中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 副本

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

知識點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）頂點(diǎn)式：y＝a（x－h(huán)）2＋k圖象（草圖）a＞0?

?a＜0?

?開口方向①

向上

?向下向上對稱軸直線②

x＝－

?；或利用x＝求解（其中x1，x2為拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)）頂點(diǎn)坐標(biāo)③

（－，）

?或（h，k）

增減性在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而④

減小

?；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而⑤

增大

?在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而⑥

增大

?；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而⑦

減小

?最值當(dāng)x＝－時，y有最⑧

小

?值為當(dāng)x＝－時，y有最⑨

大

?值為減小增大增大減小小大2.確定二次函數(shù)的解析式解析式的三種形式一般式：y＝ax2＋bx＋c頂點(diǎn)式：y＝a（x－h(huán)）2＋k交點(diǎn)式：y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1，x2是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)步驟（1）對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，若系數(shù)a，b，c中只有一個未知，則代入任意一個已知點(diǎn)的坐標(biāo)即可；若有兩個未知，則代入任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可；若解析式未知，根據(jù)所給點(diǎn)的坐標(biāo)特征選擇適當(dāng)?shù)慕馕鍪叫问?；?）代入點(diǎn)的坐標(biāo)：將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入相應(yīng)解析式中，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；（3）求解：解方程（組），求得待定系數(shù)的值，從而寫出函數(shù)解析式3.二次函數(shù)的圖象與系數(shù)a，b，c的關(guān)系a決定拋物線開口方向｜a｜越大，開口越小b，a決定拋物線對稱軸的位置左同右異c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置c＝0?拋物線經(jīng)過（0，0）c＞0?拋物線與y軸交于正半軸c＜0?拋物線與y軸交于負(fù)半軸

b2－4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)b2－4ac＝0?與x軸有唯一交點(diǎn)（頂點(diǎn)）b2－4ac＞0?與x軸有兩個不同的交點(diǎn)b2－4ac＜0?與x軸沒有交點(diǎn)a＋b＋c令x＝1，看縱坐標(biāo)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，a＋b＋c）a－b＋c令x＝－1，看縱坐標(biāo)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（－1，a－b＋c）【提分小練】1.關(guān)于二次函數(shù)y＝－（x－1）2＋3的最值，說法正確的是（

D

）A.最小值為－1B.最小值為3C.最大值為1D.最大值為32.若拋物線y＝x2＋ax＋1的頂點(diǎn)在y軸上，則a的值為（

C

）A.2B.1C.0D.－2DC3.關(guān)于二次函數(shù)y＝－（x－1）2＋5，下列說法正確的是（

C

）A.圖象的對稱軸為直線x＝－1B.圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，3）C.當(dāng)x＜1時，y隨x的增大而增大D.圖象開口向上C4.若A（－2，a），B（1，b），C（2，c）為二次函數(shù)y＝（x＋1）2－9的圖象上的三點(diǎn)，則a，b，c的大小關(guān)系是

a＜b＜c

?.（用“＜”連接）5.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（－1，0），（3，0）和（0，－3），則該二次函數(shù)的解析式為（

B

）A.y＝x2＋2x＋3B.y＝x2－2x－3C.y＝x2－2x＋3D.y＝x2＋2x－3a＜b＜cB

7.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）如圖所示，則下列選項(xiàng)判斷正確的是（

C

）A.a＞0，c＞0B.a＞0，c＜0C.a＜0，c＞0D.a＜0，c＜0第7題圖

C8.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，給出下列四個結(jié)論：①a＞0；②b＜0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＜0.其中正確的是

①②③

?.（填序號）第8題圖①②③知識點(diǎn)2二次函數(shù)圖象的平移平移前平移方向（m＞0）平移后簡記直線y＝a（x－h(huán)）2＋k向左平移m個單位長度y＝a（x－h(huán)＋m）2＋k左右平移：給x左加右減；上下平移：給等號右邊整體上加下減向右平移m個單位長度y＝?

a（x－h(huán)－m）2＋k

?向上平移m個單位長度y＝a（x－h(huán)）2＋k＋m向下平移m個單位長度y＝?

a（x－h(huán)）2＋k－m

?a（x－h(huán)－m）2＋ka（x－h(huán)）2＋k－m【提分小練】9.把拋物線y＝x2＋1向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到拋物線的解析式為（

C

）A.y＝（x＋3）2－1B.y＝（x＋3）2＋3C.y＝（x－3）2－1D.y＝（x－3）2＋3C10.將二次函數(shù)y＝x2－4x的圖象先向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到的二次函數(shù)的解析式為

y＝x2－2

?.y＝x2－2知識點(diǎn)3二次函數(shù)與一次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系與一次函數(shù)一次函數(shù)y＝kx＋n（k≠0）的圖象l與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象G的交點(diǎn)個數(shù)，由方程組的解的個數(shù)確定，方程組有兩組不同的解?l與G有兩個交點(diǎn)；方程組只有一組解?l與G只有一個交點(diǎn)；方程組無解?l與G沒有交點(diǎn)與一元二次方程方程ax2＋bx＋c＝0的解是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：（1）b2－4ac＞0?方程有?

兩個不相等

?的實(shí)數(shù)根；（2）b2－4ac＝0?方程有?

兩個相等

?的實(shí)數(shù)根；（3）b2－4ac＜0?方程?

無實(shí)數(shù)根

?兩個不相等兩個相等無實(shí)數(shù)根【提分小練】11.拋物線y＝x2－x與直線y＝x＋3的交點(diǎn)坐標(biāo)是

（－1，2），（3，6）

?.12.若二次函數(shù)y＝ax2＋2x－1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則a的取值范圍是

a≥－1且a≠0

?.13.若拋物線y＝ax2－2ax＋c經(jīng)過點(diǎn)（－1，0），則方程ax2－2ax＋c＝0的解為

x1＝－1，x2＝3

?.（－1，2），（3，6）a≥－1且a≠0x1＝－1，x2＝3命題點(diǎn)1

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.將拋物線y＝x2向左平移2個單位長度，再向下平移5個單位長度，平移后所得新拋物線的解析式為（

A

）A.y＝（x＋2）2－5B.y＝（x＋2）2＋5C.y＝（x－2）2－5D.y＝（x－2）2＋5A考點(diǎn)訓(xùn)練2.（2023·貴州）已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則點(diǎn)P（a，b）所在的象限是（

D

）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限第2題圖D3.如圖，拋物線L1：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸只有一個公共點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2），虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移兩個單位長度得拋物線L2，則圖中兩個陰影部分的面積和為（

B

）A.1B.2C.3D.4第3題圖B4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＞0；②2a－b＝0；③9a＋3b＋c＞0；④b2＞4ac；⑤a＋c＜b.其中正確的有（

B

）A.1個B.2個C.3個D.4個第4題圖B5.如圖是二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象，該函數(shù)的最小值是

－4

?.第5題圖－4

（1）求該拋物線的解析式；

命題點(diǎn)2

二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系7.已知直線y＝kx＋2過第一、二、三象限，則直線y＝kx＋2與拋物線y＝x2－2x＋3的交點(diǎn)個數(shù)為（

C

）A.0個B.1個C.2個D.1個或2個C8.已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝2.若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個根，且x1＜x2，－1＜x1＜0，則下列說法正確的是（

B

）A.x1＋x2＜0B.4＜x2＜5C.b2－4ac＜0D.ab＞0B

重難點(diǎn)1

確定二次函數(shù)的解析式?

?根據(jù)下列已知條件，求二次函數(shù)的解析式.（1）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上，且橫坐標(biāo)為1，經(jīng)過另一點(diǎn)（2，－4），則該二次函數(shù)的解析式為

y＝－4（x－1）2

?；（2）已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－2），且其圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，1），則該二次函數(shù)的解析式為

y＝3（x－2）2－2

?；

y＝－4（x－1）2y＝3（x－2）2－2

①將拋物線向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，得到拋物線的解析式為

y＝（x－3）2＋5

?；②將拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°所得拋物線的解析式為

y＝－（x－1）2＋2

?；③將拋物線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°所得拋物線的解析式為

y＝－（x＋1）2－2

?；④若拋物線C1與已知拋物線關(guān)于x軸對稱，則拋物線C1的解析式為

y＝－（x－1）2

?；⑤若拋物線C2與已知拋物線關(guān)于y軸對稱，則拋物線C2的解析式為

y＝（x＋1）2＋2

?.y＝（x－3）2＋5y＝－（x－1）2＋2y＝－（x＋1）2－2y＝－（x－1）2－2y＝（x＋1）2＋2（4）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2－2x＋3.【奪分寶典】確定二次函數(shù)的解析式時，若解析式未知，根據(jù)下列所給點(diǎn)的坐標(biāo)特征選擇適當(dāng)?shù)慕馕鍪叫问剑海?）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，可設(shè)為y＝ax2；（2）對稱軸是y軸（或頂點(diǎn)在y軸上），可設(shè)為y＝ax2＋c；（3）頂點(diǎn)在x軸上，可設(shè)為y＝a（x－h(huán)）2；（4）拋物線過原點(diǎn)，可設(shè)為y＝ax2＋bx；（5）已知頂點(diǎn)（h，k）時，可設(shè)頂點(diǎn)式為y＝a（x－h(huán)）2＋k；（6）已知拋物線與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0），（x2，0）時，可設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x－x1）（x－x2）；（7）已知拋物線上任意三點(diǎn)時，可設(shè)為一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c，然后列三元一次方程組求解.【對點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知二次函數(shù)C1的圖象經(jīng)過一次函數(shù)y＝－x＋3的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)，且過點(diǎn)（1，1）.（1）求二次函數(shù)C1的解析式；

（2）二次函數(shù)C1的圖象關(guān)于x軸對稱后得到二次函數(shù)C2的圖象，求二次函數(shù)C2

的解析式.

重難點(diǎn)2

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決二次函數(shù)與直線交點(diǎn)問題?

?已知拋物線y＝a（x－1）2－4（a為常數(shù)，a＞0）.（1）直線y＝m與拋物線只有1個交點(diǎn)時，m的值為

－4

?；（2）若一元二次方程a（x－1）2－4－n＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則n的取值范圍為

n＞－4

?；－4n＞－4（3）若該拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（－1，0），（3，0），關(guān)于x的一元二次方程a（x－1）2－4－p＝0（p＞0）的兩根分別為b，c（b＜c），則b

＜

?－1，c

＞

?3.（填“＞”“＜”或“＝”）；＜＞（4）若a＝1.①當(dāng)直線y＝－x＋m與拋物線在x軸下方部分只有一個交點(diǎn)時，求m的取值范圍；【自主解答】解：由題意，得y＝（x－1）2－4，∴拋物線與x軸交于點(diǎn)（－1，0），（3，0）.

②當(dāng)直線y＝kx－2與拋物線在x軸下方部分有兩個交點(diǎn)時，求k的取值范圍.【自主解答】

【奪分寶典】1.判斷一元二次方程ax2＋bx＝m的根的情況：（1）判斷根的個數(shù)：可以利用數(shù)形結(jié)合，看水平直線y＝m與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象交點(diǎn)個數(shù)；（2）已知y＝ax2＋bx＋c與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，0），（x2，0），判斷ax2＋bx＋c＝m的根x3，x4與x1，x2的大小關(guān)系：可以利用數(shù)形結(jié)合，看水平直線y＝m在x軸上方還是下方，并結(jié)合開口判斷.如圖，以a＞0，m＞0為例，則x3＜x1＜x2＜x4.2.已知直線y＝kx＋b與拋物線交點(diǎn)個數(shù)，求字母的取值范圍：（1）確定臨界點(diǎn)：即直線y＝kx＋b與拋物線相切、直線過拋物線部分圖象的端點(diǎn)；（2）分析直線軌跡：①當(dāng)k確定，b不確定時，直線上下平移；②當(dāng)k不確定，b確定時，直線繞定點(diǎn)（0，b）旋轉(zhuǎn).

（3，0）或（4，0）

1.拋物線y＝x2－4x＋3與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

B

）A.（3，0）B.（0，3）C.（1，0）D.（0，1）2.（2023·銅仁期末）將拋物線y＝x2先向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到的拋物線是（

A

）A.y＝（x－3）2＋4B.y＝（x＋3）2＋4C.y＝（x－3）2－4D.y＝（x＋3）2－4BA鞏固訓(xùn)練3.函數(shù)y＝（a－3）x｜a－1｜＋（a－1）x＋3的圖象是拋物線，則a的值是（

B

）A.－1或3B.－1C.3D.a≠34.（2023·貴陽期末）下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（

D

）A.y＝x2＋1B.y＝－x2＋1C.y＝2x＋1D.y＝－2x＋1BD5.已知二次函數(shù)y＝－3（x－2）2－3，下列說法正確的是（

C

）A.圖象的對稱軸為直線x＝－2B.圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）C.函數(shù)的最大值是－3D.函數(shù)的最小值是－36.已知拋物線y＝x2－2x－1，則當(dāng)0≤x≤3時，函數(shù)的最大值為（

D

）A.－2B.－1C.0D.2CD7.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

D

）A.a＜0B.c＞0C.b2－4ac＜0D.4a＋b＝0D8.已知拋物線y＝x2－6x＋m與x軸有且只有一個交點(diǎn)，則m的值為

9

?.9.已知二次函數(shù)y＝3（x＋1）2－8的圖象上有三點(diǎn)A（1，y1），B（2，y2），C（－2，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為

y2＞y1＞y3

?.（用“＞”連接）10.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足下表：x…－4－3－2－10…y…m－3－2－3－6…那么m的值為

－6

?.9y2＞y1＞y3－611.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)在y軸正半軸上，且其對稱軸左側(cè)的部分是上升的，則這個二次函數(shù)的解析式可以是

y＝－x2＋1（答案不唯一）

?.12.如圖，已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，－2）和B（0，－5）.（1）求該二次函數(shù)的解析式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

y＝－x2＋1（答案不唯一）（2）當(dāng)y≤－2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍.解：（2）當(dāng)y≤－2時，x的取值范圍是－3≤x≤1.13.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，且點(diǎn)D（2，2）.

（1）求圖象經(jīng)過B，E，F(xiàn)三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；（2）求（1）中二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

14.若點(diǎn)P（m，n）在拋物線y＝ax2（a≠0）上，則下列各點(diǎn)在拋物線y＝a（x＋1）2上的是（

D

）A.（m，n＋1）B.（m＋1，n）C.（m，n－1）D.（