2，D，E是CC1，BC的中點(diǎn)，AE=DE.求:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長；(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的表面積.題型02棱柱的體積【典例1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，已知正六棱柱的最大對角面的面積為，互相平行的兩個側(cè)面的距離為2m，則這個六棱柱的體積為（

）

A． B． C． D．以上都不對【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體中，E?F分別是棱?的中點(diǎn)，則正方體被截面BEFC分成兩部分的體積之比.【典例3】（2023下·福建寧德·高一校聯(lián)考期中）如圖，三棱柱內(nèi)接于一個圓柱，且底面是正三角形，圓柱的體積是，底面直徑與母線長相等.

(1)求圓柱的底面半徑；(2)求三棱柱的體積.【變式1】（2024上·上海徐匯·高二統(tǒng)考期末）如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1＝8．若側(cè)面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點(diǎn)．當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為．【變式2】（2023上·上海·高二專題練習(xí)）已知直四棱柱的底面為菱形，底面菱形的兩對角線長分別為，，側(cè)棱長為，求：該直四棱柱的體積；

【變式3】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）某自來水廠要制作一個無蓋長方體水箱，所用材料的形狀是矩形板，制作方案如圖（單位：dm），求水箱的容積．

題型03棱錐的表面積【典例1】（2023下·甘肅酒泉·高二?？计谀┤绻粋€正四棱錐的底面邊長為6，高為3，那么它的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學(xué)校校考期中）棱長為1的正方體紙盒展開后如圖所示，則在原正方體紙盒上，分別將四點(diǎn)兩兩相連，構(gòu)成的幾何體的表面積為．

【典例3】（2023下·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖一，將邊長為2的正方形剪去四個全等的等腰三角形后，折成如圖二所示的正四棱錐.記該正四棱錐的斜高為（側(cè)面三角形的高），.(1)求證：；(2)將折起來后所得正四棱錐的表面積記為，請將表示為的函數(shù)，并求的范圍.【變式1】（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┮阎忮F的底面邊長為6，高為3，則該三棱錐的表面積是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）如圖，正四面體的各棱長均為1，則它的表面積是.【變式3】（2023·全國·高一課堂例題）如圖，正四棱錐的底面邊長為4，頂點(diǎn)S到底面中心O的距離為4，求它的表面積．

題型04棱錐的體積【典例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐中，四邊形為平行四邊形，分別為側(cè)棱的中點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面將該四棱錐分成兩部分，兩部分的體積分別記為，則（

）

A． B． C． D．【典例2】（2024上·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，，則該棱錐的體積為．【典例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，用截面截下一個三棱錐，則三棱錐的體積與剩余部分的體積之比為.【典例4】（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，正六棱錐的底面邊長為4，H是的中點(diǎn)，O為底面中心，．

(1)求出正六棱錐的高，斜高，側(cè)棱長；(2)求六棱錐的表面積和體積．【變式1】（2024·全國·高一假期作業(yè)）正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個棱長為的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為（

）

A． B． C． D．【變式2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐的體積為分別為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為．【變式3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）正四棱錐的底面邊長為4，高為1，求：(1)求棱錐的體積和側(cè)棱長；(2)求棱錐的表面積．題型05棱臺的表面積【典例1】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）柷（zhù），是一種古代打擊樂器，迄今已有四千多年的歷史，柷的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂曲將開始.如圖，某柷（含底座）高，上口正方形邊長，下口正方形邊長，底座可近似地看作是底面邊長比下口邊長長，高為的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（）（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023下·福建南平·高一統(tǒng)考期末）已知正四棱臺上、下底面的邊長分別為4和8，高為2.該正四棱臺的表面積為.【典例3】（2024·全國·高一假期作業(yè)）正六棱錐被過棱錐高的中點(diǎn)且平行于底的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐．(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側(cè)面積之比；(2)若大棱錐的側(cè)棱長為，小棱錐的底面邊長為，求截得的棱臺的側(cè)面積與全面積．【變式1】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2，8，該梭臺的表面積為148，則側(cè)棱長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3和6，高是.則三棱臺的側(cè)面積為（

）A．27 B．C． D．【變式3】（2023下·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中將正四梭臺（上?下底面均為正方形）稱為“方亭”.現(xiàn)有一方亭，高為2，上底面邊長為2，下底面邊長為4，則此方亭的表面積為.題型06棱臺的體積【典例1】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）中國國家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）某款廚房用具中的香料收納罐的實(shí)物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面邊長分別為的正四棱臺，若棱臺的高為，忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在正四棱臺中，，．若該四棱臺的體積為，則．【變式1】（2023上·山東濟(jì)寧·高三濟(jì)寧一中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正四棱臺的兩底面均為正方形，且邊長分別為20cm和10cm，側(cè)面積為，則其體積為．【變式2】（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校校考期末）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺（即正四棱臺）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺（如圖所示，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺上底面邊長的3倍.已知方亭的體積為，則該方亭的上底面邊長為（

）

A．3 B．4 C．6 D．12【變式3】（2023·廣西·模擬預(yù)測）已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為4、6，高為，則正四棱臺的體積為，外接球的半徑為.題型07求簡單組合體的表面積和體積【典例1】（2023上·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的糧倉可以看成圓柱體與圓錐體的組合體，設(shè)圓錐部分的高為0.5米，圓柱部分的高為2米，底面圓的半徑為1米，則該組合體體積為（

）A．立方米 B．立方米C．立方米 D．立方米【典例2】（2023·河北邢臺·寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測）半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不完全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，二十四等邊體就是一種半正多面體，如圖，棱長為2的正方體截去八個一樣的四面體就得到二十四等邊體，則該二十四等邊體的體積為（

）A． B． C． D．【典例3】（多選）（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，這是某同學(xué)繪制的素描作品，圖中的幾何體由兩個完全相同的正六棱柱垂直貫穿構(gòu)成，若該正六棱柱的底面邊長為2，高為8，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．該幾何體的體積為B．該幾何體的體積為C．該幾何體的表面積為D．該幾何體的表面積為【變式1】（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）蓋碗是由茶碗、茶蓋、茶船三件套組成，蓋碗又稱“三才碗”，蘊(yùn)含了古代哲人講的“天蓋之，地栽之，人育之”的道理．如圖是乾隆時期的山水人物方蓋碗的茶蓋和茶碗，近似看作兩個正四棱臺的組合體，其中茶碗上底面的邊長為﹐下底面邊長為，高為，則茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（

）A．7碗 B．8碗 C．9碗 D．10碗【變式2】（2023上·山東德州·高三統(tǒng)考期中）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知，，則該青銅器的體積為（

）A． B．C． D．【變式3】（2023上·云南昆明·高三統(tǒng)考期中）第19屆亞洲運(yùn)動會于2023年9月23日10月8日在我國杭州成功舉辦，中國國家隊(duì)以201金、111銀、71銅的優(yōu)異成績位列獎牌榜榜首．此次亞運(yùn)會的頒獎花束——“碩果累累”，由花材和花器兩部分組成，如圖1．其中花器的造型靈感來自中國南宋時期官窯花解，由國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)東陽木雕制作而成，可以近似看作由大、小兩個圓臺拼接而成的組合體，如圖2．已知大圓臺的兩底面半徑和高分別為，小圓臺的兩底面半徑和高分別為，則該幾何體的體積為．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2024上·重慶·高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎庵欣忾L均為2，則該正三棱柱的體積為（

）A． B．4 C． D．2．（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體，則其表面積為（）A．12 B． C． D．3．（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．4．（2023上·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習(xí)）一個正四棱臺形狀的魚塘，灌滿水時，蓄水量為，若它的兩底面邊長分別為和，則此時魚塘的水深（

）A． B． C． D．5．（2023下·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）棱臺的上、下底面面積分別為2、4，高為3，則棱臺的體積為（

）A． B． C． D．6．（2024上·北京·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).若，則三棱錐的體積為（

）A．2 B．1 C． D．7．（2024上·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為（

）A．26 B．28 C．30 D．328．（2024上·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體，四個部分為直三棱柱，四個部分為四棱錐．已知每個直三棱柱的體積為，每個四棱錐的體積為，則該正四棱臺的體積為（

）

A． B．C． D．9．（多選）（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考期末）在長方體上任意選取不共面的4個頂點(diǎn)，由這4個頂點(diǎn)構(gòu)成的幾何體中，則（

）A．存在三個面為直角三角形的四面體B．存在每個面都是直角三角形的四面體C．存在每個面都是全等三角形的四面體D．四面體的體積為該長方體體積的六分之一10．（多選）（2024上·甘肅武威·高三統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為的正方形中剪掉四個陰影部分的等腰三角形，其中為正方形對角線的交點(diǎn)，，將其余部分折疊圍成一個封閉的正四棱錐，若該正四棱錐的內(nèi)切球半徑為，則該正四棱錐的表面積可能為（

）A． B． C． D．11．（2024上·上海長寧·高二上海市民辦新虹橋中學(xué)?？计谀┤粽睦忮F的底面邊長是2，高為，棱錐被平行于底面的平面所截，已知所截得的棱臺的上、下底面邊長之比為，則該棱臺的體積是．12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐，則它的體積與正方體體積的比為；它的表面積與正方體表面積的比為.

四、解答題13．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知長方體中，，求：

(1)長方體表面積；(2)三棱錐的體積．14．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖，在棱長為1的正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)．(1)求四邊形的周長；(2)求多面體的體積．15．（2024·全國·高一假期作業(yè)）如圖所示，正六棱錐被過棱錐高PO的中點(diǎn)且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺和較小的棱錐.(1)求大棱錐，小棱錐，棱臺的側(cè)面面積之比；(2)若大棱錐PO的側(cè)棱長為12cm，小棱錐的底面邊長為4cm，求截得的棱臺的側(cè)面面積和表面積.B能力提升1．（2024上·山西·高三期末）如圖，瑪雅金字塔是世界上最大的金字塔之一，同埃及金字塔不同，它的每個側(cè)面都是等腰梯形，并且梯形兩腰延長得到的三角形是一個呈“金”字的等邊三角形，它的底面是邊長為的正方形，塔高為．該金字塔的體積約為（

）．（參考數(shù)據(jù)，）

A．120