2023-2024學(xué)年廣東省高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題1（含答案）

2023-2024學(xué)年廣東省高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.集合A={x∣2sinx=l,x∈R},B=∣X∣X2-3Λ≤0∣,則4B=()

bcd

A?[。,司??[i?]?{i'?}

【正確答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出集合A,再解一元二次不等式求出集合8,即可求解.

【詳解】由2sinx=l得SinX=L解得X=3+2祈或型+2E,keZ,

266

所以A=卜IX=/2E或^+2E,Zez),

又由f-3x≤0解得0≤x≤3,所以B={x∣0≤x≤3},

故選:D.

2.某地天氣預(yù)報(bào)中說未來三天中該地下雪的概率均為0.6,為了用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)未來

三天中恰有兩天下雪的概率，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1?5之間的隨機(jī)整數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1,2或3

時(shí)，表示該天下雪，其概率為0.6,每3個(gè)隨機(jī)數(shù)一組，表示一次模擬的結(jié)果，共產(chǎn)生了如

下的20組隨機(jī)數(shù)：

522553135354313531423521541142

125323345131332515324132255325

?9I

則據(jù)此估計(jì)該地未來三天中恰有兩天下雪的概率為()A.二B.—C.?

D.?

10

【正確答案】B

根據(jù)條件找出三天中恰有兩天下雪的隨機(jī)數(shù)，再按照古典概型求概率.

(詳解】20組數(shù)據(jù)中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪,

9

共有9組隨機(jī)數(shù)，所以P=三.

故選：B

3.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足IZ-II=Iz-目，則Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的圖形是（）

A.兩條直線B.橢圓C.圓D.雙曲線

【正確答案】A

【分析】設(shè)z=χ+yi,根據(jù)模長相等列出方程，得到Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的圖形是兩條直線.

【詳解】設(shè)z=x+M,則W=X-?i,

IZTl=IZ-Zl可得：（χ-iy+y2=Qy）2,

化簡得：（x-l）2=3y2,

即XT=3y或X-I=-3y,

則Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的圖形是兩條直線.

故選：A

4.在一ΛBC中，已知α=3,A=^,b=x,滿足此條件的三角形只有一個(gè)，則X滿足（）

A.χ=2√3B.x∈（0,3）

C.xe{2√3}θ（0,3）D.xe{2√3}o（0,3]

【正確答案】D

【分析】結(jié)合正弦定理得x=2石sin8,滿足條件的三角形只有一個(gè)，即X有唯一的角與其

對(duì)應(yīng)，即可確定8的范圍，求得結(jié)果.

3=X一廣岸=2GSin8-、?眠2兀

【詳解】由正弦定理得SinJtSinB,則有√3,B?（0,πA）=∣,y.

Sm32秒

???滿足條件的三角形只有一個(gè)，即X有唯一的角與其對(duì)應(yīng)，則以-鼠?i'故

x≈2√3sinB?∣2√3∣l（0,3].

故選：D

5.圓內(nèi)接四邊形A8C。中AQ=2,CD=4,BZ）是圓的直徑，則AC?8O=（）

A.12B.-12C.20D.-20

【正確答案】B

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及數(shù)量積的定義即求.

BD

【詳解】

由題知NBAo=NBC￡)=90。，AD=2,CD=4

：.AC-BD=(AD+DC)-BD=AD-BD+DCBD

?∣AD∣∣βD∣cosNBDA-∣DC∣∣BD∣cosNBDC=∣ΛD∣2-∣DC∣2=4-16=-12.

故選：B.

6.已知數(shù)列｛/｝為等差數(shù)列，若4+3∕<0,4?∕<0,且數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和有最大值,

那么S“取得最小正值時(shí)”為()

A.HB.12C.7D.6

【正確答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，判斷出4，的，6+%的符號(hào)，再根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的計(jì)算公式,

即可求得.

【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前〃項(xiàng)和有最大值，故可得d<0,

因?yàn)?+3%<0,故可得4%+22d<0,即q+□“<0,

所以％—萬4<0,可得的<5d<O,

又因?yàn)?，％<。，

故可得4>0,所以數(shù)列｛%｝的前6項(xiàng)和有最大值，

且％+%=2q+1Id<O,

i

又因?yàn)閹?12x^=6(4+%)<0，S11=y×(al+all)=ll×?>0,

故S“取得最小正值時(shí)〃等于11.

故選：A.

22

7.已知過橢圓方+%=l(α>"0)的左焦點(diǎn)E(TO)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B,

與》'軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)C,『是線段AB的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

R322d+1

A.ΛZ=1-7÷

D.-------1--------=C.JjI

655432

【正確答案】B

【分析】不妨設(shè)A在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)廠（-1,（））,點(diǎn)（7,產(chǎn)是線段AB的三等分點(diǎn),

易得A1∣7，812,一專）代入橢圓方程可得4A2

=又C-』，兩式相結(jié)合

即可求解

A2

則C為斷的中點(diǎn)，A為BC中點(diǎn)，所以―所以3+=1,則力=1

b2

Bpλfl,-,所以C(Ob1m，?2,^?

Ia)2cr

b4

日4h2

將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得rl

--4-^τ?^4，/=1'Bh'

CΓb1

yLa1-b2=1,所以a?=5,h2=4,

92

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是三+二=L

54

故選：B

包!止曳g}>o

8.定義在（0,+8）的函數(shù)y=∕（x）滿足：對(duì)?x∣,X2∈（0,-HO）,且工戶占，

XI-X2

成立，且/（3）=9,則不等式/（x）>3x的解集為（）

A.(9,+∞)B.(0,9)C.(0,3)D.(3,-κo)

【正確答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=皿，討論單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.

X

【詳解】由叁(AJ7,@>0且％,x)∈(0,4w),

Λ1-Λ2

?(?i)/(?)

則兩邊同時(shí)除以X/2可得X%〉0，

??-??

令g(χ)=△2，則g(χ)=△2在(0,+8)單調(diào)遞增，

XX

由/(x)>3x得以?>3且g(3)=半=3,

X3

即g(x)>g(3)解得χ>3,

故選：D.

二、多選題

22

9.已知雙曲線二-當(dāng)=1。>06>0的右焦點(diǎn)為F(C,0),在線段OF上存在一點(diǎn)例，使得M

a~b

3

到漸近線的距離為:c,則雙曲線離心率的值可以為()

4

A.√7B.2C.-D.√2

【正確答案】AB

【分析】寫出雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離列出不等式，得到￡>生笈，判斷出

a7

AB正確.

V2V2

【詳解】XAl的一條漸近線方程為法-紗'=。,

設(shè)M（m0）,O<m<cf

?hm?332

L整理得：H=?r*

?Ja2^b2

因?yàn)镺<m<c,所以?—<c,即3c<4匕=4JC2一。2,

4b

解得：￡>生女，

a7

因?yàn)榻?gt;4,2>"底也,而也，

77377

所以AB正確，CD錯(cuò)誤.

故選：AB

10.已知正實(shí)數(shù)。，方滿足M+α+b=8,下列說法正確的是()

A.必的最大值為2B.的最小值為4

LIll

C.a+2Z>的最小值為6&-3D.布旬+g的最小值為萬

【正確答案】BCD

【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判斷A,B,將6=生〈代入Q+2?,化簡，利

用基本不等式求解可判斷C,利用基本不等式“1”的妙用可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閍6+a+6=8≥a∕>+2?/^,

即(向j+2√^-8≤0,解得-4≤√^≤2,

又因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b,所以0<疝42,

則有瑟≤4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取得等號(hào)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,ab+a+b=8≤'c'+^-+(a+b),

4

即(a+b)~+4(a+6)-32≥0,解得a+b≤-8(舍)a+b≥4,

當(dāng)且僅當(dāng)“=6=2時(shí)取得等號(hào)，故B正確；

對(duì)于C,由題可得6(a+D=8-a所以b=X>0,解得0<a<8,

。+1

a+2b=a+2-~~—=a+——2=a+1+——3≥2J(a+1)^-^——3=6>∕2-3,

a+1a+1a+1v,a+l

1Q

當(dāng)且僅當(dāng)。+1='J即Q=3√Σ-1時(shí)取得等號(hào)，故C正確；

對(duì)于D，1+<="[1+：]團(tuán)"1)+可

1??ba{b+X)/(2+2)=L

8a(b+↑)b82

當(dāng)且僅當(dāng)島=牛Ua=擠"=4"1時(shí)取得等號(hào),故D正確,

故選:BCD.

11.己知正方體48CZ)-A4G。的邊長為2,E為正方體內(nèi)(包括邊界)上的一點(diǎn)，且滿足

SinNE。Q=F,則下列說正確的有（）

Tr

A.若E為面A4CQ∣內(nèi)一點(diǎn)，則E點(diǎn)的軌跡長度為5

B.過AB作面。使得DE_La,若E∈α,則E的軌跡為橢圓的一部分

C.若凡G分別為Aa，BC的中點(diǎn)，Ee面FG8A,則E的軌跡為雙曲線的一部分

^24^

D.若F,G分別為AA，BC的中點(diǎn)，力E與面尸GBA所成角為凡則Sine的范圍為

【正確答案】AD

【分析】對(duì)于A項(xiàng)，sinNEDA=F轉(zhuǎn)化為tanNEDR=g,得到E的軌跡再求解；對(duì)于

BC項(xiàng)，求得軌跡可得解；對(duì)于D項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系解決.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，正方體ABCO-ABCA中，DDI，平面ABCa,

若E為面A耳GR內(nèi)一點(diǎn)，所以DALpE.

又因?yàn)镾inNEzg=手，所以tanNE。。=g,

在RtEDA中，tanNEZ）R=饋="所以AE=1,

故點(diǎn)E的軌跡是以O(shè)1為圓心1為半徑的!個(gè)圓弧，

4

1TT

所以E點(diǎn)的軌跡長度為；2π?l=5,故A正確；

對(duì)于B項(xiàng)，若3ELa,則DEJAB,則E只能在平面ADRA內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且DE_LE4，軌跡

為一個(gè)點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，平面。與軸線。。所成的角即為平面α與AA所成的角，

NAA尸是平面α與軸線DD1所成的角,

A1F_?

在RtAAF中tanNA1AF=

^AAx~2

而母線OE與軸線。。所成的角為NaA，

FDI

在RtFDDx中tanNFDDl==-

即母線與軸線所成的角與截面α與軸線所成的角,

所以點(diǎn)E的軌跡應(yīng)為拋物線，故C不正確；

對(duì)于D項(xiàng)，以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系,

TT

連接OE并延長交上底面ABCR于點(diǎn)片,設(shè)NAQg=y,yeθ,?,

則。(0,0,0),￡；(CoSy,sin∕,2),A(2,0,0),8(2,2,0)/(1,0,2),DE=(COSy,sin/,2),

則AB=(0,2,0)AF=(-1,0,2),設(shè)面ABGF的法向量為〃=(x,y,z),

H-AB=O2y=0

所以=>=>〃=(2,0,1),

n?AF=0-X+2Z=O

/+2∣∣2cos∕+2∣

所以O(shè)E與面尸GAB所成角的正弦值為Sine=

亞5

Tt

又因?yàn)?€0,-2cos∕+2∈[2,4],

所以哈土4|制，故D正確.

故選：AD.

用平面去截圓錐所得的曲線可能為，圓、橢圓、拋物線、雙曲線；

截面與圓錐軸線成角等于軸線與母線所成的角，截面曲線為拋物線;

截面與圓錐軸線成角大于軸線與母線所成的角，截面曲線為橢圓；

截面與圓錐軸線成角小于軸線與母線所成的角，截面曲線為雙曲線;

截面與軸線垂直得到截面曲線為圓?

12.已知函數(shù)=In(T),g(x)=ln(4+x),則()

A.函數(shù)y=∕(2-x)+g(x-2)為偶函數(shù)

B.函數(shù)y=∕(x)-g(x)為奇函數(shù)

C.函數(shù)y=∕(χ-2)-g(x-2)為奇函數(shù)

D.χ=-2為函數(shù)函數(shù)y=∕(χ)+g(χ)圖像的對(duì)稱軸

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)函數(shù)的的奇偶性定義可判斷A,B,C,根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對(duì)于A,y=/(2—x)+g(x-2)=In(X-2)+In(X+2),

定義域?yàn)?2,+8),所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,y=∕(x)-g(x)=ln(-x)-In(X+4)定義域?yàn)?-4,0),

所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,y=∕(x-2)-g(x-2)=ln(2-x)-ln(2+x),

定義域?yàn)?—2,2),設(shè)力(X)=In(2-x)+ln(2+x),

A(-x)=ln(2+x)-ln(2-x)=-Λ(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；

對(duì)于D,設(shè)KX)="乂)+8(/=111(一一一4期定義域?yàn)?-4,0),

r(T-X)=In[-(T-X)2-4(T-x)]=ln(-x2-4x)=f(x),

所以X=-2為函數(shù)函數(shù)y=+g(χ)圖像的對(duì)稱軸，故D正確，

故選:CD.

三、填空題

13.已知首項(xiàng)為2的數(shù)列｛q｝對(duì)wN'滿足4+1=3”,+4,則數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式

【正確答案】4×3,,^'-2

【分析】構(gòu)造4+∣+2=3(%+2),得到｛6+2｝是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到

,,l

an=4×3--2.

【詳解】設(shè)4M+4=3(%+4),即.=3?！?23故2/1=4,解得：Λ=2,

故。向=3?！?4變形為4+|+2=3(。“+2),al+2=2+2=4,

故也+2｝是首項(xiàng)為4的等比數(shù)列，公比為3,

則%+2=4x3"T,

所以%=4x3"T-2,

故4x3”T-2

14.已知直線/的方向向量為〃=(1,0,2),點(diǎn)A((M,1)在直線/上，則點(diǎn)尸(1,2,2)到直線/的距

離為?

【正確答案】叵

5

【分析】求出AP與直線/的方向向量的夾角的余弦，轉(zhuǎn)化為正弦后可得點(diǎn)到直線的距離.

【詳解】AP=(1,1,1),

/?n?AP1+0+2√15

cos[n,AλPo)=∣-J,----1=—p=——產(chǎn)=-----

、/W∣4P∣?∣5×y∕35

所以sinAP)=J[??~=,

點(diǎn)P(l,2,2)到/的距離為d=網(wǎng)Sin(〃,AP)=GX半=率.

故回

5

15.函數(shù)/(%)=J左OS(5+Q)∕＞O]＜附＜π的部分圖象如圖所示，直線N=Μ(MVO)

與這部分圖象相交于三個(gè)點(diǎn),橫坐標(biāo)從左到右分別為4,々，W，則sin(2χ+Λ2-X3)=.

【正確答案】-正

2

【分析】由圖象求得參數(shù)，由交點(diǎn)及余弦函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合

sin(2x1+x2-Λ?)=sin(2(x1+x2)-(x2+Λ?))即可求值

【詳解】由圖可知，F(xiàn)*)=缶。s(祚+e)=l,即CoS仁0+e)=冬

5π?！?/p>

——ω+(p=-+2kτt

82

5π7π.

-ω=-2k^解得。=2,=一四,故〃X)=應(yīng)。：os0T).

則+φ+φ

。>04

^<H<π

貝療⑼=(專?JT

&C0S=T,/(x)最小正周期為三=九

直線y=m(m<0)與這部分圖象相交于三個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為玉，巧，?,則

.-.X+x5ππ3πx+x_5兀+兀_7π

由r圖τn可r知-L1C-29=丁———23

48FΓ4-T

β

..sin(2xl+x2_七)=Sin(2(X+x2)-(x2+x3))=sin

故-受

2

16.已知實(shí)數(shù)x、y滿足*1-ylyl=l,則∣x-2y+碼的取值范圍是

【正確答案】(√5,2√2+√5].

【分析】討論χ,y得到其圖象是橢圓，雙曲線的一部分組成圖形，根據(jù)圖象可得

z=x-2y+√5的取值范圍，進(jìn)而可得∣x-2y+網(wǎng)的取值范圍.

【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)x,y滿足等73“

當(dāng)x>O,y>O時(shí)，方程為二-丁=］的圖象為雙曲線在第一象限的部分；

4

當(dāng)x>O,y<O時(shí)，方程為《+丁=1的圖象為橢圓在第四象限的部分；

4

當(dāng)x<O,y>O時(shí)，方程為-±-V=1的圖象不存在；

4

當(dāng)x<0,y<0時(shí)，方程為-E+/=1的圖象為雙曲線在第三象限的部分;

∣x-2y+石|表示點(diǎn)(x,y)到直線X-2y+石=0的距離的右倍

根據(jù)雙曲線的方程可得，兩條雙曲線的漸近線均為y=±；x,

令z=x-2y+6，即y=Lχ-±+或，與雙曲線漸近線平行，

'222

觀察圖象可得，當(dāng)過點(diǎn)(χ,y)且斜率為號(hào)的直線與橢圓相切時(shí)，點(diǎn)(χ,y)到直線χ-2y+6=0

的距離最大，

即當(dāng)直線Z=X-2>+石與橢圓相切時(shí)，Z最大,

7

x^2

4+y=11

聯(lián)立方程組得2χJ(2z-2石)x+z2-26z+l=0,

1z√5'

y--χ----1----

222

Δ=(2Z-2√5)12-4X2×(Z2-2√5Z+1)=0,

解得Z=遂±2√Σ,

又因?yàn)闄E圓的圖象只有第四象限的部分,

J??z=√5+2√2，

又直線x-2y+0=()與x-2y=0的距離為1,故曲線上的點(diǎn)到直線的距離大于1,

所以z?6

綜上所述，√5<z≤√5+2√2,

所以&<∣z∣≤逐+20,

即∣x+2y-4∣e(石,石+2√Σ],

故答案為.(后,2&+君]

四、解答題

17.已知函數(shù)f(x)=2sin(x—Sin(X+9)+2>∕5C°S~(x—+

⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

【正確答案】⑴一己Tr+仇二Sir+既(ZeZ)

⑵14后

【分析】(1)由三角恒等變換化簡，由整體法結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間列不等式求解即可;

(2)令g(x)=2sin(2x-1)，分析得g(“關(guān)于雷,0對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性化簡求值.

【詳解】(1)/(x)=2Sin(X-I)COS[-]+[1+e))+#(28$2(工一][-11+2G

=2sin^x-y^cos^x-yJ+V3COS2^X--^+2Λ∕3

=sin2∣X-—J+V3cos2∣x--∣+2?∕3

+2√3

÷2√3

AC兀Tt_.Jr_1πf5πf

令2x一耳∈—F2kτι,-----F2Λ71,貝UX∈--------Fkτι,--------hkτι

221212

故函數(shù)/(X)的單調(diào)增區(qū)間為—+kκ,^+kπ(ZeZ).

(2)f(x)=2sin(2x-^j÷，^^(x)=2sin(2x-yL

3

由2x-g=E(∕?Z)得X=2+包=幺迎也3?Z),故g(x)關(guān)于:聯(lián)普,0WZ)對(duì)

36224I秒24

稱,

故當(dāng)Z=O時(shí)，g(χ)關(guān)于:翁，°對(duì)稱?

4π

+14√3

24

=0+0+0+0+14√3

=14-73?

Q

18.已知等比數(shù)列｛4｝對(duì)任意的〃eN+滿足凡+%”?-.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，定義min｛a,b｝為。"中較小的數(shù)，〃,=mi∏h,log∣(?>,

求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7,.

2

【正確答案】(1)行Tr

n2-n

-------,n<4

2

(2)T=<

n1CY-IQ109、/

—?—+3〃-------,n≥4

2UJ18

Q

【分析】(1)由遞推公式得%τ+%=言，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)與條件等式兩式相處，即可

求得夕，再令〃=1由等式求得4,即可根據(jù)公式法得通項(xiàng)公式：

(2)化簡對(duì)數(shù)式得log(S="f分析S”與n-l的大小，即可根據(jù)min｛α,6｝定義得〃,的

分段函數(shù)，即可分段求和.

【詳解】（I）設(shè)等比數(shù)列｛α,,｝公比為q,兩式相除化簡得

l+?-l1

∣+13,解得q，，

q

Q

又4+4=q(l+q)=],可得4=2.

???數(shù)列乩｝的通項(xiàng)公式可=2χr

(2)

3

fe,,?min-?-?,log,券I=min'3一擊鵬&`=minj?一擊,〃-1}.

令3-擊>〃一1，即4一擊>〃，T4一擊?3,4),?,?當(dāng)M<4時(shí)，4一擊>〃，即

C11

3------->π-1；

3,,^l

當(dāng)”24時(shí)，4-擊<〃，即3-^q?<"-l;

故當(dāng)…，片F(xiàn)=粵；

當(dāng)〃≥4時(shí),%=3+3(“-3)+疆+J最÷-÷J5?

3〃一吧

18

Y2T-Yl

H<4

2

故4=

2^+3"*“

18

19.已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)尸（（U）的距離比它到X軸的距離多1.

(1)求P點(diǎn)的軌跡方程c；

⑵過點(diǎn)Q(0,5)作直線/與曲線C交于AB(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，求S+SA"。的最小值.

【正確答案】(I)X2=4y或.x=O(y<O)

(2)20

【分析】(1)設(shè)P(x,y),得Jd+(y-l)2=∣y∣+l即可解決;(2)設(shè)直線/為

y=kx+5,A^,yt),B(x2,y2),聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得芭=3，由基本不等式解決即可.

【詳解】(1)由題知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)尸(0,1)的距離比它到X軸的距離多1,

設(shè)P(χ,y),

所以IPFl=Iyl+1,

當(dāng)y≥0時(shí)，√x2+(y-l)2=y+l,化簡得f=4y,

22

當(dāng)'<0時(shí)，√x+(j-l)=l-y,化簡得x=0,

所以P點(diǎn)的軌跡方程為C:f=4y,或X=O(y<0).

(2)由題得，過點(diǎn)Q(0,5)作直線/與曲線C交于A,B(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，

所以由(1)得C:X?=4y,

設(shè)直線/為3=任+5,Aa,yj,B(x2,y2),

將y=fcr+5代入C:Y=4y中得Y-4日-20=0,

所以4=16公+80>0，即ZeR,

-20

x∣+x2=4k,x1x2=-20,即Xl=-----

“2

所以ABF+SAFC)=SAQFS

S÷Sbqf+afo

Λ

=?∣βF∣?∣Λ1-x21+∣∣G>F∣?∣xlI=2(x,--?I

50

C50

當(dāng)且僅當(dāng)2々=一,即/=5時(shí)，取等號(hào),

%

所以(SJW+S"θ)min=20

所以S△.?+S的最小值為20.

20.已知正項(xiàng)數(shù)列｛能｝滿足反Z-向后=2α,向,且。I=%=1，設(shè)4=

7?Σ+7?

⑴求證：數(shù)列也｝為等比數(shù)列并求｛%｝的通項(xiàng)公式;

或

（2）設(shè)數(shù)列｛〃｝的前“項(xiàng)和為S”，求數(shù)歹1卜的前"項(xiàng)和的

sn-sn+l

1,/?=1

【正確答案】（l）q,=,

12×32×72××(2"^'-1)2,∕J≥2

(2)E,=2-∕q?

【分析】（1）利用向疝=2%”+揚(yáng)石化簡導(dǎo)可得數(shù)列他，｝是以T為公比T為首項(xiàng)的

cxπ

等比數(shù)列，求出”,可得—=（2"-1丫，再利用累乘法求通項(xiàng)公式可得答案；

an

（2）求出工"利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.

?*?+ι

【詳解】（1）因?yàn)椤?所以〃田=

因?yàn)镴4+2%-=2。向,所以Ja,,+24=2α,,+∣+J4+∣4,,

7^7___

所以組.=+=+阮)=:的

b

n如7?(7?Σ+7?7)√??+2+A?÷ι

7?7+7?

_”“+]+J",4+ι_?且6__?

2

2an+i+2√?67n+l2)'弧+8'

所以數(shù)列｛d｝是以T為公比，T為首項(xiàng)的等比數(shù)列，即2=(gj,

即,可得單→ι=2",%L=(2"-1)1

?∣an+?+V?×2√√?an

所以“≥2時(shí)，—×-×-×■×-^i-=l2×32×72××(2,,^'-l)2,

a?aI。3an-?

即q=12χ32χ72χ×(2n^1-l)2,

而此時(shí)九=1時(shí)，q=(2∣T-l)=O,

1,H=1

所以q一

12×32×72××

(2)由(1)bn=

所以9

S"+|S”?n

所以2=2

21.已知四棱錐E-ABCz)中，AB=4CD=4,AE=2,CD//AB,ΛD=2√2,ZZMB=45°,

面ABa)上面ABE,CE=y∕∏.

D

(1)求證：AElCB

(2)求面4。E與面BCE所成的銳二面角的余弦值

【正確答案】(1)證明見解析

⑵嚕

【分析】(1)過C作CG_LAS交AB于G,連接AC,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得CG，面ABE,

從而可得CGLAE,再利用向量法結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律證明AC_LAf,從而可得AE_1面

ABCD,再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；

(2)過。作OO_LAB交A8于。，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AE，OB，Oo分別為x,y，z軸

正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】(1)證明：過C作CG_LAB交A8于G,連接AC,

：面ABa)上面ABE,且AB為交線，CGU平面ABCD,

二CG_L面4BE,

又AfU平面ABE,ΛCGA.AE,

2I\2

YEC=EA+AD+DC，,EC=(EΛ+AD+DC),

2222I\

即nnEC=EA+AD+DC+2EA-(λD+DC]+2AD-DC,

B∣J17=4+8+1+2E4?(AD+DC)+2?2√2COS45O,

?EA-AC=O.即ACj_AE,

VACoCG=C,AC,CG?平面ABCD,

：.AELlSiABCD,

又CBu平面ABC。，,AELCB：

(2)解：過。作DOJ.AB交A8于。，

.?.OD//CG,：.∞±ffiABE,

由(1)得越_LM,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以4E，0B，。。分別為X,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所

示，

由A∕)=2√Σ,ADAB=A5o,得Ao=2,BO=2,DO=2,

.?.A(0,-2,0),B(0,2,0),O(0,0,2),C(0,l,2),E(2,-2,0),

ΛAE=(2,0,0),A￡>=(0,2,2),BC=(0,-1,2),BE=(2,T,0),

設(shè)面AOE,面BCE的法向量分別為4=(x∣,χ,z∣),n2=(x2,y2,z2),

AEn.=O[2x=O、

???,即CC八，令X=1,則〃I=z(OJT),

ADnt=O[2y∣+2z∣=0

/?n,?n2-1√42

?iz

,?,COS(∕7∣,2/l?/)=1—∩~T=-j=~^=--------

?'∣nl∣∣n2∣√2√2142)

22.換元法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為廣泛，其目的在于把不容易解決的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)情景.例如,

已知4>0,b>0,a+b-4,求/+//的最小值.其求解過程可以是：設(shè)