高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版選擇性必修一）第17講 直線的兩點式方程（學(xué)生版）

第04講直線的兩點式方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解與掌握兩點確定一條直線的公理。②掌握兩點式方程的公式及其條件，并能應(yīng)用公式求直線的方。③理解與掌握直線的截距式方程的公式及其條件，并能應(yīng)用公式求直線的方程。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解與掌握直線確定的幾何意義，利用好確定直線的兩個幾何要素，會求直線方程，并能解決與之有關(guān)的問題.知識點01：直線的兩點式方程已知條件（使用前提）直線上的兩點，（，）（已知兩點）圖示點斜式方程形式適用條件斜率存在且不為0；當(dāng)直線沒有斜率()或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程1.當(dāng)過兩點,的直線斜率不存在()或斜率為0()時,不能用兩點式方程表示.2.在記憶和使用兩點式方程時,必須注意坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系,即,是同一個點的坐標(biāo),是另一個點的坐標(biāo).【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時練習(xí)）直線l過點，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，則線l的方程為，整理得，所以直線l的方程為.故選：D.知識點02：直線的截距式方程已知條件（使用前提）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為圖示點斜式方程形式適用條件，直線的截距式方程是直線的兩點式方程的特殊情況,由直線的截距式方程可以直接讀出直線在軸和軸上的截距,所以截距式在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積和周長問題時非常方便.【即學(xué)即練2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過兩點的直線方程是()A．

B．

C．

D．【答案】C【詳解】根據(jù)直線的截距式可知直線方程為：故選：C知識點03：中點坐標(biāo)公式若點的坐標(biāo)分別為，且線段的中點的坐標(biāo)為，則．此公式為線段的中點坐標(biāo)公式．【即學(xué)即練3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）的三個頂點是，，，求：邊BC上的中線所在直線的方程；【答案】（1）【詳解】（1）BC的中點坐標(biāo)為則邊BC上的中線所在直線的方程為；題型01直線的兩點式和截距式方程辨析【典例1】（多選）（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．點斜式可以表示任何直線B．過、兩點的直線方程為C．直線與直線相互垂直．D．直線在軸上的截距為【典例2】（多選）（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是B．若三條直線不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)的取值集合為C．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或D．過兩點的直線方程為【變式1】（多選）（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．不能表示過點且斜率為的直線方程B．在軸，軸上的截距分別為，的直線方程為C．直線與軸的交點到原點的距離為D．過兩點，的直線方程為【變式2】（多選）（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）下列說法錯誤的是（

）A．過定點的直線都可用方程表示B．過定點的直線都可用方程表示C．過任意兩個點，的直線都可用方程表示D．不過原點的直線都可用方程表示題型02直線的兩點式方程（已知兩點求直線，建議轉(zhuǎn)化為點斜式求解）【典例1】（2023秋·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）過兩點，的直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過兩點和的直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知，，，在中，(1)求邊所在的直線方程；(2)求邊上的中線所在直線的方程．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線過點，，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·高三課時練習(xí)）經(jīng)過點和點的直線方程是______.【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點)，，則過點且過線段的中點的直線方程為______題型03直線的截距式方程【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B． C． D．或【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(2，1)且在軸上截距與在軸上截距之和為6的直線方程為______________.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）求過點，且在軸上的截距是軸上的截距的2倍的直線的方程．【變式1】（2023秋·遼寧沈陽·高二東北育才雙語學(xué)校?？计谀┻^點在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（

）A． B．C．或 D．或【變式3】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）求過點，并且在兩軸上的截距相等的直線方程_______．【變式3】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）根據(jù)下列條件寫出直線方程，并化為一般式：在軸上的截距分別為，.題型04直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積（定值）問題【典例1】（2023秋·廣東廣州·高一廣州市第十七中學(xué)?？计谥校┻^點作直線，與兩坐標(biāo)軸相交所得三角形面積為1，則直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個等腰直角三角形，且此三角形的面積為18，則直線的方程為________.【典例3】（2023·高三課時練習(xí)）已知點關(guān)于軸的對稱點為，關(guān)于原點的對稱點為.(1)求中過，邊上中點的直線方程；(2)求的面積.【典例4】（2023秋·安徽合肥·高二?？计谀┤鐖D所示，已知是以為底邊的等腰三角形，點，，點在直線：上．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）設(shè)直線與軸交于點，求的面積．【變式1】（2023·高二課時練習(xí)）若直線過點且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為，則這樣的直線有______條.【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的斜率為－1，且它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．【變式3】（2023春·高二單元測試）直線過點，且與兩軸圍成的三角形面積為4，求直線的方程.【變式4】（2023春·上海浦東新·高二上海市實驗學(xué)校校考期中）設(shè)直線的方程為.（1）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）若與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，求的值.題型05直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積（最值）問題【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，經(jīng)過點的直線分別與軸、軸的正半軸交于，兩點，則面積最小值為______．【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)過點引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線過點，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點，為原點，當(dāng)面積最小時，求直線的方程．【典例4】（2023·高二課時練習(xí)）已知一條動直線，(1)求證：直線l恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)；(2)若直線與、軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標(biāo)原點，是否存在直線同時滿足下列條件：①的周長為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.【變式1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線：（1）若直線的斜率是2，求的值；（2）當(dāng)直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積最大時，求此直線的方程．【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線方程為．(1)若直線的傾斜角為，求的值；(2)若直線分別與軸、軸的負半軸交于、兩點，為坐標(biāo)原點，求面積的最小值及此時直線的方程．【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）已知直線過點．(1)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；(2)若與軸正半軸的交點為，與軸正半軸的交點為，求（為坐標(biāo)原點）面積的最小值．題型06重點方法（分類討論）【典例1】（多選）（2023秋·安徽阜陽·高二統(tǒng)考期末）已知直線：在軸和軸上的截距相等，則的值可能是（

）A．1 B．C．2 D．【典例2】（2022秋·廣東深圳·高二?？计谥校┮阎捻旤c，，．(1)求邊上的中線所在直線的方程；(2)求經(jīng)過點，且在軸上的截距和軸上的截距相等的直線的方程．【變式1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線經(jīng)過點，求這條直線的方程．A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·安徽阜陽·高二安徽省潁上第一中學(xué)?？计谀┻^點和點的直線在上的截距為（

）A．1 B．2 C． D．2．（2023·高二課時練習(xí)）已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實數(shù)（

）A．1 B． C．或1 D．2或13．（2022·高二課時練習(xí)）在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是（）A． B．C． D．4．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線l經(jīng)過、兩點，點在直線l上，則m的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20245．（2022·全國·高二專題練習(xí)）經(jīng)過兩點、的直線方程都可以表示為（

）A． B．C． D．6．（2022秋·高二?？颊n時練習(xí)）已知的三個頂點分別為，M為AB的中點，則中線CM所在直線的方程為()A． B．C． D．7．（2022·全國·高二專題練習(xí)）經(jīng)過點A（3，4）且在兩坐標(biāo)軸上的截距絕對值相等的直線方程為（

）A．或 B．或或C．或 D．或或二、多選題8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中學(xué)校考期末）過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是（

）A． B． C． D．9．（2023春·海南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若直線經(jīng)過點，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則的方程可能是（

）A． B．C． D．三、填空題10．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知直線經(jīng)過點，且它在x軸上的截距為1，則直線的方程為__________．11．（2023秋·湖北孝感·高二統(tǒng)考期末）已知直線l的斜率為，且和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，則直線l的方程為___________.四、解答題12．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知△ABC的三個頂點分別為A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），試求：（1）邊AC所在直線的方程；（2）BC邊上的中線AD所在直線的方程；（3）BC邊上的高AE所在直線的方程.13．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知直線l的傾斜角為銳角，并且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，