2023-2024學(xué)年河南省周口市項(xiàng)城市五校高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省周口市項(xiàng)城市五校高三(上)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(9

月份)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知a€R,復(fù)數(shù)z=a+2i,z?—2z是實(shí)數(shù)，則|z|=()

A.5B.10C.y/~5D.V10

2.已知全集/=R,M={x\x<1},N={x|log2x<1},則(C/M)nN=()

A.[l,+8)B.[1,2)C.(l,+8)D.(1,2)

3.函數(shù)f(x)=W?的大致圖象是()

AA.7TTB->.—37rnC.—27TD.7汽

433

2

5.已知函數(shù)/(*)=齊小，則()

A./(X)是偶函數(shù)B./(x)是奇函數(shù)

C./(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=3對(duì)稱(chēng)D.〃%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,1)成中心對(duì)稱(chēng)

6.畢業(yè)典禮上，某班有a,b,c,d,e,/六人站一排照相，要求a,b兩人均不在排頭，且e,f兩人不相鄰，

則不同的排法種數(shù)為()

A.160B.288C.336D.480

7.已知拋物線(xiàn)y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(-2,2),過(guò)F的直線(xiàn)I垂直于MF,月1交拋物線(xiàn)于A(yíng),B兩點(diǎn)，則祈了.

MB=()

A.3B.2C.1D.0

8.在正四棱錐P-ABCD中，AB=2,E,F,G分別為4B,PC,4D的中點(diǎn)，直線(xiàn)BF與EG所成角的余弦值

為學(xué)，則三棱錐P-EFG的體積為（）

A.巫B.CCCD.C

12436

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.已知a,b,c,deR9滿(mǎn)足a>b>c>d>0,則（）

A.sina>sinbB.a—sina>b—sinb

C.-D.adbe>ab-Vcd

dc

10.已知9W（0,2TT）,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，0終邊上有一點(diǎn)M（sin等一cos2，sin穿+cos當(dāng)廁（）

oooo

A.6B.\0M\=yj'l.C.tand<1D.cosO>!

11.已知在等邊△ABC中，AB=2,。為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CE交4B于點(diǎn)F,則（）

A?荏E府+［前B.AF=2FB

C.SF-ZC=|

D?S4DEC-2S^B￡F

12.若數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足的=1,a”+i=?+號(hào)+…+崇（n為正整數(shù)）,S"為數(shù)列｛冊(cè)｝的前?1項(xiàng)和，則（）

A.a2=1B?。2024=1012

「s_九5+1)D.白+4+…+}<3

J3n=---

313Tl

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

2?

13.已知雙曲線(xiàn)盍一點(diǎn)耳=i（m>0）的離心率為2,則實(shí)數(shù)m=

14.已知/（x）=logaX+loga+2%（0<a<1）是（0,+8）上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

15.已知一個(gè)圓臺(tái)內(nèi)切球的半徑為圓臺(tái)的表面積為14兀，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為

16.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：1,2,2,3,334,4,4,4,…"廿飛71個(gè)n…，共200項(xiàng),S（x）=￡啰0-々尸（々是這一組數(shù)據(jù)的

第i項(xiàng)），有以下結(jié)論:

①這組數(shù)據(jù)的極差為19；

②這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為14；

③這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為13.5；

(4)5(13)<5(14).

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知數(shù)列｛即｝滿(mǎn)足的=a?=0,且｛即+n｝為等比數(shù)列，ne/V*.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)求滿(mǎn)足的+a2+…+<2024的最大整數(shù)n.

18.(本小題12.0分)

在直四棱柱力BC。一A/iCiDi中，四邊形4BC0是菱形，AB=2,4DAB=60°,BDr_L平面A&C.

⑴求A4i；

(2)求二面角B-B1C-4的正弦值.

19.(本小題12.0分)

在△A8C中，/.BAC=60°,AABC的面積為10C，。為BC的中點(diǎn)，0EJ.4C于點(diǎn)E,。尸148于點(diǎn)F.

(1)求ADEF的面積；

(2)若40=求sin乙4BC+sin乙4cB的值.

20.(本小題12.0分)

某地乒乓球協(xié)會(huì)在年55歲?65歲的乒乓球運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者中，進(jìn)行一次“快樂(lè)兵兵”比賽，3人一組先進(jìn)行預(yù)賽,

選出1名參賽人員進(jìn)入正式比賽.已知甲、乙、丙在同一組，抽簽確定第一輪比賽次序?yàn)椋杭讓?duì)乙、甲對(duì)丙、

乙對(duì)丙，先累計(jì)獲勝2場(chǎng)的選手，進(jìn)入正式比賽.若前三場(chǎng)比賽甲、乙、丙各勝負(fù)一場(chǎng)，則根據(jù)抽簽確定由甲、

乙加賽一場(chǎng)、勝者參加正式比賽.已知甲勝乙、甲勝丙、乙勝丙的概率分別為|,|3,各場(chǎng)比賽互不影響且無(wú)

平局.

(1)求甲進(jìn)入正式比賽的概率；

(2)若比賽進(jìn)行了四場(chǎng)結(jié)束，記甲獲勝的場(chǎng)數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

21.(本小題12.0分)

已知4B是橢圓C上的兩點(diǎn)，4(2,1),4、8關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)，M是橢圓C上異于4,B的一點(diǎn)，直線(xiàn)M4和MB的

斜率滿(mǎn)足如以-%B=

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若斜率存在且不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)I交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)(P,Q異于橢圓C的上、下頂點(diǎn))，當(dāng)AOPf?的面積最

大時(shí),求/cop，。。的值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=e，ln(a+x)—x,/z(0)=0.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)證明：仇4時(shí)，f(x)>x2.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：z?-2z=(a+2i)2—2(a+2i)—a?—4+4ai-2(a+20=a?-2a-4+(4a-4)iGR，

故4a—4=0,解得a=1,

故|z|=

故選：C.

根據(jù)z2-2z可求a的值，從而可求z及其模.

本題主要考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：QM={x\x>1},N=(x\0<x<2],故(C/M)nN=口,2).

故選：B.

由GM={x|xNl},結(jié)合對(duì)數(shù)不等式的運(yùn)算可得N={x|0<x<2},進(jìn)而求解.

本題主要考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：由e^-e-x于0得，xWO,所以函數(shù)定義域是{x|x#0},定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且/(-x)=

_3x_z-zx

e-x-exex-e~x八"'

所以函數(shù)是偶函數(shù)，從而排除D;

當(dāng)x>0時(shí)，ex>e~x,所以f(x)>0,又由函數(shù)是偶函數(shù)可知，/(x)>0在(-8,0)u(0,+8)上恒成立，從

而排除C；

當(dāng)XT+8時(shí)，e，T+8,eT-O,且指數(shù)增長(zhǎng)比幕增長(zhǎng)快得多，所以/Xx)一。，從而排除艮

故選：A.

根據(jù)奇偶性、區(qū)間函數(shù)值符號(hào)及對(duì)應(yīng)嘉、指數(shù)復(fù)合函數(shù)的增長(zhǎng)趨勢(shì)，應(yīng)用排除法確定答案即可.

本題考查函數(shù)的奇偶性及圖象性質(zhì)，考查了極限思想，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由題意得：兀一3=9=算=3='，

322a)2

故/(%)=sinQx+cp),

則當(dāng)X=g時(shí)，^x1+<p=/C7T+^=>(p=/C7T(fcGZ),

JJNZ

又]<</><y-,故W=TT.

故選：A.

由三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和周期性計(jì)算即可.

本題考查三角函數(shù)圖像和性質(zhì)，屬中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，

對(duì)于A(yíng)B,函數(shù)/(為=%2_^+18>則/■(-%)=?+：；+]8,有/'(-X)H/(X)且f(-x)*易知選項(xiàng)A,B不

正確；

對(duì)于C易得42)=|,f(4)=I，故f(2)豐f(4),C不正確;

對(duì)于D,f(x)=1%，^/(6-x)+/(%)=+—J=2/二竿生二2,

(x-3)"+9八"八'(3-x)，9(x-3)Z+9(x-3)2+9

故/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,1)中心對(duì)稱(chēng)，。正確.

故選：D.

對(duì)4B,根據(jù)/(一乃=?)判斷即可;對(duì)配舉反例判斷即可；對(duì)口,計(jì)算可得/(6-x)+/(x)=2即可

x4+6x+lo

判斷.

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的分析，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：e,/不相鄰的排法種數(shù)為題&=480,而其中a或b在排頭的排法種數(shù)為6砥4”144,故不

同的排法種數(shù)為480-144=336.

故選：C.

先排e,f兩人不相鄰，再減去a或b在排頭的排法即可.

本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：(方法1)易知焦點(diǎn)?(2,0),故*=-p則心8=2,故直線(xiàn)4B的方程為y=2(%-2)=2x-4,

代入嚴(yán)=8x得，y2—4y-16=0,

設(shè)4Q1，%)，8(%2，丫2)，則％+，2=4,y，2=-16,

AM-MB=(%1+2,yx-2)?(x2+2,y2-2)+2)+Si—2)(y2-2)

(yy)1

=-~+4(*+犬)+4+yi72-2(yi+乃)+4

=g或）+*（%+乃）2+3月為-2（71+、2）+8

2

=^^-+：x42+：X（-16）-2X4+8=0-

6442v7

（方法2）設(shè)點(diǎn)力，B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為點(diǎn)C,D,如圖，

易知|AF|=|AC|,|AM|=|4M|,/.ACM=/.AFM=90°,

則Rt△AFM^RtAACM,則=/.FMA,

△BFM=Rt△BDM,貝ij40MB=NfMB,

又4CMA+/.FMA+Z.DMB+乙FMB=180°,

由此可得乙4MB=90°,故豆？.通=0.

故選：D.

方法1：聯(lián)立直線(xiàn)4B與y2=8x,設(shè)力Qi，yi),B(x2,y2y得出韋達(dá)定理，代入坐標(biāo)求解前了.而即可；方法

2：設(shè)點(diǎn)A,B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影分別為點(diǎn)C,D,根據(jù)幾何關(guān)系可證得RM4FM三Rt△力CM,Rt△BFM^Rt△

BDM可得乙4MB=90。即可.

本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：連接8D,DF,如圖，

設(shè)BF=DF=x,由BO//EG,得/FBC即為BF與EG所成的角，

在△FBO中，易知BD=2，1,COSNFBO=與季=字，解得x=，3.

4V2x3

設(shè)PB=PC=y,在A(yíng)PFB中，《）2+3—=y2①，

因?yàn)镹PFB+Z.BFC=180°,故COSNBFC=cos（180°-乙PFB）=-cos乙PFB,

則在A(yíng)BCF中，《）2+3-2<14COSNBFC=4,

即⑤2+3+2y/~34cos/PFB=4②,

2

①②兩式相加求得/+6=y2+4，因?yàn)閥>0,解得y=2.

因?yàn)閼?hù)為PC的中點(diǎn)，故為>-EFG=VC-EFG=VF-ECG，

MPA2+PC2=AC2,PA=PC,所以三角形PAC為等腰直角三角形,

則在等腰直角三角形R4C中，易求得P到AC的距離即P到底面的距離為嘉=，克，

故尸到平面CEG的距離為好，

111

S&ECG—SABCD~SAAEG~S&CDG~S&CEB=2'K2-1X12X1--X\X2

_A111_3

故所求三棱錐的體積為:x。x?

3224

故選：B.

連接BD,。凡根據(jù)8D〃EG得NF8D即為8F與EG所成的角，設(shè)PB=PC=y，再根據(jù)幾何關(guān)系可求得y=2,

再根據(jù)Vp-EFG=%-EFG=VF-ECG，結(jié)合錐體體積求解即可.

本題考查三棱錐的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于/：取a=",b=3則sinaVsinb,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于8：構(gòu)造函數(shù)/(%)=%-sinx(x>0),則/'(x)=1-cosx>0,

故f(%)在(0,+8)為增函數(shù),故f(a)>/(b),即a-sina>b-sinb,故B正確；

對(duì)于C：c>d>0,故工>0與a>6>0兩式相乘得；>2,故C正確；

acdc

對(duì)于。:ad+be-(ab+cd)=a(d—b)+c(b—d)=(d—b)(a—c)<0,故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

4選項(xiàng)可去特殊值判斷；B選項(xiàng)可構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-sinx(x>0),利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可；C選項(xiàng)可根

據(jù)不等式同向同正可乘的性偵進(jìn)行判斷；。選項(xiàng)可以用作差法進(jìn)行判斷.

本題主要考查了不等式的性質(zhì)在不等式大小比較中的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.【答案】AB

+cos咨tan努+1tan誓+tan看57r3兀

【解析】解：tan。---券=—凸—=-----------=-tan—=tan—,故。=?+卜呼ez),

-cos詈tan等-11—tan88o

11

又sin^o-ocosj>0,osinj+ocos^>0,故。是第一象限角,

又。e(0,2?r),故。=智故A正確;

o

對(duì)于8,|0M『=（sin器-cos引2+（sin：+cos第2=2,故|0M|=/2，故3正確;

對(duì)于C,因?yàn)閥=Snx在（0,今上單調(diào)遞增,且1嗎所以Cn昨ta榨Atan〈=1,故于錯(cuò)誤;

對(duì)于0,因?yàn)閥=cos%在（0,勺上單調(diào)遞減，號(hào)＞芻，所以cos。=cos號(hào)Vcosg=g故O錯(cuò)誤.

故選：AB.

對(duì)于從利用任意角的三角函數(shù)的定義結(jié)合已知條件分析判斷，對(duì)于B,利用距離公式求解判斷，對(duì)于CD,

利用三角函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】AB

【解析】解：如圖，

對(duì)于力，因?yàn)镋為8D的中點(diǎn)，所以荏=?四+〈而=；四+：前，故A正確；入

對(duì)于8，設(shè)荏=k裾由4可得：AE=^AF+^AC,//

又E,F,C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，故2+[=1,故k=|,

即和=,而，F(xiàn)B=^AB,所以而=2而，故B正確；B0

對(duì)于C,因?yàn)橘|(zhì):=g前=*（瓦？+雨），所以而.尼=3（而.近+能.而）=；*（-2+2）=0,故（7錯(cuò)

誤；

對(duì)于。，因?yàn)镾^DEC=S^BEC=2^hBDC=4^A4BC，

S&BEF=S&FBC_S^BEC=3^^ABC~4^^ABC?

所以S^OEC=3s△8EF，故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

在△48。中，根據(jù)力E是中線(xiàn)可得荏=；（南+同），再根據(jù)。是4C中點(diǎn)即可表示出荏，從而判斷4；

設(shè)近=k萬(wàn)，得到南=號(hào)刀+；前，根據(jù)E,F,C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上及三點(diǎn)共線(xiàn)定理的推論可得k的值,

從而可判斷B；

用瓦4,正表示出屁，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算方法即可計(jì)算前?正，從而判斷c；

根據(jù)E是BZ）中點(diǎn)及D是“。中點(diǎn)可得S^DEC=S^BEC=QS^BDC=^^BEF=^LFBC~^ABECF從而可判

斷。.

本題考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積，命題真假的判斷等，屬于中檔題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4=a』=?+善+…+早（n為正整數(shù)），

.,.當(dāng)n=l時(shí)，。2=?=1,故A正確；

對(duì)于B：＜％+1=?+善+…+粵①，

當(dāng)〃之2時(shí)，即=?+號(hào)+…+;7;②,

由①—②得%】一電.=*即黯=*

??.當(dāng)"22時(shí)，0｝為常數(shù)列，

.?.當(dāng)〃22時(shí)，出=苧=:，即即=今

n222

fl,n=1

?'?即=1'2，

???。2024=1012,故B正確；

對(duì)于C：S,=1+1+,+.??+）='+弓+|+???+、）=g+故C錯(cuò)誤；

11,4“11、

對(duì)于。：由選項(xiàng)C得。=還西工＜而*5=44_不）,

4丁2

故（+t+3+（＜1+4《后+?9+~+；—焉）=1+4弓一左）＜3,故。正確.

故選：ABD.

根據(jù)數(shù)列的遞推式，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案.

本題考查數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

13.【答案】C

【解析】解：已知雙曲線(xiàn)條-點(diǎn)苗=l（m＞0）的離心率為2,

則02=馬=吟出=4，

又m＞0,

則m=/~2.

故答案為：y/~~2-

根據(jù)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)和離心率的定義即可求解.

本題考查了雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了雙曲線(xiàn)離心率的求法，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】(/1-1,1)

【解析】解：由題意可得「。)=焉+$=5喘+忌^嚴(yán)。在(。，+8)上恒成立，

則工1-=In("2)皿v

人ln(a+2)/naln(a+2)-'

又因?yàn)?VQV1,則2VQ+2<3,

所以"Q<0,ln(a+2)>0,

不等式化為ln(a+2)+Ina=ln(a2+2a)>0,

所以iL解得。-1<a<1，

當(dāng)。=，9一1時(shí)，

/(x)=iog(c-i)x+，og(q+i產(chǎn)=(二+1)-"+產(chǎn)=-zog(<7+i產(chǎn)+產(chǎn)=°>不合題

意，

因此，實(shí)數(shù)Q的取值范圍為：(。一1,1).

故答案為：1,1).

由題意可得/。)<0對(duì)任意的x>0恒成立,可得出關(guān)于a的不等式組,解出a的取值范圍為，2-l<a<l,

檢驗(yàn)Q=I^-1時(shí)，/(%)=0,不合題意，從而得答案.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用、對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

15.【答案】竽兀

【解析】解：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,圓臺(tái)上、下底面圓半徑分別為q,上，則圓臺(tái)的高h(yuǎn)=2r=2C，

如圖為圓臺(tái)的軸截面圖形，可得母線(xiàn)長(zhǎng)，=r1+七，

2

故S圓臺(tái)=a⑦+r2)+*+以］=14兀=*+以+rrr2=7,

故%?臺(tái)=|/i-7r(rf+胃+rjr2)=岑

故答案為：絲工兀.

根據(jù)圓臺(tái)與球的性質(zhì)結(jié)合圓臺(tái)的表面積、體積公式計(jì)算即可.

本題主要考查圓臺(tái)的表面積與體積，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】3

【解析】解:對(duì)于②,這一組數(shù)據(jù)有1個(gè)1,2個(gè)2,3個(gè)3,…,故出現(xiàn)九以前共有數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為1+2+…+n-1,

而1+2+…+13=91,1+2+…+14=105,

故第100個(gè)數(shù)和第101個(gè)數(shù)均為14,中位數(shù)為14,故②正確；

對(duì)于①，1+2+…+19=190,1+2+3+…+20=210,

故最大的數(shù)有10個(gè)，數(shù)值為20,故極差為20-1=19,故①正確；

對(duì)于③，則平均數(shù)為擊x(1+2x2+3x3+-+19x19+10x20)

=+x《x19x20x39+200)=13.35,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，S(x)=Td=iCx_xi)2=St=i(^2-2%/%+Xi)=200x2-2(Xi=iX[)x+2黃;*,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知I,%=嚼『=13.35為二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，

故S(13)<S(14),故④正確，

即正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3.

故答案為：3.

根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的概念結(jié)合等差數(shù)列求和一一判定即可.

本題主要考查了極差、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的定義，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由%=a?=0得，%+1=1,a2+2=2,

故等比數(shù)列｛即+n｝的公比為2,

則an+n=(%+1)x2nt=2n-1,

故cin=2n-1-n；

1

(2)由(1)可得：a[+@+…+an=(2°+2+…+2"-1)—(1+2+…+n)

=lx(l-2")_n(l+n)=_1_想+n)

-1-22-2

當(dāng)n=11時(shí)，21i一1一衛(wèi)尹=1981<2024,

當(dāng)n=12時(shí)，212-1一丹二=4017>2024,

又易知當(dāng)71>2時(shí)，an>0,故71>12時(shí)，和式即++…+冊(cè)>---

故滿(mǎn)足+。2+…+Qn<2024的最大整數(shù)幾為11.

【解析】(1)由己知I,求出｛an+幾｝的首項(xiàng)及公比，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得；

(2)根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可判定.

本題考查數(shù)列遞推式，考查等差、等比數(shù)列求和公式，屬中檔題.

18.【答案】解：⑴連接BD交4C于點(diǎn)0,連接a0,

因?yàn)锽DI，平面ACB],Bx0u平面4CB],所以皿1當(dāng)。，

所以皿BBi+乙BBiO=90°,

因?yàn)?BOB】+NBBi。=90°

所以皿%=4BOB1,

又ABiBO=皿BiB=90°,

所以ABOBi?△BiBDi，所以就=翳.

因?yàn)樗倪呅?BCD是菱形，AB=2,/.DAB=60°,

所以8。=8山1=2,BO=1,

所以BBg=B/i?B0=2,所以他=BBi=C；

(2)以。為原點(diǎn)，就，麗，麗的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則B(0,l,0),C(_￡,0,0),Bi(0,l,q),

則就=(-/3,-1,0).西=(0,0,<7)，

設(shè)平面BCBi的法向量為記=(x,y,z),

則隹吃=一^?7=°，取％=1，則沅=(1,-「,。)，

因?yàn)锽Di1平面ABC所以布=(0,2,--1)為平面力為C的一個(gè)法向量,

所以cos河硒=瑞=器=子，

所以|sin〈記，正初I=?，

所以二面角8-B.C-A的正弦值為

【解析】⑴連接8。交4c于點(diǎn)0,連接當(dāng)。，則可得8D1J.B1。，貝IJ可得功避勺=NB0B],從而得ABOBI?

△BiBDi，再結(jié)合已知條件可求得結(jié)果，

(2)以。為原點(diǎn)，而，麗，麗'的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

利用空間向量求解.

本題考查空間中點(diǎn)，直線(xiàn)，平面的位置關(guān)系和二面角的求法，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)在四邊形4F0E中，ABAC=60°,^DFA=^DEA=90°,

故NFDE=120°,

故=\DE-DF-sinl20°=：DE?DF，

作BM14c于點(diǎn)M,CN1AB于點(diǎn)N,

則DE=^BM=^-ABsin60°=

224

DF=CN=^ACsin60°=華4。，

224

故又詆=?xx?4c=得SMBC=^X1°C=用且

(2)設(shè)△ABC的三條邊BC,AC,4B分別為a,b,c,

由SMBC^^bcsin^BAC=10C，知加=40，

延長(zhǎng)4。到點(diǎn)Q,使4。=OQ,連接CQ,

則4Q=<T29>=乙BCQ,

則在中，Z.ACQ=120°,CQ=AB=c,

故由力2++be=129與be=40可得，b2+c2—be=49=a2,

則a=7,b2+c2+2bc=169,

則b+c=13,

由正弦定理得b+ca_14

sinZJlBC+sin乙4c8s\nZ.BAC~

則sinz^BC+sin^ACB=

14

【解析】(1)由題意，可得"DE=120。，可得SA°EF=TDE?￡)/；1?sinl20。=1OE?0/：1，作BM14C于點(diǎn)

M,CNLAB于點(diǎn)N,可得DE=4BM=DF=^CN=^-AC，代入上式得解；

2424

(2)延長(zhǎng)4。到點(diǎn)Q,使40=DQ,連接CQ,在A(yíng)AQC中，利用余弦定理可得BC,在△4BC中由正弦定理可求

得結(jié)果.

本題考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，

屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意，可分為兩種情況，即分甲連勝兩場(chǎng)和前三場(chǎng)甲、乙、丙各勝負(fù)一場(chǎng)，第4場(chǎng)中

勝乙：

①甲連勝兩場(chǎng)的概率為|x|=會(huì)

②前三場(chǎng)甲、乙、丙各勝負(fù)一場(chǎng)，第4場(chǎng)甲勝乙的概率為qxgx：+Wx|x：)xg=總,

則甲進(jìn)入正式比賽的概率為4+總=總；

(2)由題意得若要比四場(chǎng)，則前3場(chǎng)甲、乙、丙必然各勝一場(chǎng)，

此時(shí)第四場(chǎng)甲對(duì)乙，故X的可能取值為1,2,

第四場(chǎng)甲輸，則P(X=1)=|,第四場(chǎng)甲贏(yíng),則P(X=2)=|,

故X的分布列為：

X12

23

P

55

則E(X)=lx|+2x|=|.

【解析】(1)分類(lèi)討論由乘法公式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列及期望公式計(jì)算即可.

本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題.

21.【答案】解：⑴設(shè)M(”),易知8(-2,-1),^k-k

MAMB2,

得W,*=T=2y2_2=4—產(chǎn),

化簡(jiǎn)得1，

63

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為[+[=1.

63

(2)如圖示:

設(shè)，的方程為y=kx+t(tw0),P(%i，yi),Q(%2，y2)，

將y=k%+￡代入橢圓方程整理得,

(1+2k2)x2+4ktx+2t2—6=0,

A=16k2t2-4(1+2k2)(2尸-6)=8(61一產(chǎn)+3)>0,

4kt2產(chǎn)一6

x+x=-(t2豐3),

x2百，的"2=手

22

則|PQ|=Vfc+1-V(%1+X2)-4%1%2="2+1?