高考數(shù)學復習第十二章概率隨機變量及其分布12.6離散型隨機變量的均值與方差正態(tài)分布市賽課公開課一等獎

§12.6離散型隨機變量均值與方差、正態(tài)分布1/84基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引2/84基礎知識自主學習3/841.離散型隨機變量均值與方差知識梳理普通地，若離散型隨機變量X分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(X)＝

為隨機變量X均值或

.它反應了離散型隨機變量取值

.平均水平數(shù)學期望4/84(2)方差稱D(X)＝

為隨機變量X方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)

，并稱其算術平方根為隨機變量X

.平均偏離程度標準差(1)E(aX＋b)＝

.(2)D(aX＋b)＝

.(a，b為常數(shù))2.均值與方差性質(zhì)aE(X)＋ba2D(X)5/84(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝

，D(X)＝

.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝

，D(X)＝

.3.兩點分布與二項分布均值、方差pp(1－p)npnp(1－p)(1)正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R).我們稱函數(shù)φμ，σ(x)圖象為

，簡稱正態(tài)曲線.4.正態(tài)分布正態(tài)分布密度曲線6/84(2)正態(tài)曲線性質(zhì)①曲線位于x軸

，與x軸不相交；②曲線是單峰，它關于直線

對稱；③曲線在

處到達峰值；④曲線與x軸之間面積為

；⑤當σ一定時，曲線位置由μ確定，曲線伴隨

改變而沿x軸平移，如圖甲所表示；⑥當μ一定時，曲線形狀由σ確定，σ

，曲線越“瘦高”，表示總體分布越集中；σ

，曲線越“矮胖”，表示總體分布越分散，如圖乙所表示.上方x＝μx＝μ1μ越小越大7/84(3)正態(tài)分布定義及表示普通地，假如對于任何實數(shù)a，b(a<b)，隨機變量X滿足P(a<X≤b)＝

，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作

.正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝

；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝

；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝

.0.68260.95440.99748/84判斷以下結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)隨機變量均值是常數(shù)，樣本平均數(shù)是隨機變量，它不確定.()(2)隨機變量方差和標準差都反應了隨機變量取值偏離均值平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量平均程度越小.()(3)正態(tài)分布中參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布均值，σ是正態(tài)分布標準差.()

(4)一個隨機變量假如是眾多、互不相干、不分主次偶然原因作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.()(5)均值是算術平均數(shù)概念推廣，與概率無關.()思索辨析√√√√×9/84

考點自測1.(教材改編)某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ分布列以下：答案解析ξ78910Px0.10.3y已知ξ均值E(ξ)＝8.9，則y值為A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9可得y＝0.4.10/84

答案解析2.設隨機變量ξ分布列為P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，則D(ξ)等于A.8 B.5

C.10 D.1211/84

3.已知隨機變量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，則隨機變量η均值E(η)及方差D(η)分別是答案解析D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，A.6和2.4 B.2和2.4

C.2和5.6 D.6和5.6設隨機變量X均值及方差分別為E(X)，D(X)，因為X～B(10,0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2，D(η)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4.12/844.設樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10均值和方差分別為1和4，若yi＝xi＋a(a為非零常數(shù)，i＝1,2，…，10)，則y1，y2，…，y10均值和方差分別為________.答案解析所以y1，y2，…，y10均值為1＋a，方差不變?nèi)詾?.1＋a,413/845.某班有50名學生，一次考試數(shù)學成績ξ服從正態(tài)分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，預計該班學生數(shù)學成績在110分以上人數(shù)為________.答案解析∴該班學生數(shù)學成績在110分以上人數(shù)為0.2×50＝10.1014/84題型分類深度剖析15/84題型一離散型隨機變量均值、方差命題點1求離散型隨機變量均值、方差例1(·山東)甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，假如兩人都猜對，則“星隊”得3分；假如只有一個人猜對，則“星隊”得1分；假如兩人都沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜正確概率是，乙每輪猜正確概率是，每輪活動中甲、乙猜對是否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設“星隊”參加兩輪活動，求：(1)“星隊”最少猜對3個成語概率；解答16/84記事件A：“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊’最少猜對3個成語”.由事件獨立性與互斥性，17/8418/84(2)“星隊”兩輪得分之和X分布列和均值E(Χ).解答19/84由題意，得隨機變量X可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件獨立性與互斥性，得20/84可得隨機變量X分布列為X012346P21/84命題點2已知離散型隨機變量均值與方差，求參數(shù)值例2設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且要求：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分.(1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和，求ξ分布列；解答22/84由題意得ξ＝2,3,4,5,6，所以ξ分布列為ξ23456P23/84解答24/84由題意知η分布列為η123P解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1.25/84離散型隨機變量均值與方差常見類型及解題策略(1)求離散型隨機變量均值與方差.可依題設條件求出離散型隨機變量分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)方程(組)，解方程(組)即可求出參數(shù)值.(3)由已知條件，作出對兩種方案判斷.可依據(jù)均值、方差意義，對實際問題作出判斷.思維升華26/84跟蹤訓練1(·四川)某市A，B兩所中學學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦學生一起參加集訓.因為集訓后隊員水平相當，從參加集訓男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學最少有1名學生入選代表隊概率；解答27/8428/84(2)某場比賽前，從代表隊6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽男生人數(shù)，求X分布列和均值.解答29/84依據(jù)題意，X可能取值為1,2,3，所以X分布列為X123P30/84題型二均值與方差在決議中應用例3(·全國乙卷)某企業(yè)計劃購置2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，能夠額外購置這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，假如備件不足再購置，則每個500元.現(xiàn)需決議在購置機器時應同時購置幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：31/84以這100臺機器更換易損零件數(shù)頻率代替1臺機器更換易損零件數(shù)發(fā)生概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換易損零件數(shù)，n表示購置2臺機器同時購置易損零件數(shù).解答(1)求X分布列；32/84由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換易損零件數(shù)為8,9,10,11概率分別為0.2，0.4,0.2,0.2，從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04，P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16，P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24，P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24，P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2，P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08，33/84P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.0434/84(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n最小值；解答由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n最小值為19.35/84(3)以購置易損零件所需費用均值為決議依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應選取哪個？解答記Y表示2臺機器在購置易損零件上所需費用(單位：元).當n＝19時，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040；當n＝20時，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知當n＝19時所需費用均值小于n＝20時所需費用均值，故應選n＝19.36/84隨機變量均值反應了隨機變量取值平均水平，方差反應了隨機變量穩(wěn)定于均值程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍主要理論依據(jù).普通先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.思維升華37/84跟蹤訓練2某投資企業(yè)在年初準備將1000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：項目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能贏利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生概率分別為；項目二：通信設備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能贏利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生概率分別為.針對以上兩個投資項目，請你為投資企業(yè)選擇一個合理項目，并說明理由.解答38/84若按“項目一”投資，設贏利為X1萬元，則X1分布列為X1300－150P若按“項目二”投資，設贏利X2萬元，則X2分布列為X2500－3000P39/84所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明即使項目一、項目二贏利相等，但項目一更穩(wěn)妥.總而言之，提議該投資企業(yè)選擇項目一投資.40/84

題型三正態(tài)分布應用例4(1)(·湖北)設X～N(μ1，

)，Y～N(μ2，

)，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所表示.以下結(jié)論中正確是A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D.對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)答案解析41/84對于A項，因為正態(tài)分布曲線關于直線x＝μ對稱，所以μ1<μ2.所以P(Y≥μ1)>0.5＝P(Y≥μ2)，故A項錯誤；對于B項，因為X正態(tài)分布密度曲線比Y正態(tài)分布密度曲線更“瘦高”，所以σ1<σ2.所以P(X≤σ1)<P(X≤σ2)，故B項錯誤；對于C項，由圖象可知，在y軸右側(cè)某處，顯然滿足P(X≥t)<P(Y≥t)，故C項錯誤；42/84對于D項，在y軸右側(cè)作與x軸垂直一系列平行線，可知在任何情況下，X正態(tài)分布密度曲線與x軸之間圍成圖形面積都大于Y正態(tài)分布密度曲線與x軸之間圍成圖形面積，即對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，故D項正確.43/84(2)從某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得以下頻率分布直方圖：①求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表)；解答44/8445/84②由直方圖能夠認為，這種產(chǎn)品質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2.(ⅰ)利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2)；解答由①知，Z～N(200,150)，從而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.46/84(ⅱ)某用戶從該企業(yè)購置了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)產(chǎn)品件數(shù)，利用(ⅰ)結(jié)果，求E(X).附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544.解答由(ⅰ)知，一件產(chǎn)品質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8，212.2)概率為0.6826，依題意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.47/84處理正態(tài)分布問題有三個關鍵點：(1)對稱軸x＝μ；(2)標準差σ；(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)概率值；由μ，σ，分布區(qū)間特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.思維升華48/84

跟蹤訓練3(·山東)已知某批零件長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)概率為(附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%答案解析49/84由正態(tài)分布概率公式知P(－3<ξ<3)＝0.6826，P(－6<ξ<6)＝0.9544，50/84典例(12分)(·湖北六校聯(lián)考)在全國高校自主招生考試中，某高校設計了一個面試考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立回答全部問題.要求：最少正確回答其中2題便可經(jīng)過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確回答，2題不能回答；考生乙每小題正確回答概率都為，且每小題正確回答是否互不影響.(1)分別寫出甲、乙兩考生正確回答題數(shù)分布列，并計算其均值；(2)試用統(tǒng)計知識分析比較兩考生經(jīng)過能力.離散型隨機變量均值與方差問題答題模板系列8規(guī)范解答答題模板51/84故其分布列為ξ123P52/84η0123P53/84∴P(ξ≥2)>P(η≥2).從回答對題數(shù)均值考查，兩人水平相當；從回答對題數(shù)方差考查，甲較穩(wěn)定；從最少正確回答2題概率考查，甲取得經(jīng)過可能性大.所以能夠判斷甲經(jīng)過能力較強.[12分]返回54/84求離散型隨機變量均值和方差問題普通步驟：第一步：確定隨機變量全部可能值；第二步：求每一個可能值所對應概率；第三步：列出離散型隨機變量分布列；第四步：求均值和方差；第五步：依據(jù)均值、方差、進行判斷，并得出結(jié)論；(適合用于均值、方差應用問題)第六步：反思回顧.查看關鍵點、易錯點和答題規(guī)范.返回55/84課時作業(yè)56/841.(·鄭州一模)某班舉行了一次“心有靈犀”活動，教師把一張寫有成語紙條出示給A組某個同學，這個同學再用身體語言把成語意思傳遞給本組其它同學.若小組內(nèi)同學甲猜對成語概率是0.4，同學乙猜對成語概率是0.5，且要求猜對得1分，猜不對得0分，則這兩個同學各猜1次，得分之和X(單位：分)均值為A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1答案解析123456789√57/84由題意得X＝0,1,2，則P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E(X)＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.12345678958/842.(·蕪湖月考)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)值為A.3×2－2 B.2－4

C.3×2－10 D.2－8√答案解析12345678959/843.設隨機變量X～N(μ，σ2)，且X落在區(qū)間(－3，－1)內(nèi)概率和落在區(qū)間(1,3)內(nèi)概率相等，若P(X>2)＝p，則P(0<X<2)等于答案解析由X落在(－3，－1)內(nèi)概率和落在(1,3)內(nèi)概率相等得μ＝0.又∵P(X>2)＝p，∴P(－2<x<2)＝1－2p，123456789√60/84答案解析20記此人三次射擊擊中目標次數(shù)為X，得分為Y，12345678961/84答案解析12345678962/84解答設“最少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么12345678963/84(2)設系統(tǒng)A在3次相互獨立檢測中不發(fā)生故障次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ分布列及均值E(ξ).123456789解答64/84由題意，得隨機變量ξ可能取值為0,1,2,3，12345678965/84所以，隨機變量ξ分布列為ξ0123P故隨機變量ξ均值12345678966/847.(·汕尾調(diào)研)為了解某市高三學生身高情況，對全市高三學生進行了測量，經(jīng)分析，全市高三學生身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(160，σ2)，已知P(X<150)＝0.2，P(X≥180)＝0.03.(1)現(xiàn)從該市高三學生中隨機抽取一名學生，求該學生身高在區(qū)間[170,180)概率；解答12345678967/84＝0.5－0.2＝0.3.所以P(170≤X<180)＝0.5－0.3－0.03＝0.17.由全市高三學生身高X服從N(160，σ2)，P(X<150)＝0.2，得P(160≤X<170)＝P(150≤X<160)因為P(X≥180)＝0.03，故從該市高三學生中隨機抽取一名學生，該學生身高在區(qū)間[170,180)概率為0.17.12345678968/84(2)現(xiàn)從該市高三學生中隨機抽取三名學生，記抽到三名學生身高在區(qū)間[150,170)人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ分布列和均值

E(ξ).解答12345678969/84所以P(ξ＝0)＝(1－0.6)3＝0.064，P(ξ＝2)＝3×0.62×(1－0.6)＝0.432，因為P(150≤X<170)＝P(150≤X<160)＋P(160≤X<170)＝0.3＋0.3＝0.6，ξ服從二項分布B(3,0.6)，P(ξ＝1)＝3×0.6×(1－0.6)2＝0.288，P(ξ＝3)＝0.63＝0.216.所以ξ分布列為ξ0123P0.0640.2880.4320.216所以E(ξ)＝3×0.6＝1.8.12345678970/848.(·泉州模擬)某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉行方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲中獎率為，中獎能夠取得2分；方案乙中獎率為，中獎能夠取得3分；未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎是否互不影響，晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品.(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們累計得分為X，求X≤3概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分均值較大？解答12345678971/84記“這2人累計得分X≤3”為事件A，則事件A對立事件為“X＝5”，12345678972/84(2)設小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分均值為E(2X1)，選擇方案乙抽獎累計得分均值為E(3X2).12345678973/84因為E(2X1)>E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分均值較大.記“這2人累計得分X≤3”為事件A，則事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，