高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第20講 7.2.1 復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義（教師版）

第03講7.2.1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①.熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則。②理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題。1.在認(rèn)真學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)定義的基礎(chǔ)上，熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則；2進(jìn)一步加強(qiáng)理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)；知識(shí)點(diǎn)01：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)的加法法則設(shè)，，（）是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的和：顯然：兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)（2）復(fù)數(shù)加法滿(mǎn)足的運(yùn)算律對(duì)任意，有交換律：結(jié)合律：（3）復(fù)數(shù)加法的幾何意義如圖，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別為，，以，為鄰邊作平行四邊形，則，即：，即對(duì)角線(xiàn)表示的向量就是與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量.所以：復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行.【即學(xué)即練1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算法則設(shè)，則，．復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律（1）交換律：．（2）結(jié)合律：．復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義如圖，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為，以為鄰邊作平行四邊形，則與對(duì)應(yīng)的向量是，與對(duì)應(yīng)的向量是．【答案】知識(shí)點(diǎn)02：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的減法運(yùn)算及其幾何意義（1）復(fù)數(shù)的減法法則類(lèi)比實(shí)數(shù)集中減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿(mǎn)足：的復(fù)數(shù)叫做復(fù)數(shù)減去復(fù)數(shù)的差，記作注意：①兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)；②兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減等于實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減.（2）復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù) 向量【即學(xué)即練2】（2018·高三課時(shí)練習(xí)）如圖在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、向量的平行四邊形法則即可得出．【詳解】∵，∴對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：，∴點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．故選D．知識(shí)點(diǎn)03：()的幾何意義在復(fù)平面內(nèi),設(shè)復(fù)數(shù)，（）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，,則.又復(fù)數(shù).則,故，即表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.【即學(xué)即練3】（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？既＃┮阎獜?fù)數(shù)，滿(mǎn)足，，則的最大值為.【答案】4【詳解】設(shè)，則，所以，即，，，當(dāng)時(shí)，則取得最大值，最大值為.故答案為：4題型01復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算【典例1】（2023下·海南省直轄縣級(jí)單位·高一校考期中）設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算可知：，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第二象限.故選：B【典例2】（2023下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一校考期末）已知復(fù)數(shù)，，則．【答案】【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，，則.故答案為：.【典例3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）（2）（3）（4）【變式1】（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由復(fù)數(shù)，則.故選：A.【變式2】（2023下·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.【答案】三【詳解】因?yàn)椋?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限，故答案為：三【變式3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)2(3)0(4)(5)(6)【詳解】（1）由題意可得：.（2）由題意可得：.（3）由題意可得：.（4）由題意可得：.（5）由題意可得：.（6）由題意可得：.題型02復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算的幾何意義【典例1】（2023下·河南鄭州·高一中牟縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】復(fù)數(shù)與分別表示向量與，因?yàn)?，所以表示向量的?fù)數(shù)為.故選：D.【典例2】（2022下·山東日照·高一校聯(lián)考期末）若復(fù)數(shù)，（其中為虛數(shù)單位）所對(duì)應(yīng)的向量分別為與，則的周長(zhǎng)為.【答案】16【詳解】因?yàn)椋?，，所以，?所以的周長(zhǎng)為.故答案為：16【典例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示,平行四邊形的頂點(diǎn)O,A,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,,,其中i為虛數(shù)單位由復(fù)數(shù)的幾何意義,知與對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為,.(1)求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).(3)求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】(1).(2).(3)【詳解】解：(1)因?yàn)?所以表示的復(fù)數(shù)為.(2)因?yàn)?所以表示的復(fù)數(shù)為.(3),所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)平面上有A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【詳解】因?yàn)閷?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，又，所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，又，所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【變式2】（2022下·高二課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面上，如果，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.【答案】【詳解】對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為：.【變式3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)向量及在復(fù)平面內(nèi)分別與復(fù)數(shù)z1＝5＋3i及復(fù)數(shù)z2＝4＋i對(duì)應(yīng)，試計(jì)算z1－z2，并在復(fù)平面內(nèi)表示出來(lái)【答案】z1－z2＝1＋2i，作圖見(jiàn)解析.【詳解】解:z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i，，則即為z1－z2所對(duì)應(yīng)的向量，如圖所示，根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1－z2是連接向量,的終點(diǎn)，并指向被減數(shù)的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).題型03與復(fù)數(shù)的模的幾何意義有關(guān)的應(yīng)用【典例1】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，由得：，，整理可得：，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最小值為.故選：B.【典例2】（2023下·河北邢臺(tái)·高一河北南宮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，則，，由可得，解得，則，所以，，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B.【典例3】（2022下·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若(是虛數(shù)單位),則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由復(fù)數(shù)的幾何意義可知：表示的點(diǎn)在單位圓上，而|z?2?2i|表示該單位圓上的點(diǎn)到復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)的距離，

由圖象可知：的最小值應(yīng)為點(diǎn)到的距離，而，圓的半徑為1，故的最小值為，故選D．【變式1】（2022上·湖北武漢·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，由題意可得：，解得，則.故選：D.【變式2】（2022·湖南岳陽(yáng)·岳陽(yáng)一中?？家荒＃┤魹樘摂?shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】表示的幾何意義是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離小于等于1，表示的幾何意義是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)連線(xiàn)段的長(zhǎng)度，故的最大值為，故選：C.【變式3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z﹣2i|＝1（i為虛數(shù)單位），則|z|的最小值為.【答案】1【詳解】設(shè)，∵，∴，∴，∴.則.當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：1.題型04根據(jù)復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)【典例1】（2022上·浙江·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若，則的實(shí)部可能是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，得，所以，所以，則的實(shí)部，故選：A【典例2】（2022·河北石家莊·石家莊一中?？寄M預(yù)測(cè)），若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，故，故，故.故選：.【變式1】（2022上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部是（

）A． B．1 C． D．i【答案】A【詳解】設(shè)，因?yàn)?，可得，則，可得，所以復(fù)數(shù)的虛部是.故選：A【變式2】（2022下·河南安陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知，，其中為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，若，則的值為．【答案】【詳解】由題意可得，即，根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得，解得，故答案為：.題型05根據(jù)復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算結(jié)果求復(fù)數(shù)的特征【典例1】（2023下·廣東東莞·高一東莞市厚街中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱(chēng)這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)（其中）為“等部復(fù)數(shù)”，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)（其中）為“等部復(fù)數(shù)，可得，即，可得，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第一象限.故選：A.【典例2】（2023下·四川眉山·高一仁壽一中?？计谥校?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】由復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【典例3】（2023下·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)?？计谥校┰O(shè)復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，則三角形的面積為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【詳解】設(shè)，，則，所以，，，，所以，即，所以，又，，在中，過(guò)作，垂足為，則為中點(diǎn)，即，所以，所以.故選：D.

【變式1】（2023下·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】又，故故該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：【變式2】（2022下·上海浦東新·高一?？计谀┮阎P(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛根和，且，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)虛根和，所以，則，又由求根公式知兩虛根為，，所以，則，解得，滿(mǎn)足要求，所以.故選：C.【變式3】（2022下·上海寶山·高一上海交大附中校考期中）已知復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，，，則在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的面積為．【答案】【詳解】，是以復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，，，，即，復(fù)數(shù)以復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)為圓心，半徑為1和的兩圓構(gòu)成的圓弧，則在復(fù)平面所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的面積為：故答案為：.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023下·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，且，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，由，得，即；故選：B.2．（2022下·廣西欽州·高二統(tǒng)考期末）等于（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】.故選：D.3．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得.故選：D．4．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）已知復(fù)數(shù)，，則的實(shí)部與虛部分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)加法求，根據(jù)實(shí)部、虛部定義得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，其?shí)部與虛部分別為，.故選：A5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)榭苫癁?，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，所以．故選：A．6．（2023上·遼寧朝陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】由題意可得：，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第四象限.故選：D.7．（2023上·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，為原點(diǎn)，為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，再根據(jù)題意計(jì)算復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，所以，所以.故選：.8．（2023上·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)?shù)奶摬咳∽钚≈禃r(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得出，求出的取值范圍，可得出的最小值，進(jìn)而可得出的值，由此可得出復(fù)數(shù)的值.【詳解】設(shè)，則，所以，，即，所以，，可得，解得，當(dāng)?shù)奶摬咳∽钚≈禃r(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，解得，故，故選：A.二、多選題9．（2023上·河北保定·高三定州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則或【答案】AC【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，結(jié)合復(fù)數(shù)減法的運(yùn)算法則逐一判斷即可.【詳解】A：根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，本選項(xiàng)正確；B：取，，滿(mǎn)足，但，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C：設(shè)，，，由，得，即，，所以，即，故本選項(xiàng)正確；D：取，，則，，此時(shí)且，故D不正確．故選：AC10．（2021下·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是（

）A． B．是純虛數(shù)C．若，則 D．若，則的最大值為2【答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則判斷A的正誤；復(fù)數(shù)的解法判斷復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，判斷B；利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則判斷C；利用復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷D．【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)為的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，所以，A正確；當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，也為實(shí)數(shù)，則是實(shí)數(shù)，B錯(cuò)誤；若，則，C錯(cuò)誤；若，設(shè)，即，則表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，其最大值為2，D正確，故選：AD．三、填空題11．（2023上·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校?fù)數(shù)，（a、），若它們的和為實(shí)數(shù)，差為純虛數(shù)，則．【答案】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算求、，根據(jù)實(shí)數(shù)、純虛數(shù)定義求參數(shù)，進(jìn)而求目標(biāo)復(fù)數(shù)的模即可.【詳解】由題設(shè)為實(shí)數(shù)，故，，故，所以.故答案為：12．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的復(fù)數(shù)．【答案】（答案不唯一，虛部為即可）【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，代入復(fù)數(shù)的模的公式求解即可.【詳解】設(shè)，（，），則，，∵，∴，∴，化簡(jiǎn)得，解得.∴滿(mǎn)足條件的一個(gè)復(fù)數(shù)（答案不唯一，虛部為即可）.故答案為：（答案不唯一，虛部為即可