2024屆河南省周口市高三下學(xué)期數(shù)學(xué)模擬試題（二模）含解析

2024屆河南省周口市高三下學(xué)期數(shù)學(xué)模擬試題（二模）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1．已知全集，集合A滿足，則（

）A． B．C． D．2．?dāng)?shù)據(jù)的第百分位數(shù)為（

）A．8.5 B．8.6 C．8.7 D．8.83．已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．－36或36 B．－36 C．36 D．184．中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)，，（）為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為.若，，則的值可以是（

）A．2018 B．2020 C．2022 D．20245．聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，但我們平時(shí)聽到的樂音不止是一個(gè)音在響，而是許多個(gè)音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的一個(gè)周期為 B．的最大值為C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)6．在某次測(cè)試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.5，0.6和0.7，且三人的測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，測(cè)試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒有達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的條件下，乙達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在點(diǎn)P，滿足，且，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，下列說法正確的是（

）A． B．C．向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1 D．10．如圖，在矩形中，，點(diǎn)與點(diǎn)分別是線段與的四等分點(diǎn)．若把矩形卷成以為母線的圓柱的側(cè)面，使線段與重合，則以下說法正確的是（

）

A．直線與異面 B．平面C．直線與平面垂直 D．點(diǎn)到平面的距離為11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，為偶函?shù)，則（

）A． B．為偶函數(shù)C． D．第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．12．拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為.13．在中，的對(duì)邊分別為，已知，，，則邊，點(diǎn)在線段上，且，則．14．已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．滎陽境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽因此被授予“中國象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負(fù)，本局比賽結(jié)束后，負(fù)的一方下場(chǎng).第1局由甲，乙對(duì)賽，接下來丙上場(chǎng)進(jìn)行第2局比賽，來替換負(fù)的那個(gè)人，每次比賽負(fù)的人排到等待上場(chǎng)的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求前3局比賽甲都取勝的概率；(2)用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.16．已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.17．如圖，在多面體DABCE中，是等邊三角形，，.(1)求證：；(2)若二面角為30°，求直線DE與平面ACD所成角的正弦值.18．已知橢圓E：過點(diǎn)，且焦距為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.①證明：直線MN必過定點(diǎn)；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.19．已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有k個(gè).(1)寫出所有4的1增數(shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；(3)若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.1．B【分析】根據(jù)全集和集合在全集中的補(bǔ)集易得集合，逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由，，可得或則，，，，故B項(xiàng)正確，A,C,D項(xiàng)均是錯(cuò)誤的.故選：B.2．D【分析】根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋赃@組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為從小到大排列的第、兩數(shù)的平均數(shù)，即為.故選：D3．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，繼而求得的值，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.4．B【分析】依題意可得，利用二項(xiàng)式定理說明被除得的余數(shù)為，即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即被除得的余?shù)為，結(jié)合選項(xiàng)可知只有被除得的余數(shù)為.故選：B5．D【分析】對(duì)于A，考查函數(shù)與的周期即可；對(duì)于B，考查函數(shù)與的最大值，驗(yàn)證同時(shí)取最大值時(shí)的條件即可判斷；對(duì)于C，利用中心對(duì)稱的條件進(jìn)行驗(yàn)證即可；對(duì)于D，令，解方程即可.【詳解】對(duì)于A,因?yàn)榈闹芷跒?，的周期為，所以的周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1,的最大值為，故兩個(gè)函數(shù)同時(shí)取最大值時(shí)，的最大值為，此時(shí)需滿足且，不能同時(shí)成立，故最大值不能同時(shí)取到，故的最大值不為，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)闀r(shí)，，又，所以或者；或者，此時(shí)，又，所以，綜上可知，在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確，故選：D.6．C【分析】根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式和條件概率公式可得.【詳解】分別記甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)為事件，記甲、乙、丙三人中恰有兩人沒有達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)為事件，記乙達(dá)到優(yōu)秀等級(jí)為事件.由題知，，所以，.所以.故選：C7．C【分析】設(shè)出點(diǎn)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到點(diǎn)的軌跡，結(jié)合直線與圓的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，則，，則，即，化為，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，又，所以三點(diǎn)共線，顯然當(dāng)直線與此圓相切時(shí)，的值最大.又,則,則.故選：C.8．A【分析】由題意設(shè)，則，而，，由三角形面積公式可得，從而，在中，運(yùn)用余弦定理可得，由此即可得解.【詳解】設(shè)，則，而，所以，所以點(diǎn)到的距離為，又，所以，解得，即，從而，又因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，雙曲線C的漸近線方程為.故選：A.9．AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義逐一分析即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，A正確；，B錯(cuò)誤；由上可得，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為，C錯(cuò)誤；，，D正確.故選：AD10．ABD【分析】由是平面內(nèi)不過D的直線，可判斷A；通過判斷可判斷B；由長方形的鄰邊，可判斷C；根據(jù)圓的周長求半徑，然后可得，即可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：由圖可知，平面，是平面內(nèi)不過D的直線，所以，直線與異面，A正確；

B選項(xiàng)：由題知，是底面圓的直徑，且，所以四邊形為正方形，所以，又平面，平面，所以平面，B正確；

C選項(xiàng)：由題知，劣弧的長為1，，所以，所以長方形的對(duì)角線不垂直，所以直線與平面不垂直，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：同上可得為正方向，所以，由圓柱性質(zhì)可知，，又，平面，所以平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，記圓的半徑為，則，得，所以，D正確.故選：ABD

11．ACD【分析】令，可判斷A；令，可判斷B；由函數(shù)圖象的變換可得的圖象關(guān)于對(duì)稱，結(jié)合奇偶性可得周期性，即可判斷C；根據(jù)周期性和賦值法求得，然后可判斷D.【詳解】令，得，即，A正確；令，得，又，所以對(duì)任意恒成立，因?yàn)椋圆缓銥?，所以，即，B錯(cuò)誤；將的圖象向左平移1個(gè)單位后，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，可得的圖象，因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以，所以4為的周期.由可得，C正確；因?yàn)?，，，所以，D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難點(diǎn)在于合理賦值，利用對(duì)稱性求得周期，然后即可求解.12．##【分析】根據(jù)拋物線方程及準(zhǔn)線方程列出方程，解出即可.【詳解】依題可知，則，故答案為：.13．##【分析】利用余弦定理角化邊，即可構(gòu)造方程求得；利用余弦定理可求得，在中，利用正弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：，即，，解得：（舍）或；在中，由余弦定理得：，，在中，由正弦定理得：.故答案為：；.14．【分析】通過換元將不等式化成,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，設(shè)，對(duì)的取值分類討論，得到時(shí)，依題得，即再令，分析得到，從而即得.【詳解】令，則，不等式可化為：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，，不合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，.因?qū)θ我獾膶?shí)數(shù)x恒成立，故恒成立，即，則.令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故，即,故的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查由不等式恒成立求解參數(shù)范圍問題，屬于難題.解題的關(guān)鍵在于通過設(shè)進(jìn)行換元，將不等式化成，設(shè)函數(shù)，分析得到，然后分離出，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值即得.15．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算即得；（2）列出隨機(jī)變量X的所有可能的值，分別求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，求出期望值.【詳解】（1）因各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，前3局比賽甲都獲勝，則前3局甲都取勝的概率為.（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場(chǎng)，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，則；所以X的分布列為X0123P故X的數(shù)學(xué)期望為.16．(1)1(2)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為【分析】（1）由是函數(shù)的極值點(diǎn)，，求解驗(yàn)證即可；（2）利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得或，因?yàn)椋?此時(shí)，令得，令得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn).所以.（2）.因?yàn)椋?，令得；令得；∴函?shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取BC中點(diǎn)O，連接AO，EO，利用線面垂直的判斷定理證明平面，繼而可解；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量表示進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）取BC中點(diǎn)O，連接AO，EO.∵是等邊三角形，O為BC中點(diǎn)，∴，又，∴，∵，平面,∴平面，又平面AEO，∴.（2）連接DO，則，由，得，，又，∴，∴，又，平面,∴平面.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，設(shè)平面ACD的法向量為，則即取，則.∵是二面角的平面角，∴，又，∴，，則，∴直線DE與平面ACD所成角的正弦值為.18．(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)題意有，，即可求解；（2）①設(shè)直線：的方程，聯(lián)立與橢圓方程消元后，利用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而可得點(diǎn)坐標(biāo)，考慮直線斜率情況，得到其方程，即可求解；②根據(jù)，表示出的面積后，換元法轉(zhuǎn)化函數(shù)，利用單調(diào)性即可求得最大值.【詳解】（1）依題意有，，解得，所以橢圓的方程為.（2）①設(shè)：，，，則：，聯(lián)立，故，，，故，由代替m，得，當(dāng)，即時(shí)，：，過點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，，：，令，，直線MN恒過點(diǎn).當(dāng)，經(jīng)驗(yàn)證直線MN過點(diǎn).綜上，直線MN恒過點(diǎn).②，令，，∵在上單調(diào)遞減，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).故面積的最大值為.

19．(1)1，2，1和1，3(2)7(3)1250【分析】（1）由于或，從而得到所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3；（2）分析得到且，當(dāng)時(shí)，不合要求，當(dāng)時(shí)，滿足要求，得到答案；（3）分析得到數(shù)列的各項(xiàng)只能為1或2，所以數(shù)列為1，1，…，1，2，2，…，2的形式，設(shè)其中有x項(xiàng)為1，有y項(xiàng)為2，得到，，配方后求出最值.【詳解】（1）由題意得，且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有1個(gè)，由于或，故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3.（2）當(dāng)時(shí)，存在m的6增數(shù)列，即，且對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)有6個(gè)，所以數(shù)列的各項(xiàng)中必有不同的項(xiàng)，所以且.若，滿足要求的數(shù)列中有四項(xiàng)為1，一項(xiàng)為2，所以，不符合題意，所以.若，滿足要求的數(shù)列中有三項(xiàng)為1，兩項(xiàng)為2，此時(shí)數(shù)列為，滿足要求的正整數(shù)對(duì)分別為，符合m的6增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，若存在m的6增數(shù)列，m的最小值為7.（3）若數(shù)列中的每一項(xiàng)都相等，則，若，所以數(shù)列中存在大于1的項(xiàng)，若首項(xiàng)，將拆分成個(gè)1后k變大，所以此時(shí)k不是最大值，所以.當(dāng)時(shí)，若，交換，的順序后k變?yōu)?，所以此時(shí)k不是最大值，所以.若，所以，所以將改為，并在數(shù)列首位前添加一項(xiàng)1，所以k的值變大，所以此時(shí)k不是最大