2023屆河北省衡水市第十三中學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)質(zhì)檢三數(shù)學(xué)試題

2023屆河北省衡水市第十三中學(xué)高三上學(xué)期質(zhì)檢(三)數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知集合4=卜出42},8={小卜2卜則A「8=()

A.1x|-2<x<2|B.{x|04x<2}

C.{x|x42}D.(x|-2<x<2)

【答案】B

【分析】計(jì)算A={x|04x44},8={x|-2<x<2},再計(jì)算交集得到答案.

【詳解】A={x|Vx<2(={x|0<x<4|,B={x|x|<2)={x|-2<x<2},

所以ACB={H()4X<2}.

故選：B

2.已知z-(l+i)=4,貝I"的虛部為()

A.-2B.2C.-2iD.2i

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)閦-(l+i)=4,所以z=±=2-2i,所以z的虛部為一2.

故選:A.

3.已知a=ln3,/?=k)go2J5,c=2u,則()

A.b<a<cB.a<c<b

C.a<h<cD.b<c<a

【答案】D

【分析】利用“01分段法”確定正確答案.

J

【詳解】因?yàn)閍=ki3>lne=l,b=log02百<log021=0,c=2~'=^-€(0,1),

所以〃<C<4.

故選：D

4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬.已知

四棱錐P—ABCD是陽(yáng)馬，上平面A3C￡>,且EC=2PE，若AB=a,AC=b，AP=c，則?！?

()

A.-a——b+—cB—+2

333333

22r2,2

C.d——h+—cD.d-\--b——c

3333

【答案】C

【分析】運(yùn)用空間向量的加減運(yùn)算，把已知向量用空間中一組基底表示.

1121

【詳解】AE=AP+PE=AP+-PC=AP+-（AC-AP）=-AP+-AC,

3333

AD^BC=AC-AB<

2222

所以DE=AE-AD=AB--AC+-AP=a--b+-c.

3333

故選：C

5.若直線3x+y—a=0是曲線y=；x2-41nx的一條切線，則實(shí)數(shù)（）

A.1B.-C.-D.-

2222

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)斜率求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得“.

I44

【詳解】因?yàn)?gt;=：/一41舊，所以y==即工2+3工一4=0,

2xx

得x=l或x=Y（舍去），所以切點(diǎn)是（1,；）,代入3x+y-4=0,

17

得3+—a=0,a=—.

22

故選：D

6.拋物線C:y2=-i2x的焦點(diǎn)為F,尸為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)4-5,2）,則|%+歸月的最小值

為（）

A.8B.6C.5D.9

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合幾何圖形求解.

【詳解】如圖，

設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線為/,過(guò)戶作PCJJ于C,過(guò)A作A8_L/于

因?yàn)镮P用=|PC],所以當(dāng)A,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，

|R41+1PF|取得最小值，故|PA|+|尸尸|的最小值為|-51+5=8.

故選:A.

7.《幾何原木》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角

形的圓錐為直角圓錐.如圖，△SAB、_SCD是直角圓錐SO的兩個(gè)軸截面，月.cosN8OC=§,則異

面直線&4與BC所成角的余弦值為（）

A.-B.邁C.逅D.1

3643

【答案】B

【分析】設(shè)AB=6,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、0s所在直線分別為z軸，平面A8C內(nèi)垂直于0B

的直線為無(wú)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線SA與BC所成角的余弦值.

【詳解】在圓錐5。中，SO,平面ABC,設(shè)48=6,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、QS所在直線分

別為y、z軸，平面A8C內(nèi)垂直于。8的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)閏osNBOC=g,所以A（0,—3,0）、*0,3,0）、5（0,0,3）,C（-2及,1,0）,

54=（0,-3,-3）,BC=（-2>/2,-2,0）,

C4“SABC6V6

所以c°s<SA,BC>=ii-ir=7=廣=,

加"網(wǎng)，陷372x2^6

所以異面直線SA與BC所成角的余弦值為逅.

6

故選：B.

8.已知雙曲線C:￡-g=l（a>（U>0）的離心率為[，左、右焦點(diǎn)分別為RK，設(shè)過(guò)心的直線/與C的

ab3

右支相交于AB兩點(diǎn)，若（KA+耳K）-（4A-6鳥）=0,8瑪=，46，則4=（）

A.—3B.—\/2.C.—>/3D.-2

【答案】D

【分析】由（64+耳目?（64-6外）=0可得圈=|帶=2c,由%=獨(dú)名得2<0,此卜-九/

再結(jié)雙曲線的定義表示出|A￡|,怛娟，然后在aAG5和48中利用余弦定理列方程可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)殡x心率為力5所以c￡=5：,所以C=5/，

3a33

因?yàn)椋↘A+耳心）.（耳4_耳心）=0,

2?,2|UU?|pUl?.

所以,聞=忻勾,即|耳A卜「用=2c,

因?yàn)樾肁|-|A&|=2a,所以|A用=2c_2a=ga_2a=ga,

因?yàn)?￡,=2AE,,所以2<0,q=：一吊。、4,[A8|=|A周+忸周=—㈤，

所以|B用=24+,4卜24_九3〃，

周2T大周2防「+,砰_附「

由余弦定理得

2同函一2\AFt\\AB\

4c2+—a2-4c24c2+^a2(l->l)2-^2a-A--a

4=4

2-2c--a2-2c--a(l-A)

A754o

{E簡(jiǎn)得§(1-4)=1+§(1-2)~-(1-§4)~,

解得A——2,

故選：D

二、多選題

9.如圖，在直三棱柱ABC-AB￡中，AB=BC=AC=AA1；若8力，4。，則?？赡転椋ǎ?/p>

A.A。的中點(diǎn)B.AC的中點(diǎn)

C.CC,的中點(diǎn)D.4?C的重心

【答案】BCD

【分析】設(shè)E,F分別為AC和CG的中點(diǎn)，證明A。，平面BER得。點(diǎn)在平面BE尸內(nèi)，從而可得

正確選項(xiàng).

【詳解】設(shè)E,F分別為AC和CG的中點(diǎn)，因?yàn)锳BC-A2￡是直三棱柱，所以AAL平面ABC,BEu

平面ABC,所以AALBE,又因?yàn)锳3=5C,E為AC的中點(diǎn)，所以BE_LAC,因?yàn)锳AIAC=A,

AA，ACu平面AACq,所以BE,平面A4CG，而^Cu平面AACC一則BELAC，又因?yàn)?/p>

AC=AAi=CCl,4CGA是正方形，EF與正方形4CCA的對(duì)角線AG平行，所以又

EFBE=E,EF,BEu平面BEF,所以AC平面8EF,因?yàn)锽D^AC,所以點(diǎn)。在平面BEF

內(nèi).

故選：BCD.

10.已知拋物線C:尤2=4y的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C相交于AB兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確

的是（）

A.若A（4,4）,則|AF|=5

B.若E（2,3）,則|A￡|+|AF|的最小值為5

C.以線段A3為直徑的圓與直線y=-i相切

D.若AF=3FB，則直線A8的斜率為土后

【答案】AC

【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式即可判斷A；過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線y=-l的垂線，垂足為根據(jù)拋物

線的定義結(jié)合圖象即可判斷B；設(shè)點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為（丙,％）,（々,％），直線的方程為，=履+1,

聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求得用+%，為々，從而可得線段A8的中點(diǎn)坐標(biāo)及長(zhǎng)度，再求出中點(diǎn)到準(zhǔn)線

的距離即可判斷C；根據(jù)AF=3FB，可得（-玉』-y）=3（赴,必-1）,結(jié)合C選項(xiàng)即可判斷D.

【詳解】解：拋物線x?=4y的準(zhǔn)線方程為y=-l,

對(duì)于A,由A（4,4）,得|AF|=4+1=5,故A正確；

對(duì)于B,過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線y=-l的垂線，垂足為A,

則|AE|+|=|A目+|N4+1=4,

當(dāng)且僅當(dāng)A三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，

所以|A目+|A尸|的最小值為4,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)點(diǎn)AB的坐標(biāo)分別為直線A8的方程為y=h+l,

聯(lián)立方程卜二4二，消去y得/一4日-4=0,

y=kx+i

則辦+%2=44,再%2=-4,y+%=4公+2,

則|4同=乂+%+2=4公+4,線段AB的中點(diǎn)為6（2%,2公+1）,

點(diǎn)G到直線V=-1的距離為d=2k2+2=^\AB\,

所以以A8為直徑的圓與直線y=-l相切，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?/=3尸8，所以（一玉,1一%）=3優(yōu)，%-1），可得3占=-4，

%+%2=4%

由，=-4,

3X2=-x]

得「解得憶=±3，故D錯(cuò)誤.

[-3考=-43

故選：AC.

11.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到原點(diǎn)。與42,0）的距離之比為2,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記為C,直線/：3x-4y-3=0,則

下列結(jié)論中正確的是()

A.C的方程為卜—1+/4

B.動(dòng)點(diǎn)尸到直線/的距離的取值范圍為

C.直線/被C截得的弦長(zhǎng)為立

3

D.C上存在三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為:

【答案】AD

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式和題意確定方程，結(jié)合圓心到直線的距離即可求解，圓的弦長(zhǎng)公式

求法即可進(jìn)一步求解.

【詳解】設(shè)P(x,y),因?yàn)閨POh2|P4],所以"I7=2j(x—2>+/，

所以C的方程為(x-|j+y2=為，故A正確；

因?yàn)閳A心C(|,0)到直線/:3x-4y—3=()的距離d=|=l<r=g,

所以直線/與圓C相交，且弦長(zhǎng)為2，gj-l=平，故C錯(cuò)誤;

-7'

動(dòng)點(diǎn)尸到直線/的距離的取值范圍為。,§,故B錯(cuò)誤，D正確.

故選：AD.

12.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為尸(力和。利),若g(x)-/(3-x)=2,

/'(x)=g'(xT)，且g(x+2)為奇函數(shù)，g⑴=1,則()

A.g(T)=g(3)B.〃2)+〃4)=T

2022

C.g(2022)=1D.Z“k)=-4043

k=\

【答案】ABD

【分析】根據(jù)析(x)=g'(x-D逆向思維得到/(x)+a=g(x-l)+b,代入/(x)=g(3-x)+2推出g(x)

的對(duì)稱軸x=\,即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)g(x+2)為奇函數(shù)推出對(duì)稱中心(2,0),進(jìn)一步得出

g(x+2)=—g(x),即g(x)的周期為4,即可判斷C選項(xiàng)；由/(x)=g(3—x)—2是由g(x)的圖像變

換而來(lái)，所以/(x)的周期也為4,進(jìn)而判斷B選項(xiàng)；再算出x=l,2,3,4時(shí)的函數(shù)值以及一個(gè)周期內(nèi)

的值即可求解，判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?'(x)=g'(x—1),所以“x)+a=g(x—l)+6.

因?yàn)間(x)-/(3-x)=2,所以g(x)=/(3-x)+2,

用3—x去替x,所以“x)=g(3—x)-2,所以g(3-x)-2+a=g(x-l)+b.

因?yàn)間(l)=l，取x=2代入得至i」g(l)_2+a=g(l)+b,na-2=b,

所以g(3-x)=g(x-l),用x+1換x,所以g(2-x)=g(x),

所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，所以g(-D=g(3),故A正確；

因?yàn)間(x+2)為奇函數(shù)，貝ijg(x+2)過(guò)(0,0),圖像向右移動(dòng)兩個(gè)單位得到g(x)過(guò)(2,0),故g(x)圖像

關(guān)于(2,0)對(duì)稱,g⑵=0,所以g(x+2)=-g(—x+2),且于2)=0.

因?yàn)間(2—x)=g(x),所以g(x+2)=—g(x),則g(x)的周期T=4,

所以g(2022)=g(2)=0,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)椤▁)=g(3-x)-2,/(x+4)=g(3-x-4)-2=g(3-x)-2=/(x),所以〃x)的周期也為4,

所以/(2)=g⑴-2=7,/(4)=^(-l)-2=g(3)-2=-g(l)-2=-3,

所以/(2)+/(4)=T,故B正確；

因?yàn)?(l)=g(2)-2=-2,〃2)=g⑴—2=-1,/(3)=g(0)-2=-2,/(4)=-3,

所以￡〃&)=/(1)+/(2)+-+/(2022)=505X(_8)+/(1)+〃2)=-4043,故D正確.

*=!

故選：ABD.

三、填空題

13.若直線4:/nr+4y-6=0與直線4：2x+(m+2)y+3=0平行，則加=.

【答案】2

【分析】利用兩直線平行求參數(shù)即可

【詳解】因?yàn)?〃4，

所以加(m+2)-4X2=〃?2+2加一8=(加一2)(加+4)=0,

所以〃?=2或，w=Y.

當(dāng)〃?=—4時(shí)，1\：2x—2y+3=0,4：2x—2y+3=0,

34重合;

當(dāng)加=2時(shí)，4：x+2y-3=O,4:2x+4y+3=0,

4〃4,符合題意.

故答案為：2.

14.將函數(shù)〃x)=sin(2x+￡|的圖象向左或向右平移3(0＜9〈兀)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖

象，若g(x)是偶函數(shù)，則夕的一個(gè)取值可能為.

.“人..f.兀/_(X5兀77r11兀、..__?117T57T77T1ITTI,.111rl__、

【答案】-(或石，五)(只需從丘，石，市五中寫一個(gè)答案即可)

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得g(x)的解析式，根據(jù)g(x)是偶函數(shù)列方程，化簡(jiǎn)求得夕

的表達(dá)式，進(jìn)而求得9的可能取值.

【詳解】由題意可知g(x)=sin2(x土+]=sin12x+5±2e；

因?yàn)間(x)是偶函數(shù)，所以m±2s=E+：Z:eZ,

所以±9=與+存火eZ.

因?yàn)?＜夕＜?t,

所以夕的取值可7E能Sir為7冗蘭1Ij.r

12121212

故答案為：白(或(只需從粵中寫一個(gè)答案即可)

1212121212121212

15.在AfiC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,6=6,8=30。，a2+c2=3^ac,則ABC

的面積為.

【答案】巫

2

【分析】由余弦定理及已知條件可得ac=66,再由三角形的面積公式即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)閎=6,8=30。,

所以6=a~+c2—2izccos30°=a2+c2—~j3ac,

因?yàn)閍?+c?=3上ac，

所以3乖iac—下>ac=36>

得ac=65/3，

"in*

故S

ABC22

故答案為：巫

2

四、雙空題

16.設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為50,1),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2立，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；過(guò)。任作

兩條互相垂直的直線分別另交橢圓C于A,8兩點(diǎn)，則直線A8過(guò)定點(diǎn).

【答案】]+y2=l[o,-g)

【分析】設(shè)C:：+4■=1(〃>6>0),根據(jù)0(0,1)是橢圓C的上頂點(diǎn)，得到。=1,再根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2&，

a-Z?

得到〃=0求解；設(shè)直線A3的方程為尸區(qū)+相，與橢圓方程聯(lián)立，由D4Q8=0求解.

->>>

【詳解】解:設(shè)C:與+與=l(a>b>0),

a~b~

因?yàn)椤?0,1)是橢圓C的上頂點(diǎn)，所以。=1.

因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為2及，所以4=夜，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為W+V=l.

2

易知直線A3的斜率存在，設(shè)直線A8的方程為丫=h+加，4(藥,%),3(七,必)，

y=kx+m,

由可得（1+2公卜2+4加a+2（/%2-1）=0,

x2+2y2=2,

4km

所以玉+x=-

2'石馬=

1+2公1+2公

因?yàn)閆M=（X，X-1）,￡）B=（x2,y2-l）,

所以DADB=X]X2+（X—1）（%-1）=玉工2+（煙+m-\）^kx2+加-1）,

=（左2+1）內(nèi)工2+攵+w）+（機(jī)一I）2,

2（^2-l）（Jt2+l）-4/t2（w2-A/i）+（14-2Jt2）（/n-l）2

--=0'

1+2公

所以3M-2加-1=0,解得機(jī)=-§或m=1.

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,不滿足題意，

所以直線A3的方程為y=fcv-；,

故直線AB過(guò)定點(diǎn)（o,-￡].

故答案為：'+>2=1,

五、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝滿足％=1,+

(1)求｛可｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列的前n項(xiàng)和為S”,求數(shù)列｛lgS,,)的前n項(xiàng)和T?.

【答案】(1)4=、)

Q)T.=??lg2-lg(n+l)

【分析】(1)根據(jù)累加法求解即可；

(2)由題知-一二],進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)求和得，=々，lgS“=lg2+[lg〃-lg(〃+l)],再求

和即可得答案.

【詳解】(1)解：因?yàn)?+i=〃+1,

所以，當(dāng)“22時(shí)，a2-a｝=2,a3-a2=3,a?-a?_t=n,

相加得4-4=2++〃，

、r1LL,、tn(n+l]

因?yàn)閝=l,所以，”“=4+2++〃=l+2++〃=—^~二

因?yàn)?=1滿足a“=當(dāng)W,

所以，4=也型.

(2)解：因?yàn)椋?2仕一一

a?\nn+\)

因?yàn)閘gS“=lg：g=lg2+[lg"-lg(”+l)],

所以工,=/?lg2+(lgl-lg2)+(lg2-lg3)++[lgn-lg(n+l)]=nlg2-lg(n+l).

18.已知一ABC的頂點(diǎn)分別為A(-2,3),8(4,-5),C(l,4).

(1)求一4?C外接圓的方程；

(2)直線/：3》-4丫+28=0上有一動(dòng)點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)p作ABC外接圓的一條切線，切點(diǎn)為。，求|「。|的最

小值，并求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】(l)x2+y2-2x+2y-23=0；

⑵|「@的最小值為2面，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為卜§

【分析】(I)設(shè)出圓的一般方程，代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得到方程組，解出即可;

(2)設(shè)圓心為“，首先判斷/與圓相離.根據(jù)已知條件，可得出-25，則當(dāng)|P"I最

小時(shí)，即圓心到直線的距離，進(jìn)而根據(jù)已知可求出|PQ|最小時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1)設(shè)_"C外接圓的方程為》2+/+6+4+尸=(),

(-2)2+32-2D+3E+F=0

代入&-2,3),8(4,-5),C(l,4),B]-f#-42+(-5)2+4D-5E+F=0,

l2+42+D+4E+F=0

13-2D+3E+F=0D=-2

即彳41+4￡>-5E+F=0,解得E=2

17+￡)+4E+F=0F=-23

所以ABC夕卜接圓的方程為M+V—2x+2y-23=0.

(2)由(1)知,"C外接圓可化為(x-l)2+(y+l)2=25,

圓心設(shè)為M(1,T),半徑R=5.

|3xl-4x(-l)+28|35

設(shè)d為點(diǎn)M到直線/：3x—4y+28=。的距離，則〃—所以/與圓

行+㈠)-5

相離.

由已知，PQ是圓〃的一條切線，切點(diǎn)為Q,則PQLQM,

在.PQM中，有IPQ|=PMf一上=J|尸M］一25，所以要使|P0最小，只需最小.

當(dāng)PM，/時(shí)，1PMi最小，即1PMlm山="=7,

\PQ\nm=yl\PM\^~25=2^.

設(shè)P(x,y),因?yàn)镻M，/,可設(shè)直線PM方程為4x+3y+w=0,

又MQ-1),所以4xl+3x(-l)+〃z=0,所以機(jī)=-l.

所以，直線PM方程為4x+3y-l=0,又產(chǎn)在/上,

4x+3y-l=0

聯(lián)立產(chǎn)"與/的方程,解得,即「-

3x-4y+28=05'5J

19.如圖，在五面體A2CDE中，AO_L平面ABC,AD，BE,AD=AC=2BE=2,AB=BC=6

(1)求五面體ABCQE的體積；

(2)求二面角A-CE-。的正弦值.

【答案】（1）0

⑵述

3

【分析】（1）可將該五面體分割成多個(gè)簡(jiǎn)單幾何體后進(jìn)行體積求解.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量先求出二面角的余弦值，再求正弦值.

【詳解】（I）因?yàn)?>1.平面A8C,所以％詆=^x2=*.

LJ-3A323

因?yàn)锳￡（BE,4）（z平面BCE,BEu平面BCE,

V

所以AD〃平面BCE,所以%Lf—tBfCC-b.E=VA—UBLCt,E=E.—ADL2Lf—nAiBU.C=—3'

所以匕BOE=%-ABC+VR-HCE=,

（2）如圖，取AC的中點(diǎn)。，連接08,因?yàn)锳3=8C,所以03J_AC,作?！ˋO.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0B，0C的方向分別為x,），軸的正方向建立空間直角坐以標(biāo)系，則A（0,-l,0）,

網(wǎng)應(yīng),0,0）,C（0,l,0）,0（0,-1,2）,￡（V2,0,l）,CD=（0,-2,2）,C￡=（^,-l,l）,AC=（0,2,0）.

,、m?CD=-2y,+2z,=0

設(shè)平面C￡>E的法向量為m=（X],y,zJ,貝'

7r

\zn-CE=V2xl-yl+zl=0

令y=l,得，”=（0,1,1）.

設(shè)平面ACE的法向量為〃=（孫必，Z2），則〈r-

nCE=\/2X2-y2+z2=0

令工2=1，得〃=0,。,一夜）.

/\m-n-5/2G

因?yàn)?sM〃”同fWE,

所以sin〃〉=,

故二面角A-CE-。的正弦值為好.

3

20.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-ABCQI中，AB=AD=4,AA,=6.

（1）求C1到平面AB。的距離；

（2）求直線AC與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）等

⑵*

【分析】Q）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，從而求得BG與平面A8。的法向量，進(jìn)而利用空間向

量法求得點(diǎn)G到平面\BD的距離;

（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，求得AC的坐標(biāo)表示，從而利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可求得結(jié)

果.

【詳解】（1）根據(jù)題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則A（0,0,0）,A（0,0,6）,3（4,0,0）,0（0,4,0）,C（4,4,0）,G（4,4,6）,

則BC；=（0,4,6）,A8=（4,0,-6）,50=（Y,4,0）,

-n=-6z=0

設(shè)平面48。的一個(gè)法向量為“=（為%2）,貝卜

BD?n=-4x+4y=0

令x=3,則y=3,z=2,故〃=（3,3,2）,

所以G到平面A皿的距離為〒11島2+121=后24=置12>/22

平面A3。的一個(gè)法向量為〃=（3,3,2）,

設(shè)直線AC與平面A3。所成角為，，

則sin^cos國(guó)小禽=/⑶;2|=粵

所以直線4c與平面AB。所成角的正弦值為砰.

丫22

21.已知橢圓C:三+2=15>6>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4夜，且點(diǎn)尸（2,1）在橢圓C上.

crb

（1）求橢圓C的方程.

⑵設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。,0）?>0）的直線/（斜率不為0）交橢圓C于不同的兩點(diǎn)A8（異于點(diǎn)尸）,

直線PAF8分別與直線x=T交于M,N兩點(diǎn)，MN的中點(diǎn)為Q,是否存在實(shí)數(shù)：，使直線PQ的斜率

為定值？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

【答案】⑴工+工=1

82

⑵f=4

【分析】（1）由題可得a=2正，再將點(diǎn)P（2,l）的坐標(biāo)代入橢圓方程可求出廿=2,從而可求出橢圓

方程；

（2）由題意設(shè)直線/為了=沖+，，&陽(yáng),y）,8（七,當(dāng)），將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)再利用根與系

數(shù)的關(guān)系，然后分別表示出直線AP,研的方程，表示出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，從而可表示出點(diǎn)。的坐標(biāo),

則可表示出原2,化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

22

【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C:「+4=l（a>b>0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4人,

ab

所以2〃=4A/2，得〃=2>/2，

所以橢圓為目+

8

o2i2

因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)*2,1）,所以%=得6?=2,

所以橢圓方程為《+上=1;

82

（2）由題意設(shè)直線/為x=my+f,4（占,%）,8（孫女），

x=my+t

由,Jy2，得522+4);/+2必)+"一8=0，

—+—=1

182

A=4m212-4-4)(?-8)>0,W2^2-?+8>0，

mi-2mlr2-8

則X+必=2^/，M%=-

m+4m+4

因?yàn)榧?=上二，所以直線AP為y-i=上=(x-2),

當(dāng)X=T時(shí)，y=l+2iz1(-/-2)=l-(y'-1)(^+2),

所以M(T,1-(XT)(；2)],

I-^1-2)

因?yàn)殡H8=所以直線成為>T==7(%-2),

x2-2x2-2

當(dāng)X=T時(shí)，y=l+H.)=l一…;+2),

x2-2x2—2

所以

IX2~2J

因?yàn)镸N的中點(diǎn)為Q,

所以QR』一針黑一記黑］,

、2（x,-2）2（X2—2）,

（乂―l）（r+2）（%-1）?+2）

所以心2（x.2）2（々-2）

PQ—2+t

若即°為定值,則怎°與加無(wú)關(guān),

7-4=0

所以＜1=4-2/,解得f=4,

三一2"2＞

所以當(dāng)f=4時(shí)，直線尸。的斜率為定值.

2?）

22.已知雙曲線C:5-工=1（。＞0）的上、下頂點(diǎn)分別為為虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)，且

（1）求C的方程；

⑵直線/與雙曲線C交于不同于8的E,尸兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,且8G_L防于點(diǎn)G,

證明：存在定點(diǎn)H,使|G〃|為定值.

22

【答案】⑴二-工=1

45

⑵證明見解析

【分析】（1）不妨設(shè)M（6,0）,求出MA、MB的坐標(biāo)，根據(jù)M4.M3=1可得答案；

（2）設(shè)￡（5,弘）,尸（天,冉），當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=H+，"，與雙曲線方程聯(lián)立，由

韋達(dá)定理求出西+々，為々，