2024年3月全國乙卷高三數(shù)學（文）模擬聯(lián)考試題附答案解析

2024年3月全國乙卷高三數(shù)學（文）模擬聯(lián)考試題（考試時間120分鐘滿分150分）2024.03注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．的值為（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．已知集合，則（

）A． B． C． D．4．已知點為平面內不同的4點，若，且，則（

）A． B． C． D．5．近幾年隨著技術的發(fā)展，虛擬人的智能化水平得到極大的提升，虛擬主播逐步走向商用，下圖為2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊增加數(shù)（較上一年增加的數(shù)量）條形圖，根據該圖，下列說法錯誤的是（

）

A．2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊數(shù)量逐年增加B．2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為410C．2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為915D．從2018~2022年企業(yè)注辦增加數(shù)字中任取2個數(shù)字，這兩個數(shù)字的平均數(shù)不大于300的概率為6．如圖，網格紙中小正方形的邊長為，粗線畫出的是某體育比賽領獎臺三視圖，則該領獎臺除去下底面的所有面的面積之和為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象是等軸雙曲線，將的圖象順時針旋轉可得到曲線，則的焦距為（

）A． B．4 C． D．88．函數(shù)在上沒有最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．知名數(shù)學教育家單墫曾為中學生寫了一個小冊子《十個有趣的數(shù)學問題》，其中提到了開普勒的將球裝箱的方法：考慮一個棱長為2的正方體，分別以該正方體的8個頂點及6個面的中心為球心作半徑為的球，這此球在正方體內的體積之和與正方體的體積之比為（

）A． B． C． D．10．過點可作3條直線與函數(shù)的圖象相切，則（

）A． B．C． D．11．已知點為坐標原點，直線與橢圓交于點，點在上，，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．12．已知，則（

）A． B．C． D．二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值是.14．函數(shù)是偶函數(shù)，則.15．平面幾何中有一個著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個頂點到其垂心（三角形三條高的交點）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點對邊距離的2倍．若點A，B，C都在圓E上，直線BC方程為，且，△ABC的垂心在△ABC內，點E在線段AG上，則圓E的標準方程.16．四邊形ABCD中，，，，設△ABD與△BCD的面積分別為，，則的最大值為.三?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知等差數(shù)列滿足，．(1)求；(2)若，數(shù)列的前n項和為，求最小時對應的n的值．18．某高中數(shù)學興趣小組，在學習了統(tǒng)計案例后，準備利用所學知識研究成年男性的臂長與身高之間的關系，為此他們隨機統(tǒng)計了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數(shù)據：1591651701761806771737678(1)根據上表數(shù)據，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數(shù)加以說明；(2)建立關于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；參考數(shù)據：參考公式：相關系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.19．如圖，在三棱錐中，，其余各棱的長均為6，點在棱上，，過點的平面與直線垂直，且與分別交于點.(1)確定的位置，并證明你的結論；(2)求點到平面的距離.20．已知函數(shù).(1)討論的單調性；(2)若在上有極值點，求證：.21．已知傾斜角為（）的直線l與拋物線C：（）只有1個公共點A，C的焦點為F，直線AF的傾斜角為．(1)求證：；(2)若，直線l與直線交于點P，直線AF與C的另一個交點為B，求證：．（二）選考題：共10分.請考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22．在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.(1)求直線的極坐標方程；(2)若直線與交于點，求的周長.[選修4-5：不等式選講]23．已知.(1)若，求的最小值；(2)若，證明：.1．D【分析】由誘導公式和特殊角的三角函數(shù)值，化簡求值.【詳解】，故選：D.2．B【分析】根據復數(shù)運算和共軛復數(shù)的概念可得.【詳解】因為，所以.故選：B．3．C【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以.故選：C.4．D【分析】根據題意，由平面向量的坐標運算代入計算，即可得到結果.【詳解】由得，即，又，所以，故選：D.5．B【分析】根據條形統(tǒng)計圖判斷A、B、C，利用古典概型的概率公式判斷D.【詳解】由每年注冊增加數(shù)均為正數(shù)，可知2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊數(shù)量逐年增加，故A正確；2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)從小到大排列為：，，，，，，，，，所以2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為，故B錯誤；2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為，故C正確；從，，，，中任取兩個數(shù)字，結果有種，所取兩個數(shù)字平均數(shù)不大于的取法有，共種，所以所求概率，故D正確.故選：B.6．B【分析】根據三視圖可得組合體，根據面積公式可求所有面的面積之和.【詳解】解法一：該領獎臺可看作由3個長方體構成的組合體，每個長方體的底面都是邊長為的正方形，冠軍臺高，亞軍臺高，季軍臺高，該領獎臺除去下底面的所有面的面積之和為3個長方體的表面積之和減去3個邊長為的正方形面積，減去2個底邊長為高為的矩形面積，減去2個底邊長為高為的矩形面積，即，解法二：該領獎臺可看作由3個長方體構成的組合體，每個長方體的底面都是邊長為的正方形，冠軍臺高，亞軍臺高，季軍臺高，前后兩個面的面積之和為，上面3個面的面積之和為，余下側面的面積之和為，所以該組合體除去下底面的所有面的面積之和為，故選：B.7．D【分析】由函數(shù)的圖象是等軸雙曲線，求出頂點，順時針旋轉可得到等軸雙曲線，直接求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象與對稱軸的一個交點就是曲線的頂點，該點旋轉后變?yōu)?，曲線也是等軸雙曲線，所以的焦距為8，故選：D8．C【分析】根據給定條件，利用正弦函數(shù)的性質列式求解即得.【詳解】函數(shù)中，當時，，由在上沒有最小值，得，解得，所以的取值范圍是.故選：C9．D【分析】首先確定條件中的球落在正方體的部分，再求體積，即可求解.【詳解】以8個頂點為球心的球各有在正方體內，以6個面的中心為球心的球各有在正方體內，所以這些球在正方體的體積之和為4個半徑為的球的體積之和，所以這些球在正方體內的體積之和與正方體的體積之比為.故選：D10．A【分析】設切點坐標，利用導數(shù)求出切線，由切線過點，整理得有3組解，轉化為三次函數(shù)有三個零點問題，利用導數(shù)解決.【詳解】設過點的直線與函數(shù)的圖象切于點，，則函數(shù)在點處的切線斜率，切線方程為，由切線過點，所以有，整理得，設，則問題轉化為有3個零點，因為，由得或，若，恒成立，在上單調遞增，不合題意.當時，解得或，解得，此時在和上單調遞增，在上單調遞減，為函數(shù)極大值，為函數(shù)極小值；當時，解得或，解得，此時在和上單調遞增，在上單調遞減，為函數(shù)極大值，為函數(shù)極小值；有3個零點，則與異號，即，所以，得，所以.故選：A11．C【分析】設，聯(lián)立直線與橢圓的方程求出，，由橢圓的弦長公式表示出，，代入，即可得出答案.【詳解】設，由得，由，設，可得：，所以，所以，所以，所以的離心率為，故選：C.12．A【分析】構造函數(shù)，由導數(shù)分析函數(shù)在上單調遞減，所以得到，得到，作差比較的大小，利用基本不等式比較大小即可.【詳解】設，則在上單調遞減，所以，所以，，，，所以，故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是構造函數(shù)，由導數(shù)分析函數(shù)在上單調遞減，所以得到，利用基本不等式比較大小即可.13．【分析】畫出約束條件對應的平面區(qū)域，結合圖象找出目標函數(shù)的最優(yōu)解，求出目標函數(shù)的最小值.【詳解】由解得：，即，同理求出，如圖所示，不等式組表示的可行域是以為頂點的三角形區(qū)域，設，則，作直線，把該直線平移到點處取得最小值，.故答案為：.14．【分析】根據題意，利用列出方程，結合對數(shù)的運算，即可求解.【詳解】因為是偶函數(shù)，可得，所以.故答案為：.15．【分析】首先根據塞爾瓦定理以及圓的幾何性質，求解和，并求直線的方程，求解點的坐標，即可求解圓的方程.【詳解】由△ABC的垂心到直線BC距離，設圓E半徑為r，由塞爾瓦定理可得，由圓的幾何性質可得，聯(lián)立解得，，因為直線BC方程為，,且，所以直線EG方程為，設，則E到直線BC距離，解得（舍去）或，所以圓E的標準方程為．故答案為：16．##【分析】根據正弦定理得，再結合余弦定理及基本不等式得，得，設，由，可求得，從而可求解.【詳解】因為，由正弦定理得，所以，即，因為，所以，，，所以，，由余弦定理得，所以，當時取等號，所以，設，則，在中由余弦定理得，所以，當時，取得最大值，所以的最大值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.17．(1)；(2)4或6.【分析】（1）通過基本量計算求解可得；（2）分，，討論數(shù)列的符號即可求解.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d，由，得，解得，，所以．（2）由（1）得，，當時，又，，所以，因為時，所以數(shù)列的前4項或前6項之和最小，即最小時n的值為4或6．18．(1)說明見解析(2)【分析】（1）根據題意，由線性相關系數(shù)的公式代入計算，即可判斷；（2）根據題意，由線性回歸方程中的公式代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）由表中的數(shù)據和附注中的參考數(shù)據得，，因為與的相關系數(shù)近似為0.997，說明與的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.（2）由及（1）得，，所以關于的回歸方程為.19．(1)F，G滿足，證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接，證明平面，從而得到平面平面，然后根據平行線分線段成比例定理確定，的位置并證明.（2）分別以為底，DG為高，以為底，點到平面的距離為高，利用等體積法求解.【詳解】（1）為線段的三等分點且靠近，為線段的六等分點且靠近，證明如下：取中點，連接，由已知可得，所以，因為且都在面內，所以平面，因為平面，所以平面平面，過作的平行線與的交點即為，過作的平行線與的交點即為，因為，所以，所以當時，平面與直線垂直（2）由題意可得，因為，則，結合三角形內角范圍有，由（1）可得，，所以的面積，又點到平面的距離為，所以三棱錐的體積，在中，，所以，同理，又，所以的面積，設點到平面的距離為，則三棱錐的體積，由得，所以.20．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)，分類討論求的單調性（2）由（1）中的結論，得極值點的值，代入函數(shù)解析式，構造新函數(shù)，利用導數(shù)求出最大值即可.【詳解】（1），函數(shù)定義域為，則有，設，函數(shù)定義域為，由函數(shù)和在上都單調遞增，則在上單調遞增，又，則時，；時，，（i）若，時，單調遞減，和時，單調遞增；（ii）若，，在上單調遞增；（iii）若，時，單調遞減，和時，單調遞增.綜上可得，時在上單調遞減，在和上單調遞增；時在上單調遞增；時在上單調遞減，在和上單調遞增.（2）由（1）知在上有極值點，則，且，所以，設，則，設，則，由，有，，所以，則在上單調遞減，得，所以在上單調遞減，有，即.【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理，利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結合思想的應用，不等式問題，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.21．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設出，得直線的方程為再與拋物線方程聯(lián)立并結合只有一個切點可得，從而可求解.（2）設，則直線的方程設為，與拋物線聯(lián)立后，分別求出其兩根關系，從而可求解.【詳解】（1）設，則l的方程為，與聯(lián)立得，因為直線l與拋物線C只有1個公共點，所以，整理得，所以，又，所以，因為，，所以，，所以．（2）時，C的方程為，把，代入得l的方程為，把代入得，所以，由（1）知，，設，設直線AB方程為，與聯(lián)立得，t，是該方程的